专题01 一元二次方程的概念（7大题型）2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程概念的系统性理解，通过7类题型构建从概念识别到解的应用的完整逻辑链，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型01|1典例+3变式|辨析一元二次方程的概念|概念生成：从定义本质出发识别方程| |题型02|1典例+3变式|化为一般式并确定系数|形式转化：掌握方程标准化表达| |题型03|1典例+3变式|由概念求参数值|概念深化：结合定义限定参数范围| |题型04|1典例+3变式|判断方程的解|应用基础：理解解的本质含义| |题型05|1典例+3变式|由解求参数值|逆向推理：运用解的定义建立等式| |题型06|1典例+3变式|由解求代数式值|综合应用：将解代入方程变形求值| |题型07|1典例+3变式|估算方程的解|拓展延伸：通过数值分析确定解的范围|

专题01 一元二次方程的概念 题型01 一元二次方程的概念 题型02 化成一元二次方程的一般式 题型03 由一元二次方程的概念求参数 题型04 一元二次方程的解 题型05 由一元二次方程的解求参数 题型06 由一元二次方程的解求代数式的值 题型07 一元二次方程解的估算 ▌题型01 一元二次方程的概念 【典例1】下列方程中，不是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列方程：①；②；③；④其中是一元二次方程的有（     ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和③ 【变式1-3】下列方程，是一元二次方程的有_________________________ ①，②，③，④． ▌题型02 化成一元二次方程的一般式 【典例1】一元二次方程化为一般形式为________________，其中二次项系数 ________，一次项系数 ________，常数项 ________． 【变式1-1】方程化为一元二次方程的一般形式是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】把一元二次方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1-3】把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 ▌题型03 由一元二次方程的概念求参数 【典例1】若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（     ） A．3 B． C．3或 D．0 【变式1-1】当_______时，关于x的方程是一元二次方程；当_____________时，关于x的方程是一元一次方程． 【变式1-2】已知方程． (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 【变式1-3】已知关于的一元二次方程的常数项为． (1)求的值； (2)求此时一元二次方程的根． ▌题型04 一元二次方程的解 【典例1】若，则必有一个根是（   ） A．0 B． C． D． 【变式1-1】下列选项中是一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列x的值是方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列哪些数是一元二次方程的根？ ，0，1，2，3，4． ▌题型05 一元二次方程的解求参数 【典例1】已知方程的一个根为，则m的值为_____． 【变式1-1】若是方程的一个根，则a的值为（     ） A．2 B． C．1 D．0 【变式1-2】若是关于x的方程的解，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知方程的一个根是2，则的值为（     ） A．2 B．1 C．3 D．−3 ▌题型06 一元二次方程的解求代数式的值 【典例1】若m是方程的一个根，则的值为（   ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 【变式1-1】若是方程的一个根，则__________ 【变式1-2】已知是关于的方程的一个根，求代数式的值． 【变式1-3】已知是方程的一个根，求的值． ▌题型07 一元二次方程解的估算 【典例1】对一元二次方程的一个正数解的取值范围的探索如下表． 从表中可以看出方程的一个正数解的大致范围是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】观察下面的表格，一元二次方程的一个解的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】根据表格中的对应值，判断关于x的方程的一个解x的取值范围是（     ） x 3 4 5 0.5 A． B． C． D． 【变式1-3】根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是__________． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程的概念 题型01 一元二次方程的概念 题型02 化成一元二次方程的一般式 题型03 由一元二次方程的概念求参数 题型04 一元二次方程的解 题型05 由一元二次方程的解求参数 题型06 由一元二次方程的解求代数式的值 题型07 一元二次方程解的估算 ▌题型01 一元二次方程的概念 【典例1】下列方程中，不是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义（整式方程、一个未知数、未知数最高次数为2、二次项系数不为0）逐项判断即可． 【详解】解：A．，是一元二次方程，故该选项不符合题意； B．方程写成一般形式为，是一元二次方程，故该选项不符合题意； C．方程，左边是分式形式，不是一元二次方程，故该选项符合题意； D．方程，写成一般形式为，是一元二次方程，故该选项不符合题意． 【变式1-1】下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从是否为整式方程、未知数个数、未知数最高次数三个角度判断各选项． 【详解】解：A、是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为2， 是一元二次方程，符合题意； B、是分式方程， 不是一元二次方程，不符合题意； C、含有两个未知数， 不是一元二次方程，不符合题意； D、中的最高次数为1， 不是一元二次方程，不符合题意． 【变式1-2】下列方程：①；②；③；④其中是一元二次方程的有（     ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和③ 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：①是分式方程，不是一元二次方程； ②含有两个未知数，不是一元二次方程； ③是一元二次方程； ④是一元二次方程； 综上所述，③和④是一元二次方程． 【变式1-3】下列方程，是一元二次方程的有_________________________ ①，②，③，④． 【答案】①④/④① 【详解】解：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程是一元二次方程． ①，只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； ②，含有和两个未知数，不符合一元二次方程的定义； ③，分母中含有未知数，不符合一元二次方程的定义； ④，只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； 综上所述，是一元二次方程的有①④． ▌题型02 化成一元二次方程的一般式 【典例1】一元二次方程化为一般形式为________________，其中二次项系数 ________，一次项系数 ________，常数项 ________． 【答案】 2 1 【分析】将原方程化为一般形式，对应即可确定各项系数． 【详解】移项，得， 所以, , ． 【变式1-1】方程化为一元二次方程的一般形式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1-2】把一元二次方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】解：整理得， 所以二次项系数为4，一次项系数为，常数项为． 【变式1-3】把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 【答案】 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 3 0 1 1 7 0 4 【分析】先将各方程一元二次方程一般形式，再利用一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项的定义解答即可． 【详解】解：方程可化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别为：3，，0； 方程可化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别为：1，1，； 方程可化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别为：7，0，4． ▌题型03 由一元二次方程的概念求参数 【典例1】若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（     ） A．3 B． C．3或 D．0 【答案】A 【分析】一元二次方程，二次项系数不为0，未知数的最高次数是2． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且， 由得， 即或， 由得， ∴． 【变式1-1】当_______时，关于x的方程是一元二次方程；当_____________时，关于x的方程是一元一次方程． 【答案】 且 【分析】根据一元二次方程和一元一次方程的定义，分别对二次项系数和一次项系数提出取值要求，推导得到对应条件． 【详解】解：∵关于的方程为当方程是一元二次方程， ∴， 解得； ∵关于x的方程是一元一次方程， ∴且， 解得：且． 【变式1-2】已知方程． (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 【答案】(1)，二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11 (2)或 【分析】（1）根据一元二次方程定义得到，求出m的值，即可解答； （2）根据一元一次方程的定义得到或，求解即可． 【详解】（1）解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，解得， ∴方程为，方程的二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11． （2）解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴或， ∴或． 【变式1-3】已知关于的一元二次方程的常数项为． (1)求的值； (2)求此时一元二次方程的根． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据一元二次方程的定义可知，根据方程的常数项为，可得，解方程即可求出的值； （2）利用因式分解法解一元二次方程． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程的常数项为， 可得：， 由，可得：， 解方程， 分解因式可得：， 解得：，， ； （2）解：当时， 可得方程为， 分解因式得：， 解得：，． ▌题型04 一元二次方程的解 【典例1】若，则必有一个根是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的解，由可知令即成立，则可求出答案． 【详解】解：当时，方程为， 方程必有一个根是， 故选：C． 【变式1-1】下列选项中是一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将题中的一元二次方程通过因式分解得到或，解得x的值，再对应选项中的值即可． 【详解】解：， 或， 解得：，． 故选：C． 【变式1-2】下列x的值是方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 利用因式分解法解出方程的根，再从选项中判断即可． 【详解】解： 或 解得：， 故选：A． 【变式1-3】下列哪些数是一元二次方程的根？ ，0，1，2，3，4． 【答案】，2 【分析】方程的解一定满足该方程，故把对应的数作为x的值代入原方程，看方程左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】解：将代入一元二次方程，左边，即左边右边， 故是一元二次方程的根； 将代入一元二次方程，左边，即左边右边， 故不是一元二次方程的根； 将代入一元二次方程，左边，即左边右边， 故不是一元二次方程的根； 将代入一元二次方程，左边，即左边右边， 故不是一元二次方程的根； 将代入一元二次方程，左边，即左边右边， 故不是一元二次方程的根； 将代入一元二次方程，左边，即左边右边， 故不是一元二次方程的根； 将代入一元二次方程，左边，即左边右边， 故是一元二次方程的根； 将代入一元二次方程，左边，即左边右边， 故不是一元二次方程的根； 将代入一元二次方程，左边，即左边右边， 故不是一元二次方程的根； 综上所述，和2是原方程的解． ▌题型05 一元二次方程的解求参数 【典例1】已知方程的一个根为，则m的值为_____． 【答案】18 【分析】方程的根满足方程，将已知根代入原方程，解关于的一元一次方程即可得到结果． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程，得， 整理得， 解得． 【变式1-1】若是方程的一个根，则a的值为（     ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】D 【详解】解：将代入方程， 得， 整理得， 解得． 【变式1-2】若是关于x的方程的解，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：把代入方程，得，即， 解得． 【变式1-3】已知方程的一个根是2，则的值为（     ） A．2 B．1 C．3 D．−3 【答案】B 【分析】根据方程根的定义，方程的根可使方程左右两边相等将已知根代入原方程，解关于的一元一次方程即可得到结果． 【详解】∵ 是方程的一个根， ∴ 将代入原方程得， ， 整理得 ，即 ， 解得 ． ▌题型06 一元二次方程的解求代数式的值 【典例1】若m是方程的一个根，则的值为（   ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握方程的根能使方程左右两边相等是解题的关键．利用方程的根的定义，将根代入方程得到关于的等式，再对所求式子进行变形，代入计算． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即． ∴ 故选：C． 【变式1-1】若是方程的一个根，则__________ 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，先根据一元二次方程解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ． 故答案为：2024 【变式1-2】已知是关于的方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】将代入方程得到的值，化简所求代数式后整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴ ． 【变式1-3】已知是方程的一个根，求的值． 【答案】 【分析】利用一元二次方程的解的定义得到，则可变形为，通分得到原式，然后把代入计算即可． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ． ▌题型07 一元二次方程解的估算 【典例1】对一元二次方程的一个正数解的取值范围的探索如下表． 从表中可以看出方程的一个正数解的大致范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过表格中代数式的符号变化，确定方程正数解的范围． 【详解】解：当时，， 当时，， 故方程的一个正数解的大致范围是． 【变式1-1】观察下面的表格，一元二次方程的一个解的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：方程的解是使的值为1的． ∵当时，，当时，． ∴方程的一个解的取值范围是． 【变式1-2】根据表格中的对应值，判断关于x的方程的一个解x的取值范围是（     ） x 3 4 5 0.5 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴二次函数的图象与轴的一个交点在之间， ∴关于的方程的一个解的取值范围是 【变式1-3】根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是__________． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个解满足． 【详解】解：由题意得 x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 ∴当时，； 当时，， ∴当时，必有一个解， ∴x的取值范围是． 故答案为：． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $