精品解析：河北石家庄市第二十三中学2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

数学学科练习2 注意事项 1．本试卷共4页，总分100分，考试时间60分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 一．单选题（共16题，每题3分，共48分） 1. 如图，中，，，为，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形中锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：A、，解得，符合题意； B、，解得，不符合题意； C、，解得，不符合题意； D、，解得，不符合题意． 2. 如图，根据下列尺规作图痕迹，其中表示点O是△ABC外心的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的外心O是三角形外接圆的圆心，即是三边垂直平分线的交点，结合尺规作线段垂直平分线的方法做出选择． 【详解】解：A、此选项作图痕迹是作角平分线的交点，O是内心，不符合题意； B、此选项作图痕迹是作角平分线和垂直平分线的交点，O不是外心，不符合题意； C、此选项作图痕迹是作三角形边的垂直平分线的交点，O是外心，符合题意； D、此选项作图痕迹只作了边BC上的垂直平分线，O不是外心，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查尺规作图-作线段垂直平分线，同时也涉及了角平分线的尺规作图，熟知三角形的外心O是三角形外接圆的圆心，即是三边垂直平分线的交点是解答的关键． 3. 如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于、两点，若的半径为，则弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理得到，进而证明为等边三角形，利用等边三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， 为等边三角形， ． 4. 下列命题中，真命题的个数是（ ） ①相等的弦所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦； ③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等； ④在同一个圆中，弧是弧的倍，则弦是弦的倍； ⑤直角三角形的斜边就是它外接圆的直径． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【详解】解：①相等的弦所对的弧相等．错误，未限定同圆或等圆，且一条弦对应两条弧，相等的弦所对的弧不一定相等． ②平分弦的直径垂直于弦．错误，若被平分的弦为直径，结论不成立． ③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．正确． ④在同一个圆中，弧是弧的倍，则弦是弦的倍．错误，弦长与弧长不成正比． ⑤直角三角形的斜边就是它外接圆的直径．正确． 综上，真命题共有个． 5. 如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用勾股定理求出，然后根据余弦的定义求解． 【详解】解：， ∴． 6. 如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形．若将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据弧长公式求出阴影扇形的弧长，进而可求出围成圆锥的底面半径． 【详解】解：扇形的长为：， ∵扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长， 设围成圆锥的底面半径为， ∴ 解得：． 7. 如图，是的直径，弦交于点，连接、．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，由是的直径得，再根据同弧所对圆周角相等和直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 8. 如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（ ） A. 3米 B. 8米 C. 10米 D. 20米 【答案】C 【解析】 【分析】设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，连接，则O、D、C三点共线，根据垂径定理得米，再由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，如图，连接，则O、D、C三点共线， ∵拱高为， ∴， ∵米， ∴米， 在中，根据勾股定理，得：， 即， 解得：， 即拱桥的半径为10米． 9. 如图，在直角坐标系中，点为坐标原点，一条圆弧经过，，三点，则下列说法不正确的是（ ） A. 这条圆弧所在圆的圆心为 B. 这条圆弧所在圆的半径为 C. 原点在这条圆弧所在圆内 D. 点在这条圆弧所在圆外 【答案】D 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系，确定圆的条件以及勾股定理进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴圆心在直线上， 设其圆心坐标为， 则，即， 由勾股定理得， 解得， ∴这条圆弧所在圆的圆心为，半径为，故选项、正确； ， ∴点在这条圆弧所在圆上，故选项不正确； ， ∴原点在这条圆弧所在圆内，故选项正确． 10. 如图，物理实验室有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从C处测得E，F两点的俯角，分别为和，这时点F相对于点E升高了．该摆绳的长度为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点作，根据题意，得到，，利用三角函数得到，利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：过点作，由题意，可知：，，， ∴， ∴，， ∴， 解得：； 故选C． 11. 如图，是的直径，弦于点E，，则图中阴影部分的面积之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、求扇形面积，全等三角形的判定和性质，解题的关键是将阴影部分的面积转化到规则图形中． 根据题意得出，进而得到，最后将图中阴影部分的面积之和转化为扇形的面积，进行求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵是的直径，弦于点E， ∴，即垂直平分， ∴， 又∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， 则阴影部分的面积之和为． 故选：B． 12. 如图，有一个圆柱形容器（容器内壁厚度忽略不计），里面放了一些溶液．容器高为，底面直径为，现将溶液倒入另一容器中，当圆柱形容器倾斜到液面与器壁呈角时才能倒出（此时液面与地面水平），则此时容器最高处距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作于点，交于点，过点作于点，得出四边形是矩形，可得，再解直角三角形，分别求得，，即可求解． 【详解】解：如图是容器倾斜时的截面图，由题意得，，，， ，， 过点作于点，交于点，过点作于点， ∴， ∵ ， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即容器最高处距离地面的高度是． 13. 如图，四边形内接于，F是上一点，且，连接并延长交的延长线于点E，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，三角形的外角性质，求解即可； 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴． ∵，， ∴， ∴． 14. 在锐角中，，，所对的边分别为a，b，c，有以下结论：（其中R为的外接圆半径）成立．在中，若，，，则的外接圆面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据公式求出R，根据圆的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：在中，，， 则， ∴， 即， 解得：， ∴的外接圆面积为：． 15. 如图，在中，，，D为边上的一个动点，连接，E为上一个动点，连接，当时，线段的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，取的中点T，连接、，先证明，求出、，根据，求解即可．熟练掌握知识点并准确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：取的中点T，连接、， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 线段的最小值是2， 故选：A． 16. 如图，是的直径，点C，点D是半圆上两点，连接，相交于点P，连接，．已知于点E，．下列结论：①；②若点P为的中点，则；③若，则；④若，则平分．其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②③④ C. ②③④ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】由垂径定理，圆周角定理得出，，进而根据等角的余角相等判断①；由点P为的中点，得出，进而证明，得出，进而根据三角形中位线定理得出，等量代换得出即可判断②；连接，根据垂径定理得出，由得出，则，得出为等边三角形，由，即可得出，继而判断③；由勾股定理得出，则有，由③可得为等边三角形，利用等边三角形的性质即可判断④，进而可得答案． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ②∵点P为的中点， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴，故③正确，符合题意； ④∵，， ∴， ∵， ∴， 则由③知为等边三角形，又， ∴平分， 即平分，故④正确，符合题意； 故正确的是①②③④． 二．填空题（共4题，每题4分，共16分） 17. 在中，，则是______三角形． 【答案】钝角 【解析】 【分析】先利用绝对值、平方的非负性得到、，求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是钝角三角形． 18. 如图，小明在处测得处的俯角为，处的俯角为，，，若斜面坡度为，则斜坡的长是________． 【答案】40 【解析】 【分析】根据题意可得平行于水平线，可得，根据坡度的定义得出，根据正切函数的定义及特殊角的三角函数值得出，根据俯角的定义得出，根据角的和差关系得出，，即可得出，可得是等腰直角三角形，即可得出答案． 【详解】解：如图，根据题意可得平行于水平线， ， ∵斜面坡度为， ， ， ， ∵在处测得处的俯角为处的俯角为， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． 19. 如图，是的直径，E是上一点，A为延长线上一点，连接与交于点B，且，若，则的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，利用等腰三角形的性质得到，以及三角形外角的性质求出，结合即可求解． 【详解】解：连接， ，， ， ， 而， ， ， ， ． 20. 如图，，是半径为的的两条弦，，，于，于． （1）________； （2）点在上运动，则的最小值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）连接，利用勾股定理求出即可． （2）作于H点，由于关于对称，因而,即当在一条直线上时，最小，即的值就是的最小值． 【详解】解：（1）连接， ∵,是直径，于E，于F， ∴， ∴，， ∴． （2）作于H点，连接， ∵于E，于F， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴的最小值为． 三．解答题（共3题，共36分） 21. 如图，，都是的直径，弦，垂足为． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由对顶角相等可得，则可得，再根据圆周角定理可得，则； （2）根据垂径定理，，根据圆周角定理可得，结合可证明是等腰直角三角形，则，使用勾股定理计算出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵， 又∵， ∴， ∴， 在直角中，． 【点睛】本题考查垂径定理，圆心角的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定定理，勾股定理，熟练掌握圆的基本性质是关键． 22. 现在人们经常使用电脑，若坐姿不正确，容易造成眼睛疲劳，腰酸颈痛．使用电脑时一般正确的坐姿是：眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上；肘部形成的“手肘角”为，如图1所示． （1）如图2，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛与屏幕的距离为多少厘米．（结果精确到） （2）如图3，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，桌面到地面的距离，通过计算判断此时是不是正确坐姿．若是，请说明理由；若不是，那么应如何调整桌面（桌面可上下调整）才能使肘部形成的“手肘角”为？（参考数据：，，，，，，） 【答案】（1） （2）不是，桌面应下调 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用． （1）根据题意，在中，，列式计算即可； （2）延长交于点，先得到，继而得到，得到不是正确坐姿，在中，，，调整后，，．继而得到本题答案． 【小问1详解】 解：在中，，， ． 故眼睛与屏幕的距离约为； 【小问2详解】 解：如图，延长交于点， 则，， 调整前，． 在中，， ， ，即， 故此时不是正确坐姿． 当时，． 在中，，， 调整后，，． 故桌面应下调才能使肘部形成的“手肘角”为． 23. 如图，半圆的直径，以长为的弦为直径，向点方向作半圆，其中点在（弧）上且不与点重合，但点可与点重合． （1）发现：（弧）的长与（弧）的长之和为定值，求； （2）思考：①点与的最大距离为________，此时点，间的距离为________； ②点与的最小距离为________，此时半圆的弧与所围成的封闭图形面积为________． 【答案】（1） （2）①，；②， 【解析】 【分析】（1）半圆的长度是固定不变的，由于也是定值，所以的长度也是固定值，所以与的长之和为定值； （2）过点作于点，当与重合时，与的距离最大，此时，，；当与重合时，与的距离最小，此时围成的封闭图形面积可以用扇形的面积减去的面积即可求解． 【小问1详解】 解：如图1，连接、， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 又半圆的长为：， ， ； 【小问2详解】 解：①如图，过点作于点，连接， ，， ，， 即当与重合时，与的距离最大，最大值为， 连接， 此时，， ， ， 是等边三角形， ； ②如图，当与重合时，此时，与的距离最小，设此时半圆与交于点，连接，过点作于点， ， ， 即与的距离最小值为， ， ， 是等边三角形， ， 扇形的面积为：， 的面积为：， 半圆的弧与所围成的封闭图形面积为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学学科练习2 注意事项 1．本试卷共4页，总分100分，考试时间60分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 一．单选题（共16题，每题3分，共48分） 1. 如图，中，，，为，则长为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，根据下列尺规作图痕迹，其中表示点O是△ABC外心的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于、两点，若的半径为，则弦长为（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，真命题的个数是（ ） ①相等的弦所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦； ③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等； ④在同一个圆中，弧是弧的倍，则弦是弦的倍； ⑤直角三角形的斜边就是它外接圆的直径． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 5. 如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形．若将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，弦交于点，连接、．若，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（ ） A. 3米 B. 8米 C. 10米 D. 20米 9. 如图，在直角坐标系中，点为坐标原点，一条圆弧经过，，三点，则下列说法不正确的是（ ） A. 这条圆弧所在圆的圆心为 B. 这条圆弧所在圆的半径为 C. 原点在这条圆弧所在圆内 D. 点在这条圆弧所在圆外 10. 如图，物理实验室有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从C处测得E，F两点的俯角，分别为和，这时点F相对于点E升高了．该摆绳的长度为（ ）． A. B. C. D. 11. 如图，是的直径，弦于点E，，则图中阴影部分的面积之和为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，有一个圆柱形容器（容器内壁厚度忽略不计），里面放了一些溶液．容器高为，底面直径为，现将溶液倒入另一容器中，当圆柱形容器倾斜到液面与器壁呈角时才能倒出（此时液面与地面水平），则此时容器最高处距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 13. 如图，四边形内接于，F是上一点，且，连接并延长交的延长线于点E，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 14. 在锐角中，，，所对的边分别为a，b，c，有以下结论：（其中R为的外接圆半径）成立．在中，若，，，则的外接圆面积为（ ） A. B. C. D. 15. 如图，在中，，，D为边上的一个动点，连接，E为上一个动点，连接，当时，线段的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 16. 如图，是的直径，点C，点D是半圆上两点，连接，相交于点P，连接，．已知于点E，．下列结论：①；②若点P为的中点，则；③若，则；④若，则平分．其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②③④ C. ②③④ D. ①②③ 二．填空题（共4题，每题4分，共16分） 17. 在中，，则是______三角形． 18. 如图，小明在处测得处的俯角为，处的俯角为，，，若斜面坡度为，则斜坡的长是________． 19. 如图，是的直径，E是上一点，A为延长线上一点，连接与交于点B，且，若，则的度数是________． 20. 如图，，是半径为的的两条弦，，，于，于． （1）________； （2）点在上运动，则的最小值为________． 三．解答题（共3题，共36分） 21. 如图，，都是的直径，弦，垂足为． （1）求证：． （2）若，，求的长． 22. 现在人们经常使用电脑，若坐姿不正确，容易造成眼睛疲劳，腰酸颈痛．使用电脑时一般正确的坐姿是：眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上；肘部形成的“手肘角”为，如图1所示． （1）如图2，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛与屏幕的距离为多少厘米．（结果精确到） （2）如图3，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，桌面到地面的距离，通过计算判断此时是不是正确坐姿．若是，请说明理由；若不是，那么应如何调整桌面（桌面可上下调整）才能使肘部形成的“手肘角”为？（参考数据：，，，，，，） 23. 如图，半圆的直径，以长为的弦为直径，向点方向作半圆，其中点在（弧）上且不与点重合，但点可与点重合． （1）发现：（弧）的长与（弧）的长之和为定值，求； （2）思考：①点与的最大距离为________，此时点，间的距离为________； ②点与的最小距离为________，此时半圆的弧与所围成的封闭图形面积为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $