16.1 幂的运算_导学案 2026--2027学年人教版八年级数学上册

第十六章 整式的乘法 16.1 幂的运算

学习目标：

1. 经历从特殊到一般的探究过程，理解同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方的运算法则，并能用符号语言和文字语言准确表述。

2. 能熟练运用幂的三条运算法则进行运算，辨析易混淆法则（如 aᵐ·aⁿ 与 (aᵐ)ⁿ 的区别），提升运算能力与推理能力。

3. 通过跨学科情境（计算机科学、生物学、物理等）中的幂运算问题，体会幂的运算作为描述指数增长与极值数量级的核心工具价值。

【一】情景导入

2026年，我国某超级计算机的运算速度已达到每秒10¹⁸次级别。如果它连续工作10³秒，总共能完成多少次运算？列式为10¹⁸ × 10³。这是一个什么运算？结果中的底数和指数与原来两个幂的底数和指数有什么关系？

在生物学中，一个大肠杆菌每20分钟分裂一次，初始数量为1个，经过3小时（即9个20分钟）后，细菌数量为2⁹个。如果要求经过6小时后的数量，需要计算(2⁹)²，这又是一种什么运算？今天我们就来系统研究幂的运算。

【二】自主阅读

阅读指导：自主阅读教材本节内容，独立完成下列任务：

1. 同底数幂相乘，底数______，指数______。即 aᵐ · aⁿ = ______（m，n 都是正整数）。

2. 幂的乘方，底数______，指数______。即 (aᵐ)ⁿ = ______（m，n 都是正整数）。

3. 积的乘方，等于把积的每一个因式分别______，再把所得的幂______。即 (ab)ⁿ = ______（n 为正整数）。

我的疑惑：

【三】合作探究

任务1：同底数幂的乘法法则的探究

根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律？

（1）10⁵ × 10² = 10⁽  ⁾；

（2）a³ · a² = a⁽  ⁾；

（3）5ᵐ × 5ⁿ = 5⁽  ⁾（m，n 都是正整数）。

思考交流：

（1）计算前后，底数发生变化了吗？指数之间有什么关系？

（2）你能用乘方的意义说明 aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ 的理由吗？

（3）当三个或三个以上同底数幂相乘时，例如 aᵐ · aⁿ · aᵖ，法则还成立吗？请写出你的结论。

任务2：幂的乘方与积的乘方的辨析

对比下列两组运算，它们有什么区别与联系？

思考交流：

（1）a³ · a² 与 (a³)² 的结果相同吗？请分别计算并比较。

（2）积的乘方 (ab)ⁿ 与同底数幂的乘法 aᵐ · aⁿ 在底数的处理上有什么本质区别？

（3）计算 (2×10³)²，并说明每一步的依据。

任务3：跨学科情境中的幂运算

计算机存储容量的换算关系如下：1 KB = 2¹⁰ B，1 MB = 2¹⁰ KB，1 GB = 2¹⁰ MB，1 TB = 2¹⁰ GB。

（1）1 TB 等于多少 B？请用幂的形式表示，并写出运算过程。

（2）若某硬盘容量为 2⁴⁰ B，它相当于多少 TB？

（3）请仿照上述换算关系，用幂的运算解释：为什么 1 TB 是 1 GB 的 2¹⁰ 倍？

【四】精讲点拨

例1 计算：

（1）x² · x⁵；  （2）a · a⁶；  （3）(−2) × (−2)⁴ × (−2)³。

点拨：第（2）题中 a 的指数为 1，不要漏加；第（3）题中三个因式同底，指数相加即可，注意底数为负数时符号的确定。

例2 计算：

（1）(10³)⁵；  （2）(a⁴)⁴；  （3）(−x⁴)³；  （4）(2a)³。

点拨：第（1）（2）题是幂的乘方，指数相乘；第（3）题注意负号的处理，(−x⁴)³ 表示 (−1 · x⁴)³，运用积的乘方法则；第（4）题系数 2 也要乘方。

【五】总结提升

1. 同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方三条法则的文字表述分别是什么？符号语言分别是什么？

2. 这三条法则之间有什么联系与区别？在运算中如何避免混淆？

3. 幂的运算在解决实际问题（如计算机存储、细菌分裂、天文距离）中起到了怎样的作用？

【六】当堂检测

1. 下列计算正确的是（ ）

A. a³ · a² = a⁶    B. (a²)³ = a⁵    C. (−2a)³ = −8a³    D. a⁴ + a⁴ = a⁸

2. 计算：

（1）10⁴ × 10⁵ = ______；

（2）(x³)⁴ = ______；