专题07 函数的单调性及最值（54题）训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

函数的单调性及最值 专题07 函数的单调性及最值 知识点分析 新课标对知识的考查要求：借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大 （小）值， 理解它们的作用和实际意义。单调性是贯穿高中的核心性质，高一学习的定义、单调区间、同增异减、图像特征，是高三导数研究函数的底层依据，导数本质就是判断单调性的进阶工具。 高一以定义法证明、基础初等函数、分段 、简单复合函数为主，偏向定性识别、简单求值解不等式。 题型一、简单函数单调性的判断 题型二、用定义法判断函数的单调性 题型三、利用单调性求参数的取值范围 题型四、分段函数的单调性问题 题型五、利用函数单调性比较大小 题型六、利用函数单调性解不等式 题型七、利用函数单调性求最值 题型八、利用单调性研究分式函数的最值 题型九、抽象函数的单调性 一、单调函数的定义 设函数的定义域为.如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值， 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数。 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。 二、单调性定义的等价形式: 1、函数在区间上是增函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 2、函数在区间上是减函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 三、函数单调性的性质 1、当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. 2、若≥0，则与具有相同的单调性. 3、若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 4、与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 四、定义法证明函数单调性的步骤 ①取值：设，为该区间内任意的两个值，且 ②作差变形：做差，并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形 ③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论 ④判断：根据定义做出结论。 五、判断函数单调性的方法 1、定义法：定义法的一般步骤为取值→作差变形→定号→得出单调性； 2、图像法：根据函数图像的升降趋势判断函数的单调性（一般用于客观题）； 3、特殊指法：若已知函数在某区间上单调，可以通过代入一些特殊值的方法来判断函数的单调性（一般用于客观题）； 4、性质法：根据基本初等函数的单调性推出由这些基本初等函数经过运算（加、减、乘、除、复合等）得来的函数单调性（一般用于客观题） 六、抽象函数判断单调性 构造定义法，在时，构造证明出正负。常见的构造规律如下： （1）构造“和” ； （2）构造“积”； （3）利用构造. 题型一：简单函数单调性的判断 题型分析：本类为基础客观题，考查一次、二次、反比例、带绝对值函数单调区间识别. 1.(多选)下列函数在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝2x＋1 B．y＝x2＋1 C．y＝3－x D．y＝x2＋2x＋1 2.求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上单调递增还是单调递减． (1)＝－； (2)＝ (3)＝－x2＋2|x|＋3; 3.函数的单调增区间是（ ） A． B． C． D． 4.函数的单调增区间是(　　) A． B． C． D． 5.函数的单调增区间为（ ） A． B． C．和 D． 6.函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 7.函数的单调递增区间是______． 题型二：用定义法判断函数的单调性 题型分析：高一必考解答题型，严格遵循 “取值、作差变形、定号、下结论” 四步； 作差变形是得分关键，常用因式分解、通分、配方；变形之后一定要写成因式乘积形式，方便判断符号；必须取自给定区间，且设；最后一定要写总结性语句. 1.根据定义证明函数在区间上单调递增. 2.已知函数.判断在区间上的单调性，并用定义法证明. 3. 已知函数(是常数)，且。 (1) 求的值； (2) 当时，判断的单调性并用定义证明。 4.证明函数在R上是增函数. 5.讨论函数（）的单调性,并请作出当时函数的图象. 题型三：利用单调性求参数的取值范围 题型分析：中档高频考点，主要对象为二次函数、一次分式函数、绝对值函数。 ①区分两种说法：“在区间上单调递增”区间是单调区间的子集；“单调递增区间是某某”二者完全相等。 ②分式型（分离常数）：，分离常数之后，看反比例部分系数正负； ③绝对值函数，直接写出单调区间，利用子集关系列不等式。 1.若函数＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上单调递增，则符合的实数a的集合是________． 2.若函数＝－x2－2(a＋1)x＋3的单调递增区间是(－∞，3]，则符合的实数a的集合为________． 3.函数在区间上具有单调性，则的取值范围为_______. 4.如果函数在区间上是单调递增的，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5.若与在区间上都是增函数，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 6.已知函数在上是单调函数，则的取值范围是________． 7.若在区间上是增函数，则的取值范围是_________ 8. 函数 ，则的单调减区间为 题型四：分段函数的单调性问题 题型分析：高频易错题，分段函数整体单调，要同时满足两个条件：①每一段自身满足单调性；②分段的分界点处，左边的最大值 ≤ 右边的最小值（递增）；左边最小值 ≥右边最大值（递减），很多同学会漏掉分界点的大小关系. 1.已知函数＝则的单调递减区间是________. 2.若函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（       ） A．， B． C．， D． 3.已知再函数中，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 4.函数是上的单调递减函数，则实数的取值范围是 5.已知函数且在定义域上是单调函数，则实数t的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6.已知函数，对于任意两个不相等的实数，都有不等式成立，则实数取值范围是________． 题型五：利用函数单调性比较大小 题型分析：①判断函数增减性；②把自变量化到同一个单调区间；③比较自变量大小，推出函数值大小。 1. 若在上是减函数，则与之间有 ( ) A. B. C. D. 2. 为上的减函数，，则 ( ) A. B. C. D. 3.已知 对于任意都有，且在区间上是单调递增的，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 4. 已知定义在上的函数满足以下三个条件： ①对于任意的，都有； ②函数的图象关于直线对称； ③对于任意的，且。 则，，的大小顺序是 。（用 “” 连接） 5.定义在上的函数满足对任意的（）恒有，若，，，则（ ） A． B． C． D． 题型六：利用函数单调性解不等式 题型分析：去掉符号,若增：；若减：。不能漏掉定义域,所有括号内部整体，必须满足函数本身定义域，联立不等式组求解。 1.已知函数的定义域为，且对任意两个不相等的实数都有，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 2.若是定义在上的减函数，则不等式的解集是 3.函数，若，则实数的取值范围是____________． 4.已知函数＝若，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞) 5.定义在上的函数满足：对、，且，都有成立，且，则不等式的解集为______． 题型七：利用函数单调性求最值 题型分析：闭区间上单调函数，最值一定出现在区间端点； ①增函数：区间左端点取最小，右端点取最大； ②减函数：区间左端点取最大，右端点取最小； 如果函数不单调，则需要结合图像，比较顶点、端点，选出最大、最小. 1.下列函数在[1,4]上最大值为3的是(　　) A．y＝＋2 B．y＝3x－2 C．y＝x2 D．y＝1－x 2.已知函数＝求函数的最大值、最小值． 3.已知函数＝(x>0)． (1)求证：在(0,1]上单调递增； (2)求函数的最大值和最小值． 4.已知函数f(x)＝求函数f(x)的最大值和最小值. 5.设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________． 6.已知函数为一元二次函数，的图象过点，对称轴为，函数在上的最大值为． (1)求的解析式； (2)当，时，求函数的最大值（用含参数m的分段函数表示）． 7.已知函数 (1)判断并证明函数在上的单调性； (2)若，对任意，，都有成立，求的取值范围． 题型八：利用单调性研究分式函数的最值 题型分析：分式函数优先分离，转化反比例或对勾函数； 可以借助单调性求值域；也可以判别式法. 1.函数，的值域是（ ）． A． B． C． D． 2.求函数的值域. 3.函数的值域是（ ） A． B． C． D． 4.函数y＝的值域是__________________． 5.已知函数，则的最小值（ ） A． B． C．0 D．1 6.函数的值域为 A． B． C． D． 题型九：抽象函数的单调性 题型分析：没有解析式，只有函数关系式（和型、积型）； 1. 证明单调性：严格使用定义法，利用给的关系式构造，判断正负； 2. 解抽象不等式：脱掉符号，必须带上定义域. 1.已知函数对任意x，y∈R，总有，且当x>0时，<0，f(1)＝－. (1)求证：是R上的减函数； (2)求在[－3,3]上的最小值． 2.已知函数的定义域是，当时，，且. （1）求的值，并证明在定义域上是增函数； （2）若的值，解不等式. 3.（多选）已知函数的定义域为R，对任意，都有，当时，，且，则（   ） A．，都有 B．当时， C．是减函数 D．若，则不等式的解集为 4.已知函数是定义在上的增函数，对一切实数都有成立，且. （1）求的值； （2）若，求的取值范围. 5.已知定义在上的函数的单调递增函数，且对，都有，. （1）求的值； （2）若对，都有成立，求实数的取值范围. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $函数的单调性及最值 专题07 函数的单调性及最值 知识点分析 新课标对知识的考查要求：借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大 （小）值， 理解它们的作用和实际意义。单调性是贯穿高中的核心性质，高一学习的定义、单调区间、同增异减、图像特征，是高三导数研究函数的底层依据，导数本质就是判断单调性的进阶工具。 