16.1.1 同底数幂的乘法_导学案 2026--2027学年人教版八年级数学上册

第十六章 整式的乘法 16.1.1 同底数幂的乘法

学习目标：

1. 经历从特殊到一般的探究过程，理解同底数幂的乘法法则的推导过程，掌握法则的文字表述与符号语言。

2. 能熟练运用同底数幂的乘法法则进行计算，注意底数为负数、指数为1、三个及以上幂相乘等易错情形。

3. 通过跨学科情境（地理、工程、信息技术等）中的幂运算问题，体会同底数幂乘法作为描述数量级增长的基础工具价值。

【一】情景导入

2026年，我国某大型水利枢纽工程正在进行数字化升级。工程师在计算水库的蓄水量时，发现水库的蓄水容量为 2×10⁸ m³。如果按照每天 2×10⁵ m³ 的流量放水，需要多少天才能放完？列式为 (2×10⁸) ÷ (2×10⁵)。这里涉及了同底数幂的除法运算，而除法的学习离不开乘法作为基础。

再如，某天文观测站记录到一颗脉冲星的信号周期为 10⁻³ 秒，若连续观测 10⁵ 个周期，总时间是多少秒？列式为 10⁻³ × 10⁵。这种同底数幂的乘法运算，就是我们今天要研究的核心内容。

【二】自主阅读

阅读指导：自主阅读教材本节内容，独立完成下列任务：

1. 同底数幂相乘，底数______，指数______。即 aᵐ · aⁿ = ______（m，n 都是正整数）。

2. 计算 a · a⁶ 时，a 的指数是______，结果是______。

3. 当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则是否仍然成立？例如 aᵐ · aⁿ · aᵖ = ______。

我的疑惑：

【三】合作探究

任务1：同底数幂乘法法则的探究

根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律？

（1）2⁴ × 2³ = (2 × 2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) = 2⁽  ⁾；

（2）a² · a⁴ = (a · a) · (a · a · a · a) = a⁽  ⁾；

（3）bᵐ × bⁿ = b⁽  ⁾（m，n 都是正整数）。

思考交流：

（1）观察上面各题，计算前后底数有变化吗？指数之间有什么关系？

（2）请用乘方的意义和乘法结合律，推导 aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ 的过程。

（3）类比推导 aᵐ · aⁿ · aᵖ 的结果。

任务2：辨析与比较

对比下列两组运算，它们的结果相同吗？请分别计算并说明理由。

思考交流：

（1）a² · a⁴ 与 a² + a⁴ 的本质区别是什么？

（2）计算 (−3) × (−3)³ × (−3)²，底数为负数时，结果的符号如何确定？

（3）计算 y · y³ + y² · y²，并说明每一步的依据。

任务3：信息技术中的同底数幂乘法

某云存储服务器的存储单元容量为 2¹⁰ MB。现有 2⁵ 个这样的存储单元。

（1）该服务器的总存储容量是多少 MB？请用幂的形式表示，并写出运算过程。

（2）若每个存储单元的实际可用容量为 2⁹ MB，总可用容量是多少 MB？

（3）若服务器需要扩展到 2⁸ 个存储单元，总容量将变为原来的多少倍？

【四】精讲点拨

例1 计算：

（1）y³ · y⁴；  （2）b · b⁵；  （3）(−3) × (−3)² × (−3)³；  （4）a²ᵐ · aᵐ⁺³。

点拨：第（2）题中 b 的指数为 1，不要漏加；第（3）题中三个因式同底，指数相加，底数为负数时指数为偶数则结果为正；第（4）题指数相加时注意合并同类项。

例2 已知 3ᵐ = 9，3ⁿ = 27，求 3ᵐ⁺ⁿ 的值。

点拨：逆向运用同底数幂的乘法法则：3ᵐ⁺ⁿ = 3ᵐ · 3ⁿ。将已知条件代入即可。

【五】总结提升

1. 同底数幂的乘法法则的文字表述和符号语言分别是什么？

2. 运用法则时需要注意哪些易错点？（提示：指数为1、底数为负数、三个及以上幂相乘、与加法的区别）

3. 同底数幂的乘法法则在信息技术、天文观测等实际情境中有怎样的应用？

【六】当堂检测

1. 下列计算正确的是（ ）

A. a² · a⁴ = a⁸    B. b · b⁴ = b⁴    C. y³ · y⁴ = y⁷    D. (−3)² × (−3)³ = (−3)⁶

2. 计算：

（1）10³ × 10⁶ = ______；

（2）y⁵ · y⁶ = ______；

（3）n · n⁵ · n⁸ = ______。

3. 2026年，某地理测绘卫星在轨道上运行，其轨道高度约为 5×10⁵ m。若该卫星每天绕地球飞行 2×10¹ 圈，请回答下列问题。