专题03：一元二次方程综合练习 -2026-2027学年苏科版数学九年级上册

专题03：一元二次方程综合

一、单选题

1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ）

A． B．  C． D．

2．一元二次方程的一次项系数和常数项依次是（     ）

A．2和 B．2和5 C．3和 D．3和5

3．一元二次方程的根的情况是（     ）

A．有且只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根

C．有两个相等的实数根 D．没有实数根

4．若，且，，则（     ）

A． B． C． D．

5．小亮在估算方程的解时，通过计算得到下表，其中一个解取值范围是（     ）

x		1

A． B． C． D．

6．若方程的根是，，则的值为（     ）

A． B． C． D．

7．妮妮和盼盼玩猜数游戏，妮妮说：“我手中卡片上的数的平方比该数的5倍大6”． 盼盼思考后正确地说出了卡片上的数，则盼盼给出的答案是（     ）

A．2或3 B．或 C．1或 D．或6

8．某厂家某种产品2026年1至5月份的产量统计图如图所示．设从2月份到4月份该厂家这种产品产量的月平均增长率为，根据题意可列方程（     ）

A． B．

C． D．

9．若关于的一元二次方程有一个根，则方程必有一个根为（     ）

A． B． C． D．

10．如图，在长为60m，宽为40m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（其中有两条纵向和一条横向，横向与纵向道路互相垂直），把耕地分成六块作为试验田，要使试验田总面积为，问道路应为多宽？若设道路宽为xm，则下列方程正确的是（     ）

A．

B．

C．

D．

二、填空题

11．把方程化为一般形式，则它的一次项系数是___________，常数项是___________．

12．若关于x的方程其中一个根是1，则为 ___________．

13．若是关于的一元二次方程，则的值是______．

14．设a、b是一元二次方程的两个实数根，则的值为________．

15．如图，将正方形纸片折叠，点的对应点落在边上，点的对应点为点，折痕分别与边，交于点，．若，，则正方形的边长为___________．

16．如图是2026年10月的日历表，可以用一个方框（阴影框）圈出9个数，若圈出的9个数中，最小数与最大数的乘积为105，则这个最小数为多少？设这个最小数为，则可列方程为___________．

三、解答题

17．用适当的方法解下列方程：

(1)；

(2)．

 

 

 

 

 

 

 

 

18．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求：

(1)的取值范围；

(2)若方程的两根满足，求的值．

 

 

 

 

 

 

 

 

19．某果商以每吨元的成本收购了一批修文红心猕猴桃共，目前可以按每吨元的价格售出．如果储藏起来，每星期会损耗，且每星期需支付冷库仓储等费用元，在两个月的上市期内，每星期每吨猕猴桃的价格将上涨1000元．

(1)储藏个星期后再出售这批猕猴桃，果商可获利________元；

(2)储藏多少个星期再出售这批猕猴桃，可使果商获利元？

 

 

 

 

 

 

 

 

20．将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用，如利用配方法求最小值．

例题：求的最小值． 解： ． ∵无论取何值，总是非负数，即， ∴． ∴当时，有最小值，最小值为5．

根据上述材料，解答下列问题：

(1)填空：__________．

(2)求的最小值．

(3)若一个长方形的长和宽分别为和，面积记为，另一个长方形的长和宽分别为和，面积记为，则__________，__________，比较和的大小，并说明理由．

 

 

21．如图，，，，为矩形的四个顶点，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动．当点P到达点B时，点Q也停止运动．

(1)P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？

(2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是？

(3)直接写出P，Q两点从出发开始到几秒时，点P，Q，D组成的三角形是等腰三角形．

 

 

 

 

 

 

 

 

22．已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍．

解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程得，化简得，故所求方程为．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．

请用材料提供的“换根法”按下列要求求出新方程．（要求：把所求方程化为一般形式）

(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍．

(2)已知关于的一元二次方程的两根不为零，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．

 

 

 

 

 

23．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．

(1)通过计算，判断下列方程是“邻根方程”的为：______；

①；    ②．

(2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值；

(3)若关于x的方程（、是常数，）是“邻根方程”，令，试求t的最大值．