精品解析：山东省济南市济阳区2025-2026学年九年级上学期11月期中考试数学试题

山东省济南市济阳区2025-2026学年九年级上学期11月期中考试数学试题 本试卷共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号等填写在答题卡和试卷的指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．） 1. 如图①，榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式．图②的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 方程化为一般形式后，a，b，c的值为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 如图，已知，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 4. 如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为1和5，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（ ） A. 10 B. 3 C. D. 5 6. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 7. 如图，菱形的对角线交于点O，过点A作于点E，连接，若，则的长为 （ ） A. B. 2 C. D. 3 8. 如图，在三张完全相同的卡片上依次写有三个实数，将卡片置于暗箱中，摇匀后随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字都是无理数的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N．（2）分别以M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内部相交于点P．（3）作射线交于点D．（4）分别以A、D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G、H两点．（5）作直线，交、分别于点E、F．依据以上作图，若，，，则的长是（ ） A. 5 B. 4.8 C. 4.5 D. 4.2 10. 如图，在正方形中，，点是直线一动点连接，，为上一动点，连接，使．下列结论：的面积等于；的周长最小值为；的最小值为；．正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 若，则________． 12. 如图，线段两个端点的坐标分别为，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段扩大为原来的2倍后得到线段，则端点D的坐标为______________ 13. 黄金分割在生活中处处可见，即使是一片银杏叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，A，P，B三点共线，P是的黄金分割点．若，则的长为______________．（结果保留根号） 14. 如图，点，，为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，，，图中所构成的阴影部分的面积从上到下依次记为，，其中，若，则______． 15. 如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为_______． 三、解答题：（本大题共10个小题，共90分．解答应写出必要的解题过程．） 16. 解方程： （1）用配方法解方程：； （2）． 17. 如图，在矩形中，、分别为边和上的点，，求证：． 18. 如图，若直线，它们依次交直线，于点，，和点，，． （1）如果，，，求的长； （2）如果，，求的长． 19. 如图，等边的边长为，点，，，在同一直线上，，． （1）求证：； （2）求的长． 20. 学习“利用相似三角形测高”的内容后，小涵带着标杆和皮尺来到楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，她设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，小涵边移动标杆边观察，移动时保持标杆与地面垂直，她发现移动到点处时，可以使标杆落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得标杆落在墙上的影子高度，，（点，，在同一直线上）．已知标杆的长度是，请你帮小涵求出楼高． 21. 3月14日是国际数学日，某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：A．数字猜谜；B．数独；C．魔方；D．24点游戏；E．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能参加一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解决下列问题． （1）本次调查抽取的总人数是多少？ （2）扇形统计图中A组对应扇形的圆心角为______________°； （3）补全条形统计图； （4）若该校有2000名学生，请估计该校喜欢魔方游戏的学生人数； （5）该校从C类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 22. 如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边运动，当它到达点时停止运动．为边上一动点，为射线上一动点，的长度始终等于且的面积为，设点的运动路程为，的面积记为，的长为． （1）写出，与的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）完成表格并在同一直角坐标系中通过描点分别作出，的函数图象； （3）根据图象直接写出不等式成立时，的取值范围． 23. 某养殖场准备靠着如图所示的直角墙角（两堵墙足够长），用长的篱笆围成一个矩形家禽养殖场（篱笆只围两边），并在两边上各开一个宽的门（图中虚线部分，门不用篱笆围），若． （1）用含x的代数式表示______________； （2）当的长为多少时，养殖场的面积为； （3）养殖场的面积能否为？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 24. 已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点M在线段的延长线上． （1）求反比例函数的表达式和a的值； （2）如图1，过点M作x轴的平行线l，l与的图象交于点C，与y轴交于点B，当线段时，求点C的坐标； （3）在（2）的条件下，如图2，连接并延长，与x轴交于点D，点G为x轴上一点，且满足，求点G的坐标． 25. 【问题初探】 （1）如图，在矩形中，，，点分别在边上，与交于点，，试猜想的值，并证明你的猜想； 【知识迁移】 （2）如图，在平行四边形中，点分别在边上，与交于点，，当，求的值； 【拓展应用】 （3）如图，在四边形中，点在边上，连接与交于点，，，，，当时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省济南市济阳区2025-2026学年九年级上学期11月期中考试数学试题 本试卷共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号等填写在答题卡和试卷的指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．） 1. 如图①，榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式．图②的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图．根据左视图是从左面观察到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由题意得图②的左视图是． 故选：A． 2. 方程化为一般形式后，a，b，c的值为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，解题的关键是熟记一元二次方程一般式的概念．将化为一般形式即可求解． 【详解】解：将化为一般形式为：， 由此可知：，，． 故选：C． 3. 如图，已知，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选C． 4. 如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为1和5，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．先求出的长度，根据矩形的性质即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵四边形为矩形， ． 故选：C． 5. 反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（ ） A. 10 B. 3 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，直接利用反比例函数的图象上点的坐标特点得出k的取值范围，进而得出答案． 【详解】解：∵， 观察图象得：， ∴k的值可能是5． 故选：D 6. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的定义，正确将原式变形为是解题的关键． 根据一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程解的定义得到，，再把原式变形为，由此代值计算即可． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， 故选：D． 7. 如图，菱形的对角线交于点O，过点A作于点E，连接，若，则的长为 （ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，先根据菱形对角线互相垂直平分得到，再由勾股定理得到，则由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得． 【详解】解：∵菱形的对角线交于点O， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵，为的中点， ∴， 故选：D． 8. 如图，在三张完全相同的卡片上依次写有三个实数，将卡片置于暗箱中，摇匀后随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字都是无理数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，无理数的定义，根据题意准确画出树状图，确定总共种等可能性结果，抽取的两张卡片上的数字都是无理数的结果有种，即可求解，根据题意正确画出树状图是解题的关键． 【详解】解：画树状图如图， ∴总共种等可能性结果，抽取的两张卡片上的数字都是无理数的结果有种， ∴抽取的两张卡片上的数字都是无理数的概率是， 故选：． 9. 如图，已知，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N．（2）分别以M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内部相交于点P．（3）作射线交于点D．（4）分别以A、D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G、H两点．（5）作直线，交、分别于点E、F．依据以上作图，若，，，则的长是（ ） A. 5 B. 4.8 C. 4.5 D. 4.2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图−复杂作图、角平分线的性质和垂直平分线的性质、菱形的判定及性质、平行线分线段成比例定理．根据作法得平分，垂直平分，所以，，，再证明四边形为菱形得到，然后利用平行线分线段成比例定理计算的长．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【详解】解：由作法得平分，垂直平分， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴四边形为平行四边形， 而， ∴四边形为菱形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故选：C． 10. 如图，在正方形中，，点是直线一动点连接，，为上一动点，连接，使．下列结论：的面积等于；的周长最小值为；的最小值为；．正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由四边形是平行四边形，得，根据平行线间的距离得，从而判断；作点关于直线对称点，连接，，交于点，由轴对称性质得出，所以当三点共线时，此时与重合，有最小值，通过勾股定理即可判断；连接，取中点，连接，，证明，得，则有，从而判断；由四边形是正方形，，得，，从而证明，可得点在以为直径的圆上运动，当三点共线，且在线段上时，最小，最小值为，然后通过勾股定理即可判断． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，故正确； 如图，作点关于直线对称点，连接，，交于点， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，此时与重合，有最小值， 如图， ∴的周长最小值为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴的周长最小值为，故正确； 如图，连接，取中点，连接，， ∵，， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， 如图， ∴当三点共线，且在线段上时，最小，最小值为，如图， ∵为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的最小值为，故正确； 综上可得：正确， 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线间的距离，相似三角形的判定与性质， 轴对称的性质，勾股定理，圆的有关性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了比例的性质，由已知条件 ，将所求表达式 拆分为 ，然后代入已知值并计算． 【详解】解：因为 ，且 ， 所以 ． 故答案为：． 12. 如图，线段两个端点的坐标分别为，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段扩大为原来的2倍后得到线段，则端点D的坐标为______________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换，正确把握位似比与对应点坐标的关系是解题的关键． 利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出D点坐标． 【详解】解：∵以原点为位似中心，在第一象限内将线段放大到原来的2倍后得到线段， ∴点与点是对应点， ∵点的坐标为，位似比为：， ∴点的坐标为：， 故答案为：． 13. 黄金分割在生活中处处可见，即使是一片银杏叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，A，P，B三点共线，P是的黄金分割点．若，则的长为______________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割比，一元一次方程，解题的关键是掌握概念，利用较长的线段与整条线段的比值建立等式． 【详解】解：根据，A，P，B三点共线，P是的黄金分割点（）． 根据，设，， ， 解得：， ∴ 故答案为：． 14. 如图，点，，为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，，，图中所构成的阴影部分的面积从上到下依次记为，，其中，若，则______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，设反比例函数解析式为，由，则有，，，通过反比例函数系数的几何意义可得，，，则有，，求得，，然后代入即可求解，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：如图，设反比例函数解析式为， ∵， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用四边形为平行四边形，得出，，由为线段上的动点，可知、运动方向和距离相等，利用相对运动，可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动，过点作的平行线， 过点作关于线段的对称点，由对称性得，则，当且仅当、、依次共线时，取得最小值，此时，设与交于点，交于点，延长交延长线于点，分别证明四边形和四边形是矩形，求出，，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵为线段上的动点， ∴可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动， 则如图，过点作的平行线， 过点作关于线段的对称点， 由对称性得， ∴，当且仅当、、依次共线时，取得最小值， 此时如图，设与交于点，交于点，延长交延长线于点， ∵菱形中，，， ∴，，， 由题可得， ∴由对称性可得， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，两点之间线段最短，根据题意结合相对运动得出运动轨迹，再利用将军饮马解决问题是解题的关键． 三、解答题：（本大题共10个小题，共90分．解答应写出必要的解题过程．） 16. 解方程： （1）用配方法解方程：； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程； （1）根据配方法步骤解方程即可； （2）根据因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解： ， ， ， ， ． 17. 如图，在矩形中，、分别为边和上的点，，求证：． 【答案】 证明：∵四边形是矩形， ∴，，． 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据矩形的性质和已知条件证明得到，即可得到. 【详解】略 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点进行求证． 18. 如图，若直线，它们依次交直线，于点，，和点，，． （1）如果，，，求的长； （2）如果，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键； （1）由平行线分线段成比例定理得到，将，，代入，即可求解； （2）由平行线分线段成比例定理推出，根据得到，即可求出长． 【小问1详解】 解：， ， ，，， ， ， 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ； 19. 如图，等边的边长为，点，，，在同一直线上，，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由是等边三角形，得，，所以，又，通过相似三角形的判定方法即可求证； （）由，得，然后代入即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 由（）得，， ∴， ∴． 20. 学习“利用相似三角形测高”的内容后，小涵带着标杆和皮尺来到楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，她设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，小涵边移动标杆边观察，移动时保持标杆与地面垂直，她发现移动到点处时，可以使标杆落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得标杆落在墙上的影子高度，，（点，，在同一直线上）．已知标杆的长度是，请你帮小涵求出楼高． 【答案】 【解析】 【分析】此题属于实际应用问题，解题的关键是将实际问题转化为数学问题进行解答;解题时要注意构造相似三角形，利用相似三角形的性质解题． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，交于点， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，，， ∴． 依题意知，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 答：楼高． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可，体现了转化的思想． 21. 3月14日是国际数学日，某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：A．数字猜谜；B．数独；C．魔方；D．24点游戏；E．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能参加一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解决下列问题． （1）本次调查抽取的总人数是多少？ （2）扇形统计图中A组对应扇形的圆心角为______________°； （3）补全条形统计图； （4）若该校有2000名学生，请估计该校喜欢魔方游戏的学生人数； （5）该校从C类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）200人 （2）72 （3） 补全条形统计图如下： （4）600 （5） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体，画树状图法求概率，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据选择B类的学生人数和所占百分比，求出调查总人数； （2）用A组的人数除以总人数，再乘以即可求出该组扇形的圆心角度数； （3）求出选择D类的学生人数，补全条形统计图即可； （4）用学校人数乘以选择C类的学生人数的占比，即可求解； （5）利用画树状图法求解即可． 【小问1详解】 解：本次调查总人数为（人）； 【小问2详解】 ， ∴扇形统计图中A组对应扇形的圆心角为； 【小问3详解】 选择D类的学生人数为（人）， 【小问4详解】 解：（人）， 答：估计该校参加魔方游戏的学生人数约为人； 【小问5详解】 解：画树状图如下图： 由树状图可知，共有种情况，其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有种， 恰好抽到1名男生和1名女生的概率为． 22. 如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边运动，当它到达点时停止运动．为边上一动点，为射线上一动点，的长度始终等于且的面积为，设点的运动路程为，的面积记为，的长为． （1）写出，与的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）完成表格并在同一直角坐标系中通过描点分别作出，的函数图象； （3）根据图象直接写出不等式成立时，的取值范围． 【答案】（1），， （2） 列表 描点，连线，如图， （3）的取值范围为． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的性质，求函数解析式，画函数图象等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由题意得，，，则，所以，，从而求出，与的函数表达式； （）填表，描点，连线即可得到答案； （）根据图象即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，，，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图象可知，时，的取值范围为． 23. 某养殖场准备靠着如图所示的直角墙角（两堵墙足够长），用长的篱笆围成一个矩形家禽养殖场（篱笆只围两边），并在两边上各开一个宽的门（图中虚线部分，门不用篱笆围），若． （1）用含x的代数式表示______________； （2）当的长为多少时，养殖场的面积为； （3）养殖场的面积能否为？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3） 解：养殖场的面积不能为，理由如下： 假设养殖场的面积能为，根据题意得： ：， 整理得：， 此时， 此时方程无解， 即养殖场的面积不能为． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用： （1）根据题意得：，即可求解； （2）根据矩形的面积公式，列出方程，即可求解； （3）假设养殖场的面积能为，根据矩形的面积公式，列出方程，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：， ∴； 故答案为： 【小问2详解】 解：根据题意得：， 整理得：， 解得：， 即当的长为或时，养殖场的面积为； 【小问3详解】 略 24. 已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点M在线段的延长线上． （1）求反比例函数的表达式和a的值； （2）如图1，过点M作x轴的平行线l，l与的图象交于点C，与y轴交于点B，当线段时，求点C的坐标； （3）在（2）的条件下，如图2，连接并延长，与x轴交于点D，点G为x轴上一点，且满足，求点G的坐标． 【答案】（1）反比例函数的表达式为的值为2 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握函数的性质、相似三角形的判定与性质． （1）利用正比例函数求出的值，再代入反比例函数求出表达式； （2）设点的坐标为，根据列方程求解； （3）分类讨论当G在右侧时以及当在轴负半轴时，求出点的坐标． 【小问1详解】 解：点在正比例函数的图象上， ， 将代入反比例函数，得，解得， 反比例函数的表达式为的值为2； 【小问2详解】 解：设点的坐标为， 则直线为，与轴交于， ， 点在上且纵坐标为，则， ， 由，得， 整理得，解得（舍去）， 即； 【小问3详解】 解：设直线的解析式，设为， 将代入： ， 解得：， 直线的解析式， 令，得，解得， ， ， 当G在右侧时，如图： 设G点坐标为 是等腰直角三角形，， ， 又 ， 又， ， ， ， 由相似三角形性质，即，解得，（舍去） 即； 当在轴负半轴时，设G点坐标为，如图： 已知：， 过作轴于，则，，， 在上取，则，，， ∴， ，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 点在轴负半轴时的坐标为， 点G的坐标为或． 25. 【问题初探】 （1）如图，在矩形中，，，点分别在边上，与交于点，，试猜想的值，并证明你的猜想； 【知识迁移】 （2）如图，在平行四边形中，点分别在边上，与交于点，，当，求的值； 【拓展应用】 （3）如图，在四边形中，点在边上，连接与交于点，，，，，当时，直接写出的值． 【答案】（）；（）；（）的值为． 【解析】 【分析】（）由四边形是矩形，得，，，通过同角的余角相等可得，证明，然后根据相似三角形性质即可求解； （）先证明，则，所以，又四边形是平行四边形，故有，，，则，同角的补角相等可得，从而证明，所以，从而有，则； （）过作，交延长线于点，过作，交延长线于点，由四边形是平行四边形，得，，，同（）理得，在上取一点，使得，连接，则有是等边三角形，所以，，证明，所以，设，则，，，再由，即，解得，然后代入即可求解． 【详解】解：（）∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （）∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （）如图，过作，交延长线于点，过作，交延长线于点， ∴四边形是平行四边形， ∴，，， 同（）理得，， 在上取一点，使得，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，同角的补角和余角相等，平行四边形的性质与判定，矩形的性质，等边三角形的性质与判定等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $