精品解析：上海市南洋模范中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题

南模中学2023学年第一学期高二年级数学期中 2023.11 一､填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知空间中两条直线，“”是“与相交”的__________条件.（选填“充分非必要”，“必要非充分”，“既非充分又非必要”，“充要”） 2. 已知分别是平面的法向量，且，则__________. 3. 若圆锥高为3，且母线与底面所成角为，则该圆锥的侧面积为______. 4. 已知均为空间单位向量，且它们的夹角为，则______． 5. 如图，点在圆锥的底面圆上，是直径，，，圆锥的母线与底面成的角为，则点到平面的距离为_____． 6. 某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分，（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的表面积是______． 7. 现有甲乙两个形状完全相同四棱台容器如图所示，已知，现按一定的速度匀速往甲容器里注水，当水的高度是四棱台高度的一半时用时7分钟，如果按照相同的速度匀速往乙容器里注水，当水的高度是四棱台高度的一半时用时________分钟． 8. 已知正方体的棱长为1，点､､分别为棱､､的中点，则下列结论中 （1）过､､三点作正方体截面，所得截面面积为 （2）与平面所成的角为： （3）异面直线与所成角正切值为 （4）四面体的体积等于； 其中正确的结论________； 9. 用一个平面将圆柱切割成如下图的两部分.将下半部分几何体的侧面展开，平面与圆柱侧面所形成的交线在侧面展开图中对应的函数表达式为，则平面与圆柱底面所形成的二面角的正弦值是__________. 10. 如图，棱长为1的正方体的八个顶点分别为，记正方体12条棱的中点分别为，6个面的中心为，正方体的中心为.记，，其中是正方体的体对角线.则________. 11. 水平桌面上放置了3个半径为2的小球，它们两两相切，并均与桌面相切.若用一个半球形容器（容器厚度忽略不计）罩住三个小球，则半球形容器的半径的最小值是____. 12. 空间内存在三点A、B、C，满足，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，求方案数为______． 二､选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 13. 如图，在平行六面体中，M为的交点．若，，，则向量＝（　　） A. B. C. D. 14. 有一个沙漏如图所示，由圆柱与圆锥组合而成，上下对称，沙漏中沙子完全流下刚好填满下半部分圆柱部分，已知沙漏总高度为，圆柱部分高度为，则初始状态的沙子高度为（ ） A B. C. D. 15. 已知两个不同平面和三条不重合的直线，则下列命题： （1）若，a，则且. （2）若平面内有不在同一直线的三点到平面的距离都相等，则； （3）若分别经过两异面直线，且，则必与或相交； （4）若是两两互相异面的直线，则存在无数条直线与都相交. 其中正确的命题是（ ）. A. （1）（3） B. （2）（4） C. （1）（2）（4） D. （3）（4） 16. 如图，设为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点到四个顶点的距离组成的集合记为，如果集合中有且只有个元素，那么符合条件的点有． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 三､解答题（共5道大题，其中17题14分，18题14分，19题14分，20题16分，21题18分，共计76分） 17. 已知空间中三点、、，设，． （1）若，且，求向量； （2）求以、为一组邻边的平行四边形的面积S． 18. 亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）.假设我们把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成的几何体（如图2）.一般地，设圆锥中母线与底面所成角的大小为，当时，方能满足建筑要求.已知圆锥高为米，底面半径为米，圆柱高为3米，底面半径为2米. （1）求几何体的体积； （2）如图2，设为圆柱底面半圆弧的三等分点，求圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角的正切值，并判断该亭子是否满足建筑要求. 19. 在四棱锥中，四边形是平行四边形，且，． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）若，，二面角的平面角的余弦值为，求的正弦值． 20. 如图，在等腰梯形ABCD中，，，，E为AD中点，点O，F分别为BE，DE的中点，将沿BE折起到的位置，使得平面平面BCDE（如图）. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）侧棱上是否存在点P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 21. 在棱长均为2的正三棱柱中，E为的中点．过AE的截面与棱分别交