精品解析：北京市八一学校2026-2027学年第一学期期中练习八年级数学

北京市八一学校教育集团2026-2027学年第一学期期中练习 八年级数学 2026.11 注意事项 1．本试卷共6页，满分100分．考试时间90分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（本题共30分，每小题3分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 以下是某次参选北京冬奥会会徽“冬梦”的会徽设计的一部分图形，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项符合题意． 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 3 ；4；8 B. 5；6 ；11 C. 4；6；9 D. 4；4； 9 【答案】C 【解析】 【分析】选取两条较短线段求和，与最长线段比较大小，判断能否构成三角形. 【详解】解：A. ，不能组成三角形. B. ，不能组成三角形. C. ，能组成三角形. D. ，不能组成三角形. 3. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：，A错误. ，B错误. ，C错误. ，D正确. 4. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，判断等式从左到右的变形是否为将多项式化为几个整式的积的形式. 【详解】解：A、B选项等式右边均不是几个整式的积的形式，不符合题意； C选项从左到右是整式的乘法运算，不符合题意； D选项，符合因式分解的定义. 5. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 同位角相等，两直线平行 C. 对顶角相等 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】分别写出原命题的逆命题，然后判断真假即可． 【详解】解：A、若，则的逆命题是若，则，逆命题是假命题，不符合题意； B、同位角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行，同位角相等，逆命题是真命题，符合题意； C、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，不符合题意； D、若，，则的逆命题是若，则，，逆命题是假命题，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是正确的写出一个命题的逆命题，难度不大． 6. 如果等腰三角形的一个角为，那么其余两个角为（） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论．分角是顶角与底角两种情况讨论求解． 【详解】解：①角是顶角时，底角， 所以，其余两个角是； ②角是底角时，顶角， 所以，其余两个角是； 综上所述，其余两个角是或． 故选：C． 7. 如图，左边为参加2019年国庆70周年阅兵的武警摩托车礼宾护卫队，如果将每位队员看成一个点，队形可近似看成由右边所示的若干个正方形拼成的图形，其中与△ABC全等的三角形是（） A. △AEG B. △ADF C. △DFG D. △CEG 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定进行分析即可. 【详解】设小正方形的边长为1，则AB=3,AC=,BC=,AE=,AF=,DF=3,DG= BC=,GF= AC=,CE= 先从三角形的最长边分析，A. △AEG，B. △ADF，D. △CEG都不可能与△ABC全等；只有C. △DFG符合SSS形式. 故选：C 【点睛】考核知识点：全等三角形的判定，勾股定理.利用勾股定理求出三角形边长是关键. 8. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了垂直平分线的性质，三角形外角的性质，含角直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．先根据垂直平分线的性质得到，推出，由三角形外角的性质得到，然后利用含角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：是线段的垂直平分线， ， ， ． ， ． 故选：D． 9. 如图，点P在内，点P关于、的对称点分别为E、F，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，等边三角形的判定等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．连接、．根据轴对称的性质，证明是等边三角形，可得结论． 【详解】解：如图，连接、． ∵点P关于、的对称点分别为E、F， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：B． 10. 在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为当时，的值为　　 A. 2a B. 2b C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】【分析】利用面积的和差分别表示出和，然后利用整式的混合运算计算它们的差． 【详解】， ， ， ， ， ， ， 故选B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，整式的混合运算，“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来. 二、填空题（本题共12分，每小题2分） 11. 计算：______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，一个不为0的零次幂等于1；据此求解即可． 【详解】解：； 故答案为：1． 12. 计算________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 13. 已知：如图，，只需添加一个条件______．即可证明．（写一个即可）． 【答案】（答案不唯一，或或） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等． 通过全等三角形的判定方法直接添加条件即可． 【详解】解：由题意可知，，， 可添加条件，可利用证得， 所以这个条件可以是（答案不唯一）． 也可添加条件，可利用证得， 也可添加条件，可利用证得， 也可添加条件，可利用证得， 故答案为：（答案不唯一，或或）． 14. 如图，在中，点在边上，且，，则的度数是________度． 【答案】36 【解析】 【分析】由等边对等角得出，由三角形外角的定义及性质得出，再由等边对等角得出，，最后由三角形内角和定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 15. 如图，在中，和的平分线交于O点，过点O作的平行线交于M点，交于N点，则的周长为____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，以及平行线的性质，利用角平分线及平行线性质，结合等腰三角形的判定得到，将三角形周长转化，求出即可． 【详解】解：∵为的平分线，为的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴周长为， 故答案为：10． 16. 如图，坐标平面内一点，为原点，是坐标轴上的一个动点，如果以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点的个数为________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据题意，点P在坐标轴上，分点P在x轴上和点P在y轴上两种情况讨论；在每种情况下，再根据等腰三角形的定义，分，，三种情况求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 当点P在x轴上时， 设， 若，则，解得，此时点P坐标为或， 若，则，解得：或（舍去，此时P与O重合），此时点P坐标为， 若，则，解得，此时点P坐标为， 综上：当点P在x轴上时，符合条件的点P有4个； 当点P在y轴上时， 设， 若，则，解得，此时点P坐标为或， 若，则，解得：或（舍去，此时P与O重合），此时点P坐标为， 若，则，解得，此时点P坐标为， 综上：当点P在y轴上时，符合条件的点P有4个； ∴符合条件的动点P的个数为． 三．解答题（本大题共58分，第17题6分，第18题8分，19-22题每题5分，23题6分，第24题5分，25题7分，第26题6分） 17. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可求解； （）先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可求解； 本题考查了因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题的关键． 【小问1详解】 解： ， ； 【小问2详解】 解： ， ． 18. 计算、求值 （1）计算：． （2）已知，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ， ． 【小问2详解】 解： ， ， ， ∵， ∴原式． 19. 如图，点，，，同一直线上，点，在异侧，，，．求证：． 【答案】 解：∵ ∴ ∴CF=BE ∵ ∴∠B=∠C 在△ABE和△DCF中， ∴△ABE≌△DCF（AAS） ∴ 【解析】 【分析】根据已知条件，证明△ABE≌△DCF即可. 【详解】略 【点睛】此题考查的是全等三角形的判定，掌握用AAS判定两个三角形全等是解决此题的关键. 20. 如图坐标平面内，已知的三个顶点在格点上，网格上最小的正方形的边长为1．画出关于轴对称的图形，并写出点、、的坐标． 【答案】 根据直角坐标系可知：，， 【解析】 【详解】略 21. 如图，电信部门要在区修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇，的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等，发射塔应修在什么位置？请用尺规作图在图上标出它的位置．（要求：画图留下痕迹，但不要求写作法） 【答案】 如图所示，点即为所求作的点． 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图—作角平分线和线段的中垂线，分别作出角的平分线和线段的中垂线，两线的交点即为所求，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】略 22. 如图，等腰中，，，于，点是线段上一点，点是延长线上一点，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】连接，证明垂直平分，得到，由等边对等角推出，求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 23. 如图，在和中，，，， （1）求证：； （2）延长交于点，连接，请补全图形，并证明平分． 【答案】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：补全图形如下，证明如下： 如图所示，过点A作于点M，于点N， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分． 【解析】 【分析】（1）证明，即可证明； （2）根据题意补全图形，过点A作于点M，于点N，证明，得到，据此可证明平分． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 阅读学习下面材料，解决问题． 材料1：常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解．如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了．过程为．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题： （1）因式分解：； 材料2：我们知道完全平方公式，运用完全平方式是非负数的这一性质，可以找到解决问题的方法．例如， ，． （2），判断是正数还是负数，说明理由． 【答案】（1） （2）是正数，理由如下： ， ， ， ，， ， 故是正数． 【解析】 【分析】（1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）将含的项分别配方，利用平方的非负性判断c的正负． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 略 25. 如图平分，，连接交于点，为延长线上一点，，交延长线于点，连接． （1）判断与的数量关系，并证明． （2）判断与的数量关系，并证明． 【答案】（1）． 证明：∵平分， ∴． 在射线上取点，使，连接． 在与中，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵点在射线上， ∴三点共线， ∴，且， ∴． （2）． 证明：在射线上取点，使，连接． ∵，点在直线上， ∴． 在与中，， ∵为截线， ∴(内错角相等)， ∴， ∴． ∴， ∴； 又共线， ∴． ∵依次在同一直线上，且， ∴， ∴，即，且． 在与中，， ∵为截线， ∴(内错角相等)， ∴， ∴，且， 由及，得，即． ∵，直线截这两条平行线，且点在上， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴(等角对等边)． ∴． 由（1）知；又点在的延长线上， ∴， ∴． 在与中，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由平分，在射线上取，构造，把转成；再由得，利用共线时的邻补角关系，得到． （2）在射线上取，连接；先由与，用一组公共边证得且，再用与公共边证得且；由平行线与角平分线得，从而；最后结合（1）的互补关系，用证，得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 在平面直角坐标系中，直线为二、四象限角平分线．图形关于轴的对称图形称为图形的一次反射图形，记作图形；图形关于直线的对称图形称为图形的二次反射图形，记作图形．例如，点的一次反射点为，二次反射点为．根据定义，回答下列问题： （1）①点的一次反射点为________，二次反射点为________； ②当点在第二象限时，点，，中可能是点的二次反射点的是________； （2）点，，若线段上存在点，使得点的二次反射点恰好在轴上，求的取值范围． （3）已知如图正方形的四个顶点分别在坐标轴上，，，，点是正方形的边上的动点，，，，若正方形的边和它的二次反射图形的边没有公共点，则的取值范围为________． 【答案】（1）①一次反射点为，二次反射点为；②． （2）． （3）． 【解析】 【分析】（1）由一次反射(关于轴对称)与二次反射的定义，先求点关于轴、再关于直线的对称点坐标，逐点计算；对②，由点在第二象限确定其二次反射点所在的象限，再在候选中筛选． （2）设线段上点的坐标，写出其二次反射点坐标，由“恰好在轴上”令纵坐标为确定的位置，再由在线段上列出关于的不等式． （3）由二次反射把正方形的横、纵坐标范围分别用表示，得到二次反射图形；把“边没有公共点”转化为这两个正方形不相交(横坐标范围或纵坐标范围无公共部分)；再由点在正方形的边上()分情况求的范围． 【小问1详解】 解：点关于轴的对称点为；点关于直线的对称点为，所以点的二次反射点为． ①点的一次反射点为；点关于直线的对称点为，即二次反射点为． ②设点在第二象限，则，．点的二次反射点为． 因为，，所以点的二次反射点的横、纵坐标都为正数，位于第一象限． 在，，中，只有位于第一象限． 由得，，点确在第二象限，故可能是点的二次反射点的是． 【小问2详解】 解：线段在直线上，故线段上的点可设为，其中． 由点的二次反射点为，点的二次反射点为． ∵点的二次反射点恰好在轴上， ∴其纵坐标为，即，解得． ∴点的坐标为． ∵点在线段上， ∴，解得． 【小问3详解】 解：正方形的顶点为，，，，它的横坐标范围为，纵坐标范围为． 设点，，，的二次反射点分别为，，，(如图)． 由二次反射点化为，正方形边上的点经二次反射后，横坐标的范围为，纵坐标的范围为，即二次反射图形是边长为的正方形，横坐标范围为，纵坐标范围为． ∵两个正方形的边长都为，一个不可能严格含在另一个内部， ∴它们的边没有公共点，等价于这两个正方形不相交(既不相交也不相切)． 两个边分别平行于坐标轴的正方形不相交，只需横坐标范围无公共部分，或纵坐标范围无公共部分． 横坐标范围与无公共部分，即； 纵坐标范围与无公共部分，即． ∴条件为或． ∵点在正方形的边上，而正方形各边所在直线为、、、， ∴，即，且． ①当点不在轴下方，即： 当时，，，，满足条件； 当时，，，，由得． ∴此时满足条件的的范围为． ②当点在轴下方，即： 当时，，，，由得； 当时，，，，均不满足与． ∴此时满足条件的的范围为． 综上，点在正方形的边上运动时，只要①或②中有一情形使条件成立，对应的即符合要求，取并集得的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市八一学校教育集团2026-2027学年第一学期期中练习 八年级数学 2026.11 注意事项 1．本试卷共6页，满分100分．考试时间90分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（本题共30分，每小题3分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 以下是某次参选北京冬奥会会徽“冬梦”的会徽设计的一部分图形，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 3 ；4；8 B. 5；6 ；11 C. 4；6；9 D. 4；4； 9 3. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 同位角相等，两直线平行 C. 对顶角相等 D. 若，，则 6. 如果等腰三角形的一个角为，那么其余两个角为（） A. B. C. 或 D. 或 7. 如图，左边为参加2019年国庆70周年阅兵的武警摩托车礼宾护卫队，如果将每位队员看成一个点，队形可近似看成由右边所示的若干个正方形拼成的图形，其中与△ABC全等的三角形是（） A. △AEG B. △ADF C. △DFG D. △CEG 8. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点P在内，点P关于、的对称点分别为E、F，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 10. 在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为当时，的值为　　 A. 2a B. 2b C. D. 二、填空题（本题共12分，每小题2分） 11. 计算：______． 12. 计算________． 13. 已知：如图，，只需添加一个条件______．即可证明．（写一个即可）． 14. 如图，在中，点在边上，且，，则的度数是________度． 15. 如图，在中，和的平分线交于O点，过点O作的平行线交于M点，交于N点，则的周长为____． 16. 如图，坐标平面内一点，为原点，是坐标轴上的一个动点，如果以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点的个数为________． 三．解答题（本大题共58分，第17题6分，第18题8分，19-22题每题5分，23题6分，第24题5分，25题7分，第26题6分） 17. 分解因式： （1）； （2）． 18. 计算、求值 （1）计算：． （2）已知，求的值． 19. 如图，点，，，同一直线上，点，在异侧，，，．求证：． 20. 如图坐标平面内，已知的三个顶点在格点上，网格上最小的正方形的边长为1．画出关于轴对称的图形，并写出点、、的坐标． 21. 如图，电信部门要在区修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇，的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等，发射塔应修在什么位置？请用尺规作图在图上标出它的位置．（要求：画图留下痕迹，但不要求写作法） 22. 如图，等腰中，，，于，点是线段上一点，点是延长线上一点，若，求的度数． 23. 如图，在和中，，，， （1）求证：； （2）延长交于点，连接，请补全图形，并证明平分． 24. 阅读学习下面材料，解决问题． 材料1：常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解．如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了．过程为．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题： （1）因式分解：； 材料2：我们知道完全平方公式，运用完全平方式是非负数的这一性质，可以找到解决问题的方法．例如， ，． （2），判断是正数还是负数，说明理由． 25. 如图平分，，连接交于点，为延长线上一点，，交延长线于点，连接． （1）判断与的数量关系，并证明． （2）判断与的数量关系，并证明． 26. 在平面直角坐标系中，直线为二、四象限角平分线．图形关于轴的对称图形称为图形的一次反射图形，记作图形；图形关于直线的对称图形称为图形的二次反射图形，记作图形．例如，点的一次反射点为，二次反射点为．根据定义，回答下列问题： （1）①点的一次反射点为________，二次反射点为________； ②当点在第二象限时，点，，中可能是点的二次反射点的是________； （2）点，，若线段上存在点，使得点的二次反射点恰好在轴上，求的取值范围． （3）已知如图正方形的四个顶点分别在坐标轴上，，，，点是正方形的边上的动点，，，，若正方形的边和它的二次反射图形的边没有公共点，则的取值范围为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $