专题02 反比例函数的图形与性质及解决问题《典例全解·题型通关》（十六大题型48道题）2026-2027学年九年级上册数学苏科版

**基本信息** 本专项以48道题系统覆盖反比例函数16个核心知识点，构建从概念到性质、从单一到综合、从理论到应用的递进训练体系，培养几何直观与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念与图象|6道|判断/画图象、由图象求解析式|从定义出发，结合几何直观建立形与数的联系| |性质应用|9道|对称性求坐标、象限与参数范围、增减性判断|以k值为核心，推导图象分布与增减性的内在逻辑| |面积与综合|15道|k与图形面积互求、一次函数综合判断与交点|融合数形结合，构建代数计算与几何面积的转化路径| |实际应用|18道|实际问题建模、函数综合应用|从生活情境抽象模型，培养应用意识与推理能力|

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题02 反比例函数的图形与性质及解决问题 （十六大题型48道题） 目录 知识点一判断（画）反比例函数图象 2 知识点二已知反比例函数的图象，判断其解析式 3 知识点三由反比例函数图象的对称性求点的坐标 5 知识点四已知双曲线分布的象限，求参数范围 8 知识点五判断反比例函数的增减性 9 知识点六判断反比例函数图象所在象限 12 知识点七已知反比例函数的增减性求参数 14 知识点八比较反比例函数值或自变量的大小 15 知识点九已知比例系数求特殊图形的面积 17 知识点十求反比例函数解析式 21 知识点十一根据图形面积求比例系数（解析式） 22 知识点十二根据图形面积求比例系数（解析式） 25 知识点十三一次函数与反比例函数图象综合判断 29 知识点十四一次函数与反比例函数的交点问题 31 知识点十五实际问题与反比例函数 34 知识点十六一次函数与反比例函数的实际应用 36 知识点一判断（画）反比例函数图象 1．某公司计划新建一个容积一定的长方体污水处理池，池的底面积与深度之间的函数表达式为．这个函数的图象大致是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的函数识别，根据方体污水处理池的容积等于底面积乘深度，且容积一定，故，，即可作答． 【解答】解：由题意可知： ， ∴中，当的值一定时，是h的反比例函数， ∴函数的图象：当时是“双曲线”在第一象限的分支． 故选：C． 2．如图，反比例函数的图象经过点，当时，y的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，利用数形结合是解答此题的关键． 根据图象得出结论． 【解答】解：由图可知，当时，． 故答案为：． 3．（1）解方程：； （2）已知反比例函数（为常数，），若点在这个函数图象上，试判断点是否也在这个函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1），； （2）不在．理由如下： 把点代入得， 解得， 反比例函数的解析式为． 当时，， 点不在这个函数的图象上． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，求反比例函数解析式，求反比例函数值，熟知反比例函数图象上的点的坐标一定满足其解析式是解题的关键． （1）利用因式分解法即可求解； （2）利用待定系数法求得，可知反比例函数的解析式为，当时，，即可判断不在这个函数的图象上． 【解答】解：（1）移项，得， 因式分解，得， 解得，． （2）略 知识点二已知反比例函数的图象，判断其解析式 4．反比例函数（，）的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则的值可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图形得出，根据的取值判断即可． 【解答】解：由题图可知，当时，，即， 当时，， 即， ． 选项中只有4在此范围内， ∴的值可能为4． 5．如图，点P在反比例函数的图像上，过点P作轴，垂足为H，连接，如果的面积为3，那么这个反比例函数的表达式为_____________． 【答案】 【分析】根据反比例函数系数的几何意义，可知的面积等于，结合图像所在象限确定的符号，即可求出函数表达式． 【解答】解：设点的坐标为， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∵轴，垂足为， ∴，， 在中，， 解得， 由图像可知，反比例函数图像位于第一、三象限， ∴， ∴， 故这个反比例函数的表达式为． 6．在平面直角坐标系中,点,,分别位于三个不同象限,若反比例函数的图像经过其中两点,求反比例函数的表达式和的值． 【答案】, 【分析】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式．根据已知条件得到在第一象限,可知点一定在第二象限,因点为第四象限点坐标,又因反比例函数经过其中两点,于是得到反比例函数解析式和的值． 【解答】解:∵点,分别在第一、四象限,点不可能在第三象限, ∴点在第二象限,且反比例函数的图像经过,两点, ∴设反比例函数的表达式为, 把代入中: 即,, ∴反比例函数的表达式为, ∴把代入中, 即, ∴． 知识点三由反比例函数图象的对称性求点的坐标 7．如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数图像的对称性求解即可． 【解答】解：∵过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，， ∴A，B两点关于原点对称， ∵点A的坐标是， 点B的坐标为． 