1.3 一元二次方程的根与系数的关系 题型专练 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

苏科版（2024）九年级上册 1.3 一元二次方程的根与系数的关系 题型专练

【题型1】求两根和与积

【典例】下列一元二次方程两实数根的和为-5的是（　　）

A．x2+3x-5=0

B．x2-5x+5=0

C．x2+5x+4=0

D．x2-7x+6=0

【举一反三1】设a、b是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）

A．-3

B．5

C．3

D．

【举一反三2】对于一元二次方程，给出下列说法：

①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；

②若是方程的一个根，则一定有成立；

③若是一元二次方程的根，则；

④存在实数，使得.

其中正确的是（ ）

A．只有①③

B．只有①②

C．只有①③④

D．①②③④

【举一反三3】已知一元二次方程3x2+7x-9=0的两根分别为x1，x2，则x1x2=__________．

【举一反三4】已知实数a，b满足a2－a－6=0，b2－b－6=0(a≠b)，则a＋b=__________.

【举一反三5】求下列方程的两个根的和与积．

(1) x2-5x-10=0；

(2) 2x2+7x+1=0；

(3) 3x2-1=2x+5；

(4) x（x-1）=3x+7．

【举一反三6】如图，动直线：交抛物线于、两点在的左边，交轴于点，为轴正半轴上一点，且

（1）直接写出、两点的坐标

（2）如图，连、，当时，求的值；如图，过作轴的平行线交直线于，试探求的周长的最小值．

【题型2】根据两个根的关系式，求代数式或系数的值

【典例】关于的方程的两个根互为相反数，则值是( )

A．

B．

C．

D．

【举一反三1】已知一元二次方程x2-2x-4=0的两根为x1，x2，下列式子正确的是（　　）

A．x1•x2=4

B．x1+x2=-2

C． +＝12

D． +＝−2

【举一反三2】若α，β是方程x2+2x-2026=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为__________．

【举一反三3】设m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2025=0的两个实数根，则m2＋3m＋n=__________.

【举一反三4】已知关于x的方程x2－x＋a=0有两个实数根2，b.求a，b的值.

【举一反三5】已知关于x的方程（4﹣k）（8﹣k）x2﹣（80﹣12k）x+32＝0的解都是整数，求整数k的值．

【题型3】根据根与系数的关系求方程的系数或根

【典例】设，是一元二次方程的两个根，则（ ）

A．

B．

C．

D．

【举一反三1】已知一元二次方程的两根是x1＝－1，x2＝2，则这个方程可以是

A．x2＋x－2＝0

B．x2－x－2＝0

C．x2＋3x＋2＝0

D．x2－3x＋2＝0

【举一反三2】已知关于的一元二次方程的一个根是，则该方程的另一个

根为__________  .

【举一反三3】已知方程x2＋mx－3=0的一个根是1，则它的另一个根是__________.

【举一反三4】若关于x的一元二次方程x2﹣mx+2＝0有一个根是x＝2，求m的值及方程的另一个根．

【举一反三5】已知关于x的一元二次方程x2+x+m2﹣2m﹣3＝0有一个实数根为﹣1，求m的值及方程的另一个实数根．

【题型4】根的判别式与根与系数关系的综合

【典例】已知关于x的一元二次方程x2-2kx+k2+k=0的两个实数根分别为x1、x2，且+=4，则k的值是（　　）

A．-1或-2

B．-1或2

C．2

D．-1

【举一反三1】已知x1，x2是一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－1＝0的两个不相等的实数根，且＋x1x2－6＝0，则m的值是

A．－

B．－2

C．

D．－2或

【举一反三2】若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为__________ ．

【举一反三3】已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．

(1) 求证：无论m为何实数，方程总有两个实数根；

(2) 若该方程的两个实数根为a和b，且满足a2+b2＝1，求此时实数m的取值．

【举一反三4】关于x的方程(k－1)x2＋2kx＋2=0.

(1) 求证：无论k为何值，方程总有实数根；

(2) 设x1，x2是方程(k－1)x2＋2kx＋2=0的两个根，记S=＋x1＋x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由.

【题型5】根与系数关系与新定义型、规律型问题

【典例】定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“大爱于心”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a-b+c=0，那么我们称这个方程为“致真于行”方程，如果一个一元二次方程既是“大爱于心”方程又是“致真于行”方程，则下