上海市南洋模范中学026-2027学年第一学期高二年级期中考试数学试题

2026学年第一学期南模中学高二年级期中考试 数学学科 (考试时间：120分钟满分：150分命题人：金振华审题人：程玲) 一、填空题 1.已知球的体积为36π，则该球的半径为 2.小明在期中复习时，对常见的“角进行了简要梳理：①两条异面直线所成的角：②直线与平面所成的角： ③.二面角的平面角：④两个非零向量的夹角.则上述各种“角”的取值范围是[0，的有（请填写序号） 3.己知一个圆台的上、下底面半径分别为1cm,2cm,高为3cm,则该圆台的母线长为 cm. 4.下列命题中正确的个数为 个 ①若△ABC在平面a外，·它的三条边所在的直线分别交a于P、Q、R,则P、Q、R三点共线： ②若三条直线a、b、c互相平行且分别交直线/于A、B、C三点，则这四条直线共面： ③若直线a、b异面，b、c异面，则a、c异面： ④若a11c,b11c,则a/b: 5.等腰四面体是一种特殊的三棱锥，它的三组对棱分别相等己知一个长方体的体积为12，则由长方体的 四个顶点构成的等腰四面体的体积为一 6.在四面体P-ABC中，PA=PB=PC=BC=1,则该四面体体积的最大值为 D 7.如图，正方体ABCD-AB,C,D,则下列四个命题： ①点P在直线BC,上运动，三棱锥A-D,PC的体积不变： D ②点P在直线BC,上运动，直线AP与平面ACD,所成角的大小不变： ③点P在直线BC,上运动，二面角P-AD,-C的大小不变： ④点P是平面ABCD上到点D和G,距离相等的动点，则P的轨迹是过点B的 D 一条直线，其中真命题是（请在横线上填上正确命题的序号） 8.如图，四面体OABC中，∠OAB=∠OAC=∠BAC=60,OA=1,AB=1,AC=3 B D,E分别是OA,BC的中点，则DE= (第8题) 9.如图，P是正方形ABCD所在平面外一点，且PD⊥AD,PD⊥DC,PD=3, AD=2,若M是AB的中点，则点M到平面PAC的距离d为一， D (第9题)》 第1贞共4贞 店数学 10.在棱长为6的正方体ABCD-AB,C,D,中，MB=2AM,CV=NC,过MN的平面将该正方体分成体积为 V、V2的两个部分，则忆-以的最大值是 11.如图，在棱长为2的正方体中，有8个以正方体顶点为球心且半径相等的部分球体O(=1,28),有 1个以正方体中心为球心的球体0,0与O(i=1,28)均相切，则该9部分的体积和的范围是 B 12.如图两个同心球，球心均为点O,其中大球与小球的表面积之比为31，线段AB 与CD是夹在两个球体之间的内弦，其中AC两点在小球上，B、D两点在大球上， 两内弦均不穿过小球内部.当四面体ABCD的体积达到最大值时，此时异面直线AD 与8C的所成角为9，财sin9= 2 二、单选题 13.直线/⊥平面a,直线mca,则1与m不可能() A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直 14.将下面的平面图形（每个点都是正三角形的顶点或边的中点）沿虚线折成一个四面体后，直线MN与 P?是异面直线的是(). 15.如图，在棱长为V5的正方体ABCD-AB,C,D中，AC是它的一条体对角线.将底面对角线BD绕直 线AC旋转一周，则BD所扫过区域的面积为() A, 3n B.2r c. D.3π B 第2贞北4贞 高数学 16. 某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中4 BCDEF是一个平面多边形，平面AFR⊥平面4BC,平面 CDTo⊥平面4BC,AB⊥BC,ABIEFIRSICD,BCI DESTo‖AF.若AB=BC=8,AF=CD=4,RA=RF=TC=TD=号，则该 多面体的体积为() A.40 B.50 C.60 D.70 三、解答题 17,如图所示，己知圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，E是弧AD的中点， ()求该圆柱的表面积： D (2)求异面直线BE与CD所成角的正切值. E B 18.如图，在直三棱柱ABC-AB,G,中，AB⊥BCAB=BC=BB,E,F分别为棱AB,BC的中点. E (I)求证：EF/平面A4CC: A B (2)求平面AEF与平面ABC的所成角的正弦值 B 19. 如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AD⊥平面SAB,AB=AS,BC=2,BS=2V6,N是边BS的中点，M是边SC的 中点 D M BL (I)证明：MN/平面SAD: (2)求点M到平面SAB的距离： (3)若二面角S-AD-C的余弦值为，求直线DM与平面ABCD所成角的正弦值. 03贞儿4所 岛：数学 20.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD,UPDC是等边三角形、AB/CD. ∠ADC=90°，CD=2AB=2,AD=V5. (I)若平面PAB∩平面PCD=,求证：IIAB; (2)求四面体P-ACD外接球的半径： (3)过PA的中点A作平面a与校PB,PC,PD分别交于点B,C,D,记PB=APB,PC=,PC, P0,=2PD,探究子+元是否为定值？者是定值，求出定值：若不是定值，请说明理 B 21.如图1，一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱形容器中盛有水，AC=BC=4,L4'=8,若侧面AA'B'B 水平放置时，水面恰好过AC,BC,AC',B'C的中点.现在固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器 倾斜.随着倾斜程度不同，水面的形状也不同. (1)如图2，当底面ABC水平放置时，水面高为多少？ (2)当水面经过线段B时，水面与地面的距离为多少？ (3)试分析容器围绕AB从图1的放置状态旋转至水面第一次过顶点C的过程中（不包括起始和终止位置）， 水面面积S的取值范围.（假设旋转过程中水面始终呈水平状态，不考忠水面的波动） B --B 图1 图2 04负八4少 岛数学