专题02：一元二次方程根与系数的关系及解决问题 -2026-2027学年苏科版数学九年级上册

专题02：一元二次方程根与系数的关系及解决问题

一、单选题

1．若是一元二次方程的两个根，以下方程满足的是（     ）

A． B．

C． D．

2．已知m、n为一元二次方程的两个根，则的值为（     ）

A．-7 B．0 C．7 D．-11

3．若、是方程的两个实数根，则的值是（     ）

A． B． C． D．

4．小唯与小夏在解方程时，小唯写错了常数项，得到方程的两个根是2和，小夏写错了一次项系数，得到方程的两个根是和3，则b与c的值分别是（    ）

A．2， B．2， C．，8 D．2，3

5．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了36条航线，则这个航空公司共有飞机场（     ）个．

A．6 B．8 C．9 D．10

6．已知实数满足，则的值为（   ）

A．5 B． C． D．

7．山西部分煤矿装备企业针对矿山井下巡检、危险作业场景，开发防爆型人形机器人原型，面向能源行业特种作业场景．某装备制造车间7月份防爆机器人产能为500台，9月份产能提升至720台．设从7月份到9月份，该车间防爆机器人产能的平均月增长率为x，根据题意可得方程（     ）

A． B．

C． D．

8．随着人工智能技术的飞速发展，某科技公司投入研发资金进行人工智能项目开发．已知该公司在2023年投入研发资金为300万元，2025年投入研发资金363万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，求该公司投入研发资金的年平均增长率是多少？设年平均增长率为，则下列方程正确的是（     ）

A． B．

C． D．

9．某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中两边各开有一扇宽的门（不包括篱笆）．设试验田垂直于墙的一边的长为，则下列所列方程正确的是（   ）．

A． B．

C． D．

10．对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为169，则方程的正数解是（     ）

A．3 B．4 C．5 D．6

二、填空题

11．已知是方程的两个实数根，则代数式的值是______．

12．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，且，则m的值为________．

13．若，是方程的两根，则代数式________

14．毕业晚会上同学们互相送照片，每人给其他同学送一张照片，一共送出张照片，设晚会上有人，根据题意，可列方程为__________．

15．某文创店销售晋侯鸟尊文创盲盒，每个的成本为元．当售价定为元时，每月可售出件．经市场调研发现，售价每提高2元，月销量就会减少件．若该文创店希望每月通过销售该盲盒获得元的利润，设此时的售价为x元，则可列方程：________．

16．如图，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别是，．若点从点出发，沿做匀速运动，秒可到达点，同时点从点出发，沿做匀速运动，秒可到达点，若线段的长度为，则经过的时间为________秒．

三、解答题

17．已知关于的一元二次方程．

(1)求证：对于任意实数，方程都有实数根．

(2)当为何值时，方程的两个根互为相反数？

 

 

 

 

 

 

 

 

18．关于x的一元二次方程有两个实根．

(1)若方程有两个根，，满足，求的值；

(2)若方程有一个根不小于2，求的取值范围．

 

 

 

 

 

 

 

 

19．骑车出行须戴头盔．某头盔经销商统计了某品牌头盔月份到月份的销量，该品牌头盔月份销售个，月份销售个，且从月份到月份销售量的月增长率相同．

(1)求销售量的月增长率；

(2)若进价为每个元，当售价为每个元时，月销售量为个，售价每上涨元，月销售量将减少个，为使月销售利润达到元，且尽可能让顾客得到实惠，则每个头盔的实际售价应定为多少元？

 

 

 

 

 

 

 

 

20．【实际背景】

为保障石家庄地铁的安全运营，技术团队在平直轨道上对一列新型地铁列车进行紧急制动测试．列车从A点开始刹车，做匀减速直线运动直到停止．测试系统记录了列车刹车后的瞬时速度随时间变化的数据，如表所示：

刹车时间	0	1	2	3	4
瞬时速度	20	18	16	14	12

【问题解决】

(1)请根据表格中的数据，求出列车刹车后的瞬时速度关于刹车时间的一次函数表达式，并写出自变量的取值范围．

(2)求刹车开始后6秒时列车的速度．

【拓展提升】

在匀减速运动中，列车滑行的距离可以通过以下公式计算：

列车滑行距离列车平均速度时间，

其中，平均速度（初始速度秒时的瞬时速度）

(3)若前方轨道上距离A点36米处有一个信号灯，请问列车刹车后经过多少秒会到达该位置？

(4)若前方轨道上距离A点110米处有障碍物，请问按照当前的制动性能，列车是否会撞上障碍物？请说明理由．

 

 

 

21．阅读与理解

类比探究高次方程根与系数的关系 【知识回顾】 我们学习一元二次方程时，既可以用求根公式求解，也可以借助因式分解研究方程的根． 【方法导引】 对于一元二次方程，若它的两个实数根为，，由因式分解可得： 将右侧展开： 对比左右两边多项式对应项的系数，就得到一元二次方程根与系数的关系： ， 【类比迁移】 类比上面的思路，我们可以研究一元三次方程．若一元三次方程有三个实数根，，，则多项式可以因式分解为： 类比一元二次方程的方法导引，把右边展开整理，对比左右两边多项式对应项的系数， ……

任务：

(1)已知一元三次方程的三个根是1，2，3，请直接填空________，________，________．

(2)补全【类比迁移】中的推导过程，得到一元三次方程根与系数的关系．