8．将向右平移两个单位，向下平移个单位，与有两个交点，分别为，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的平移，反比例函数图象的性质，由平移可得平移后所得函数解析式为，进而反比例函数的图象关于点中心对 称，恒过点，可得点，关于中心对称，即得，得到，即可得，再代入代数式计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【解答】解：∵将向右平移两个单位，向下平移个单位， ∴平移后所得函数解析式为， ∵反比例函数的图象关于点中心对称，恒过点， ∴点，关于中心对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点． （1）求点A的坐标和反比例函数的表达式． （2）若点在该反比例函数的图象上，且它到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，数形结合思想的巧妙运用是解题的关键． （1）先求出点A的坐标，再将点A坐标代入反比例函数解析式即可解决问题． （2）求出点B的坐标，利用数形结合的思想即可解决问题． 【解答】（1）将点代入得，， 解得， ∴点A的坐标为． 将A点坐标代入得，， 解得， ∴反比例函数的解析式为． （2）如图， ∵正比例函数图象和反比例函数图象都关于坐标原点成中心对称， ∴点B的坐标为． ∵，，且点P到y轴距离小于2， ∴点P在直线的上方或在的下方， 故n的取值范围是或． 知识点四已知双曲线分布的象限，求参数范围 10．已知关于的函数的图象位于第二、四象限，则反比例函数的图象位于（     ） A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【答案】B 【分析】根据反比例函数的性质，先由已知反比例函数的象限位置得到k的取值范围，再判断所求反比例函数比例系数的正负，即可确定其图象所在象限． 【解答】解：∵函数的图象位于第二､四象限， ∴， 解得， ∴， 根据反比例函数性质，当比例系数大于0时，反比例函数图象位于第一､三象限， ∴反比例函数的图象位于第一､三象限． 11．已知反比例函数的图象在第二、四象限内，那么k的取值范围是________． 【答案】 【解答】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限内， ∴， 解得． 12．已知反比例函数的图象位于第二、四象限． （1）求k的取值范围； （2）若点是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值的大小． 【答案】（1） （2） 【分析】本题主要考查了反比例函数增减性与比例系数的关系，比较反比例函数函数值的大小，解题的关键在于熟知反比例函数图象增减性以及经过的象限与比例系数的关系． （1）反比例函数图象经过第二、四象限，那么比例系数小于0，据此求解即可； （2）根据题意可得在每个象限内，y随x增大而增大，根据点的坐标可知点A和点B都在第二象限，由此可得答案． 【解答】（1）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∴； （2）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴在每个象限内，y随x增大而增大， ∵点是该反比例函数图象上的两点，， ∴点A和点B都在第二象限， ∴． 知识点五判断反比例函数的增减性 13．下列函数中，当时，函数值随自变量的增大而减小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的增减性，根据函数性质逐一判断时随的变化趋势，即可选出符合要求的选项． 【解答】解：、由知， ∴图象位于第一、三象限， ∴当时，函数值随的增大而减小，符合题意； 、由知， ∴随的增大而增大，不符合题意； 、由知， ∴随的增大而增大，不符合题意； 、由知， ∴图象位于第二、四象限， ∴当时，函数值随的增大而增大，不符合题意． 14．已知点，都在反比例函数的图象上，比较与的大小：__________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的比例系数判断函数图象经过的象限，以及在每个象限内的函数增减性，结合两点的横坐标比较纵坐标的大小即可． 【解答】解：∵在反比例函数 中，， ∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∵点，的横坐标都为正， ∴这两点都在第一象限， 又∵ ， ∴． 15．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点在该反比例函数的图象上，且它到x轴的距离小于3，请根据图象直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，熟知相关知识是解题的关键． （1）把点A坐标代入正比例函数解析式中求出点A坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中计算求解即可； （2）先求出点在反比例函数的图象上，根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值得到n的取值范围，进而根据反比例函数的增减性求解即可． 【解答】（1）解：∵点在正比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴点在反比例函数的图象上， ∵点在该反比例函数的图象上，且它到x轴的距离小于3， ∴， ∴或， ∵反比例函数解析式为，， ∴反比例函数图象分别在第二、四象限，且在每个象限内y随x增大而增大， ∴或． 知识点六判断反比例函数图象所在象限 16．函数与在同一坐标系内的图象大致为图中的（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的图象经过的象限判断的取值范围，再根据的取值范围判断反比例函数经过的象限是否符合要求． 【解答】解：A选项：一次函数的图象经过第一、二、三象限， ，即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的负半轴， 故A选项错误； B选项：一次函数的图象经过第一、二、四象限， ，即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的正半轴， 反比例函数应在第一、三象限， 故B选项正确； C选项：一次函数的图象经过第一、二、四象限， 即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的正半轴， 反比例函数应在第一、三象限， 故C选项错误； D选项：一次函数的图象经过第一、三、四象限， 即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的负半轴， 反比例函数应在第二、四象限， 故D选项错误． 17．如果反比例函数（是常数）的图像在第二、四象限，那么的值是__________． 【答案】 【分析】先根据反比例函数的定义得到的次数与系数满足的条件，求出的所有可能值，再结合图象在第二、四象限的性质确定系数的符号，即可得到的值． 【解答】解：∵反比例函数的一般形式为，其中， ∴可得，解得且， ∵反比例函数的图像在第二、四象限， ∴，解得 ， ∴． 18．根据反比例函数表达式，想象它的图像具有的特征，并回答下列问题： （1）所取值的符号有什么关系？这个函数的图像会在哪几个象限？ （2）这个函数的图像与轴，轴有交点吗？为什么？ （3）当时，随着的增大，怎样变化？当时，随着的增大，怎样变化？ 【答案】（1）相反，第二，四象限 （2）这个函数的图像与轴，轴都没有交点，理由见解析 （3）增大，增大 【分析】本题主要考查了反比例函数图像的性质，反比例函数的增减性，熟知反比例函数的相关知识是解题的关键。 （1）根据题意可得，可得x、y异号，即所取值的符号相反，则这个函数的图像会在第二，四象限； （2）根据得到，据此可得结论； （3）根据比例系数小于0即可得到增减性，据此可得答案。 【解答】（1）解：∵， ∴， ∴x、y异号，即所取值的符号相反， ∴这个函数的图像会在第二，四象限； （2）解：这个函数的图像与轴，轴都没有交点，理由如下： ∵， ∴， ∴这个函数的图像与轴，轴都没有交点； （3）解：∵反比例函数解析式为，， ∴在每个象限内，y随x增大而增大， ∴当时，随着的增大，也增大，当时，随着的增大，也增大． 知识点七已知反比例函数的增减性求参数 19．若点、都在双曲线上，且，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先要判断A、B两点是否在同一象限，然后根据得，从而得出a的取值范围． 【解答】解：∵，，且， ∴点A在第二象限，点B在第四象限， ∴反比例函数的比例系数， 解得. 20．已知y是关于x的反比例函数，当时，函数y随自变量x的增大而增大，请写出一个符合条件的m的值_________． 【答案】（答案不唯一，只要小于0即可） 【分析】根据反比例函数的性质，先确定的取值范围，再写出取值范围内一个符合条件的值即可． 【解答】解：由题意得，当时，随的增大而增大， ∴， 取的一个符合条件的值为（答案不唯一）． 21．已知反比例函数． （1）若点在反比例函数的图象上，则的值为______； （2）当取什么值时，在每一象限内，的值随值的增大而减小？ 【答案】（1）2 （2） 【分析】本题考查了判断反比例函数的增减性，已知反比例函数的增减性求参数，求反比例函数解析式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）将点代入反比例函数中，求出k即可； （2）根据在每一象限内，的值随值的增大而减小，得到关于k的不等式求解． 【解答】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， 故答案为：2； （2）∵反比例函数，在每一象限内，的值随值的增大而减小， ∴， 解得：， ∴当时，在每一象限内，的值随值的增大而减小． 知识点八比较反比例函数值或自变量的大小 22．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三点横坐标分别代入反比例函数解析式，求出对应函数值后比较大小． 【解答】解：把各点横坐标代入， 得， ， ， ∵， ∴． 23．已知点，在反比例函数的图象上．若，则点A的坐标可以是________（写出一种可能的情况即可）． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】根据反比例函数性质，结合已知条件判断的取值范围，在范围内取值计算即可得到符合条件的点坐标． 【解答】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第二，四象限，且在每个象限内随的增大而增大． ∵点，， ∴． 若，在同一象限，则可得，与已知矛盾， 因此，分别在两个不同象限． 因此可得， 解得． 在中任取一个值，如取， 将代入，得， 所以点的坐标可以是． 24．已知反比例函数（k为常数）．若点和点是该反比例函数图象上的两点，试利用反比例函数的性质比较和的大小． 【答案】 【分析】先根据题意可知反比例函数的图象位于第二，四象限，在每一个象限内函数值y随着x的增大而增大，再根据，点在第二象限可得答案． 【解答】解：∵反比例函数中，， ∴反比例函数的图象位于第二，四象限，在每一个象限内函数值y随着x的增大而增大． ∵，点在第二象限， ∴． 知识点九已知比例系数求特殊图形的面积 25．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点，在轴上．若四边形是矩形，则它的面积为（） A．3 B．8 C．11 D．14 【答案】B 【分析】延长交y轴于点E，则四边形是矩形，四边形是矩形，根据反比例函数比例系数的几何意义可得四边形的面积为3，四边形的面积为11，即可求解． 【解答】解：如图，延长交y轴于点E， ∵轴， ∴轴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， 点在双曲线上， 四边形的面积为， 点在双曲线上， 四边形的面积为， 矩形的面积为． 26．如图，点为反比例函数的图像上一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为，，线段被反比例函数的图像上一点分成两部分，且，连接，则的面积为______． 【答案】 【分析】设点的横坐标为，根据垂线定义及线段比例关系表示出点的横坐标，利用点、纵坐标相等建立关于的方程求出值，最后根据三角形面积公式求解． 【解答】解：设点的坐标为，其中， 过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为， 轴，轴， 点的坐标为，点的坐标为， 的长度为， 点在线段上，且， ， 点的横坐标为， 点在反比例函数的图象上，且点的纵坐标与点相同， 点的坐标为， ， 整理得：， 解得：， ， ， 为直角三角形， ， ， ． 27．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，交轴于点，轴，垂足为，轴于点，，，． （1）求的值； （2）连接，，求和的面积； 【答案】（1） （2）； 【分析】（1）先由得到点纵坐标，代入左侧反比例函数求出横坐标，得到线段长度；结合算出长，再由确定点坐标，最后将点坐标代入右侧反比例函数，即可算出． （2）先算出梯形的总面积，再分别求出左右两侧直角三角形、的面积，用梯形面积减去两个直角三角形面积，剩余部分就是的面积．利用、两点坐标列方程组求出直线的解析式，令得到直线与轴交点的纵坐标，即线段长度；以为底、为高，套用三角形面积公式计算出面积． 【解答】（1）解：由题意可知， ，轴， ∴点的纵坐标为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴点的横坐标为． ． ， ． ， ∴点的坐标为． ． （2）解：， ， ， ． 设直线的表达式为，得 ， 解得． 直线的表达式为，点的坐标为 ． 知识点十求反比例函数解析式 28．已知反比例函数的图象过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】∵反比例函数的图象过点， ∴将代入， 得， 解得． 29．一个反比例函数的图象经过点，则这个函数的表达式是______． 【答案】 【解答】解：设反比例函数的表达式为， 将代入表达式得， 解得， 因此这个反比例函数的表达式为． 30．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）根据图象，直接写出时x的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【分析】（1）将代入求出反比例函数的表达式，进而求出，将，代入计算即可； （2）直接根据函数图象作答即可． 【解答】（1）解：将代入得，解得：， ∴反比例函数的表达式为； 将代入得，解得：， ∴， 将，代入得： ， 解得：， ∴； （2）解：由函数图象可知，当时，或． 知识点十一根据图形面积求比例系数（解析式） 31．如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征，用表示出矩形的长和宽，结合矩形面积建立关于的方程求解． 【解答】解：∵， ∴，， ∵四边形是矩形，点在轴上，点在轴上， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∵点，在反比例函数的图象上， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴，， ∵矩形的面积为， ∴， ∴， ∵图象在第一象限， ∴， ∴． 32．如图，在平面直角坐标系中，点A、C关于坐标原点对称，且均在反比例函数 图象上，轴于点B，轴于点 D，连结、，则四边形的面积为_______． 【答案】 【分析】设，由关于原点对称得由轴得，由轴得，则，高，再由四边形是平行四边形，则面积． 【解答】解：由题意，可设， 关于原点对称， ∴， 轴， ， 轴， ， ， ∴，且， 四边形是平行四边形，且， 四边形的面积为． 33．如图，反比例函数（k是常数）与一次函数（b是常数）的图象相交于点，． （1）分别求出反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集； （3）一次函数的图象与x轴相交于点C，点P是反比例函数图像上的动点，连接、，当的面积为6时，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； （2）或； （3）或. 【分析】（1）把代入和解方程即可得到结论； （2）把代入得，，得到，于是得到不等式的解集； （3）设，先求出点C的坐标，然后根据三角形面积公式构建关于m的方程求解即可. 【解答】（1）的图象与一次函数的图象交于． ∴，， ∴，， ∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； （2）解：把代入得， ∴， ∴不等式的解集为或； （3）解：对于，当时，，解得， ∴， 设， ∵的面积为6， ∴， 解得， 当时，，则； 当时，，则； 综上，点P的坐标为或. 知识点十二根据图形面积求比例系数（解析式） 34．如图，已知A、B是函数图象上的两点，点B位于点A的左侧，，均垂直于x轴，垂足为点M、N，连接，交于点．若，四边形的面积为3，则k的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先设点坐标为，用、表示出的面积，再根据四边形的面积列方程求得的值便可． 【解答】解：设点坐标为，则，，， ， ， ， 轴于， ， 四边形的面积为3， ， 解得． 35．如图，经过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数的图象上，轴，轴，五边形的面积为56，四边形的面积为32，则的值为_____，的值为_____． 【答案】 24 【分析】本题考查反比例函数的性质以及与几何综合，设，由关于原点对称，得，由轴，则，由轴，得，，可分别得B、C、D、E的坐标，再根据条件中的面积关系列出方程即可． 【解答】解：由题意知，关于原点对称， 设，则， 轴， ， 轴， ，，即，， 又五边形的面积为56，四边形的面积为32， ， 解得， 如图，延长、交于点G，则， ， ， ， 又，即， ，即， 解得， ， ． 36．如下图，A是反比例函数图象上一点，轴于点C，且与反比例函数的图象交于点，连接．若的面积为6，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，掌握反比例函数系数的几何意义是正确解答的关键． 由的面积为6，可求出的面积为2，进而求出的面积为8，再根据反比例函数系数的几何意义可求出，进而得出答案． 【解答】解：， ， ． 又，且， ， ． 故的值为． 知识点十三一次函数与反比例函数图象综合判断 37．一次函数经过第一、二、三象限，则函数的图像大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数经过的象限确定 、 的符号，进而确定反比例函数型的图像分布区域； 【解答】解：一次函数 的图像经过第一、二、三象限， ，， 函数的图像经过第一、三象限，且无限接近轴， 函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，其无限接近直线，排除B、C选项； 当时，，当时，，排除D选项；A选项符合题意． 38．如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图象交于点B，将直线l绕点B逆时针旋转，所得的直线经过第一、二、四象限，则m的取值范围是______ 【答案】或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，一次函数的解析式，关键是要分两种情况讨论． 当在原点右侧时，点坐标为，表示出直线解析式，得出，求解即可，同理，当在原点左侧时，，求解即可． 【解答】解：当在原点右侧时，点坐标为， 直线绕点逆时针旋转， 所得的直线与直线平行， 设这条直线的解析式为：， 这条直线经过第一、二、四象限， ， 在直线上， ， ； ， ， ； 当在原点左侧时， 设这条直线的解析式为：， 同理：， ， ， ， ， ． ∴的取值范围是或． 故答案为：或． 39．如图，函数（为常数）和（，）的图象交于点． （1）求和的值； （2）当时，关于的不等式的解集为________． 【答案】（1）的值为，的值为 （2） 【分析】（1）将交点坐标分别代入两个函数解析式，列方程求出参数、； （2）根据图象，在范围内，反比例函数图象在一次函数图象上方对应的取值即为不等式解集． 【解答】（1）解：将代入， 解得． 将代入， 解得． （2）解：不等式，即， 表示时反比例函数图象在一次函数图象上方的部分，两函数交点横坐标为， 结合图象得解集． 知识点十四一次函数与反比例函数的交点问题 40．如图，函数与的图象相交于，两点，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将、两点代入函数，求出的值，再结合图象，根据函数的图象在函数的图象上方部分对应的自变量取值直接作答即可． 【解答】解：将，两点代入， 得，， 解得：， ，， 由图象可知，当时，函数的图象在函数的图象上方， 当时，的取值范围是． 41．已知正比例函数与反比例函数的图象没有交点，写出一个符合条件的k的值为______________． 【答案】（答案不唯一，即可） 【分析】根据题意得到正比例函数的图象分布在第二，四象限，得到，写出一个符合范围的值即可． 【解答】解：∵对于反比例函数，比例系数， ∴反比例函数的图象分布在第一，三象限， ∵正比例函数与反比例函数的图象没有交点， ∴正比例函数的图象分布在第二，四象限， ∴， ∴符合条件的可以为（答案不唯一）． 42．如图，已知一次函数（）与反比例函数（）的图象的一个交点为． （1）在图中画出一次函数（）的图象并求出k，m的值； （2）若一次函数的图象与y轴交于点A，点M是反比例函数的图象在第一象限上一点，且，求的面积． 【答案】（1）， （2）4 【分析】（1）把点代入一次函数（），确定k，再代入，可确定m的值，画出图象即可； （2）根据题意，得点M一定是直线与的交点，此时，故，根据的面积为：计算即可． 【解答】（1）解：把点代入一次函数（）， 得， 解得， 把点代入，得， 解得； 画图象略； （2）解：根据（1）得一次函数的解析式为（），反比例函数的解析式为， 故， ， 点M是反比例函数的图象在第一象限上一点，且， 点一定在线段的垂直平分线上， 点M一定在直线上， 点M一定是直线与的交点， 此时， 故， 故的面积为：． 知识点十五实际问题与反比例函数 43．某同学恰好用元钱买练习本，则关于练习本的单价（元）与购买数量（本）的函数图象的说法正确的是（     ） A．图象是在第一、三象限内的双曲线 B．图象是在第一象限内的双曲线上的一段 C．图象是在第一象限内的双曲线 D．图象是在第一象限内的双曲线上的有限个点 【答案】D 【解答】解：是购买练习本的数量， 是正整数， 是练习本的单价， ，即， 关于练习本的单价（元）与购买数量（本）的函数图象是第一象限双曲线上有限个离散的点． 选项D正确． 44．成都天府绿道要修一段步道，工程总量固定，每天修建的长度米和修建天数天成反比例函数关系．若每天修40米，需要6天完工；若每天修建30米，则需要________天完工． 【答案】 【分析】结合已知条件求出工程总长度，再用总长度除以每天修建的长度，即可得到所需天数，用到反比例函数两变量乘积为定值的性质． 【解答】解 ∵每天修建的长度和修建天数成反比例函数关系 ∴设， 可得，其中为工程总长度 将，代入式子 得， 即工程总长度为（米） 当时， 代入得 解得 答：需要天完工． 45．某气球内充满了一定的质量的气体，当温度不变时，气球内的压力P（千帕）是气球的体积V（立方米）的反比例函数，其图象如图所示（注：千帕是一种压强单位）． （1）求这个函数的解析式； （2）当气球的体积为0.8立方米时，气球内的压力是多少千帕？ 【答案】（1） （2）120千帕 【分析】（1）设反比例函数为，将A点坐标代入求解即可； （2）把立方米代入计算即可． 【解答】（1）解：设反比例函数为， 将代入得， 解得：， 即； （2）解：把立方米代入中，得千帕． 知识点十六一次函数与反比例函数的实际应用 46．如图是某款煮茶壶，开机加热将水匀速加热至后停止加热，此时水温开始下降，此时水温与启动加热后通电时间成反比例函数关系．当水温降至时启动保温功能．图是开始启动加热过程中，水温与通电时间之间的函数关系图，则下列说法错误的是（    ） A．水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式是 B．在通电启动加热开关时，喝到的茶水为 C．在整个通电启动到保温过程中，水温不低于的时间为 D．在通电启动加热开关后，喝到的茶水的温度为 【答案】C 【分析】确定水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式后可判断A；确定水匀速加热至后停止加热时水温与启动加热后通电时间的关系式，再计算当时对应的的值可判断B；分别计算当时在加热到前后分别对应的的值，求出它们的差可判断选项C；计算出当时在加热到后对应的的值即可判断选项D． 【解答】解：设水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式是，过点、， ∴， 解得：， ∴水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式是， ∴选项A的说法正确，故此选项不符合题意； 设当水匀速加热至后停止加热时水温与启动加热后通电时间的关系式为，过点， ∴， 解得：， ∴此时水温与启动加热后通电时间的关系式为， 当时，， ∴在通电启动加热开关时，喝到的茶水为， ∴选项B的说法正确，故此选项不符合题意； 当时，，解得：； 当时，； 又∵， ∴在整个通电启动到保温过程中，水温不低于的时间为， ∴选项C的说法错误，故此选项符合题意； 当时，， ∴在通电启动加热开关后，喝到的茶水的温度为， ∴选项D的说法正确，故此选项不符合题意． 47．某乐园计划建造一个水上滑梯项目，这个项目的主视图由传送带、平台和滑梯三部分组成，设计师为了便于研究相关数据，将这个主视图放在平面直角坐标系中，如图，轴，滑梯为双曲线的一部分，点坐标为，，、为两根竖直的支撑柱，，则两支撑柱之间的距离为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出一次函数和反比例函数解析式．先用待定系数法求出一次函数解析式，再求出点，然后求出反比例函数解析式，再求出，最后求出结果即可． 【解答】解：设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴点， ∵点坐标为，，轴， ∴， 设双曲线的解析式为：，把代入得： ， ∴双曲线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴点， ∴． 故答案为：． 48．智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降，在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示．    （1）求当时，y与x之间的函数表达式； （2）加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）设反比例函数的表达式为，将点代入可得的值，再求出的值，由此即可得； （2）先求出时，与之间的函数表达式，再求出时，的值，由此即可得． 