浙江金华市永康市2026-2027学年第一学期期中考试九年级数学学科试卷

2026学年第一学期九年级期中考试数学试题卷 1．答题前，考生务必将姓名、学校、考场号、座位号、考试号填涂在答题卷相应的位置上． 2．答题必须用0.5mm黑色墨水签字笔写在答题卷指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题． 3．考生答题必须在答题卷上，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一、选择题：(本大题共有10小题，每小题3分，共30分) 1．下列事件中，属于随机事件的是（　　） A. 宇航员在月球上所受的重力比在地球上小 B. 打开电视，正好在科教频道 C. 一个负数绝对值是正数 D. 潜水员深潜海底捞到月亮 2．抛物线的顶点坐标为(0，1)，则抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 3．已知线段a=4，b=9，则a，b的比例中项线段等于（　　） A. -6 B. 6 C. ±6 D. ±36 4．下列图形中，任意两个图形一定是相似图形的是（　　） A．三角形 B．平行四边形 C．抛物线 D．圆 5．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠A＝∠C＝35o，则∠B的度数等于（　　） A．65° B．70° C．55° D．60° 6． 某城市绿化部门将一种树苗移植成活的情况绘制成如下的统计图，种植这种树苗20000棵，估计可以成活的棵数为（　　） A.16000 B.17000 C.18000 D.19000 C O B A 第5题 第6题 第9题 7．若抛物线上有，，三点，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 8．现有一根长为50cm的铁丝，将它弯成一个矩形，设矩形的面积为ycm2,一边长为xcm,则y与x之间的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 9．如图，小丽将含30°的直角三角板放在⊙O中，斜边AB恰好是⊙O一条弦，直角顶点C在圆外，AC与⊙O相交于点D，连接BD，测得CD=1cm，CA=9cm，则O的半径是（　　） A. B. C. D. 10．如图，中，点D为边BC上的点，点E、F分别是边AB、AC上两点，且，若，，则（ ） A．，，则 B．，，则 C．，，则 D．，，则 第10题 二、填空题：(本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如果两个相似三角形的相似比为2：3，那么这两个三角形的面积比为 ▲ ． 12．已知线段AB=2，点P是线段AB 的黄金分割点，且AP＞PB，则AP的长度为 ▲ ． 13．二次函数的图象向右平移2个单位长度后，再向下平移3个单位长度，平移后的图象对应的二次函数解析式为 ▲ ． 第14题 第15题 第16题 14.如图，将半径6cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长度为 ▲ ． 15．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为抛物 线对称轴上的动点，则取最小值时，点的坐标是　 ▲ 　． 16．如图，以AB为直径的半圆O内有一条弦AC，点P是弦AC上一个动点，连接BP，并延长交半圆O于点D，若AB＝10，AC＝8，则的最大值是 ▲ ． 三、解答题：(本大题共8小题，共72分) 17．(8分) （1）四条线段a，b，c，d成比例，其中b=3cm，c=2cm，d=6cm，求线段a的长； （2）已知，且a+b-2c=3，求a的值。 18．(8分) 在一个不透明的口袋中有标号为1，2，3，4的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，摸球前先搅拌均匀，每次摸一个球 (1)摸出一个球，摸到标号为偶数的概率为 ▲ ． (2)从袋中不放回地摸两次，用列表或树状图求出两球标号数字为一奇一偶的概率． 19．(8分) 已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A(1，0)和B(4，0) （1）求此二次函数解析式；　　（2）当y＜0时，直接写出x的取值范围 20．(8分) 在128网格建立平面直角坐标系，O(0， 0)，A(1，2)，B(2，0)，C(5，1). （1）以点O为位似中心，在网格中作△ ABC的位似图形△A'B'C'，使△ ABC的边长放大到原来的2倍. （2）某同学们在探索“函数y=ax2+bx+c的系数a,b,c与图象的关系”时分别经过O(0， 0)，A(1,，2)， B(2，0)，C(5，1)这四个点中的三个点画出二次函数的图象，则选哪三个点的抛物线对应的函数表达式a最小？请在O，A，B，C中选择3个填入横线 ▲ 21．(8分)如图，四边形ABCD是正方形，以边CD为直径作⊙O，点E在BC边上，连结DE交⊙ O于点F，连结CF并延长交AB于点G. （1）求证：CE=BG； （2）若∠ DEC=55°，OC=6，求 的弧长（结果保留π） 22． (10分) 如图①，在四边形ABCD的边AB上取一点E（点E不与点A，B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么我们把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，那么我们把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”. （1）如图②，在四边形ABCD中，∠ A=∠ B=∠DEC. ① 试判断E是否为四边形ABCD的边AB上的“相似点”，并说明理由. ② 若E为边AB的中点，求证：E为四边形ABCD的边AB上的“强相似点”. （2）如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在边AB上的点E处，若E恰好是四边形ABCM边AB上的一个“强相似点”，试探究线段AB与BC之间的数量关系. 23.(10分) 【问题情境】机器狗是现代人工智能机器人的代表，随着科技的进步，它的功能也越来越强大，高端科研机器狗已经实现自主跳跃。实验数据显示：机器狗从水平地面起跳，并落在水平地面，其运动路线类似于抛物线，且起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变。一只微型机器狗起跳后的最高点距地面50cm，起跳点与落地点的距离是200cm。 【数学建模】如图1，将这只微型机器狗的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，机器狗在水平地面上的起跳点为O，落地点为M，以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系。 【问题解决】 （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式。 （2）如图1，若机器狗从点O正上方的台面点P(0,22)处起跳，落地点为Q，点Q在x轴的正半轴上，求落地点Q到原点的水平距离OQ的长。 （3）实验表明：机器狗在越过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于4cm才能安全通过。如图2，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为矩形ABCD，AB=38cm，BC=30cm。机器狗从距离AB左侧130cm的点O处起跳，发现不能跳过障碍物，则机器狗至少要向障碍物前进 ▲ cm，才能刚好安全通过障碍物。（请直接写出答案） 24.(12分) 如图所示，已知AB为⊙ O的直径，C为⊙O上的动点，D为线段AB上的动点，且∠BCD=60°，射线CD交⊙ O于点E，连接AC，AE. (1) 求∠ACD的度数. (2) 在DE上取一点F，使得，连接AF. ① 判断△ AEF的形状，并说明理由. ② 连接BF，若AB=3BC，求△ AFD与△ BFD的面积之比. 数学试卷 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 1-10.BABDB.CCCAD 11.4:912.5-1 13.y=(x-3)2-114.6V5 15.(2, 17.1cm,6 19.y=x2-5x+41<x<4 20. 第(1)小题 以0为位似中心，取位似比为2，得到 A'(2.4),B(4,0.C(10,2) 连接三点，所作△ABC如下。 第(2)小题 O、A、B。 21. 试用水 (1)证明： (2)解： :四边形ABCD是正方形 连接OF ∴.DC=CB,∠DCE=∠CBG=90° :CD是⊙O的直径 ,∠DEC=55 ·∠DFC=90 .∠0DF=90°-55°=35 .∠CFE=90 OD=OF .∠BCG+∠DEC=90 .∠OFD=∠ODF=35 :∠BCG+∠CGB=90 .∠C0F=35°+35°=70° ·∠DEC=∠CGB ,OC=6 在△DEC和△CGB中 (∠DCE=∠CBG 六CF的长为70xT×67 180 ∠DEC=∠CGB DC=CB ,.△DEC≌△CGB(AAS) ∴.CE=BG |n 9 oln 22 2.(1)①E是四边形ABCD的边 AB上的“相似点” 理由：设∠A=∠B=∠DEC=a,则 ∠ADE+∠DEA=180°-a, ∠BEC+∠DEA=180°-a. ∴.∠ADE=∠BEC. 又∠A=∠B, ∴.△ADE∽△BEC ∴.E是四边形ABCD的边AB上的 “相似点” (2)由折叠的性质和矩形的性质，得 ∠MEC=∠D=90°=∠A=∠B= ∠BCD,∠DCM=∠ECM,EC= DC=AB :E恰好是四边形ABCM的边AB 上的一个“强相似点”， .∴.△AMEc∽△BEC∽△EMC. ∴.∠BCE=∠ECM=∠DCM 3∠BCD=30 ·BE=2EC=CD=2AB, 既- ·A52BE2w3 BCBC 31 1AB-2号C 解：()由题意，得：抛物线的对称轴为直线x=100 23. ,顶点纵坐标为50， ·顶点坐标为N(100,50) 设抛物线的函数解析式为y=a(红-100)2+50， 将原点(0,0)代入得 a(0-100)2+50=0, 解得：a=一动 :该抛物线的函数表达式为y=一动仁-100P十 505 2.抛物线的形状不变，点P(0,22), 通数图象可以看作由抛物均=动仁-10 +50向上平移22个单位长度得到的， 新的抛物线的解折式为测=一动：-100十 50+2=-20c-100y+72, 当y=0时.得：-动仁-10P+72=0, 解得：x1=220,x2=-20(不合题意，舍去： :落地点Q到原点的水平距离0Q的长为220cm; ②由①，得△ADE∽△BEC. “能 ,E为AB的中点， .AE=BE. “既 “能器 又∠B=∠DEC, .∴.△BECp△EDC ∴.△ADE∽△BEC∽△EDC ,.E为四边形ABCD的边AB上的 “强相似点”. 水印 (3)机器狗至少要向障得物前进20cm,才能刚好安全 通过得物理由如下 设机器狗至少要向障碍物前进cm, 斯抛物线可以看作是=一动仁-1002+ 50向右平移kcm得到的， 设新的函数解析式为y=一0仁-100-+ 5 ·,纵切面为矩形ABCD,AB=38cm,BC=30G m,机器狗从距离AB左侧130n的点O处起跳， .CD=AB =38cm,OB=130cm,OC=0 B+BC=130+30=160(m ,抛物线经过点D上方点的横坐标为160， ·,障得物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于 4cm才能安全通过， ,抛物线经过点(160,42)时，机器狗恰好通过障碍 物 将点(160,42)代入y=一20红-100-+50 得 42=-20160-100-+0 =20或100. 机器狗至少要向障得物前进20,才能刚好安全 通过蟑得物。 故答案为：20 (1) 24.:AB为⊙0的直径 .∠ACB=90° ·∠BCD=609 ∠ACD=90°-60°=30° (2)①△AEF是直角三角形，理由如下： 连接OE ∠ACE=30i ∴.∠AOE=2×30°=60° .OA=OE .△OAE是等边三角形 AE:0AA8,即铝-日 2 EF=BC .LAEF=LABC .△AEF∽△ABC ∠ACB=90 .LAFE=90° ∴.△AEF是直角三角形 试用 ②过点B作BG⊥EC于点G △AFD和△BFD共底DF,故 S△AFD:S△BFD=AF:BG .AB=3BC.AB=6 ∴.BC=2 '△OAE为等边三角形 ∴.AE=3 :EF= 2×2=1 在Rt△AEF中： AF=V32-12=2V2 在Rt△BCG中： BG=2×sin60°=√3 六SAAFD:S△BD=2V2:V3=2V6 3 答：△AFD与△BFD的面积之比为2V6(或 3 2W6:3)。2026学年第一学期九年级期中考试数学试题卷 1.答题前，考生务必将姓名、学校、考场号、座位号、考试号填涂在答题卷相应的位置上 2.答题必须用0.5m,黑色墨水签字笔写在答题卷指定的位置上，不在答题区域内的答案 一律无效，不得用其他笔答题. 3.考生答题必须在答题卷上，答在试卷和草稿纸上一律无效， 一、选择题：（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 1.下列事件中，属于随机事件的是() A.宇航员在月球上所受的重力比在地球上小B.打开电视，正好在科教频道 C.一个负数的绝对值是正数 D.潜水员深潜海底捞到月亮 2.抛物线y=2x2+c的顶点坐标为(0,1)，则抛物线的解析式为() A.y=2x2+1 B.y=2x2-1 C.y=2x2+2 D.y=2x2-2 3.已知线段-4，b=9,则α，b的比例中项线段等于() A.-6 B.6 C.6 D.±36 4.下列图形中，任意两个图形一定是相似图形的是（) A.三角形 B.平行四边形 C.抛物线 D.圆 5.如图，点A、B、C在⊙O上，若∠A=∠C=35,则∠B的度数等于() A.65° B.70° C.55 D.60 6.某城市绿化部门将一种树苗移植成活的情况绘制成如下的统计图，种植这种树苗20000棵， 估计可以成活的棵数为() A.16000 B.17000 C.18000 D.19000 个频率 0.95 0.90 0.85 0.80 A 0200400600080010000120014000数量/棵 第5题 第6题 第9题 7若抛物线=m+2m+4a<0)上有4小-2.，c2,y)三点，则 ,y2,的大小关系为() A.y<y2<y3 B.3<y2<y C.y3<y<y2 D.y,<y3<y 8.现有一根长为50cm的铁丝，将它弯成一个矩形，设矩形的面积为ycm,一边长为xcm,则 y与x之间的函数表达式为() A.y=x(50-x) B.y=x(50-2x)C.y=x(25-x)D.y=x(25-2x) 9.如图，小丽将含30°的直角三角板放在⊙O中，斜边AB恰好是⊙O一条弦，直角顶点C 在圆外，AC与⊙O相交于点D,连接BD,测得CD=1cm,CA=9cm,则O的半径是() 数学试卷第1页 A.2√7cm B.3√3cm C.4v7cm D.4v3cm 10.如图，△ABC中，点D为边BC上的点，点E、F分别是边AB、AC上两点，且 EF∥BC,若AE:EB=m,BD:DC=n,则() A.m>1,n>1,则2S△Mr>S△MBD B.m<1,n<1,则2S△AEr>S△ABD C. m>1,n<1,则2S△Mr<S△BD D. m<1,n>1,则2S△r<S△BD D 第10题 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.如果两个相似三角形的相似比为2：3，那么这两个三角形的面积比为▲ 12.已知线段AB=2,点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB,则AP的长度为▲ 13.二次函数y=x2-2x+3的图象向右平移2个单位长度后，再向下平移3个单位长度，平 移后的图象对应的二次函数解析式为▲。 D 0 B 第14题 第15题 第16题 14.如图，将半径6cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长度为▲_ 15.如图，抛物线y=-2x+8x+2与轴交于A、B两点，与y轴交于C点，P为抛物 5 5 线对称轴上的动点，则PA+PC取最小值时，点P的坐标是▲ 16.如图，以AB为直径的半圆O内有一条弦AC,点P是弦AC上一个动点，连接BP,并 延长交半圆0于点D,若AB=10,4C=8,则D3的最大值是▲一· BP 三、解答题：（本大题共8小题，共72分） 17.(8分)(1)四条线段a,b,c,d成比例，其中b-3cm,c=2cm,d6cm,求线段a的长： (2)已知二 _b_C≠0，且a+b-2c-3,求a的值。 654 18.(8分)在一个不透明的口袋中有标号为1,2,3,4的四个小球，除数字不同外，小球没 有任何区别，摸球前先搅拌均匀，每次摸一个球 (1)摸出一个球，摸到标号为偶数的概率为▲ (2)从袋中不放回地摸两次，用列表或树状图求出两球标号数字为一奇一偶的概率. 数学试卷第2页 19.(8分)已知二次函数y=x2+bx+c（b,c为常数)的图象经过点A(1,0)和B(4,0) (1)求此二次函数解析式： (2)当y<0时，直接写出x的取值范围 20.(8分)在12×8网格建立平面直角坐标系，O(0,0),A(1,2),B(2,0),C(5,1) (1)以点O为位似中心，在网格中作△ABC的位似图 小y 形△A'BC',使△ABC的边长放大到原来的2倍 (2)某同学们在探索“函数y=2+bx+c的系数a,b,c与 图象的关系”时分别经过O(0,0),A(1,2), B(2,0),C(5,1)这四个点中的三个点画出二次函数的 图象，则选哪三个点的抛物线对应的函数表达式α最 小？请在O,A,B,C中选择3个填入横线▲ 21.(8分)如图，四边形ABCD是正方形，以边CD为直径作⊙O,点E在BC边上，连结 DE交⊙O于点F,连结CF并延长交AB于点G. A (1)求证：CE=BG: (2)若∠DEC=55°，OC=6,求CF的弧长（结果保留π） B 22.(10分)如图①，在四边形ABCD的边AB上取一点E(点E不与点A,B重合)，分别连 接ED,EC,可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么我们 把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，那么我们把E 叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”， D E B ① ② ③ (1)如图②，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠DEC ①试判断E是否为四边形ABCD的边AB上的“相似点”，并说明理由. ②若E为边AB的中点，求证：E为四边形ABCD的边AB上的“强相似点” (2)如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在边AB上的点E处，若E恰好是四边形 ABCM边AB上的一个“强相似点”，试探究线段AB与BC之间的数量关系 23.(10分)【问题情境】机器狗是现代人工智能机器人的代表，随着科技的进步，它的功能也 越来越强大，高端科研机器狗己经实现自主跳跃。实验数据显示：机器狗从水平地面起跳， 数学试卷第3页 并落在水平地面，其运动路线类似于抛物线，且起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线 的形状不变。一只微型机器狗起跳后的最高点距地面50cm,起跳点与落地点的距离是200cm。 鹰感袋 【数学建模】如图1，将这只微型机器狗的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N,对称 轴为直线1，机器狗在水平地面上的起跳点为O,落地点为M,以O为原点，OM所在直线 为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系。 Ay/cm Ay/cm N M x/cm 0 B C x/cm 图1 图2 【问题解决】 (1)请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式。 (2)如图1，若机器狗从点O正上方的台面点P(0,22)处起跳，落地点为Q,点Q在x轴的 正半轴上，求落地点Q到原点的水平距离OQ的长。 (3)实验表明：机器狗在越过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少 于4cm才能安全通过。如图2，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为矩形ABCD, AB=38cm,BC=30cm。机器狗从距离AB左侧130cm的点O处起跳，发现不能跳过障碍物， 则机器狗至少要向障碍物前进▲c,才能刚好安全通过障碍物。（请直接写出答案） 24.(12分)如图所示，己知AB为⊙O的直径，C为⊙O上的动点，D为线段AB上的动点， 且∠BCD=60°，射线CD交⊙O于点E,连接AC,AE. 备用图 (1)求∠ACD的度数 (②)在DB上取一点F,使得EF=1BC,连接AR ①判断△AEF的形状，并说明理由 ②连接BF,若AB=3BC,求△AFD与△BFD的面积之比. 数学试卷第4页