16.1.2 幂的乘方与积的乘方知识清单2026-2027学年八年级数学上册人教版

16.1.2 幂的乘方与积的乘方 知识清单 人教版（2024）八年级数学上册　第十六章　整式的乘法 知识地图 ① 幂的乘方　()n = ，底数不变、指数相乘。 ② 积的乘方　(ab)n = ，每个因式分别乘方。 ③ 法则的推广　(abc)n = ；多层乘方 [()n]p = 。 ④ 法则的逆用　 = ()n； = (ab)n，用于求值与简便计算。 ⑤ 三条法则的区分　同底数幂相乘「指数相加」，幂的乘方「指数相乘」，积的乘方「每个因式分别乘方」。 ⑥ 符号与系数　负底数「奇负偶正」；系数（数字因数）也要一起乘方。 一、学习目标与重难点 1. 学习目标 层次 具体要求 理解 理解幂的乘方、积的乘方的意义，知道它们与同底数幂乘法的区别 掌握 掌握幂的乘方法则 ()n = ，会用法则进行计算 掌握 掌握积的乘方法则 (ab)n = ，会把每个因式分别乘方 应用 能综合运用三条幂的运算性质进行混合运算，注意运算顺序 应用 会逆用两个法则解决求值、比较大小和简便计算的问题 2. 本节重难点 重点：幂的乘方法则（底数不变，指数相乘）与积的乘方法则（每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘）。 难点：区分「指数相加」与「指数相乘」；积的乘方中系数与符号的处理；两个法则的逆用。 二、幂的乘方 1. 探究：从具体到一般 根据乘方的意义，计算下列各式，并观察结果中底数与指数的变化： 算式 根据乘方的意义展开 再用同底数幂乘法 结果 ()2 · ()3 · · ()n · · … · 观察发现：幂的乘方，结果的底数不变，而指数等于两个指数之积（3 + 3 = 3 × 2 = 6，2 + 2 + 2 = 2 × 3 = 6）。 2. 法则 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 符号语言：()n = （m、n 都是正整数）。 这个法则可以用乘方的意义和同底数幂的乘法法则推出来： 　　()n = · · … · = = （右边指数中有 n 个 m 相加，即 m + m + … + m = mn，所以幂的乘方最终转化为「指数相乘」。） 图 1 幂的乘方的推导：()2 = · = = 使用提示：① 法则中底数可以是数，也可以是字母、单项式或多项式，此时把整个式子看作一个整体；② 负号在括号外时先算乘方、再定号，如 −()3 = −。 3. 例 1（法则的直接应用） 计算：(1) ()5　　(2) ()4　　(3) ()2　　(4) −()3 解：(1) ()5 = = ；　　(2) ()4 = = ； (3) ()2 = = ；　　(4) −()3 = − = −。 要点：幂的乘方只把两个指数相乘，底数始终不变；(3) 中指数含字母时结果写成 ；(4) 中的负号在括号外、不参与乘方。 三、积的乘方 1. 探究：从具体到一般 根据乘方的意义和乘法交换律、结合律，计算下列各式： 算式 根据乘方的意义展开 再用乘法运算律整理 结果 (3x)2 3x · 3x (3 · 3)(x · x) = 9 (ab)2 (ab)(ab) (a · a)(b · b) (ab)3 (ab)(ab)(ab) (a · a · a)(b · b · b) (ab)n (ab)(ab)…(ab) n 个 a、n 个 b 分别相乘 观察发现：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 2. 法则 积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 符号语言：(ab)n = （n 为正整数）。 利用乘方的意义及乘法交换律、结合律，可以证明这个法则： 　　(ab)n = (ab)(ab)…(ab) = (a · a · … · a)(b · b · … · b) = 图 2 积的乘方的推导：(ab)3 = (ab)(ab)(ab) = (a · a · a)(b · b · b) = 使用提示：① 每个因式都要乘方，一个都不能漏，尤其别漏掉系数（数字因数）；② 系数乘方后要算出结果，如 (2a)3 = = 8；③ 底数是「和」时不能套用，如 (a + b)n ≠ + 。 3. 法则的推广 积的乘方法则也适用于三个或三个以上因式的积，即： 　　(abc)n = （n 为正整数）。 例如 (2xy2)3 = · · ()3 = 8。 4. 例 2（法则的直接应用） 计算：(1) (2a)3　　(2) (−5b)3　　(3) (xy2)2　　(4) (−2)4 解：(1) (2a)3 = = 8；　　(2) (−5b)3 = (−5)3 · = −125； (3) (xy2)2 = · ()2 = ；　　(4) (−2)4 = (−2)4 · ()4 = 16。 要点：(2) 中 (−5)3 的符号由「负数的奇次方为负」确定；(4) 中系数与字母幂都要乘方，(−2)4 = 16 为正。 四、三条法则的比较 到本课时为止，我们共学习了三条幂的运算性质。它们形式相近、容易混淆，把三条法则放在一起对比，抓住「指数怎么变」是记住它们的关键。 运算名称 算式形式 指数怎么变 记忆口诀 同底数幂相乘 · = 指数相加 同底相乘，指数相加 幂的乘方 ()n = 指数相乘 幂再乘方，指数相乘 积的乘方 (ab)n = 每个因式分别乘方 积的乘方，分头乘方 图 3 三条法则的对比：同底数幂相乘（指数相加）、幂的乘方（指数相乘）、积的乘方（分别乘方） 辨析要点：① 括号内是「幂」、括号外是指数 → 幂的乘方，指数相乘；② 括号内是「积」、括号外是指数 → 积的乘方，每个因式分别乘方；③ 两个同底数的幂中间是乘号 → 同底数幂相乘，指数相加。 五、法则的逆用 1. 幂的乘方法则的逆用 把幂的乘方法则反过来用，就得到： 　　 = ()n = ()m（m、n 都是正整数）。 它可以把「一个大指数」拆成「两个小指数相乘」，从而利用已知幂的值求值。 例如（教材例 2 变式）：已知 = 3，求 的值。 解： = ()3 = = 27。 2. 积的乘方法则的逆用 把积的乘方法则反过来用，就得到： 　　 = (ab)n（n 为正整数）。 当两个幂的指数相同、底数不同时，先把底数相乘再乘方，常常能使计算简便。 例如： × = (0.125 × 8)2023 = = 1。 3. 用逆用比较大小 例 3 比较 与 的大小。 解：把两个幂都化成指数为 100 的幂，再用幂的乘方法则： = ()100 = ， = ()100 = 。 因为 243 < 256，所以 < ，即 < 。 （比较大小的常用办法：把指数化成相同的数，再比较底数。） 六、典型例题 【基础题】 例 4 下列计算正确的是（　　）。 A. ()2 = 　　B. ()2 = C. ()2 = 　　D. · = 解：选 B。幂的乘方，底数不变、指数相乘，故 ()2 = = 。 A 把指数相加（那是同底数幂相乘）；C 把指数算错；D 是同底数幂相乘，应为 ，不是 。 例 5 计算：(1) ()2　　(2) (−)3 解：(1) ()2 = ；　　(2) (−)3 = −()3 = −。 答：(1) ；　(2) −。 例 6 计算：()4 = ______。 解：底数不变，指数相乘：()4 = = 。 答：。 【提升题】 例 7 计算：(1) (2a)3　　(2) (a)3 解：(1) (2a)3 = = 8；　　(2) (a)3 = · ()3 = 。 答：(1) 8；　(2) 。 例 8 计算：(−2y)3。 解：把 −2、、y 三个因式分别乘方： 原式 = (−2)3 · ()3 · = −8。 答：−8。 例 9 计算：()3 · 。 解：先算幂的乘方，再算同底数幂乘法： 原式 = · = = 。 答：。 例 10 计算：3()3 − (2)2。 解：3()3 = 3，(2)2 = 4。 原式 = 3 − 4 = −。 答：−。 例 11 已知 = 5， = 6，求 与 的值。 解：逆用幂的乘方法则： = ()2 = = 25； = ()3 = = 216。 答： = 25， = 216。 【拓展题】 例 12 计算：(−3)2。 解：原式 = (−3)2 · ()2 · ()2 = 9。 答：9。 例 13 计算：(−)3 + (2)2 − x · 。 解：(−)3 = −，(2)2 = 4，x · = 。 原式 = − + 4 − = 2。 答：2。 例 14 已知 = 3， = 5，求 的值。 解：先把指数拆开，再分别逆用两个法则： = · = ()2 · = × 5 = 45。 答：45。 例 15 已知 = ，求 n 的值。 解：把 9 写成 ，再用幂的乘方法则： = ()n = = ，所以 2n = 12，n = 6。 答：n = 6。 例 16 计算：(−0.25)2023 × 。 解：两幂指数相同，逆用积的乘方法则： 原式 = (−0.25 × 4)2023 = (−1)2023 = −1。 答：−1。 七、易错清单 序号 常见错误 正确理解 1 把幂的乘方当成同底数幂相乘：()3 算成 幂的乘方是「指数相乘」：()3 = 2 把同底数幂相乘当成幂的乘方： · 算成 同底数幂相乘是「指数相加」： · = 3 积的乘方漏掉某个因式：(ab)3 写成 b 每个因式都要乘方：(ab)3 = 4 漏掉系数的乘方：(2a)3 算成 2 系数也是因式：(2a)3 = = 8 5 负底数符号错：(−2a)3 算成 8 负底数「奇负偶正」：(−2a)3 = −8 6 括号外负号处理错：−()3 算成 (−)3 负号在括号外时不参与乘方：−()3 = − 7 把「和」也套用积的乘方：(a + b)2 算成 + (a + b) 是「和」不是「积」，不能分别乘方 8 逆用时把 · 与 ()n 混淆 · = ；( )n = ，两者不同 八、方法总结与知识结构 1. 三条法则与常用变形 项目 内容 幂的乘方 ()n = （m、n 为正整数），底数不变、指数相乘 积的乘方 (ab)n = （n 为正整数），每个因式分别乘方 法则的推广 (abc)n = ；[()n]p = 幂的乘方逆用 = ()n = ()m，用于求值与比较大小 积的乘方逆用 = (ab)n，指数相同、底数不同时先乘底数 与同底数幂乘法区分 · = （指数相加），不要与指数相乘混淆 运算顺序 先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号里的 2. 知识结构 幂的乘方　法则：()n = ，底数不变、指数相乘 　逆用： = ()n，用于求值与比较大小 积的乘方　法则：(ab)n = ，每个因式分别乘方 　推广与逆用：(abc)n = ； = (ab)n 易错点　指数相加与相乘混淆；漏因式乘方；漏系数乘方；负号位置 三条法则　· = ；( )n = ；(ab)n = 一句话总结：幂的乘方「底数不变、指数相乘」，积的乘方「每个因式分别乘方、再把幂相乘」；与同底数幂相乘的「指数相加」对比记忆，并会逆用。 九、学以致用（即时自测） 1. 下列计算正确的是（　　）。 A. ()2 = 　　B. ()2 = C. ()2 = 　　D. · = 2. 计算：()5 = ______。 3. 计算：(2a)3 = ______。 4. 计算：(−)3 = ______。 5. 已知 = 5，则 = ______。 参考答案：1. B（幂的乘方，指数相乘，()2 = ）。 2. （指数 3 × 5 = 15）。 3. 8（系数 2 也乘方： = 8）。 4. −（负号在括号内，指数为奇数，结果为负）。 5. 125（ = ()3 = = 125）。 解题小贴士：（1）先看运算形式：括号内是「幂」用幂的乘方，是「积」用积的乘方，同底数幂相乘才用指数相加；（2）积的乘方别漏系数与符号；（3）指数相同、底数不同时考虑逆用。 十、知识拓展与思考 1. 实际应用：用幂表示和计算 积的乘方与幂的乘方，在表示和计算较大的数时很有用。例如，一个正方体的棱长为 2 × 个单位长度，它的体积为： (2 × )3 = × ()3 = 8 × （体积单位）。 （这里既用了积的乘方把 2 与 分别乘方，又用幂的乘方把指数 2、3 相乘。） 2. 综合运用 例 17 计算：()3 · ()2 − · 。 解：()3 = ，()2 = ， · = 。 原式 = · − = − = 0。 答：0。 例 18 已知 = 3，求 与 的值。 解： = ()2 = = 9； = ()a = = 9。 这里先把 4 写成 ，再用幂的乘方，两次变形都用到了「指数相乘」。 答： = 9， = 9。 3. 思考与辨析 思考题（选做）：（1）()n 与 · 有什么区别？（2）(ab)n 与 一定相等吗？（3）已知 = 6，能否求出 ？ 拓展结论：（1）()n 是幂的乘方，结果 ； · 是同底数幂相乘，结果 ，两者完全不同；（2）相等，这正是积的乘方法则；（3）能， = ()x = = ()2 = = 36。 学习提示：两条法则记牢：幂的乘方「指数相乘」，积的乘方「每个因式分别乘方」；遇到求值时先看能否逆用「指数相乘」把大指数拆开。 学科网（北京）股份有限公司 $