【解答】（1）解：设反比例函数的表达式为， 将点代入得：， 则与之间的函数表达式为， 当时，， 即与之间的函数表达式为． （2）解：设当时，与之间的函数表达式为， 将点代入得：，解得， 则， 当时，，解得， 对于， 当时，， 因为， 所以加热一次，水温不低于的时间为． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题02 反比例函数的图形与性质及解决问题 （十六大题型48道题） 目录 知识点一判断（画）反比例函数图象 2 知识点二已知反比例函数的图象，判断其解析式 2 知识点三由反比例函数图象的对称性求点的坐标 3 知识点四已知双曲线分布的象限，求参数范围 4 知识点五判断反比例函数的增减性 5 知识点六判断反比例函数图象所在象限 5 知识点七已知反比例函数的增减性求参数 6 知识点八比较反比例函数值或自变量的大小 7 知识点九已知比例系数求特殊图形的面积 7 知识点十求反比例函数解析式 8 知识点十一根据图形面积求比例系数（解析式） 9 知识点十二根据图形面积求比例系数（解析式） 10 知识点十三一次函数与反比例函数图象综合判断 11 知识点十四一次函数与反比例函数的交点问题 12 知识点十五实际问题与反比例函数 13 知识点十六一次函数与反比例函数的实际应用 14 知识点一判断（画）反比例函数图象 1．某公司计划新建一个容积一定的长方体污水处理池，池的底面积与深度之间的函数表达式为．这个函数的图象大致是（   ）． A． B． C． D． 2．如图，反比例函数的图象经过点，当时，y的取值范围是________． 3．（1）解方程：； （2）已知反比例函数（为常数，），若点在这个函数图象上，试判断点是否也在这个函数的图象上，并说明理由． 知识点二已知反比例函数的图象，判断其解析式 4．反比例函数（，）的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则的值可能为（     ） A． B． C． D． 5．如图，点P在反比例函数的图像上，过点P作轴，垂足为H，连接，如果的面积为3，那么这个反比例函数的表达式为_____________． 6．在平面直角坐标系中,点,,分别位于三个不同象限,若反比例函数的图像经过其中两点,求反比例函数的表达式和的值． 知识点三由反比例函数图象的对称性求点的坐标 7．如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 8．将向右平移两个单位，向下平移个单位，与有两个交点，分别为，，则_____． 9．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点． （1）求点A的坐标和反比例函数的表达式． （2）若点在该反比例函数的图象上，且它到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围． 知识点四已知双曲线分布的象限，求参数范围 10．已知关于的函数的图象位于第二、四象限，则反比例函数的图象位于（     ） A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 11．已知反比例函数的图象在第二、四象限内，那么k的取值范围是________． 12．已知反比例函数的图象位于第二、四象限． （1）求k的取值范围； （2）若点是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值的大小． 知识点五判断反比例函数的增减性 13．下列函数中，当时，函数值随自变量的增大而减小的是（     ） A． B． C． D． 14．已知点，都在反比例函数的图象上，比较与的大小：__________． 15．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点在该反比例函数的图象上，且它到x轴的距离小于3，请根据图象直接写出m的取值范围． 知识点六判断反比例函数图象所在象限 16．函数与在同一坐标系内的图象大致为图中的（     ） A． B． C． D． 17．如果反比例函数（是常数）的图像在第二、四象限，那么的值是__________． 18．根据反比例函数表达式，想象它的图像具有的特征，并回答下列问题： （1）所取值的符号有什么关系？这个函数的图像会在哪几个象限？ （2）这个函数的图像与轴，轴有交点吗？为什么？ （3）当时，随着的增大，怎样变化？当时，随着的增大，怎样变化？ 知识点七已知反比例函数的增减性求参数 19．若点、都在双曲线上，且，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 20．已知y是关于x的反比例函数，当时，函数y随自变量x的增大而增大，请写出一个符合条件的m的值_________． 21．已知反比例函数． （1）若点在反比例函数的图象上，则的值为______； （2）当取什么值时，在每一象限内，的值随值的增大而减小？ 知识点八比较反比例函数值或自变量的大小 22．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 23．已知点，在反比例函数的图象上．若，则点A的坐标可以是________（写出一种可能的情况即可）． 24．已知反比例函数（k为常数）．若点和点是该反比例函数图象上的两点，试利用反比例函数的性质比较和的大小． 知识点九已知比例系数求特殊图形的面积 25．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点，在轴上．若四边形是矩形，则它的面积为（） A．3 B．8 C．11 D．14 26．如图，点为反比例函数的图像上一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为，，线段被反比例函数的图像上一点分成两部分，且，连接，则的面积为______． 27．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，交轴于点，轴，垂足为，轴于点，，，． （1）求的值； （2）连接，，求和的面积； 知识点十求反比例函数解析式 28．已知反比例函数的图象过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 29．一个反比例函数的图象经过点，则这个函数的表达式是______． 30．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）根据图象，直接写出时x的取值范围． 知识点十一根据图形面积求比例系数（解析式） 31．如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为，则的值是（     ） A． B． C． D． 32．如图，在平面直角坐标系中，点A、C关于坐标原点对称，且均在反比例函数 图象上，轴于点B，轴于点 D，连结、，则四边形的面积为_______． 33．如图，反比例函数（k是常数）与一次函数（b是常数）的图象相交于点，． （1）分别求出反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集； （3）一次函数的图象与x轴相交于点C，点P是反比例函数图像上的动点，连接、，当的面积为6时，直接写出点P的坐标． 知识点十二根据图形面积求比例系数（解析式） 34．如图，已知A、B是函数图象上的两点，点B位于点A的左侧，，均垂直于x轴，垂足为点M、N，连接，交于点．若，四边形的面积为3，则k的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 35．如图，经过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数的图象上，轴，轴，五边形的面积为56，四边形的面积为32，则的值为_____，的值为_____． 36．如下图，A是反比例函数图象上一点，轴于点C，且与反比例函数的图象交于点，连接．若的面积为6，求的值． 知识点十三一次函数与反比例函数图象综合判断 37．一次函数经过第一、二、三象限，则函数的图像大致为（     ） A． B． C． D． 38．如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图象交于点B，将直线l绕点B逆时针旋转，所得的直线经过第一、二、四象限，则m的取值范围是______ 39．如图，函数（为常数）和（，）的图象交于点． （1）求和的值； （2）当时，关于的不等式的解集为________． 知识点十四一次函数与反比例函数的交点问题 40．如图，函数与的图象相交于，两点，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 41．已知正比例函数与反比例函数的图象没有交点，写出一个符合条件的k的值为______________． 42．如图，已知一次函数（）与反比例函数（）的图象的一个交点为． （1）在图中画出一次函数（）的图象并求出k，m的值； （2）若一次函数的图象与y轴交于点A，点M是反比例函数的图象在第一象限上一点，且，求的面积． 知识点十五实际问题与反比例函数 43．某同学恰好用元钱买练习本，则关于练习本的单价（元）与购买数量（本）的函数图象的说法正确的是（     ） A．图象是在第一、三象限内的双曲线 B．图象是在第一象限内的双曲线上的一段 C．图象是在第一象限内的双曲线 D．图象是在第一象限内的双曲线上的有限个点 44．成都天府绿道要修一段步道，工程总量固定，每天修建的长度米和修建天数天成反比例函数关系．若每天修40米，需要6天完工；若每天修建30米，则需要________天完工． 45．某气球内充满了一定的质量的气体，当温度不变时，气球内的压力P（千帕）是气球的体积V（立方米）的反比例函数，其图象如图所示（注：千帕是一种压强单位）． （1）求这个函数的解析式； （2）当气球的体积为0.8立方米时，气球内的压力是多少千帕？ 知识点十六一次函数与反比例函数的实际应用 46．如图是某款煮茶壶，开机加热将水匀速加热至后停止加热，此时水温开始下降，此时水温与启动加热后通电时间成反比例函数关系．当水温降至时启动保温功能．图是开始启动加热过程中，水温与通电时间之间的函数关系图，则下列说法错误的是（    ） A．水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式是 B．在通电启动加热开关时，喝到的茶水为 C．在整个通电启动到保温过程中，水温不低于的时间为 D．在通电启动加热开关后，喝到的茶水的温度为 47．某乐园计划建造一个水上滑梯项目，这个项目的主视图由传送带、平台和滑梯三部分组成，设计师为了便于研究相关数据，将这个主视图放在平面直角坐标系中，如图，轴，滑梯为双曲线的一部分，点坐标为，，、为两根竖直的支撑柱，，则两支撑柱之间的距离为_________． 48．智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降，在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示．    （1）求当时，y与x之间的函数表达式； （2）加热一次，水温不低于的时间有多长？ 学科网（北京）股份有限公司 $