高一以定义法证明、基础初等函数、分段 、简单复合函数为主，偏向定性识别、简单求值解不等式。 题型一、简单函数单调性的判断 题型二、用定义法判断函数的单调性 题型三、利用单调性求参数的取值范围 题型四、分段函数的单调性问题 题型五、利用函数单调性比较大小 题型六、利用函数单调性解不等式 题型七、利用函数单调性求最值 题型八、利用单调性研究分式函数的最值 题型九、抽象函数的单调性 一、单调函数的定义 设函数的定义域为.如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值， 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数。 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。 二、单调性定义的等价形式: 1、函数在区间上是增函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 2、函数在区间上是减函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 三、函数单调性的性质 1、当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. 2、若≥0，则与具有相同的单调性. 3、若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 4、与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 四、定义法证明函数单调性的步骤 ①取值：设，为该区间内任意的两个值，且 ②作差变形：做差，并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形 ③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论 ④判断：根据定义做出结论。 五、判断函数单调性的方法 1、定义法：定义法的一般步骤为取值→作差变形→定号→得出单调性； 2、图像法：根据函数图像的升降趋势判断函数的单调性（一般用于客观题）； 3、特殊指法：若已知函数在某区间上单调，可以通过代入一些特殊值的方法来判断函数的单调性（一般用于客观题）； 4、性质法：根据基本初等函数的单调性推出由这些基本初等函数经过运算（加、减、乘、除、复合等）得来的函数单调性（一般用于客观题） 六、抽象函数判断单调性 构造定义法，在时，构造证明出正负。常见的构造规律如下： （1）构造“和” ； （2）构造“积”； （3）利用构造. 题型一：简单函数单调性的判断 题型分析：本类为基础客观题，考查一次、二次、反比例、带绝对值函数单调区间识别. 1.(多选)下列函数在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝2x＋1 B．y＝x2＋1 C．y＝3－x D．y＝x2＋2x＋1 【答案】ABD 【解析】函数y＝3－x在区间(0，＋∞)上单调递减． 故选：ABD. 2.求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上单调递增还是单调递减． (1)＝－； (2)＝ (3)＝－x2＋2|x|＋3; 【答案】见解析 【解析】(1)函数＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都单调递增． (2)当x≥1时，单调递增，当x<1时，单调递减，所以的单调区间为(－∞，1)， [1，＋∞)，并且函数在(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增． (3)因为＝－x2＋2|x|＋3＝ 根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知， 函数的单调区间为(－∞，－1]，(－1,0)，[0,1)，[1，＋∞)． 3.函数的单调增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 的图象是由的图象沿轴向右平移1个单位，然后沿轴向下平移个单位得到， 如下图 的单调增区间是． 故选：C. 4.函数的单调增区间是(　　) A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 函数有意义，则，解得：或，二次函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，若≥0，则与具有相同的单调性. 故选：B。 5.函数的单调增区间为（ ） A． B． C．和 D． 【答案】 C 【解析】由可得且，因为开口向下，其对称轴为， 所以的减区间为和所以的单调增区间为和， 故选：C 6.函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以的增区间为， 故选：D. 7.函数的单调递增区间是______． 【答案】 【解析】由图象知：其单调递增区间是 题型二：用定义法判断函数的单调性 题型分析：高一必考解答题型，严格遵循 “取值、作差变形、定号、下结论” 四步； 作差变形是得分关键，常用因式分解、通分、配方；变形之后一定要写成因式乘积形式，方便判断符号；必须取自给定区间，且设；最后一定要写总结性语句. 1.根据定义证明函数在区间上单调递增. 【答案】见解析 【解析】证明：，，且，有. 由，，得，.所以，. 又由，得.于是，即. 所以，函数在区间上单调递增. 2.已知函数.判断在区间上的单调性，并用定义法证明. 【答案】单调递增，证明见解析 【解析】设，，且， 则 ， 由，，得，， 又由，得， 于是，即， 所以在区间上单调递增. 3. 已知函数(是常数)，且。 (1) 求的值； (2) 当时，判断的单调性并用定义证明。 【答案】(1)，；(2) 单调递增，证明见解析 【解析】(1) 因为， 。所以 (2) 由 (1) 知，在上单调递增， 证明如下： 设， 。 因为，所以，， 所以，所以， 即， 所以在上单调递增。 4.证明函数在R上是增函数. 【答案】证明见解析 【解析】任取R,且,则有 ∵R,且,∴ ∵ ∴,∴. ∴函数在R上是增函数. 5.讨论函数（）的单调性,并请作出当时函数的图象. 【答案】证明见解析，图像见解析. 【解析】由题意可知,函数的定义域为. 任取,且,则有 ∵,且,∴. 当时,,此时. ∴函数在上为减函数; 当时,,此时,. ∴函数在上为增函数. 同理可证:函数在为减函数,在上为增函数. 综上所述,函数在和上为减函数,在和上为增函数. 当时,,其图象如下图所示. 题型三：利用单调性求参数的取值范围 题型分析：中档高频考点，主要对象为二次函数、一次分式函数、绝对值函数。 ①区分两种说法：“在区间上单调递增”区间是单调区间的子集；“单调递增区间是某某”二者完全相等。 ②分式型（分离常数）：，分离常数之后，看反比例部分系数正负； ③绝对值函数，直接写出单调区间，利用子集关系列不等式。 1.若函数＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上单调递增，则符合的实数a的集合是________． 【答案】(－∞，－4] 【解析】＝－x2－2(a＋1)x＋3＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3.因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]，由f(x)在(－∞，3]上单调递增知3≤－a－1， 解得a≤－4，即实数的取值范围为(－∞，－4]． 2.若函数＝－x2－2(a＋1)x＋3的单调递增区间是(－∞，3]，则符合的实数a的集合为________． 【答案】 【解析】f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3.因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]，由题意得－a－1＝3，a＝－4. 3.函数在区间上具有单调性，则的取值范围为_______. 【答案】或 【解析】二次函数的对称轴为，因函数在区间上具有单调性，所以或. 4.如果函数在区间上是单调递增的，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】注意到参数在二次项系数，所以先考虑的情形 当时，，在R上单调递增，所以符合题意 当时，先求函数的对称轴 当时，函数开口向上，在单调递减，所以与已知矛盾. 当时，函数开口向下，若在上单调递增， 则有，即解得： 故选：B. 5.若与在区间上都是增函数，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对函数，若满足题意，只需对称轴即可 对函数，若满足题意，只需即可，综上所述：. 故选：A. 6.已知函数在上是单调函数，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】由题意可得函数在已知区间上只能单调递减，又的单调递减区间为，因为函数 在上是单调函数，所以， 所以，解得．所以a的取值范围是． 7.若在区间上是增函数，则的取值范围是_________ 【答案】 【解析】因为，又在区间上是增函数，所以只需，即. 8. 函数 ，则的单调减区间为 【答案】 【解析】 在上单调递减. 题型四：分段函数的单调性问题 题型分析：高频易错题，分段函数整体单调，要同时满足两个条件：①每一段自身满足单调性；②分段的分界点处，左边的最大值 ≤ 右边的最小值（递增）；左边最小值 ≥右边最大值（递减），很多同学会漏掉分界点的大小关系. 1.已知函数＝则的单调递减区间是________. 【答案】(－∞，1) 【解析】当x≥1时，是增函数，当x<1时，是减函数，所以的单调递减区间为(－∞，1). 2.若函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（       ） A．， B． C．， D． 【答案】D 【解析】根据题意，任意实数都有成立，所以函数是上的增函数，则分段函数的每一段单调递增且分界点处单调递增，所以，解得：，所以实数的取值范围是：,. 故选：D. 3.已知再函数中，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由对勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递减，在上单调递增，因为函数在上为增函数，所以函数在上为增函数，则，即，又因为函数在上为增函数，且函数在上为增函数，则有，因，则可得，解得，故实数的取值范围是，即的最小值为. 故选：C. 4.函数是上的单调递减函数，则实数的取值范围是 【答案】 【解析】因为函数是上的单调递减函数 所以满足 ，解不等式组可得 ，即 5.已知函数且在定义域上是单调函数，则实数t的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于函数在定义域上单调递增，所以函数在定义域上是单调递增函数． 当时，函数在定义域上不单调，不符合题意； 当时，函数图象的对称轴为， 当时，函数在区间上单调递减，不符合题意， 当时，函数在区间上单调递增， 要使函数在定义域上单调递增，则需，解得． 故实数t的取值范围为． 故选：A 6.已知函数，对于任意两个不相等的实数，都有不等式成立，则实数取值范围是________． 【答案】 【解析】因为对于任意两个不相等的实数，都有， 不妨设，则，故，即，所以在上为单调递增函数，当时，，所以的图像是由的图像，将轴下方的部分沿轴往上翻折，同时保留轴上方的部分而得，如图所示： 因为在上为单调递增函数，所以；当时，为增函数，所以； 且在处，，解得；综上，. 题型五：利用函数单调性比较大小 题型分析：①判断函数增减性；②把自变量化到同一个单调区间；③比较自变量大小，推出函数值大小。 1. 若在上是减函数，则与之间有 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】在上是减函数，对任意，，若，均有。 又。 故选：B. 2. 为上的减函数，，则 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 因为，所以与0的大小关系不定，无法比较与的大小，故 A 错；而与0的大小关系也不定，也无法比较与的大小，故 B 错；又因为，所以。又为上的减函数，故有，故 C 对；易知 D 错。 故选：C. 3.已知 对于任意都有，且在区间上是单调递增的，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于任意都有，，，∵在区间上是单调递增，，即 故选：D. 4. 已知定义在上的函数满足以下三个条件： ①对于任意的，都有； ②函数的图象关于直线对称； ③对于任意的，且。 则，，的大小顺序是 。（用 “” 连接） 【答案】 【解析】由①知，， 所以。 由③知， 所以函数上单调递减， 结合②知，函数上单调递增， 所以，即。 5.定义在上的函数满足对任意的（）恒有，若，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以，即， 因为定义在上的函数对任意的（）都满足， 所以在上单调递增，因为，，， 所以，即.故A，C，D错误. 故选：B. 题型六：利用函数单调性解不等式 题型分析：去掉符号,若增：；若减：。不能漏掉定义域,所有括号内部整体，必须满足函数本身定义域，联立不等式组求解。 1.已知函数的定义域为，且对任意两个不相等的实数都有，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】任意两个不相等的实数因为， 所以与异号，故是上的减函数， 原不等式等价于，解得， 故选：B. 2.若是定义在上的减函数，则不等式的解集是 【答案】 【解析】依题意，得不等式组解得 3.函数，若，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】由得，，∴．故答案为： 4.已知函数＝若，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞) 【答案】A 【解析】画出的图象(图略)可判断在上单调递增，故⇔4－a>a，解得a<2. 故选：A. 5.定义在上的函数满足：对、，且，都有成立，且，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】令，因为对，且，都有成立，不妨设，则，故，则，即， 所以在上单调递增，又因为，所以，故可化为， 所以由的单调性可得，即不等式的解集为. 题型七：利用函数单调性求最值 题型分析：闭区间上单调函数，最值一定出现在区间端点； ①增函数：区间左端点取最小，右端点取最大； ②减函数：区间左端点取最大，右端点取最小； 如果函数不单调，则需要结合图像，比较顶点、端点，选出最大、最小. 1.下列函数在[1,4]上最大值为3的是(　　) A．y＝＋2 B．y＝3x－2 C．y＝x2 D．y＝1－x 【答案】A 【解析】选项B，C在[1,4]上均单调递增，选项A，D在[1,4]上均单调递减，代入端点值，可知A正确． 故选：A. 2.已知函数＝求函数的最大值、最小值． 【答案】的最大值为2，最小值为－ 【解析】作出的图象如图． 由图象可知，当x＝2时，取最大值为2； 当x＝时，取最小值为－.所以的最大值为2，最小值为－. 3.已知函数＝(x>0)． (1)求证：在(0,1]上单调递增； (2)求函数的最大值和最小值． 【答案】(1)证明见解析；(2)f(x)max＝，无最小值 【解析】(1)设x1，x2是区间[0,1]上的任意两个实数，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝＝. 当0<x1<x2≤1时，x2－x1>0，x1x2－1<0， ∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)， ∴f(x)在(0,1]上单调递增． (2)　当1≤x1<x2时，x2－x1>0，x1x2－1>0， f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)， ∴f(x)在[1，＋∞)上单调递减． ∴结合(1)(2)可知，f(x)max＝f(1)＝，无最小值． 4.已知函数f(x)＝求函数f(x)的最大值和最小值. 【答案】的最大值为2，最小值为 【解析】（1）时，，时，，， （2）时，是减函数，无最大值和最小值，但由得． 综上的最大值为2，最小值为. 5.设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________． 【答案】0（答案不唯一）；1 【解析】若时，，∴； 若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求； 若时，当时，单调递减，， 当时， ∴或，解得，综上可得； 6.已知函数为一元二次函数，的图象过点，对称轴为，函数在上的最大值为． (1)求的解析式； (2)当，时，求函数的最大值（用含参数m的分段函数表示）． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由题意，设函数， 由对称轴为，函数在上的最大值为， 可得， 将点代入可得，解得 ， 故. 故函数的解析式为； （2）的对称轴为， 当时，在区间单调递增， 则； 当，即时， 在区间单调递增， 在区间单调递减，故； 当，即时，在区间单调递减， 故； 综上，的最大值. 7.已知函数 (1)判断并证明函数在上的单调性； (2)若，对任意，，都有成立，求的取值范围． 【答案】(1)见解析；(2) 【解析】（1）函数在区间上单调递减，证明如下 设 所以 因为，所以，且，所以，即， 所以函数在区间上单调递减． （2）由题意，只需，又由知，函数在上单调递减， 故，在上单调递增，故， 所以，解得， 所以的取值范围为 题型八：利用单调性研究分式函数的最值 题型分析：分式函数优先分离，转化反比例或对勾函数； 可以借助单调性求值域；也可以判别式法. 1.函数，的值域是（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】任取，且，则， 当，且时，，，所以，即， 当，且时，，，所以，即， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 因为，所以， 所以在上的值域为故选：A 2.求函数的值域. 【答案】. 【解析】由函数，可得其定义域为，又由，可得所以函数的值域为. 3.函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得， 当时，故，当且仅当时等号成立， 而恒成立，故，故的值域为 故选：C 4.函数y＝的值域是__________________． 【答案】　 【解析】法一：由y＝，得(y－3)x2＋(y－3)x－(y＋1)＝0， 当y＝3时，上式无解． 当y≠3时，要使方程有解，需满足Δ＝(y－3)2＋4(y－3)(y＋1)≥0. 即5y2－14y－3≥0，解得y≤－或y>3. ∴y＝的值域为 法二：， 该原函数的值域为. 5.已知函数，则的最小值（ ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【解析】，令，则， 由于在上递增，当时有最小值为， 所以的最小值为. 故选：A 6.函数的值域为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，， 令，则， 原函数化为， 该函数在上为减函数，在上为增函数， 又当时，，当时，，当时，. ∴函数的值域为， 则函数的值域为.故选：C. 题型九：抽象函数的单调性 题型分析：没有解析式，只有函数关系式（和型、积型）； 1. 证明单调性：严格使用定义法，利用给的关系式构造，判断正负； 2. 解抽象不等式：脱掉符号，必须带上定义域. 1.已知函数对任意x，y∈R，总有，且当x>0时，<0，f(1)＝－. (1)求证：是R上的减函数； (2)求在[－3,3]上的最小值． 【答案】(1)证明见解析；(2)-2 【解析】设x1，x2是任意的两个实数，且x1<x2，则x2－x1>0， 因为当x>0时，f(x)<0，所以f(x2－x1)<0， 又因为x2＝(x2－x1)＋x1， 所以f(x2)＝f((x2－x1)＋x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)， 所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)<0， 所以f(x2)<f(x1)．所以是上的减函数． (2)由(1)可知是上的减函数 所以在[－3,3]上单调递减， 所以在[－3,3]上的最小值为f(3)． 而f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝－2. 所以函数在[－3,3]上的最小值是－2 2.已知函数的定义域是，当时，，且. （1）求的值，并证明在定义域上是增函数； （2）若的值，解不等式. 【答案】（1），证明见解析；（2）. 【解析】（1）令，则，得， 任取，则，，所以， 故在上是增函数； （2）在中，令，，则， 即得， 再令，，则，即，得， ∵，∴， 由在上递增得且，得. 所以不等式的解集为. 3.（多选）已知函数的定义域为R，对任意，都有，当时，，且，则（   ） A．，都有 B．当时， C．是减函数 D．若，则不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】令，则，又，所以. 当时，，所以， 又， 所以，即.A错误，B正确. 设，则， 又，所以，所以， 又当时，，当时，，， 所以，即，所以在上单调递减.C正确. 因为，所以， 所以，即， 又在上单调递减，所以， 解得，所以不等式的解集为,D正确. 故选：BCD 4.已知函数是定义在上的增函数，对一切实数都有成立，且. （1）求的值； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）令，则，解得：； （2）定义域为，，解得：； ，， 可转化为：， 又在上为增函数，，解得：； 综上所述：的取值范围为. 5.已知定义在上的函数的单调递增函数，且对，都有，. （1）求的值； （2）若对，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；；（2）. 【解析】（1）令，则，所以； 令，则，所以； （2）由题意，不等式可转化为， 所以，因为函数单调递增，所以， 所以对恒成立，令，则， 所以当即时，取最小值，所以. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $