第三章 专题04 函数的单调性与最大（小）值专项训练（8大题型38题）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学·题型专项训练系列 专题04 函数的单调性与最大（小）值（8大题型38题）（解析版） 高一数学上学期 人教A版（2019） 题型归纳 · 内容导航 题型一　单调性的定义与单调区间（常考点） 题型二　分段函数的单调性求参数（重点） 题型三　已知单调性求参数（二次函数等）（常考点） 题型四　抽象函数的单调性与解不等式（难点） 题型五　函数的最大（小）值与值域（重点） 题型六　二次函数在区间上的最值（定轴动区间、动轴定区间）（难点） 题型七　恒成立与能成立问题（拔高） 题型八　与最值有关的新定义与综合问题（拔高） 题型通关 · 靶向提分 题型一　单调性的定义与单调区间（共5小题） 【知识积累】 定义：设函数 的定义域为 ，区间 。如果 ，当 时，都有 ，那么称 在区间 上单调递增；都有 ，那么称 在区间 上单调递减。 等价形式：（即 ）表示单调递增；小于 表示单调递减。 求单调区间：先求定义域；分段函数、含绝对值的函数先画图象；复合函数按“同增异减”判断。几个单调区间之间用“，”或“和”隔开，不能用“”连接。 【典例】 1．已知一次函数，且的值随值的增大而减小，则的取值范围为________．（26-27高一上·湖南株洲·开学考试） 【答案】 【分析】根据一次函数的性质，随的增大而减小时，一次项系数小于0，据此列出不等式求解即可. 【详解】一次函数，且的值随值的增大而减小， ， 解得：. 【变式训练】 2．已知函数，则“”是“函数在上单调递减”的（ ）（26-27高一上·北京·期中） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】分析充分性： 若，则函数， 由二次函数的性质可知，在上单调递减，充分性成立； 分析必要性： 为开口向下的二次函数， 对称轴为直线， 若函数在上单调递减， 则，因此必要性不成立. 综上，“”是“函数在上单调递减”的充分不必要条件. 3．已知，函数，（1）若，则的单调递增区间是______.（26-27高一上·北京·期中） （2）若对任意实数，方程有解，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】（1）分类讨论，结合一次函数、二次函数的图象即可写出的单调增区间； （2）根据题意可得的值域为，因为时，，故时，的最小值小于等于即可. 【详解】如图1所示，若，则 ， 当时，，开口向上，对称轴，在单调递增； 当时，无单调增区间； 综上所述，若，则的单调增区间为. （2）对任意实数，方程有解，的值域为， 时，在上单调递减， ，此时， 若的值域为，则时，的最小值小于等于. 开口向上，对称轴为，如图2所示， ①当时，在单调递减，， 此时只需，解得，结合得； ② 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，此时只需， 解得，结合得 综上所述：的取值范围为，即的取值范围为. 4．已知函数，则下列结论正确的是（    ）（25-26高一上·江西南昌·期中） A．若，则函数的递增区间为 B．若，则函数的值域为 C．若的值域为，则的取值范围为 D．若的定义域为，则的取值范围为 【答案】BC 【分析】对于A，利用复合函数单调性即可判断，对于B由即可判断，对于C令，则，根据的情况，分类讨论即可判断，对于D，由对恒成立，根据的情况，分类讨论即可判断. 【详解】对于A，若，，令， 由得或， 则函数的定义域为， 在单调递增，且在单调递增， 所以函数的递增区间为，故A错误； 对于B，由，所以， 所以函数的值域为，故B正确； 对于C，若的值域为，令，则， 当时，，解得，满足题意， 当时，，所以， 当时，不满足题意，所以，故C正确； 对于D，若的定义域为，则对恒成立， 当时，，不满足题意， 当时，，所以，故D错误. 5．求函数的单调区间．（2026高一上·全国·专题练习） 【答案】减区间是，，，，无增区间. 【分析】先确定定义域，再在定义域内的每一个区间上根据单调性的定义判断. 【详解】函数的定义域是， 在或或或上，函数，，都是减函数， 设，则，，， 所以，即， 所以函数在上是减函数，同理它在或或上都是减函数. 所以函数的减区间是，，，，无增区间. 题型二　分段函数的单调性求参数（共7小题） 【知识积累】 分段函数在 上单调递增，要同时满足：①每一段都单调递增；②在分界点处，左边一段的函数值不大于右边一段的函数值。单调递减的情形同理。 注意：只保证每一段单调还不够，分界点处的大小关系最容易漏掉；题目给出 对任意 成立，就是说 单调递减。 【典例】 6．若函数是增函数，则实数的取值范围是_________.（24-25高一下·山东·学业考试真题） 【答案】 【详解】因为函数是增函数， 所以函数在范围内是单调递增， 范围内也要保持单调递增，则， 还需要在处保持单增，即，可得， 所以的取值范围是. 【变式训练】 7．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是_________．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测） 【答案】 【详解】作出函数的图象，如图所示. 由图可知函数的单调递增区间为，， 因为函数在区间上单调递增， 所以或，解得或. 所以的取值范围为 . 8．已知函数，满足对任意的实数且，都有，则实数的取值范围为__________．（26-27高一上·湖北·期中） 【答案】 【分析】由题设可得在上为减函数，进而结合分段函数的单调性求解即可. 【详解】对任意的实数，都有， 则在上为减函数， 可得： ，解得， 则实数的取值范围为. 9．函数，若对于，都有成立，则实数a的取值范围是（    ）．（26-27高三上·天津河东·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设条件可以得到函数在上单调递减，再分别根据一次函数单调性、二次函数单调性、分段点处的函数值约束列不等式，求解得到的取值范围. 【详解】由，都有成立，得函数在上单调递减. 当时，为一次函数，则，解得； 当时，为开口向上的二次函数，对称轴为，则，解得. 由函数在上单调递减，得分段点处左段函数值不小于右段函数值， 即，解得. 综上所述，，则实数的取值范围为. 10．已知函数为增函数，则的最小值是______．（26-27高三上·广东·阶段检测） 【答案】 【分析】先确保两段函数在各自定义域内单调递增，再结合分段点处左段函数值不大于右段函数值列不等式求解的范围，即可得到的最小值. 【详解】一次函数的斜率为，在上恒为增函数； 对勾函数的单调递增区间为， 要使其在上单调递增，需满足 ①； 增函数要求分段点处左段函数的最大值不大于右段函数的最小值，即时满足： ， 由于，得，整理得， 因式分解为，解得或 ②； 取①②的交集得，因此的最小值为. 11．已知是函数在上单调递增的必要条件，则的最大值为_________．（25-26高一下·陕西汉中·开学考试） 【答案】 【分析】先根据二次函数单调性规律求出分段函数在上单调递增的参数的取值范围，再结合必要条件的集合包含关系求解的最大值. 【详解】因为当时，，单调递增区间为， 所以要使在上单调递增，需满足. 因为当时，，单调递增区间为， 所以要使在上单调递增，需满足. 同时需满足分段点处左段函数值不大于右段函数值，即， 整理得，对任意实数恒成立. 综上，函数在上单调递增的充要条件为. 因为是在上单调递增的必要条件，即单调递增可推出恒成立， 所以需小于等于的最小值，即，故的最大值为. 12．已知函数，若对于任意的、，且，都有成立，则实数的取值范围是______.（26-27高三上·甘肃平凉·阶段检测） 【答案】 【分析】由和、可以得到，构造函数，则有，可得在是单调递增函数，由的解析式求出的解析式，由单调性，列出关于的不等式组求解. 【详解】，， ，，， ，， ， 设，，，， ， 在上是单调递增函数， ， ， 在是单调递增函数， ，，， 的取值范围为. 题型三　已知单调性求参数（二次函数等）（共3小题） 【知识积累】 二次函数： 在 上单调递减，在 上单调递增。若 在区间 上单调，则对称轴 不在区间 内。 一般方法：含绝对值的函数先写成分段函数，再让所给区间是某个单调区间的子集，列出不等式求参数。 【典例】 13．已知二次函数. （26-27高一上·广西·期中） (1)当时，求不等式的解集； (2)若在区间上单调递增，求的最小值； (3)求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)2 (3)当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得正确答案． （2）根据单调性、对称轴列不等式，由此求得的范围，进而求得的最小值． （3）化简不等式，对进行分类讨论，由此求得不等式的解集． 【详解】（1）当时，不等式为，即，解得， 则不等式的解集为. （2）因为，所以开口向上，对称轴为， 因为在区间上单调递增， 所以，解得，所以的最小值为2． （3）由，则，即， 当，即时，解得或； 当，即时，解得； 当，即时，解得或. 综上所述， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 【变式训练】 14．在和上递增，则实数a的取值范围是______.（2026高三上·全国·专题练习） 【答案】 【分析】分类讨论去绝对值，函数分为两部分；在二次式两根外侧，是一次函数；在两根之间，是开口向上的二次函数，分析可得一次函数递增得，落在负根外侧，包含两根之间及正根外侧两部分区间，对称轴需满足以保证区间内函数递增，列式解答，即可得到答案. 【详解】令，原函数可改写为：， 当，即时，， 当，即时，， 二次函数的判别式，所以恒有两个零点， 设为，由韦达定理可得，说明两个零点一正一负：， 所以的解集为，的解集为； 当或时，是一次函数，在和上递增， 所以一次项系数必须满足； 当时，是开口向上的抛物线，对称轴，， 为保证函数在区间上单调递增，需二次函数对称轴，解得， 为保证函数在区间上单调递增，需， 当时，，满足， 综上可得， 故实数的取值范围是. 15．设函数，满足，且对任意实数x均有，当时，若是单调函数，则实数k的取值范围为________．（25-26高二下·天津红桥·期末） 【答案】或 【分析】先根据已知条件求出的值，然后根据二次函数的单调性求出结果. 【详解】因为，所以，即， 因为对任意实数x均有，所以，即. 解得. 所以函数的表达式为，所以. 设，要使得是上的单调函数，只要 或或或 解得或. 题型四　抽象函数的单调性与解不等式（共5小题） 【知识积累】 赋值法：对 、 等关系式，取 、、 等特殊值，求出 、 或 与 的关系。 判断单调性：设 ，把 写成 （或 ），再结合“当 时 ”这类条件比较 与 的大小。 解不等式：先把不等式化成 的形式，再用单调性去掉“”，同时要保证自变量在定义域内。 【典例】 16．已知函数是定义在上的增函数，且，，则不等式的解集是（    ）（26-27高一上·福建·期中） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据且可得，，则可化为，然后根据单调性求解. 【详解】根据可得，可转化为， 又， 所以，即， 因为是定义在上的增函数，所以只需满足 ，解得：， 所以不等式的解集为. 【变式训练】 17．已知函数的定义域为，且，则（　　）（26-27高一上·安徽·期中） A． B．函数在上单调递增 C． D． 【答案】AC 【分析】对于A，令，即可求出；对于B，采用举反例来进行判断；对于C，先证明，再令，得到，从而判断；对于D，采用赋值法，求出和，再结合进行比较. 【详解】对于选项A，令，则，故A正确； 对于选项B，因为，而，不符合单调递增的定义，故B错误； 对于选项C，令，则，则， ，则.又，则. 令，，则，故C正确； 对于选项D，由，则， 所以，， 又，则，即，故D错误. 18．定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（ ）（26-27高三上·黑龙江吉林·期中） A． B．当时， C． D．当时， 【答案】AD 【分析】根据赋值法、函数单调性的定义、累乘法对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于选项A，由，取，得，故A项正确； 对于选项B，任取，则，依题意，， 而，则，即， 即在上是增函数， 因为，所以，得当时，， 而，得当时，，故B项错误； 对于选项C，由，取，因为， 故，即，故C项错误； 对于选项D，由，取，可得， 整理得，，因为，所以且， 故，即， ，故D项正确. 19．已知函数的定义域为，值域为，对任意，，都有，且，则下列说法正确的是（     ）（25-26高二下·山东青岛·期末） A． B． C． D．是增函数 【答案】C 【分析】根据赋值法，结合已知条件判断AB；根据赋值法，结合基本不等式判断C；根据增函数的定义结合选项AB判断D. 【详解】对于A，令，则， 整理得，解得或. 令，则， 整理得，解得或. 因为，所以，，故A错误. 对于B，令，则， 整理得，解得或. 因为函数的值域为，所以，故B错误. 对于C，令 ，则， 整理得， 又，当且仅当时等号成立. 则，所以，当且仅当时等号成立，故C正确. 对于D，由选项AB中，，，， 因为，，所以不是增函数，故D错误. 20．已知函数的定义域为，且满足：，，；，，.则下列说法中一定正确的是（    ）（26-27高三上·江苏扬州·开学考试） A．在区间上有最小值 B．在区间上单调递增 C．在区间上有最小值 D．在区间上单调递增 【答案】C 【分析】由，，得，即，，再根据，，，求出的范围,再逐一验证即可. 【详解】因为，，得， 令， 则上式变为对所有非零实数成立， 说明是常数，设(为常数）， 因此得 , 原式时，可得，该式也满足，因此对全体实数成立. 因为，，， 故，整理得， 因为,故，故，所以. 即对称轴. 当时，单调递减，没有最小值，故A错误； 当时，单调递减，故B错误； 当时，因为对称轴，所以有最小值，故C正确； 当时，因为对称轴，当时在单调递减，在单调递增，故D错误. 题型五　函数的最大（小）值与值域（共5小题） 【知识积累】 最值的定义：若存在 ，使得 ，都有 ，则 是 的最大值；最小值同理。 单调性法：若 在 上单调递增，则最小值为 ，最大值为 ；先增后减时，最大值在转折点处取得。 对勾函数： 在 上单调递减，在 上单调递增， 时最小值为 。分式型函数可以分离常数或换元，化成对勾函数求最值。 【典例】 21．若函数在上的值域是，则实数的值为_________．（2027高三·全国·专题练习） 【答案】/ 【详解】因为函数在区间上是增函数，值域为， 则，即，解得． 【变式训练】 22．已知函数，（2026高一上·全国·专题练习） (1)求的值域． (2)，求的最小值． (3)，求的值域． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）函数在上单调递减，所以，即，所以值域为. （2）函数在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为. （3）函数在在上单调递增， 所以，即，所以值域为. 23．求的最大值（2026高一上·全国·专题练习） 【答案】 【分析】构造对偶式，设，根据求出的最大值. 【详解】设， 则，， ，当且仅当时等号成立， 所以. 24．已知，函数，若的定义域和值域的交集为空集，则实数的取值范围是_____．（26-27高一上·全国·期中） 【答案】 【分析】先求出时，的值域，缩小的取值范围；结合的对称轴及的定义域和值域的交集为空集对的取值分类讨论，再确定的取值范围即可． 【详解】， 因为，则，，所以， 要使的定义域和值域的交集为空集，则， 当时，，此时的定义域与值域的交集不是空集， 所以， 当时，在上单调递减，， 由的定义域和值域的交集为空集，可得，解得或， 所以， 综上，实数的取值范围是． 25．已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测） (1)若函数的值域为，求实数的值； (2)已知，，求函数的单调区间和值域； (3)对于（2）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2)单调减区间为，单调增区间为，值域为 (3) 【详解】（1）当时，函数在上为单调增函数，此时函数的值域不是，故不成立，则 由已知得在上是减函数，在上是增函数 ∴函数的值域为 ∵函数的值域为， ，即 （2） ∴令，，则， 由已知得当，即时，函数单调递减，则单调减区间为 当，即时，函数单调递增，则单调增区间为 ，，， 函数的值域为 （3）为减函数，， ∵对任意，总存在，使得成立， ∴函数的值域为函数值域的子集 ，解得，即的取值集合为 题型六　二次函数在区间上的最值（定轴动区间、动轴定区间）（共5小题） 【知识积累】 看对称轴与区间的位置：设 ，在区间 上： 时最小值为 ； 时最小值为 ； 时最小值为 。最大值在离对称轴较远的端点处取得。 分类讨论：定轴动区间、动轴定区间都按“对称轴在区间左侧、内部、右侧”分类，最后把结果写成分段函数。 【典例】 26．设，当时，对应值的集合为．（26-27高二·山东·学业考试模拟） (1)求的值． (2)若，求该函数的最值． 【答案】(1) (2)，． 【详解】（1）由题意知，即，则为其两根， 由根与系数的关系知：，得， ，得． （2）由（1）知：， 因为，所以当时，， 又因为， 所以当时，． 【变式训练】 27．若函数在区间上的最小值是，则实数的取值范围是______．（26-27高一上·北京·期中） 【答案】 【分析】由二次函数的图象的性质可得的取值范围． 【详解】因为函数开口向下，且对称轴， 由题意可知，即， ∴． 故答案为： 28．（1）已知二次函数的图象过点，，，求此二次函数的表达式．（26-27高一上·辽宁沈阳·开学考试） （2）当时，求函数的最小值（其中为常数）． 【答案】 （1）；（2）当时，最小值为；当时，最小值为；当时，最小值为. 【分析】（1）设出二次函数表达式，利用待定系数法求解. （2）根据给定条件，利用二次函数性质分段求出最小值. 【详解】（1）设二次函数的表达式为， 则，解得， 所以所求二次函数的表达式为. （2）函数， 当，即时，，取得最小值； 当时，，取得最小值； 当时，，取得最小值， 所以当时，最小值为；当时，最小值为；当时，最小值为. 29．已知二次函数满足，且图象经过点.（26-27高一上·全国·期中） (1)求的解析式； (2)若函数在上最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）用待定系数法，设，由过得，再展开，与比较系数，得方程组，解出、的值，即可得出函数的解析式； （2）由，开口向上，对称轴，按对称轴在区间左侧、内部、右侧分类，分别求最小值并列方程，得的取值. 【详解】（1）设 因为的图象过点，所以，故， ， 又， 由得， 消去，整理得， 该式对任意成立，所以，解得，故 （2）已知， 这是开口向上的二次函数，对称轴为直线， 分以下三种情况讨论： ①当时，即当时， 此时在上单调递增，则，解得，符合题意； ②当时，即当时，则， 解得或，均不符合题意，舍去； ③当时，即当时， 此时在上单调递减，则，解得，符合题意. 综上，或. 30．已知函数.（26-27高二上·云南昭通·阶段检测） (1)求函数的最小值的表达式； (2)若函数在区间上的最大值为10，求实数的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据题意，利用二次函数的图象与性质，分，和，三种情况分类讨论，即可求解； （2）根据题意，利用二次函数的对称性，分和，两种情况分类讨论，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，可得抛物线的开口向上，且对称轴为， ①当时，函数在区间上单调递增，此时； ②当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 此时； ③ 当时，函数在区间上单调递减，此时， 综上可得，函数的最小值. （2）解：由函数，可得其图象开口向上，且对称轴为， 当时，根据抛物线的对称性，可得，解得； 当时，根据抛物线的对称性，可得， 解得，前后矛盾，舍去， 综上可得，实数的值为. 题型七　恒成立与能成立问题（共5小题） 【知识积累】 恒成立： 对 恒成立 ； 对 恒成立 。 能成立：存在 ，使 成立 。 双变量：，，使 。常用方法是分离参数后求最值，或直接讨论含参函数的最值。 【典例】 31．设函数，若对于，恒成立，求实数的取值范围.（26-27高一上·全国·课堂例题） 【答案】 【分析】整理可得在上恒成立，根据x的范围，可求得的范围，分析即可得答案. 【详解】由题意，可得，即， 当时，，所以在上恒成立， 只需， 当时有最小值为1，则有最大值为3， 则，实数的取值范围是. 【变式训练】 32．已知函数，，若对任意，存在，使得，则实数的取值范围__________（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） 【答案】 【分析】将题设的全称量词与存在量词条件转化为在上的最小值大于等于在上的最小值，分别求解两函数对应区间的最值后列不等式，即可得到的取值范围． 【详解】易知函数是上的单调递减函数， 当时，，所以． ， 令，由得， 则化为 由对勾函数单调性可知，在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得最小值， 即，且该最小值在处可取到． 因为对任意，存在，使得， 所以，即，解得， 则实数的取值范围为． 33．已知函数.（26-27高三上·湖北荆州·开学考试） (1)求函数的解析式； (2)对任意的实数x，都有恒成立，求实数m的取值范围； (3)对任意的实数，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，求出，代入，即可求出函数的解析式； （2）由题意可得恒成立，分和两种情况讨论，求得答案. （3）先化简不等式，再参变分离，根据双勾函数的单调性求出最值，可得实数的取值范围． 【详解】（1）令，则， ∴ ， 即. （2）由题意可得：恒成立， 当 时， ，满足题意.   当 时，若 恒成立，则 解得. 所以实数 的取值范围为. （3）由题意得恒成立， 即恒成立， 又因为，∴恒成立， 令，， 又在为减函数，在为增函数. ∴，∴， 即实数的取值范围为. 34．已知对任意的，，不等式恒成立，则实数的最小值是_______.（26-27高一上·江苏南京·阶段检测） 【答案】 【分析】先求解的取值范围，对目标不等式做变形，转化为单变量函数问题，最后根据二次函数的性质求出结果即可. 【详解】因为对任意的，， 所以解得. 由于，所以将不等式两边同时除以得. 令，不等式可整理为，即. 要使原不等式对所有符合条件的恒成立， 等价于大于等于函数在的取值范围内的最大值. 因为，，所以，由不等式的基本性质可得，因此. 将二次函数整理为顶点式：，当时，取得最大值为. 所以要使得不等式恒成立，则，所以的最小值为. 35．设函数，若，，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____.（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测） 【答案】或或 【分析】由恒成立求出，只需成立，记，，看成关于的函数，最后转化为，得到关于的不等式组，解不等式组即可. 【详解】因为，所以，所以，当时，，所以， ，，不等式恒成立，等价于时，，对恒成立， 即在上恒成立， 记， 所以只需，即，解得或或． 题型八　与最值有关的新定义与综合问题（共3小题） 【知识积累】 解题思路：读懂新定义（如“偏差”“”），把它转化为求某个函数在区间上的最大（小）值。 型函数：先画出两个函数的图象，取位于上方的部分，写成分段函数后再研究单调性和最值。 【典例】 36．若定义在非空集合上的函数，以及函数，且函数，的最大值称为，的“偏差”．（24-25高一下·湖南益阳·期末） (1)函数，，，求，的“偏差”： (2)函数，，，若，的“偏差”为3，求的值； (3)函数，，，当，的“偏差”取最小值时，求的值，并求出“偏差”的最小值． 【答案】(1) (2) (3)，最小值为 【分析】（1）写出的解析式，结合，求出值域，可得偏差为； （2），利用和的函数性质，通过分类讨论，由“偏差”值得到的值； （3）结合所给条件，可得函数与的“偏差”为，结合绝对值不等式，求出即可得. 【详解】（1）， 因为，所以， 则， 所以函数与的“偏差”为. （2）令， ∵，∴是单调减函数，∴ 由题意，，，且. 当，即时，，解得或，不符合； 当，即时，，或， 解得或（舍） 所以 （3）， 因为，所以， 由，则， 令，即，解得， 故当且仅当时，有. 故当的值为时，函数与的“偏差”取最小值. 【变式训练】 37．已知函数 在区间上有零点，则的最大值是______.（2026高三上·全国·专题练习） 【答案】/0.25 【分析】根据零点的定义，结合函数的单调性及最值求解即可. 【详解】设函数在区间上的零点为，则，，. 所以， 可看作为关于的二次函数，开口向下，对称轴为. 所以. 又函数在区间上单调递增，所以当时取得最大值. 故的最大值为. 38．定义若函数，则下列结论正确的是（    ）（25-26高二下·河南·期末） A． B． C．若直线与的图象有3个交点，则 D．在区间上的值域为，则的最大值为 【答案】ABD 【分析】通过分段定义明确的解析式，验证选项A的函数值；求选项B的函数解析式；结合函数图象判断C、D的正误. 【详解】，其中， ， 当 时，，若，由 ， 解得 ，与的交点坐标为 . 其中时，时， 当 时，，若，由 , 解得，与的交点坐标为 . 其中时，时， 所以，函数图象如图所示， 选项A： ，A选项正确； 选项B： 由， 则， 选项B正确. 选项C：结合函数图象可知，直线与图象有3个交点， 则或，因此C错误. 选项D：要让在上的值域为，需要覆盖到函数值和，同时不能出现大于0的部分， 函数值为的唯一位置是； 由，函数值为的最左点是，最右点是， 要使值域为，区间需包含最小值点，最大区间为， 长度为，因此D正确. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·题型专项训练系列 专题04 函数的单调性与最大（小）值（8大题型38题）（原卷版） 高一数学上学期 人教A版（2019） 题型归纳 · 内容导航 题型一　单调性的定义与单调区间（常考点） 题型二　分段函数的单调性求参数（重点） 题型三　已知单调性求参数（二次函数等）（常考点） 题型四　抽象函数的单调性与解不等式（难点） 题型五　函数的最大（小）值与值域（重点） 题型六　二次函数在区间上的最值（定轴动区间、动轴定区间）（难点） 题型七　恒成立与能成立问题（拔高） 题型八　与最值有关的新定义与综合问题（拔高） 题型通关 · 靶向提分 题型一　单调性的定义与单调区间（共5小题） 【知识积累】 定义：设函数 的定义域为 ，区间 。如果 ，当 时，都有 ，那么称 在区间 上单调递增；都有 ，那么称 在区间 上单调递减。 等价形式：（即 ）表示单调递增；小于 表示单调递减。 求单调区间：先求定义域；分段函数、含绝对值的函数先画图象；复合函数按“同增异减”判断。几个单调区间之间用“，”或“和”隔开，不能用“”连接。 【典例】 1．已知一次函数，且的值随值的增大而减小，则的取值范围为________．（26-27高一上·湖南株洲·开学考试） 【变式训练】 2．已知函数，则“”是“函数在上单调递减”的（ ）（26-27高一上·北京·期中） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，函数，（1）若，则的单调递增区间是______.（26-27高一上·北京·期中） （2）若对任意实数，方程有解，则实数的取值范围是______. 4．已知函数，则下列结论正确的是（    ）（25-26高一上·江西南昌·期中） A．若，则函数的递增区间为 B．若，则函数的值域为 C．若的值域为，则的取值范围为 D．若的定义域为，则的取值范围为 5．求函数的单调区间．（2026高一上·全国·专题练习） 题型二　分段函数的单调性求参数（共7小题） 【知识积累】 分段函数在 上单调递增，要同时满足：①每一段都单调递增；②在分界点处，左边一段的函数值不大于右边一段的函数值。单调递减的情形同理。 注意：只保证每一段单调还不够，分界点处的大小关系最容易漏掉；题目给出 对任意 成立，就是说 单调递减。 【典例】 6．若函数是增函数，则实数的取值范围是_________.（24-25高一下·山东·学业考试真题） 【变式训练】 7．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是_________．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测） 8．已知函数，满足对任意的实数且，都有，则实数的取值范围为__________．（26-27高一上·湖北·期中） 9．函数，若对于，都有成立，则实数a的取值范围是（    ）．（26-27高三上·天津河东·阶段检测） A． B． C． D． 10．已知函数为增函数，则的最小值是______．（26-27高三上·广东·阶段检测） 11．已知是函数在上单调递增的必要条件，则的最大值为_________．（25-26高一下·陕西汉中·开学考试） 12．已知函数，若对于任意的、，且，都有成立，则实数的取值范围是______.（26-27高三上·甘肃平凉·阶段检测） 题型三　已知单调性求参数（二次函数等）（共3小题） 【知识积累】 二次函数： 在 上单调递减，在 上单调递增。若 在区间 上单调，则对称轴 不在区间 内。 一般方法：含绝对值的函数先写成分段函数，再让所给区间是某个单调区间的子集，列出不等式求参数。 【典例】 13．已知二次函数. （26-27高一上·广西·期中） (1)当时，求不等式的解集； (2)若在区间上单调递增，求的最小值； (3)求关于的不等式的解集． 【变式训练】 14．在和上递增，则实数a的取值范围是______.（2026高三上·全国·专题练习） 15．设函数，满足，且对任意实数x均有，当时，若是单调函数，则实数k的取值范围为________．（25-26高二下·天津红桥·期末） 题型四　抽象函数的单调性与解不等式（共5小题） 【知识积累】 赋值法：对 、 等关系式，取 、、 等特殊值，求出 、 或 与 的关系。 判断单调性：设 ，把 写成 （或 ），再结合“当 时 ”这类条件比较 与 的大小。 解不等式：先把不等式化成 的形式，再用单调性去掉“”，同时要保证自变量在定义域内。 【典例】 16．已知函数是定义在上的增函数，且，，则不等式的解集是（    ）（26-27高一上·福建·期中） A． B． C． D． 【变式训练】 17．已知函数的定义域为，且，则（　　）（26-27高一上·安徽·期中） A． B．函数在上单调递增 C． D． 18．定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（ ）（26-27高三上·黑龙江吉林·期中） A． B．当时， C． D．当时， 19．已知函数的定义域为，值域为，对任意，，都有，且，则下列说法正确的是（     ）（25-26高二下·山东青岛·期末） A． B． C． D．是增函数 20．已知函数的定义域为，且满足：，，；，，.则下列说法中一定正确的是（    ）（26-27高三上·江苏扬州·开学考试） A．在区间上有最小值 B．在区间上单调递增 C．在区间上有最小值 D．在区间上单调递增 题型五　函数的最大（小）值与值域（共5小题） 【知识积累】 最值的定义：若存在 ，使得 ，都有 ，则 是 的最大值；最小值同理。 单调性法：若 在 上单调递增，则最小值为 ，最大值为 ；先增后减时，最大值在转折点处取得。 对勾函数： 在 上单调递减，在 上单调递增， 时最小值为 。分式型函数可以分离常数或换元，化成对勾函数求最值。 【典例】 21．若函数在上的值域是，则实数的值为_________．（2027高三·全国·专题练习） 【变式训练】 22．已知函数，（2026高一上·全国·专题练习） (1)求的值域． (2)，求的最小值． (3)，求的值域． 23．求的最大值（2026高一上·全国·专题练习） 24．已知，函数，若的定义域和值域的交集为空集，则实数的取值范围是_____．（26-27高一上·全国·期中） 25．已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测） (1)若函数的值域为，求实数的值； (2)已知，，求函数的单调区间和值域； (3)对于（2）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值集合． 题型六　二次函数在区间上的最值（定轴动区间、动轴定区间）（共5小题） 【知识积累】 看对称轴与区间的位置：设 ，在区间 上： 时最小值为 ； 时最小值为 ； 时最小值为 。最大值在离对称轴较远的端点处取得。 分类讨论：定轴动区间、动轴定区间都按“对称轴在区间左侧、内部、右侧”分类，最后把结果写成分段函数。 【典例】 26．设，当时，对应值的集合为．（26-27高二·山东·学业考试模拟） (1)求的值． (2)若，求该函数的最值． 【变式训练】 27．若函数在区间上的最小值是，则实数的取值范围是______．（26-27高一上·北京·期中） 28．（1）已知二次函数的图象过点，，，求此二次函数的表达式．（26-27高一上·辽宁沈阳·开学考试） （2）当时，求函数的最小值（其中为常数）． 29．已知二次函数满足，且图象经过点.（26-27高一上·全国·期中） (1)求的解析式； (2)若函数在上最小值为，求实数的值. 30．已知函数.（26-27高二上·云南昭通·阶段检测） (1)求函数的最小值的表达式； (2)若函数在区间上的最大值为10，求实数的值. 题型七　恒成立与能成立问题（共5小题） 【知识积累】 恒成立： 对 恒成立 ； 对 恒成立 。 能成立：存在 ，使 成立 。 双变量：，，使 。常用方法是分离参数后求最值，或直接讨论含参函数的最值。 【典例】 31．设函数，若对于，恒成立，求实数的取值范围.（26-27高一上·全国·课堂例题） 【变式训练】 32．已知函数，，若对任意，存在，使得，则实数的取值范围__________（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） 33．已知函数.（26-27高三上·湖北荆州·开学考试） (1)求函数的解析式； (2)对任意的实数x，都有恒成立，求实数m的取值范围； (3)对任意的实数，都有恒成立，求实数的取值范围. 34．已知对任意的，，不等式恒成立，则实数的最小值是_______.（26-27高一上·江苏南京·阶段检测） 35．设函数，若，，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____.（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测） 题型八　与最值有关的新定义与综合问题（共3小题） 【知识积累】 解题思路：读懂新定义（如“偏差”“”），把它转化为求某个函数在区间上的最大（小）值。 型函数：先画出两个函数的图象，取位于上方的部分，写成分段函数后再研究单调性和最值。 【典例】 36．若定义在非空集合上的函数，以及函数，且函数，的最大值称为，的“偏差”．（24-25高一下·湖南益阳·期末） (1)函数，，，求，的“偏差”： (2)函数，，，若，的“偏差”为3，求的值； (3)函数，，，当，的“偏差”取最小值时，求的值，并求出“偏差”的最小值． 【变式训练】 37．已知函数 在区间上有零点，则的最大值是______.（2026高三上·全国·专题练习） 38．定义若函数，则下列结论正确的是（    ）（25-26高二下·河南·期末） A． B． C．若直线与的图象有3个交点，则 D．在区间上的值域为，则的最大值为 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $