精品解析：山东济南市济阳区2026-2027学年九年级上学期期中数学试题

九年级数学试卷202611 本试卷共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号等填写在答题卡和试卷的指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用黑色签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，已知，与的相似比为，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，是抛物线上的点，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，已知，若舞台的长为，则舞台从到的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 8. 一种燕尾夹如图1所示，图2是其在闭合状态时的示意图，图3是其在打开状态时的示意图（数据如图，单位：），则从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减少了（ ） A. B. C. D. 9. 已知是方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知抛物线（，，为常数，且）的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是，与轴交点坐标是且．有下列结论：①；②；③；④关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根；⑤若点，在抛物线上，当时，则的取值范围为或．其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题：本题共5个小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 如果，那么的比值是_______． 12. 如图1，在边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，信息技术强的小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为___________． 13. 如图，在菱形中，，对角线，交于点，为的中点，连接，则的度数是______________． 14. 如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过____________秒时与相似． 15. 如图，矩形纸片中，，，是上一点，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在延长线上的点处，点落在点处，折痕交于点．若，则点到的距离为__________． 三、解答题：本题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解方程： （1）（用配方法）； （2）． 17. 如图，四边形是菱形，点E，F分别在上，．求证． 18. 如图，是的边上的一点，． （1）证明： （2）当，时，求的长． 19. 在学习了“相似三角形”之后，学生们积极进行实践活动，小明和小亮所在的数学兴趣小组准备测量旗杆的高度，有以下两种方案： 方案一：如图1，在距离旗杆底端处远的处竖立一根高的标杆，小明在处站立，他的眼睛所在位置、标杆的顶端和旗杆顶端在一条直线上．已知小明的眼睛到地面的距离，，，，，点，，在同一直线上． 方案二：如图2，小亮拿着一根长为的木棒站在离旗杆远的地方（即点到的距离为）．他把手臂向前伸并使木棒，当观察到木棒两端恰好遮住旗杆（即，，在一条直线上，，，在一条直线上）时，点到木棒的距离为． 请你结合上述两个方案，选择其中一个方案求旗杆的高度． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）判断该方程实数根的情况； （2）若，是该方程的两个实数根，是否存在实数，使得代数式的值为0？若存在求出实数的值，若不存在请说明理由． 21. 每年的11月9日是“119消防宣传日”．本月3号，某校采用随机抽样的方式对学生掌握消防安全知识的情况进行书面测评，并按成绩高低分成优、良、中、差四个等级进行统计，绘制了两幅尚不完整的统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： （1）求接受测评的学生人数； （2）扇形统计图中“优”部分对应扇形的圆心角为__________度： （3）请补全频数分布直方图； （4）若该校共有学生3200人，请估计该校学生对消防安全知识达到“优”和“良”的学生共有多少人； （5）测评成绩前四名的学生恰好是2个女生和2个男生，现从中随机抽取2人代表学校参加区级消防安全知识竞赛，求抽到的2个学生恰好是一男生与一女生的概率． 22. 在平面直角坐标系中，直线如图所示，请解答下列问题： （1）用配方法将二次函数化为的形式； （2）请你在所给的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象： （3）观察图象回答以下问题： ①请直接写出不等式的解集____________； ②已知，请直接写出不等式的解集____________． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂借助智能化，对某款台灯的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件1月份生产100万个，3月份生产121万个． 素材2 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查发现，当这种台灯的售价在40元至60元范围内时，售价每上涨1元，平均每月就少售出10个． 问题解决 （1）求该工厂1月份到3月份生产数量的平均增长率； （2）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯应涨价多少元？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，与直线交于点，连接． （1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点的坐标． （2）点为直线上一动点．当的面积等于面积的4倍时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，在轴上方抛物线上是否存在一动点，使，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展研究 （1）如图1，，，点为上一点，且满足，若，，求的长： （2）如图2，在中，，，，点为边上一动点，点为边左侧平面内一点，满足且，连接，若，求的长； （二）学以致用 （3）在矩形中，，，点为边上一点，且，在矩形内或边上存在一点，使得，连接，，当取最小值时，点的位置随之确定，固定点，记．点（不与点重合）是直线上一动点，连接，将射线绕点顺时针旋转一定角度，得到射线，在射线上取点，满足，连接，当取最小值时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试卷202611 本试卷共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号等填写在答题卡和试卷的指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用黑色签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将方程整理为一般形式，再结合一元二次方程的三个判定条件逐一验证． 【详解】解：A．整理为，是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为2，二次项系数不为0，符合题意． B．方程含有、两个未知数，不符合题意． C．方程分母中含有未知数，不是整式方程，不符合题意． D．展开整理得，即，未知数最高次数为1，不符合题意． 2. 如图所示几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图（俯视图），解题的关键是明确俯视图是从物体上方观察得到的视图，需关注可见轮廓线为实线，不可见轮廓线为虚线． 从该几何体的正上方观察，整体呈现为横向的矩形，内部有两条不可见的竖直轮廓线，需用虚线表示，且左右两侧为完整的矩形块． 【详解】解：A、该选项为从正面观察得到的主视图，此选项不符合题意； B、该选项不是所示几何体的视图，此选项不符合题意； C、该选项不是所示几何体的视图，此选项不符合题意； D、该选项呈现了从上方观察到的矩形轮廓，且内部虚线位置与不可见轮廓线一致，此选项符合题意． 故选：D． 3. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，已知，与的相似比为，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据坐标，相似比，点的位置确定坐标即可． 【详解】∵，与的相似比为， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了坐标系中的位似，熟练掌握坐标与位似比的关系是解题的关键． 4. 已知，，是抛物线上的点，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：当时， ． 当时，． 当时，， ∵， ∴． 5. 某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空白区域的面积=矩形空地的面积可得． 【详解】解：设花带的宽度为xm，则可列方程为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系． 6. 如图所示，电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，已知，若舞台的长为，则舞台从到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题意得，， ∵舞台的长为， ∴， ∴舞台从到的距离为． 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数和二次函数的图象，能发现一次函数和二次函数过定点且根据a的正负进行分类讨论是解题的关键．根据函数表达式的特征，可发现一次函数和二次函数都过定点，再由a的正负进行分类即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴一次函数过定点， 当时，， ∴二次函数过定点， 当时，一次函数中y随x的增大而减小， 此时抛物线的开口向上，且对称轴在y轴左侧， 所以A、B、C都不符合，D符合； 当时，一次函数中y随x的增大而增大， 此时抛物线的开口向下，没有符合条件的选项， 故选：D． 8. 一种燕尾夹如图1所示，图2是其在闭合状态时的示意图，图3是其在打开状态时的示意图（数据如图，单位：），则从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减少了（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键． 根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：连接， 由题意得，， ， ， ， ， 点，之间的距离减少了， 故选：A． 9. 已知是方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用方程根的定义得到关于的等式，变形后整体代入所求代数式降次化简求值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，且， ∴，， 将两边同除以，得， ∴ ． 10. 如图，已知抛物线（，，为常数，且）的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是，与轴交点坐标是且．有下列结论：①；②；③；④关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根；⑤若点，在抛物线上，当时，则的取值范围为或．其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线对称轴及与轴交点确定解析式形式，结合与轴交点范围求出的取值范围，进而逐一判断各结论；对于结论⑤，利用二次函数性质将函数值大小关系转化为点到对称轴距离的大小关系求解． 【详解】解：抛物线对称轴为直线，与轴一个交点为， 另一个交点为， 设抛物线解析式为， ， 抛物线与轴交点且，即， ， 解得， 且由图象知， ， ，故①正确； 当时，， 由对称性可知与关于直线对称， 当时，， ， ，故②错误； 当时，取得最小值， ， ， ，即，故③正确； 关于的一元二次方程的判别式 ， 代入得： ， ， ， ，方程有两个不相等实根，故④正确； 抛物线开口向上，对称轴为直线， 若，则点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， 即， ， 两边平方得， 整理得， 即， 解得，故⑤错误； 综上所述，正确的结论有①③④，共个． 二、填空题：本题共5个小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 如果，那么的比值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】已知（），通过比例的基本性质变形得到，，即可求出的比值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴的比值为． 12. 如图1，在边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，信息技术强的小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为___________． 【答案】 35 【解析】 【详解】解：由统计图知，随着实验次数的增加，点落在不规则图案上的频率稳定在0.35， ∴点落在不规则图案上的概率为0.35． ∴估计阴影部分面积约为． 13. 如图，在菱形中，，对角线，交于点，为的中点，连接，则的度数是______________． 【答案】 115 【解析】 【分析】先利用菱形性质得到，算出，再由直角三角形斜边中线性质得，推出，最后相加求出． 【详解】解： 四边形是菱形， ，． ， ，． ， 是直角三角形． 为的中点， ． ． ． 14. 如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过____________秒时与相似． 【答案】或 【解析】 【分析】因为题目中未明确相似三角形的对应边，所以需考虑两种不同的对应情况：和，分别根据对应边成比例列出方程，求解即可得到符合条件的时间． 【详解】解：设经过秒时与相似， ∵动点的速度为，动点的速度为， ∴，， ∵， ∴， ∵是和的公共角，分两种情况讨论： ①当时，，即，解得； ②当时，，即，解得； 综上，符合条件的的值为或． 15. 如图，矩形纸片中，，，是上一点，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在延长线上的点处，点落在点处，折痕交于点．若，则点到的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点F作，垂足为点M，过点H作，交的延长线于点N，设，则，，，，利用折叠的性质，勾股定理，正弦三角函数的定义，解答即可． 【详解】解：如图，连接，过点F作，垂足为点M，过点H作，交的延长线于点N， 根据题意，得四边形是矩形， ， ， 故四边形是矩形，同理证明四边形是矩形， ，， ， ， 设， 则，，，， 根据折叠的性质，得，，， ; 在中，； ， 整理，得； 在中，， ， 在中，， ， 整理，得； ， 解得， ，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ， ， 根据平行线间的距离处处相等， 故点到的距离为． 三、解答题：本题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解方程： （1）（用配方法）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ∴； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ∴． 17. 如图，四边形是菱形，点E，F分别在上，．求证． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝BC＝DC，∠B＝∠D， ∵AE＝AF， ∴AB﹣AE＝AD﹣AF， ∴BE＝DF， 在△BCE和△DCF中，， ∴， ∴CE＝CF． 【解析】 【分析】由菱形的性质得到AB＝AD＝BC＝DC，∠B＝∠D，进而推出BE＝DF，根据全等三角形判定的“SAS”定理证得，由全等三角形的性质即可证出． 【详解】略 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是综合运用相关知识解题． 18. 如图，是的边上的一点，． （1）证明： （2）当，时，求的长． 【答案】（1）证明：∵，， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据两组角对应相等，两三角形相似证明即可； （2）由，得到，再代入数据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得（舍负）． 19. 在学习了“相似三角形”之后，学生们积极进行实践活动，小明和小亮所在的数学兴趣小组准备测量旗杆的高度，有以下两种方案： 方案一：如图1，在距离旗杆底端处远的处竖立一根高的标杆，小明在处站立，他的眼睛所在位置、标杆的顶端和旗杆顶端在一条直线上．已知小明的眼睛到地面的距离，，，，，点，，在同一直线上． 方案二：如图2，小亮拿着一根长为的木棒站在离旗杆远的地方（即点到的距离为）．他把手臂向前伸并使木棒，当观察到木棒两端恰好遮住旗杆（即，，在一条直线上，，，在一条直线上）时，点到木棒的距离为． 请你结合上述两个方案，选择其中一个方案求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为米 【解析】 【分析】选择方案一：过点E作，垂足为，交于点，通过求解；若选择方案二：过点作，垂足为，交于点，利用求解即可． 【详解】解：若选择方案一：如图，过点E作，垂足为，交于点， 由题意得：，米，米， （米）， （米），， 又， ， ，即， （米）， （米） 答：旗杆的高度为米； 若选择方案二： 如图，过点作，垂足为，交于点，则 ， ， ， 由题意得米，米，米， ， ， ，即， （米） 答：旗杆的高度为米． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）判断该方程实数根的情况； （2）若，是该方程的两个实数根，是否存在实数，使得代数式的值为0？若存在求出实数的值，若不存在请说明理由． 【答案】（1）该方程有两个不相等的实数根 （2）解：存在满足条件的实数，的值为或．理由如下： ∵，是该方程的两个实数根， 由根与系数的关系得：，， 令， 则， 代入得， 整理得， 解得，， 由（1）知，方程总有两个不相等的实数根，故和均符合题意． 【解析】 【分析】（1）通过判别式的符号判断方程实数根的情况． （2）利用根与系数的关系将代数式转化为关于m的方程，求解并验证． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程中，，，， ∴， ∵， ∴该方程有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 略 21. 每年的11月9日是“119消防宣传日”．本月3号，某校采用随机抽样的方式对学生掌握消防安全知识的情况进行书面测评，并按成绩高低分成优、良、中、差四个等级进行统计，绘制了两幅尚不完整的统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： （1）求接受测评的学生人数； （2）扇形统计图中“优”部分对应扇形的圆心角为__________度： （3）请补全频数分布直方图； （4）若该校共有学生3200人，请估计该校学生对消防安全知识达到“优”和“良”的学生共有多少人； （5）测评成绩前四名的学生恰好是2个女生和2个男生，现从中随机抽取2人代表学校参加区级消防安全知识竞赛，求抽到的2个学生恰好是一男生与一女生的概率． 【答案】（1）人 （2） （3） （4）人 （5） 【解析】 【分析】（1）用等级是“中”的人数除以占比即可； （2）用乘以等级“优”的占比即可； （3）先计算出等级“良”的人数，即可补全统计图； （4）用样本估计总体的方法求解即可； （5）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：（人）， 答：接受测评的学生人数为人； 【小问2详解】 解：， 答：扇形统计图中“优”部分对应扇形的圆心角为； 【小问3详解】 解：等级“良”的人数为（人）， 补全统计图见答案； 【小问4详解】 解：（人）， 答：估计该校学生对消防安全知识达到“优”和“良”的学生共有人； 【小问5详解】 解：设数字表示男生，数字表示女生， 画树状图如下： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中抽到的2个学生恰好是一男生与一女生的结果数有8种， ∴抽到的2个学生恰好是一男生与一女生的概率是． 22. 在平面直角坐标系中，直线如图所示，请解答下列问题： （1）用配方法将二次函数化为的形式； （2）请你在所给的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象： （3）观察图象回答以下问题： ①请直接写出不等式的解集____________； ②已知，请直接写出不等式的解集____________． 【答案】（1） （2） （3）①或；② 【解析】 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）先列表，再描点画函数图象即可； （3）①求出直线与二次函数的交点的横坐标，结合函数图象可得答案；②根据题意表示出二次函数的解析式，求出直线与二次函数的交点的横坐标，结合函数图象可得答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：列表如下： 函数图象见答案； 【小问3详解】 解：①令，解得或， ∴由函数图象可得不等式的解集为或； ②由函数图象可知，当时，， ∴当时，， 令，解得或， 如下图函数图象所示，不等式的解集为． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂借助智能化，对某款台灯的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件1月份生产100万个，3月份生产121万个． 素材2 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查发现，当这种台灯的售价在40元至60元范围内时，售价每上涨1元，平均每月就少售出10个． 问题解决 （1）求该工厂1月份到3月份生产数量的平均增长率； （2）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯应涨价多少元？ 【答案】（1）该工厂1月份到3月份生产数量的平均增长率为． （2）这种台灯应涨价元． 【解析】 【分析】（1）结合1月、3月的产量，利用平均增长率的数量关系列一元二次方程求解． （2）根据总利润的计算公式列方程，结合售价的取值范围舍去不符合题意的解． 【小问1详解】 解：设该工厂1月份到3月份生产数量的平均增长率为，依题意，得 ． 解得． 增长率不能为负， 不符合题意，舍去． 答：该工厂1月份到3月份生产数量的平均增长率为； 【小问2详解】 解：设这种台灯应涨价元． 售价在40元至60元范围内时销量变化规律成立， ，即． 单个台灯利润为元，每月销售量为个． 每月销售利润为10000元， ． 整理得． 解得． ，不符合的取值范围， 舍去， ． 答：这种台灯应涨价10元． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，与直线交于点，连接． （1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点的坐标． （2）点为直线上一动点．当的面积等于面积的4倍时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，在轴上方抛物线上是否存在一动点，使，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）或 （3）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线的表达式，再配方出顶点式，即可写出顶点坐标； （2）先求出的面积，即可求解的面积，然后分两种情况，利用割补法求解即可； （3）结合已知角，通过构造“一线三等角”相似求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴，， ∴， ∴抛物线的表达式为， 而， ∴顶点； 【小问2详解】 解：对于抛物线，当时，， 解得或， ∵点在点左侧， ∴， ∵， 设直线， 则， 解得， ∴直线， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点在点下方时，记为，过点作轴交直线于点， 当时，， ∴ ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 当点在点上方时，记为， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上：点的坐标为或； 【小问3详解】 解：设， 当点时，则， ∵， ∴， ∴可得为等腰直角三角形， ∴， 过点作轴于点，在点左侧取点，使得， 则为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得或（舍去）， ∴点的坐标为； 当时，记交直线于点，设，则， 过点作轴于点，在点左侧取点，使得， ∴， ∴此时为等腰直角三角形， ∴， 同理可得，， ∴， ∴ 解得， ∴ ∵， ∴可求直线， 然后与抛物线联立可得， 解得或（舍去）， ∴点的坐标为， 综上：点的坐标为或． 25. 某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展研究 （1）如图1，，，点为上一点，且满足，若，，求的长： （2）如图2，在中，，，，点为边上一动点，点为边左侧平面内一点，满足且，连接，若，求的长； （二）学以致用 （3）在矩形中，，，点为边上一点，且，在矩形内或边上存在一点，使得，连接，，当取最小值时，点的位置随之确定，固定点，记．点（不与点重合）是直线上一动点，连接，将射线绕点顺时针旋转一定角度，得到射线，在射线上取点，满足，连接，当取最小值时，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）是关键条件，由此推出，结合两个直角得到"一线三等角"型相似进行求解即可； （2）推导出且，故；再由相等的角减去得到，从而推导出，得到，最后再代入求解即可； （3）先求出，设到的距离为，求出，推导出点F在矩形内或边上，且在平行于，到的距离为8的直线上，要使最小，则当在上时，分类讨论：①当点在点的下方时（包括点），②当点在点的上方时，可得到点是在以为垂足，垂直于的直线上运动，继而推导出，得到，再根据，求出，则，即可解答． 【小问1详解】 解：，， ， ， ， 在中，，，， ， ， ， ， 又在中，， ， ， ， 即， ． 【小问2详解】 解：在中，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：， ， 设到的距离为，则，得， ∴点F在矩形内或边上，且在平行于，到的距离为8的直线上， ∴要使最小，则当在上时，， 在中，，， ， ①当点在点的下方时（包括点），如图 ， ， ， ， ， ②当点在点的上方时，同理可得， 点是在以为垂足，垂直于的直线上运动， 当时，取得最小值，如图 ， ， ， ，即， 解得， ， ，即 解得， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $