精品解析：江苏常州市龙城中学2026～2027学年第一学期九年级期中质量调研数学试卷

江苏省常州市龙城中学 2026~2027学年第一学期九年级期中质量调研 数学试卷 一、选择题：（每小题2分，共16分） 1. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则+，因此此题根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，， 故选：C． 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 无实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式的应用，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根，当时，一元二次方程有两个相等的实数根，当时，一元二次方程无实数根．计算出该方程的根的判别式，再结合判别式的判断一元二次方程根的情况即可． 【详解】解：∵ ∴，，， ∴， 所以该方程无实数根． 故选：． 3. 如图，是的弦，点，都在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同弧所对圆周角相等，根据，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 4. 在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（ ） A. 5 B. 10 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理，熟记直角三角形的斜边就是外接圆直径是解题关键．先根据勾股定理求得斜边长为10，再根据直角三角形外接圆直径等于斜边即可求解． 【详解】解：在中，，，， 斜边， 这个三角形的外接圆的直径是10， 故选：B． 5. 在联欢晚会上，有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（ ） A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边上高的交点 D. 三条垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】游戏公平要求凳子到三角形三个顶点的距离相等，根据线段垂直平分线的性质判断对应交点即可． 【详解】解：∵ 游戏公平需要凳子到三个顶点、、的距离相等， 又∵ 三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等， ∴ 凳子应放置在三边垂直平分线的交点处， 故选D． 6. 如图，在正方形网格中，一条圆弧经过、、三个格点，那么所对的圆心角的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作，的垂直平分线即可得到圆心，进而解答即可． 【详解】解：作的垂直平分线，作的垂直平分线，如图， 它们都经过，则点为这条圆弧所在圆的圆心． 连接，， 在与中 ， ， ，， ， ， ， 即所对的圆心角的大小是． 7. 用吸管吹气时，吸管内部空气振动产生声音，因此可以用吸管制作吸管乐器．根据物理学知识，同一材质的吸管内部空气振动的频率（单位：）可近似地看成吸管长度（单位：）的反比例函数．甲、乙两种材质的吸管乐器频率关于吸管长度的函数图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ） A. 频率相同时，甲材质吸管乐器的长度比乙材质吸管乐器的长度短 B. 对于乙材质吸管乐器，频率越大，长度越长 C. 长度相同时，甲材质吸管乐器的频率比乙材质吸管乐器的频率大 D. 对于甲材质吸管乐器，长度越长，频率越大 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与实际问题，反比例函数图象和性质，熟练掌握反比例函数图象性质是解题的关键． 根据反比例函数图象性质逐项判断即可． 【详解】解：A、频率相同时，甲材质吸管乐器的长度比乙材质吸管乐器的长度短，正确，故此选项符合题意； B、对于乙材质吸管乐器，频率越大，长度越短，原说法以错误，故此选项不符合题意； C、长度相同时，甲材质吸管乐器的频率比乙材质吸管乐器的频率小，原说法以错误，故此选项不符合题意； D、对于甲材质吸管乐器，长度越短，频率越大，原说法以错误，故此选项不符合题意； 故选：A． 8. 如图，是半圆O的直径，点D在半圆O上，，，C是弧BD上的一个动点，连接，过D点作于H，连接，在点C移动的过程中，的最小值是( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等知识，如图，取的中点，连接，，．由题意点在以为圆心，为半径的上，推出当、、共线时，的值最小； 【详解】解：如图，取的中点，连接，，． ， ， 点在以为圆心，为半径的上， 当、、共线时，的值最小， 是直径， ， ， ， 的最小值为． 故选：D． 二、填空题（每小题2分，共20分） 9. 的半径为3，点M到圆心O的距离为4，则点M在____．（填“内”或“外”或“上”） 【答案】外 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离与半径的关系判断点与圆的位置关系即可． 【详解】解：点M到圆心O的距离为4，的半径为3， ∵， ∴点M在外． 故答案为：外． 10. 已知方程的一个根是1，则m的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义，即可求解． 【详解】解：将代入得：，解得． 故答案是：2． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的根，掌握一元二次方程根的定义，是解题的关键． 11. 已知圆锥的侧面积是，母线长为4，则圆锥的底面圆半径为________. 【答案】3 【解析】 【分析】设圆锥的底面圆半径为r，根据扇形弧长公式计算即可． 【详解】解：设圆锥的底面圆半径为r， 由题意得，×2π×r×4＝12π， 解得，r＝3， 故答案为3． 【点睛】考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 12. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度）是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出反比例函数解析式，后再将代入计算即可，待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设反比例函数解析式为， ∵机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度， ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，， 故答案为：． 13. 某公司4月份的利润为160万元，要使6月份的利润达到250万元，则平均每月增长的百分率是___________． 【答案】25% 【解析】 【分析】设平均每月增长的百分率是x，根据4月份的利润为160万元，要使6月份的利润达到250万元，可列方程求解． 【详解】设平均每月增长的百分率是x， 160（1+x）2=250 x=25%或x=-225%（舍去）． 平均每月增长的百分率是25%． 故答案为25%． 14. 反比例函数的图象如图所示，轴．若的面积为4，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据轴，可得与的面积相等，可推出，解得，再根据反比例函数的图象在第二象限，可得，从而得到答案． 【详解】解：连接， ∵轴， ∴与的面积相等， 即． 又∵， ∴ 解得：， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴． 15. 八角碗（碗口为正八边形）承载八方纳福的吉祥寓意，是我国古代制瓷工艺与民俗审美结合的实物见证．现有一只碗口边长为的八角碗，俯视图如图所示．若该碗能平放进底面为正方形的长方体硬纸盒（碗口与硬纸盒底面均水平），则硬纸盒底面的边长至少为__________．（精确到，硬纸盒不可变形且纸盒壁、碗壁厚度均忽略不计，参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】八角碗可以看成是由正方形分别在四个角上截去全等的等腰直角三角形构成的正八边形，由题意在等腰直角三角形中求出，进而表示正方形边长即可． 【详解】解：如图，八角碗可以看成是由正方形分别在四个角上截去全等的等腰直角三角形构成的正八边形，同时，等腰直角三角形的斜边长等于正八边形的边长， ∴， 设， ∴，即， 解得，， ∴正方形边长为， ∵要将八角碗放进底面为正方形的长方体硬纸盒， ∴硬纸盒底面的边长至少为． 16. 如图1所示是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图2所示，⊙O的直径为，毛刷的一端为固定点P，另一端为点C，毛刷绕着点P旋转形成的圆弧交⊙O于点A、B，且A、P、B三点在同一直线上．则图中阴影部分的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算，等边三角形的判定与性质，先根据题意得出点是的中点，证明是等边三角形，于是得出，根据弧长公式计算出弧，弧，即可求出阴影部分的周长，熟记弧长公式是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，，， ， 三点在同一直线上， 经过点， 由题意得为半圆的直径，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ，， 阴影部分的周长， 故答案为：． 17. 苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人文意境交融，核心寓意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”．某月洞门示意图如图②所示，其内廓由，线段，，四部分构成，，分别垂直于地面．经测量，该月洞门的最高点到地面的距离为分米，分米，分米，则所在圆的半径为_________分米． 【答案】10 【解析】 【分析】连接，过点B作于点H，交于点F，设所在圆的圆心为点O，连接，则，，，，设的半径为r，则，，根据垂径定理求出，进而在中根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：连接，过点B作于点H，交于点F，设所在圆的圆心为点O，连接， 由题意可得，四边形，四边形都是矩形， ∴，，， 设的半径为r，则， ∴， ∵过圆心O，且， ∴， ∵在中，， ∴，解得， ∴所在的半径为10分米． 18. 如图，正方形的边长为，F是的中点，E点从点B出发沿以的速度向点C移动，一直到达点C为止，连接，以点E为圆心，长为半径作．当与正方形的边相切时，则点E的运动时间t为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，分当与直线相切时，与直线相切时两种情况讨论，在中利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵正方形的边长为4， ∴，， ∵F是的中点， ∴， 当与直线相切时，如图，设切点为，连接，则， ∴四边形是矩形． ， 在中，， ， 点E的运动时间t为 当与直线相切时，如图， ∵， ∴切点为， 此时，， 在中，， ∴， 解得 点E的运动时间t为， 综上，点E的运动时间t为或， 故答案为：或． 三、解答题 19. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可； （3）利用因式分解法求解即可； （4）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ，； 【小问3详解】 解：， ， 或， ，； 【小问4详解】 解：， ， ， 或， ∴，． 20. 小颖同学积极参加“乡情摄影”展等系列活动，将自己拍摄的一张风景照（如图1）上交了学校并被选为优秀作品．图片的长为8分米，宽为6分米，为了展示将在原图片的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图．如果要求整个挂图的面积是80平方分米．那么金色纸边的宽应是多少？ （1）如果设金色纸边的宽度为分米，则挂画的长可表示为______分米，挂画的宽可表示为______分米，列出的方程为______． （2）根据你所列的方程求出的值． 【答案】（1）；； （2）1 【解析】 【分析】（1）先根据四周都加宽，得到挂画新的长和宽，再利用总面积列出一元二次方程． （2）把一元二次方程展开整理后，因式分解解方程，最后舍去负数解，结合实际意义，得到纸边的宽度． 【小问1详解】 设金色纸边的宽度为分米， 由于纸边在图片四周， 因此挂画的长为原图片的长加上两侧纸边的宽度，即分米； 挂画的宽为原图片的宽加上两侧纸边的宽度，即分米； 根据“挂图面积=长宽”，且挂图面积为80平方分米，可列出方程：． 【小问2详解】 由题意得方程：， 整理得，即， 两边同时除以4，得， 因式分解得， 解得， 因为纸边的宽度不能为负数，所以舍去， 即， 答：金色纸边的宽应是1分米． 21. 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）的面积为_____________； （3）请直接写出不等式的解集为_____________． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，求一次函数的解析式，一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）把代入中求解，即可得到反比例函数解析式，进而求出点，再利用待定系数法求出一次函数的解析式，即可解题； （2）根据一次函数解析式求出点坐标，再根据，结合三角形面积公式求解，即可解题； （3）根据、坐标，结合图象直接写出不等式的解集，即可解题． 【小问1详解】 解：把代入得， 所以反比例函数解析式为， 把代入得， 解得， 则点坐标为， 把、代入得， 解得， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：把代入得， 解得， 则点坐标为， 所以； 故答案为：； 【小问3详解】 解：、， 由图知，当或时，不等式， 即不等式的解集是或． 故答案为：或． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，该方程总有实数根； （2）若方程的其中一个根是1，求的值及方程的另一个根． 【答案】（1）证明：对于一元二次方程， 判别式 ． ∵ 不论为何值，，即， ∴ 不论为何值，该方程总有实数根． （2）的值为，方程的另一个根为． 【解析】 【分析】（1）计算一元二次方程的判别式，配方为完全平方式，利用平方的非负性证明判别式恒非负． （2）将已知根代入方程求出，再利用根与系数的关系计算另一根． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入方程，得 ， 解得． 设方程的另一个根为，由根与系数的关系，得 ， 将代入，得． 综上所述，的值为，方程的另一个根为． 23. 如图，在中，，O为上一点，以O为圆心，为半径作交于另一点D，E为上一点，且． （1）判断与的位置关系，说明理由； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 解：是的切线；理由如下： 连接，如图1所示： ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵是圆的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由直角三角形的性质及等腰三角形的性质证得，则可得出结论； （2）连接，求出，设，则，由勾股定理求出x的值，则可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图2， ∵， ∴ ∵， ∴ 设则 ∵， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握切线的判定是解此题的关键． 24. 按要求回答问题 （1）如图1，已知，请用无刻度直尺和圆规求作，使得经过，两点，且与直线相切； （2）在（1）的条件下，设交于点，连接，若，，求的度数．（请在图2中画草图计算） 【答案】（1）如图1，即为所求： （2） 【解析】 【分析】（1）先作出的垂直平分线，再过点C作的垂线，两直线交点即为圆心O，则即为所求； （2）先根据垂直的意义得出，先证明是等腰直角三角形，再证明是等边三角形，根据圆周角定理可得出的度数． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图2，过点O作于F，连接，，， 则， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与直线相切于C， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 25. 综合与实践    如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______m，______m． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空； 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？并仿照小颖的方法，在图2中利用函数图象说明理由． 【问题延伸】 （3）当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，求出直线与反比例函数的图象有唯一交点时的交点坐标及的值． 【拓展应用】 外观从以上积分中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围______． 【答案】（1）；4；2； （2）不能围出面积为 的矩形； 理由如下： 的图象，如图中所示： ∵与函数 图象没有交点， ∴不能围出面积为 的矩形． 故答案为：与函数 图象没有交点； （3），8；（4） 【解析】 【分析】本题考查了实际应用题的函数直观解释，比较新颖，实质是函数图象的平移，一次函数和反比例图象的交点问题． （1）观察图象，联立解方程组得，求解即可得到另一个交点坐标为，进而可求解； （2）画出的图象，观察图象得到与函数图象没有交点即可求解； （3）由直线与反比例函数的图象有唯一交点，可知由唯一解，即：方程只有一个解，利用根的判别式求得（负值舍去），进而可求得交点坐标为； （4）和的长均不小于，可得，直线在、上面或之间移动，可得求的范围． 利用数形结合数学思想是解决问题的关键． 【详解】解：（1）将反比例函数与直线：联立得， ∴， ∴， ∴，， ∴另一个交点坐标为， ∵为，为， ∴，． 故答案为：；4；2； （2）略 （3）如图中直线：所示， ∵直线与反比例函数的图象有唯一交点， ∴由唯一解，即：方程只有一个解， ∴，解得：（负值舍去）， 此时：，解得：， 当时，， ∴此时交点坐标为； （4）∵和的长均不小于 ∴，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，直线在、上面或之间移动， 把代入得， ∴． 26. 【阅读理解】 三角形两个内角的角平分线相交所形成的钝角，称为该三角形第三个内角的“好望角”． 【探究发现】 （1）如图1，是中的好望角，，请用含的代数式表示． 【实践应用】 （2）如图2，在中，的平分线与经过B，C两点的圆交于点D，E，且．求证：是中的好望角． 【拓展提升】 （3）如图3，在图2条件下，若，，则线段的最大值为 ． 【答案】（1） （2）证明：平分， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分， 又平分， 是中的好望角； （3） 【解析】 【分析】（1）根据“好望角”的定义，确定分别为的角平分线，利用三角形的内角和定理，表示出两个底角之和，结合角平分线性质，求出的两个底角之和，最后利用三角形内角和定理用表示出； （2）利用平分和题目给出的角度互补关系推导出和的数量关系，在中利用内角和定理，将用和表示出来，利用三角形外角性质进行代换，最终证得，即平分，最后根据“好望角”定义可证是中的好望角； （3）由“好望角”性质及角平分线推导出，进而求出圆心角，由固定，故为定形的等腰直角三角形，半径，证明对角互补，结合角度计算出三点共线，从而将线段和转化为，将问题转化为求的最大值，又由，点A在以为直径的圆上运动，当为该圆直径时最长，由此即可求得线段的最大值． 【小问1详解】 解：是中的好望角， ，是的角平分线， ，， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，设圆心为O，连接，，， 平分，平分， 是的好望角， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， 与重合，即点O一定在上， ， ， ， ，， ， 当最大时，的值最大， ，， ， ，B，O，C在以为直径的圆上， 为直径时最大，此时， 的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省常州市龙城中学 2026~2027学年第一学期九年级期中质量调研 数学试卷 一、选择题：（每小题2分，共16分） 1. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 无实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 3. 如图，是的弦，点，都在上，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（ ） A. 5 B. 10 C. 4 D. 3 5. 在联欢晚会上，有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（ ） A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边上高的交点 D. 三条垂直平分线的交点 6. 如图，在正方形网格中，一条圆弧经过、、三个格点，那么所对的圆心角的大小是（ ） A. B. C. D. 7. 用吸管吹气时，吸管内部空气振动产生声音，因此可以用吸管制作吸管乐器．根据物理学知识，同一材质的吸管内部空气振动的频率（单位：）可近似地看成吸管长度（单位：）的反比例函数．甲、乙两种材质的吸管乐器频率关于吸管长度的函数图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ） A. 频率相同时，甲材质吸管乐器的长度比乙材质吸管乐器的长度短 B. 对于乙材质吸管乐器，频率越大，长度越长 C. 长度相同时，甲材质吸管乐器的频率比乙材质吸管乐器的频率大 D. 对于甲材质吸管乐器，长度越长，频率越大 8. 如图，是半圆O的直径，点D在半圆O上，，，C是弧BD上的一个动点，连接，过D点作于H，连接，在点C移动的过程中，的最小值是( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题（每小题2分，共20分） 9. 的半径为3，点M到圆心O的距离为4，则点M在____．（填“内”或“外”或“上”） 10. 已知方程的一个根是1，则m的值为________． 11. 已知圆锥的侧面积是，母线长为4，则圆锥的底面圆半径为________. 12. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度）是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度______． 13. 某公司4月份的利润为160万元，要使6月份的利润达到250万元，则平均每月增长的百分率是___________． 14. 反比例函数的图象如图所示，轴．若的面积为4，则k的值为______． 15. 八角碗（碗口为正八边形）承载八方纳福的吉祥寓意，是我国古代制瓷工艺与民俗审美结合的实物见证．现有一只碗口边长为的八角碗，俯视图如图所示．若该碗能平放进底面为正方形的长方体硬纸盒（碗口与硬纸盒底面均水平），则硬纸盒底面的边长至少为__________．（精确到，硬纸盒不可变形且纸盒壁、碗壁厚度均忽略不计，参考数据：） 16. 如图1所示是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图2所示，⊙O的直径为，毛刷的一端为固定点P，另一端为点C，毛刷绕着点P旋转形成的圆弧交⊙O于点A、B，且A、P、B三点在同一直线上．则图中阴影部分的周长为________． 17. 苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人文意境交融，核心寓意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”．某月洞门示意图如图②所示，其内廓由，线段，，四部分构成，，分别垂直于地面．经测量，该月洞门的最高点到地面的距离为分米，分米，分米，则所在圆的半径为_________分米． 18. 如图，正方形的边长为，F是的中点，E点从点B出发沿以的速度向点C移动，一直到达点C为止，连接，以点E为圆心，长为半径作．当与正方形的边相切时，则点E的运动时间t为_____． 三、解答题 19. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 小颖同学积极参加“乡情摄影”展等系列活动，将自己拍摄的一张风景照（如图1）上交了学校并被选为优秀作品．图片的长为8分米，宽为6分米，为了展示将在原图片的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图．如果要求整个挂图的面积是80平方分米．那么金色纸边的宽应是多少？ （1）如果设金色纸边的宽度为分米，则挂画的长可表示为______分米，挂画的宽可表示为______分米，列出的方程为______． （2）根据你所列的方程求出的值． 21. 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）的面积为_____________； （3）请直接写出不等式的解集为_____________． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，该方程总有实数根； （2）若方程的其中一个根是1，求的值及方程的另一个根． 23. 如图，在中，，O为上一点，以O为圆心，为半径作交于另一点D，E为上一点，且． （1）判断与的位置关系，说明理由； （2）若，，，求的长． 24. 按要求回答问题 （1）如图1，已知，请用无刻度直尺和圆规求作，使得经过，两点，且与直线相切； （2）在（1）的条件下，设交于点，连接，若，，求的度数．（请在图2中画草图计算） 25. 综合与实践    如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______m，______m． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空； 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？并仿照小颖的方法，在图2中利用函数图象说明理由． 【问题延伸】 （3）当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，求出直线与反比例函数的图象有唯一交点时的交点坐标及的值． 【拓展应用】 外观从以上积分中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围______． 26. 【阅读理解】 三角形两个内角的角平分线相交所形成的钝角，称为该三角形第三个内角的“好望角”． 【探究发现】 （1）如图1，是中的好望角，，请用含的代数式表示． 【实践应用】 （2）如图2，在中，的平分线与经过B，C两点的圆交于点D，E，且．求证：是中的好望角． 【拓展提升】 （3）如图3，在图2条件下，若，，则线段的最大值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $