3.2.2函数的奇偶性6种高频考点专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

函数的性质：函数的奇偶性6种高频考点专项训练 函数的性质：函数的奇偶性6种高频考点专项训练 考点目录 函数奇偶性的定义与证明 奇偶性的应用：由奇偶性判断函数图像 奇偶性的应用：由奇偶性求函数解析式 奇偶性的应用：由奇偶性求参数与求值 奇偶性的应用：由奇偶性与单调性解不等式 抽象函数的奇偶性 考点一 函数奇偶性的定义与证明 例1．（25-26高一上·广东潮州·期中）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； 【答案】(1)偶函数 (2)奇函数． 【详解】（1）∵函数的定义域为，关于原点对称， 又，故为偶函数； （2）∵函数的定义域为，关于原点对称， 又，故为奇函数． 例2．（25-26高一上·四川达州·期中）已知函数. (1)证明：为奇函数； (2)若，，求的取值范围. 【答案】(1) 设，则， 所以，则， 因为的定义域为，关于原点对称， 又，所以为奇函数； (2) 【分析】（1）利用换元法求出解析式，再由奇偶性的定义证明即可； （2）首先利用单调性的定义证明函数在上的单调性，依题意，即可得解. 【详解】（1）略 （2）设，且， 则， 由，得， 所以，所以在上单调递增， 因为，所以， 又在上单调递增，所以当时，取得最小值，且最小值为， 所以，即的取值范围为. 变式1．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）判断下列函数的奇偶性： (1) (2)； (3) 【答案】(1)奇函数 (2)偶函数 (3)非奇非偶函数． 【详解】（1）的定义域为，关于原点对称，又， 所以是奇函数. （2）的定义域为，关于原点对称，又， 所以是偶函数. （3）的定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数. 变式2．（25-26高一上·北京西城·期末）已知函数. (1)证明是偶函数； (2)判断在区间上的单调性，并加以证明； (3)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) 函数的定义域为R，， 所以函数是偶函数. (2) 当时，函数，函数在上的单调递增， 任取，则， 由，得，则，即， 所以函数在上的单调递增. (3). 【分析】（1）利用偶函数定义推理得证. （2）化简函数并判断单调性，再利用函数单调性定义推理得证. （3）利用偶函数及单调性求出最值. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（1）（2）知偶函数在上的单调递增， 则函数在上的单调递减，当时，，， 所以函数在区间上的最大值和最小值分别为. 考点二 奇偶性的应用：由奇偶性判断函数图像 例1．（24-25高一上·湖北武汉·期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过分析函数的奇偶性以及特定区间上函数值的正负来排除错误选项. 【详解】由函数解析式可知，分母，解得，即函数的定义域为， 因为，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称， 观察选项，C选项图象关于原点对称，故C错误； 当时，，则，所以，又 ，所以，即当时，函数图象位于轴上方， 观察选项，A选项在 上图象位于 轴下方，故A错误； 当时，，则，所以，又，所以，即当时，函数图象位于轴下方， 观察选项，D选项在 上图象位于 轴上方，故D错误； 综上所述，只有B选项符合题意，故B正确. 例2．（25-26高一下·山东潍坊·期中）函数的图象大致为（    ） A．    B．    C．    D．    【答案】D 【分析】首先根据函数的奇偶性排除部分选项，然后利用函数的单调性确定正确选项. 【详解】令，其定义域为，关于原点对称. 因为， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B，C； 又因为，当时，函数单调递增，函数单调递增， 所以函数在上单调递增，故排除选项A，选项D正确. 变式1．（25-26高一下·湖南益阳·期中）函数的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于函数的定义域为，且对任意的，，故为偶函数，其图像关于轴对称，此时排除CD选项， 当时，，此时可排除A，故选B. 变式2．（25-26高三下·天津·阶段检测）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由取值情况判断B；由时函数值情况判断C；由的值判断D；分析函数性质判断A. 【详解】对于B，函数的定义域为R，而给定图象对应函数中，B不是； 对于C，函数，当时，，此时图象在下方，C不是； 对于D，函数，，其图象过点，D不是； 对于A，函数，定义域为， ，函数为奇函数，图象关于原点对称， 当时，；当时，，A可能是. 考点三 奇偶性的应用：由奇偶性求函数解析式 例1．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）若函数是奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数是奇函数，且当时，， 则当时，，可得. 例2．（26-27高一上·重庆渝中·阶段检测）若函数是奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇函数的性质即可求解. 【详解】令，则，所以 因为函数是奇函数，所以当时， 例3．（25-26高一上·上海宝山·期末）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则 在时的解析式是_____. 【答案】 【分析】当时，，求出，再根据奇函数的定义求出. 【详解】当时，， 则当时，，有， 因为是定义域为的奇函数，所以， 故 在时的解析式是. 故答案为： 变式1．（25-26高二下·陕西汉中·期末）已知奇函数的定义域为，且当时，，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】由题意，,求出,再利用奇函数性质代值计算即可. 【详解】因是定义在上的奇函数，则, 即,解得, 则当时，， 故. 变式2．（25-26高一上·河北张家口·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合奇函数的定义运算求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，当时，， 当时，则， 所以. 故选：C. 变式3．（25-26高一上·湖北荆州·阶段检测）若是上的奇函数，当时，则当时______ 【答案】 【分析】利用奇函数的对称性，可求得对称区间的解析式． 【详解】因为是奇函数，所以， 即当时，有． 故答案为：． 考点四 奇偶性的应用：由奇偶性求参数与求值 例1．（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）若是偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知，写出的解析式，由是偶函数可得，化简即可求解参数. 【详解】由已知，， 函数为偶函数，所以，所以， 整理得：，所以. 例2．（26-27高一上·四川成都·阶段检测）若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【详解】函数是定义在上的偶函数， ，即， ， ， ， ， ． 例3．（25-26高一下·广东河源·期末）已知函数是定义域上的奇函数，则的值为__________． 【答案】 【详解】令得，故定义域为， 因为是定义域上的奇函数，所以， 即， 故，所以. 变式1．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知函数为奇函数，则（   ） A．-2 B．0 C．-3 D．-1 【答案】C 【分析】由奇函数的定义求解 【详解】若，则， 所以， 所以，，. 变式2．（2026·河北·二模）若函数为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性可求解，即可代入求解. 【详解】的定义域为，由于为偶函数，故， 即， 整理可得，故，则， 所以. 变式3．（25-26高一上·江苏徐州·阶段检测）若函数是上的偶函数，则的值为______． 【答案】 【详解】函数是定义在上的偶函数， ，即． ， ， ， ． 考点五 奇偶性的应用：由奇偶性与单调性解不等式 例1．（25-26高一上·贵州毕节·期末）已知定义在上的函数在上单调递增，为偶函数，且，则的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的对称性与单调性的关系直接列不等式求解即可. 【详解】因为为偶函数， 所以，函数的对称轴为直线， 所以， 因为函数在上单调递增，所以在上单调递减， 所以等价于或， 解得或，所以的解集是； 故选：D 例2．（25-26高一上·宁夏石嘴山·阶段检测）已知定义在上的奇函数，对任意的，，满足，且，则的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意构造函数，可知函数在上单调递增，在上单调递减，将不等式变形结合并分类讨论，利用函数单调性解不等式可得结果. 【详解】根据题意由任意的，，满足， 可得函数在上单调递增， 因为为奇函数，所以为偶函数，则函数在上单调递减， 当时将不等式可变形为， 又为偶函数，可得； 因此由可得，可得； 当时将不等式可变形为， 易知，因此由可得，可得； 因此不等式的解集为. 故选：A 例3．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数的定义域为． (1)判断函数的奇偶性并说明理由； (2)判断并证明函数在上的单调性； (3)根据（1）（2）的结论，解不等式． 【答案】(1) 函数是定义在上的奇函数，理由如下： ，都有， 因为， 所以函数是定义在上的奇函数． (2) 函数在上为增函数，证明如下： 设， ， 由，得， 则，即， 故函数在上为增函数． (3) 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可； （2）根据单调性的定义证明即可； （3）根据函数的奇偶性及单调性解不等式即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）因为函数是定义在上的奇函数， 所以不等式可化为，即， 因为在上为增函数， 则，解得：， 故不等式的解集为． 例4．（25-26高一上·浙江·期中）已知偶函数的定义域为，当时，. (1)求函数在定义域上的解析式； (2)解不等式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用偶函数的定义求解即可； （2）求出在的单调性，结合偶函数的定义即可求解. 【详解】（1）当时，， 又为偶函数，所以时， 的解析式为. （2）当时，， 在上单调递增， 又为偶函数，由得. 所以，解得， 所以不等式的解集是. 变式1．（25-26高一上·黑龙江绥化·期末）已知奇函数在定义域上单调递减，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用奇函数的性质及函数单调性求解不等式即得. 【详解】由奇函数在定义域上单调递减，得， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 变式2．（25-26高一上·吉林延边·期末）已知函数（且）的图象恒过定点，幂函数的图象过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数的运算性质求的坐标，根据幂函数定义求，利用函数性质解不等式即可. 【详解】函数（且）的图象恒过定点， 设幂函数，， 因为幂函数的图象过点， 则，解得，即， 显然函数的定义域为全体实数， 因为， 所以函数是偶函数， 由幂函数的单调性的性质，函数在上单调递增， 则，即，即， 整理可得，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D. 变式3．（25-26高一上·浙江宁波·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且. (1)求实数和的值； (2)判断并证明函数在上的单调性； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)该函数在时单调递增，证明如下： 由（1）可知，，即， 设是之间的任意两实数，且，则有， ， 因为， 所以， 因此， 所以，因此函数在时单调递增； (3) 【分析】（1）根据偶函数的性质，结合代入法进行求解即可； （2）根据函数单调性的定义进行运算证明即可； （3）运用函数的单调性和偶函数的性质进行求解即可. 【详解】（1）因为是定义在上的偶函数， 所以有，对于恒成立， 只需，即，又因为， 所以， 所以，. （2）略 （3）因为函数是定义在上的偶函数， 所以由， 又因为该函数在时单调递增， 所以有，或， 所以实数的取值范围为. 变式4．（25-26高一上·湖北襄阳·期中）已知函数定义在上的奇函数，且. (1)求实数，的值和的解析式； (2)判断并证明在上的单调性； (3)解不等式. 【答案】(1) (2) 在区间上单调递减，证明如下： 由（1）得，令， 则， 由，所以， 所以，即， 所以在区间上单调递减. (3) 【分析】（1）结合奇函数性质与计算即可得解； （2）结合函数单调性定义，令，得到的正负即可得； （3）结合奇函数与单调性定义计算即可得解. 【详解】（1）函数是定义在区间上的奇函数， 所以，即， 因为，所以，所以， 所以， 经检验、符合题意， 所以，. （2）略 （3）由得， 由在区间上单调递减， 所以，解得， 所以原不等式的解集为. 考点六 抽象函数的奇偶性 例1．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测·多选）已知定义域为的函数不是常值函数，当时，，而且对任意的有，则下列说法正确的有（    ） A． B．若，则 C．在上单调递减 D．若，则不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】A令求出，再令确定具体值；B令即可；C利用单调性的定义证明；D令得出是偶函数，再将问题转化为，结合单调性即可求出. 【详解】对于A，令，则有，得或， 但当时，， 与不是常值函数矛盾，故，故A正确； 对于B，令，则， 则， 当，则，故， 故，故B正确； 对于C，任取，令，则， 则，故在上单调递增，故C错误； 对于D，令可得：， 故是偶函数， 又，于是原不等式可转化为， 又由在上单调递增可得：，解得：， 故不等式的解集为，故D正确. 故选：ABD. 例2．（25-26高一上·山西运城·阶段检测·多选）已知函数的定义域为，对任意实数，满足，且，当时，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．为奇函数 D．为增函数 【答案】ABC 【分析】利用赋值法可判断AB选项，再利用定义法判断函数奇偶性，可判断C选项，再根据特值可判断D选项. 【详解】对于选项A，令，得，故选项A正确； 对于选项B，令，，得，故选项B正确； 对于选项C，令，得，故，所以为奇函数，故选项C正确； 对于选项D，因为，所以不是增函数，故选项D错误； 故选：ABC． 例3．（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）若函数对任意，恒有成立，且． (1)求证：是奇函数； (2)求的值； (3)若时，，试求在上的最大值和最小值． 【答案】(1) 定义域为，令，得，再令，得， 所以，故是奇函数； (2)， (3)最大值为2，最小值为 【分析】（1）赋值法得到，再由得到，得到函数为奇函数； （2）赋值法求出，利用（1）中的函数奇偶性求出，再用赋值法求出； （3）先证明出函数的单调性，结合（2）中结论得到答案. 【详解】（1）略 （2）因为，故令得，即， 又是奇函数，所以， 令得， 令得 故； （3）不妨设， 中，令得， ， 因为，又时，， 所以，即， 所以在R上单调递减， 故． 变式1．（25-26高一上·河南焦作·阶段检测·多选）已知定义域为的函数满足对于，则下列说法正确的是（   ） A． B．若对于，则函数是奇函数 C． D．若当时，，则在区间上单调递增 【答案】BD 【分析】A选项，令得到或0；B选项，根据得到，令得到，然后利用奇函数的定义判断；C选项，时不成立；D选项，根据时，利用作商的思路得到对任意的，都有，然后结合单调性的定义判断. 【详解】对于A项，令，则，则或0，故A错误； 对于B项，因为，所以， 由，且，所以， 令，则，所以， 所以，故是奇函数，故B正确； 对于C项，若，令可得，故C错误； 对于D项，若当时，，则不满足，所以， 设0，则，所以， 所以，即对任意的，都有， 所以在上单调递增．又，所以在，上单调递增，故D正确． 故选：BD． 变式2．（25-26高一上·广东茂名·阶段检测·多选）已知是定义在上且不恒为0的图象连续的函数，若，，则（   ） A． B．为偶函数 C．4是的一个周期 D． 【答案】BCD 【分析】对于A，B，C利用赋值法即可判断；对于D，令和，再结合函数的对称性即可判断. 【详解】对于A，令，得， 因为不恒为0，所以，故A错误； 对于B，令，得， 得，则为偶函数，故B正确； 对于C，令，得， 则， 则，周期为4，故C正确； 对于D，令，得，，即， 令，得，即关于中心对称， 所以，即，所以，故D正确． 故选：BCD． 【点睛】方法点睛：对于抽象函数的求值或函数性质的求解策略： （1）对于抽象函数的基本性质的求解，通常借助合理赋值，结合函数的单调性、奇偶性的定义，进行推理，得出函数的基本性质，有时借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题； （2）解答抽象函数的周期性问题时，通常先利用周期性中自变量所在区间，结合函数的奇偶性和对称性进行推理，得到，求得函数的周期； （3）解答抽函数的求值问题时，通常利用合理赋值，再结合函数的对称性和周期性，进行求解. 变式3．（25-26高一上·山西太原·阶段检测）设函数是定义在上的增函数，对于任意都有． (1)证明是奇函数； (2)解不等式． 【答案】(1) 证明：令，则由，得，即； 令，则由，得， 即得，故是奇函数． (2) 【分析】（1）对赋值，利用奇函数的定义进行证明； （2）先化简目标式为，结合函数单调性可求答案. 【详解】（1）略 （2），所以，则， 即，               因为， 所以，所以，           又因为函数是增函数，所以，所以或． 所以x的解集为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $函数的性质：函数的奇偶性6种高频考点专项训练 函数的性质：函数的奇偶性6种高频考点专项训练 考点目录 函数奇偶性的定义与证明 奇偶性的应用：由奇偶性判断函数图像 奇偶性的应用：由奇偶性求函数解析式 奇偶性的应用：由奇偶性求参数与求值 奇偶性的应用：由奇偶性与单调性解不等式 抽象函数的奇偶性 考点一 函数奇偶性的定义与证明 例1．（25-26高一上·广东潮州·期中）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； 例2．（25-26高一上·四川达州·期中）已知函数. (1)证明：为奇函数； (2)若，，求的取值范围. 变式1．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）判断下列函数的奇偶性： (1) (2)； (3) 变式2．（25-26高一上·北京西城·期末）已知函数. (1)证明是偶函数； (2)判断在区间上的单调性，并加以证明； (3)求在区间上的最大值和最小值. 考点二 奇偶性的应用：由奇偶性判断函数图像 例1．（24-25高一上·湖北武汉·期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·山东潍坊·期中）函数的图象大致为（    ） A．    B．    C．    D．    变式1．（25-26高一下·湖南益阳·期中）函数的图象大致为（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三下·天津·阶段检测）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 考点三 奇偶性的应用：由奇偶性求函数解析式 例1．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）若函数是奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 例2．（26-27高一上·重庆渝中·阶段检测）若函数是奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一上·上海宝山·期末）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则 在时的解析式是_____. 变式1．（25-26高二下·陕西汉中·期末）已知奇函数的定义域为，且当时，，则（    ） A． B． C．2 D．1 变式2．（25-26高一上·河北张家口·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一上·湖北荆州·阶段检测）若是上的奇函数，当时，则当时______ 考点四 奇偶性的应用：由奇偶性求参数与求值 例1．（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）若是偶函数，则（   ） A． B． C． D． 例2．（26-27高一上·四川成都·阶段检测）若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 例3．（25-26高一下·广东河源·期末）已知函数是定义域上的奇函数，则的值为__________． 变式1．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知函数为奇函数，则（   ） A．-2 B．0 C．-3 D．-1 变式2．（2026·河北·二模）若函数为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一上·江苏徐州·阶段检测）若函数是上的偶函数，则的值为______． 考点五 奇偶性的应用：由奇偶性与单调性解不等式 例1．（25-26高一上·贵州毕节·期末）已知定义在上的函数在上单调递增，为偶函数，且，则的解集是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·宁夏石嘴山·阶段检测）已知定义在上的奇函数，对任意的，，满足，且，则的解集为（ ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数的定义域为． (1)判断函数的奇偶性并说明理由； (2)判断并证明函数在上的单调性； (3)根据（1）（2）的结论，解不等式． 例4．（25-26高一上·浙江·期中）已知偶函数的定义域为，当时，. (1)求函数在定义域上的解析式； (2)解不等式. 变式1．（25-26高一上·黑龙江绥化·期末）已知奇函数在定义域上单调递减，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一上·吉林延边·期末）已知函数（且）的图象恒过定点，幂函数的图象过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一上·浙江宁波·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且. (1)求实数和的值； (2)判断并证明函数在上的单调性； (3)若，求实数的取值范围. 变式4．（25-26高一上·湖北襄阳·期中）已知函数定义在上的奇函数，且. (1)求实数，的值和的解析式； (2)判断并证明在上的单调性； (3)解不等式. 考点六 抽象函数的奇偶性 例1．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测·多选）已知定义域为的函数不是常值函数，当时，，而且对任意的有，则下列说法正确的有（    ） A． B．若，则 C．在上单调递减 D．若，则不等式的解集为 例2．（25-26高一上·山西运城·阶段检测·多选）已知函数的定义域为，对任意实数，满足，且，当时，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．为奇函数 D．为增函数 例3．（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）若函数对任意，恒有成立，且． (1)求证：是奇函数； (2)求的值； (3)若时，，试求在上的最大值和最小值． 变式1．（25-26高一上·河南焦作·阶段检测·多选）已知定义域为的函数满足对于，则下列说法正确的是（   ） A． B．若对于，则函数是奇函数 C． D．若当时，，则在区间上单调递增 变式2．（25-26高一上·广东茂名·阶段检测·多选）已知是定义在上且不恒为0的图象连续的函数，若，，则（   ） A． B．为偶函数 C．4是的一个周期 D． 变式3．（25-26高一上·山西太原·阶段检测）设函数是定义在上的增函数，对于任意都有． (1)证明是奇函数； (2)解不等式． 2 学科网（北京）股份有限公司 $