2026-2027学年苏科版九年级数学上册第九周模拟练习（期中模拟）（盐城专版）

2026-2027学年苏科版九年级数学第九周模拟练习（期中模拟）（盐城专版） （范围：第一章～第三章 时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（共24分） 1.（2025秋·盐城盐都区期末）2026盐城湿地生态基地计划扩建一片试验区，设平均每年面积增长率为x，初始面积20hm2，两年后面积达到28.8hm2，下面所列方程正确的是（ ） A.20(1+x)2=28.8　 B.20+20x=28.8 C.20(1+x2)=28.8　 D.20(1+2x)=28.8 2.（2025秋·盐城射阳期中）已知反比例函数y=(k≠0)，若该图象经过点(-3,4)，则下列说法正确的是（ ） A.k=12 B.图象在一、三象限 C.当x<0时，y随x增大而增大 D.点(3,4)也在这个函数图象上 3.（2025秋·盐城东台联盟一模改编）已知点是数轴上一定点，点是数轴上一动点，点表示的实数为，点所表示的实数为，作以为圆心，为半径的，若点在外，则的值可能是（ ） A． B． C． D． 4.（2025秋·盐城康居路初中月考改编）下列方程中，没有实数根的是（　　） A．x2﹣2x﹣3＝0 B．（x﹣5）（x+2）＝0 C．x2﹣x+1＝0 D．x2＝1 5.（2026·盐城亭湖区一模改编）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（　　） A．4 B． C． D． 6.（2025秋·盐城鹿鸣路期中改编）已知，且，则的值为（   ）． A． B． C．5 D． 7.（2025·盐城中考改编）如图，矩形ABCD的周长为12，面积为5，且AB和BC的长恰好是方程的两根，则m和n的值分别为( ) A.，5 B.12， C.6，5 D.，5 8.（2026·盐城盐都区二模改编）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为(　　) A. B. C. D．2 二．填空题（共24分） 9.（2025秋·盐城射阳实验初中期中改编）已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）=8，则x2+y2=　　． 10.（2025秋·盐城建湖期中改编）若A、B两点关于轴对称，且点A在双曲线上，点B在直线上，设点A的坐标为（a,b）,则=________________． 11.（2025秋·盐城亭湖区月考改编）如图，从一块直径是6的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是________． 12.如图，在△ABC中，AC＝50 m，BC＝40 m，∠C＝90°，点P从点A开始沿AC 边向点C以2 m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3 m/s的速度沿着射线CB匀速移动，当△PCQ的面积等于300 m2时，运动时间为__________. 13.（2026·盐城康居路一模改编）如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是_______. 14．（26-27九年级上·江苏徐州·期中）如图所示，反比例函数的图象经过矩形的对角线的中点，分别与，交于点、，若，，则点的坐标为_______． 15.（2025·盐城中考改编）如图,若干个全等的正五边形排成环状,图中所示的是前3个正五边形,要完成这一圆环还需正五边形的个数为____. 16.（2026·盐城射阳二模改编）关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值也等于，则称为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”．若关于的代数式有两个不动值，且两个不动值的差为整数，则正整数的值为_____． 三．解答题（共102分） 17．（8分）解方程 （1）3x2－4x－1＝0 （2） (y＋)2＝4y＋12 18.（8分）已知y＝y1+y2，y1与x2成正比例关系，y2与x成反比例关系，且当x＝1时，y＝3；当x＝－1时，y＝1. （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当x＝－时，求y的值. 19.（8分）如图正六边形的边长为1，请分别在图1，图2中使用无刻度的直尺按要求画图．（1）在图1中，画出一条长度为0.5的线段，（2）在图2中，画一个边长与正六边形的边长不相等的菱形． 20.（8分）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED的三边长，易知AE＝c，这时我们把形如ax2＋cx＋b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． (1)求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2＋cx＋b＝0必有实数根． (2)若x＝－1是“勾系一元二次方程”ax2＋cx＋b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC的面积． 21.（8分）将一物体（视为边长为米的正方形）从地面上挪到货车车厢内．如图所示，刚开始点与斜面上的点重合，先将该物体绕点按逆时针方向旋转至正方形的位置，再将其沿方向平移至正方形的位置（此时点与点重合），最后将物体移到车厢平台面上．已知，，过点作于点，米，米． （1） 求线段的长度； （2）求在此过程中点运动至点所经过的路程． 22.（10分）为了美化环境，学校准备在如图所示的矩形ABCD空地上进行绿化，规划在中间的一块四边形MNQP上种花，其余的四块三角形上铺设草坪，要求AM＝AN＝CP＝CQ．已知BC＝24米，AB＝40米．设AM＝x米． （1）当种花的面积为440平方米时，求x的值； （2）种花的面积能否达到520平方米？说明理由； （3）设种花的面积为a平方米，当x的值有且只有一个时，试求出a的取值范围． 23.（12分）（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图1，是等腰三角形，是底边的中点，腰与相切于点． (1)求证：是的切线； (2)如图2，与边交于点、点，连接、，作的平分线交于点，连接、． ①求证的形状，并说明理由； ②若，，求弦与劣弧围成的阴影的面积． 24．（12分）（26-27九年级上·江苏淮安·期中预测）定义：若关于x的一元二次方程的两根都为整数，则称方程为“全整根方程”．任何一个“全整根方程”的根的判别式的值一定为完全平方数．现规定：代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”．例如：已知关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”，则该方程的“关爱码”为． (1)已知关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”， ①当时，该全整根方程的“关爱码”为______； ②若该全整根方程的“关爱码”为，则m的值为______； (2)已知关于x的一元二次方程（m为整数，且）是一个“全整根方程”，求该方程的“关爱码”； (3)若关于x的一元二次方程与都是“全整根方程”．当其“关爱码”相等时，求代数式的值． 25.（14分）（26-27九年级上·江苏宿迁·期中预测）在人工智能飞速发展的当下，机器人可在平面直角坐标系中完成移动操作．若机器人从点移动到点满足（p是常数，且），则称点A，B是“p瞬移点”． （1）下列各组点中，是“2瞬移点”的有________．（填序号） ①点与； ②点与； ③点与． （2）如图1，直线与反比例函数在第一象限内的两个交点A，B是“瞬移点”． ①k的值为________；②若的面积为4，求m的值． （3）如图2，已知，D为反比例函数上一点．若且，E为平面内一点，若四边形为正方形，正方形的四个顶点中是否存在相邻的两个顶点是“2瞬移点”？若不存在请说明理由，存在请求出m的值． 26.（14分）【问题提出】 我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么，在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？ 【初步思考] （1）如图1，是的弦，，点、分别是优弧和劣弧上的点，则______，　　； （2）如图2，是的弦，圆心角，点是上不与、重合的一点，求弦所对的圆周角的度数为 ______；（用的代数式表示） 【问题解决】 （3）如图3，已知线段，点在所在直线的上方，且，用尺规作图的方法作出满足条件的点所组成的图形①直尺为无刻度直尺；②不写作法，保留作图痕迹）； 【实际应用】 （4）如图4，在边长为12等边三角形中，点、D分别是边、上的动点，连接、，交于点，若始终保持，当点从点运动到点时，的最小值是______． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年苏科版九年级数学第九周模拟练习（期中模拟）（盐城专版） （范围：第一章～第三章 时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（共24分） 1.（2025秋·盐城盐都区期末）2026盐城湿地生态基地计划扩建一片试验区，设平均每年面积增长率为x，初始面积20hm2，两年后面积达到28.8hm2，下面所列方程正确的是（ ） A.20(1+x)2=28.8　 B.20+20x=28.8 C.20(1+x2)=28.8　 D.20(1+2x)=28.8 【答案】：A 【解析】：一元二次方程增长率模型，两年增长，基数\times(1+\text{增长率})^2=终值；考查增长率问题。 2.（2025秋·盐城射阳期中）已知反比例函数y=(k≠0)，若该图象经过点(-3,4)，则下列说法正确的是（ ） A.k=12 B.图象在一、三象限 C.当x<0时，y随x增大而增大 D.点(3,4)也在这个函数图象上 【答案】：C 【解析】：代入得k=-12，双曲线在二、四象限；在每个象限内，y随x增大而增大；反比例函数基础性质。 3.（2025秋·盐城东台联盟一模改编）已知点是数轴上一定点，点是数轴上一动点，点表示的实数为，点所表示的实数为，作以为圆心，为半径的，若点在外，则的值可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵B在外，∴AB＞2，∴＞2，∴b＞或b＜，∴b可能是-1.故选A． 4.（2025秋·盐城康居路初中月考改编）下列方程中，没有实数根的是（　　） A．x2﹣2x﹣3＝0 B．（x﹣5）（x+2）＝0 C．x2﹣x+1＝0 D．x2＝1 【答案】C 【解析】：A．方程x2﹣2x﹣3＝0中△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，有两个不相等的实数根，不符合题意；B．方程（x﹣5）（x+2）＝0的两根分别为x1＝5，x2＝﹣2，不符合题意；C．方程x2﹣x+1＝0中△＝（﹣1）2﹣4×1×1＝﹣3＜0，没有实数根，符合题意；D．方程x2＝1的两根分别为x1＝1，x2＝﹣1，不符合题意；故选：C． 5.（2026·盐城亭湖区一模改编）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（　　） A．4 B． C． D． 【答案】B． 【解析】作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，如图，∵⊙P的圆心坐标是（3，a），∴OC＝3，PC＝a，把x＝3代入y＝x得y＝3，∴D点坐标为（3，3），∴CD＝3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，∵PE⊥AB，∴AE＝BE＝AB＝×4＝2，在Rt△PBE中，PB＝3，∴PE＝，∴PD＝PE＝，∴a＝3+．故选：B． 6.（2025秋·盐城鹿鸣路期中改编）已知，且，则的值为（   ）． A． B． C．5 D． 【答案】D 【解析】∵，∴，，设，则方程变为，∵，∴设，方程同样变为：，因此，和是方程 的两个根，∴，故选：D． 7.（2025·盐城中考改编）如图，矩形ABCD的周长为12，面积为5，且AB和BC的长恰好是方程的两根，则m和n的值分别为( ) A.，5 B.12， C.6，5 D.，5 【答案】：A 【解析】：和BC的长恰好是方程的两根，，.矩形ABCD的周长为12，面积为5，，，，. 8.（2026·盐城盐都区二模改编）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为(　　) A. B. C. D．2 【答案】：A 【解析】：由题意可知，AF＝AE＝BF＝BG＝2，DE＝DN＝3，设GM＝x，则MN＝x，DM＝3＋x，CM＝3－x.在Rt△DMC中，∵DM2＝CM2＋CD2，∴(3＋x)2＝(3－x)2＋42，解得x＝，∴DM＝DN＋MN＝3＋＝.故选A. 二．填空题（共24分） 9.（2025秋·盐城射阳实验初中期中改编）已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）=8，则x2+y2=　　． 【答案】1． 【解析】设a=x2+y2，已知等式变形为：（a+1）（a+3）=8，整理得：a2+4a﹣5=0，即（a﹣1）（a+5）=0，解得：a=1或a=﹣5（舍去），则x2+y2=1．故答案为：1．　 10.（2025秋·盐城建湖期中改编）若A、B两点关于轴对称，且点A在双曲线上，点B在直线上，设点A的坐标为（a,b）,则=________________． 【答案】16 【解析】：∵点A的坐标为（a，b），A、B两点关于y轴对称，∴B（-a，b），∵点A在双曲线y=-上，点B在直线y=x+3上，∴ab=-，-a+3=b，即ab=-，a+b=3，∴原式==16. 11.（2025秋·盐城亭湖区月考改编）如图，从一块直径是6的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是________． 【答案】 【解析】如图，连接，由题意可得为的直径，，，∴，即扇形的对应半径为，∴弧的长为，设圆锥的底面圆半径为，则，∴，∴将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是． 12.如图，在△ABC中，AC＝50 m，BC＝40 m，∠C＝90°，点P从点A开始沿AC 边向点C以2 m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3 m/s的速度沿着射线CB匀速移动，当△PCQ的面积等于300 m2时，运动时间为__________. 【答案】5 s或20 s 【解析】 设运动时间为t，由题意得AP＝2t，CQ＝3t，∴PC＝50－2t，∵S△PCQ＝300，∴(50－2t)3t＝300，解得t＝20或5，∴t＝20 s或5 s时，△PCQ的面积为300 m2. 13.（2026·盐城康居路一模改编）如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是_______. 【答案】2 【解析】过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，如图所示：则DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，∴EG＝AG﹣AE＝2，在Rt△BOG中，OG＝＝＝2，∴EG＝OG，∴△EOG是等腰直角三角形，∴∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，∵∠DEB＝75°，∴∠OEF＝30°，∴OF＝OE＝，在Rt△ODF中，DF＝＝＝，∴CD＝2DF＝2； 14．（26-27九年级上·江苏徐州·期中）如图所示，反比例函数的图象经过矩形的对角线的中点，分别与，交于点、，若，，则点的坐标为_______． 【答案】 【解析】：四边形是矩形，，设，，，，，，，是中点，，两点都在上，，，，，点在上，的纵坐标为，，，∴点的坐标为 15.（2025·盐城中考改编）如图,若干个全等的正五边形排成环状,图中所示的是前3个正五边形,要完成这一圆环还需正五边形的个数为____. 【答案】7 【解析】∵五边形的内角和为(5-2)×180°=540°,∴正五边形的每一个内角为540°÷5=108°.如图,延长正五边形的两边相交于点O,则∠1=360°-108°×3 =360°-324°=36°,360°÷36°=10.∵已经有3个正五边形,∴10-3=7,即完成这一圆环还需7个正五边形. 16.（2026·盐城射阳二模改编）关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值也等于，则称为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”．若关于的代数式有两个不动值，且两个不动值的差为整数，则正整数的值为_____． 【答案】1，2 【解析】，整理得：，设方程的两个根为s，t，则，，∴，∵为整数，∴为整数，∴或． 三．解答题（共102分） 17．（8分）解方程 （1）3x2－4x－1＝0 （2） (y＋)2＝4y＋12 解：（1）a＝3，b＝－4，c＝－1，Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×3×(－1)＝28.x＝， x1＝，x2＝. （2）y2＋2y＋3－4y－12＝0，y2－2y－9＝0，(y＋)(y－3)＝0，∴y＋＝0或y－3＝0，∴y1＝－，y2＝3. 18.（8分）已知y＝y1+y2，y1与x2成正比例关系，y2与x成反比例关系，且当x＝1时，y＝3；当x＝－1时，y＝1. （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当x＝－时，求y的值. 解：∵y＝y1+y2，y1与x2成正比例关系，y2与x成反比例关系，∴可设y1＝k1x2，y2＝， 把x＝1时，y＝3和x＝－1时，y＝1代入得：，解得：， ∴y与x之间的函数表达式为y＝2x2+， （2）当x＝－时，y＝2×(－)2+(－2)＝－. 19.（8分）如图正六边形的边长为1，请分别在图1，图2中使用无刻度的直尺按要求画图．（1）在图1中，画出一条长度为0.5的线段，（2）在图2中，画一个边长与正六边形的边长不相等的菱形． 解：（1）如图1：连接CF，BD交于点G，则CG即为所求；理由：∵正六边形ABCDEF的边长1，∴BC=CD=1，∠BCD=120°，∴△CBD是等腰三角形，∴∠CBG=30°， 又∵CF是正六边形的对称轴，∴CG⊥BD，在Rt△CBG中，CG=BC=； （2）画图如下：解法一：菱形FGCH即为所求．解法二：菱形AGDH即为所求． 20.（8分）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED的三边长，易知AE＝c，这时我们把形如ax2＋cx＋b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． (1)求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2＋cx＋b＝0必有实数根． (2)若x＝－1是“勾系一元二次方程”ax2＋cx＋b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC的面积． 解：（1）证明：由题意，得Δ＝(c)2－4ab＝2c2－4ab.∵a2＋b2＝c2，∴2c2－4ab＝2(a2＋b2)－4ab＝2(a－b)2≥0，即Δ≥0.∴关于x的“勾系一元二次方程”ax2＋cx＋b＝0必有实数根． （2）当x＝－1时，有a－c＋b＝0，即a＋b＝c.∵2a＋2b＋c＝6，即2(a＋b)＋c＝6，∴3c＝6.∴c＝2.∴a2＋b2＝c2＝4，a＋b＝2.∵(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，∴ab＝2.∴S△ABC＝ab＝1. 21.（8分）将一物体（视为边长为米的正方形）从地面上挪到货车车厢内．如图所示，刚开始点与斜面上的点重合，先将该物体绕点按逆时针方向旋转至正方形的位置，再将其沿方向平移至正方形的位置（此时点与点重合），最后将物体移到车厢平台面上．已知，，过点作于点，米，米． （1） 求线段的长度； （2）求在此过程中点运动至点所经过的路程． 解：（1）∵MG∥PQ，∴∠FGM=∠FBP=30°．∴在中，（米）．（2）连接A1A2，则必过点D1，且四边形A1BGA2是矩形．∴A1A2=BG=BF-GF=（米）．∵四边形ABCD和四边形A1BC1D1都是正方形，∴AB=A1B，∠A1BC1=∠ABC=90°．∴∠ABA1=180°-∠A1BC1-∠FBP=180°-90°-30°=60°．∴（米）．∴在整个运动过程中，点A运动至A2的路程为：（米）． 22.（10分）为了美化环境，学校准备在如图所示的矩形ABCD空地上进行绿化，规划在中间的一块四边形MNQP上种花，其余的四块三角形上铺设草坪，要求AM＝AN＝CP＝CQ．已知BC＝24米，AB＝40米．设AM＝x米． （1）当种花的面积为440平方米时，求x的值； （2）种花的面积能否达到520平方米？说明理由； （3）设种花的面积为a平方米，当x的值有且只有一个时，试求出a的取值范围． 解：（1）根据题意得：24×40﹣2×（40﹣x）（24﹣x）﹣2×x2＝440，方程整理得：x2﹣32x+220＝0，即（x﹣22）（x﹣10）＝0，解得：x1＝22，x2＝10，则x的值为22或10； （2）种花的面积不能达到520平方米，理由如下：根据题意得：24×40﹣2×（40﹣x）（24﹣x）﹣2×x2＝520，方程整理得：x2﹣32x+260＝0，∵b2﹣4ac＝322﹣4×260＝1024﹣1040＝﹣16＜0，∴此方程无解； （3）根据题意得：24×40﹣2×（40﹣x）（24﹣x）﹣2×x2＝a，方程整理得：x2﹣32x+＝0，（i）∵x的值有且只有一个，∴b2﹣4ac＝322﹣4×＝0，即2a＝1024，解得：a＝512； （ii）∵方程有两个不等根，0＜x＜24，a为面积，∴b2﹣4ac＝322﹣4×＞0， 解得：0＜a＜512，解得：x1＝16+（不在范围内，舍去），x2＝16﹣， ∴≥8，解得：0＜a≤384，综上，a＝512或0＜a≤384． 23.（12分）（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图1，是等腰三角形，是底边的中点，腰与相切于点． (1)求证：是的切线； (2)如图2，与边交于点、点，连接、，作的平分线交于点，连接、． ①求证的形状，并说明理由； ②若，，求弦与劣弧围成的阴影的面积． 解：(1)过点作于点，连接、． ∵是等腰三角形，是底边中点，∴，且平分．∵与相切于，∴．∵，∴．∵是的半径，∴也等于的半径，∴是的切线． （2）①是等腰直角三角形，证明如下：∵是的直径∴．∵平分，∴．∴，∴．∴是等腰直角三角形．②连接， ∵在中，，，，∴，∴的半径．∵平分，∴，∴．∴扇形的面积：． ∵的面积：：∴． 24．（12分）（26-27九年级上·江苏淮安·期中预测）定义：若关于x的一元二次方程的两根都为整数，则称方程为“全整根方程”．任何一个“全整根方程”的根的判别式的值一定为完全平方数．现规定：代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”．例如：已知关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”，则该方程的“关爱码”为． (1)已知关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”， ①当时，该全整根方程的“关爱码”为______； ②若该全整根方程的“关爱码”为，则m的值为______； (2)已知关于x的一元二次方程（m为整数，且）是一个“全整根方程”，求该方程的“关爱码”； (3)若关于x的一元二次方程与都是“全整根方程”．当其“关爱码”相等时，求代数式的值． 解：（1）解：①当时，方程为，则该全整根方程的“关爱码”为；②关于x的一元二次方程的“关爱码”为，∴，整理得：，解得：． （2）∵关于x的一元二次方程（m为整数，且）是一个“全整根方程”，∴根的判别式是完全平方数，∵，∴当时，是完全平方数，符合题意；当时，不是完全平方数，不符合题意；当时，不是完全平方数，不符合题意；当时，不是完全平方数，不符合题意；当时，不是完全平方数，不符合题意；当时，不是完全平方数，不符合题意；当时，不是完全平方数，不符合题意；当时，不是完全平方数，不符合题意；当时，是完全平方数，符合题意；当时，不是完全平方数，不符合题意；当时，原方程为，此时“关爱码”为；当时，原方程为，此时“关爱码”为；综上，该方程的“关爱码”为或． （3）关于x的一元二次方程的“关爱码”为；关于x的一元二次方程的“关爱码”为；所以，整理得，． 25.（14分）（26-27九年级上·江苏宿迁·期中预测）在人工智能飞速发展的当下，机器人可在平面直角坐标系中完成移动操作．若机器人从点移动到点满足（p是常数，且），则称点A，B是“p瞬移点”． （1）下列各组点中，是“2瞬移点”的有________．（填序号） ①点与； ②点与； ③点与． （2）如图1，直线与反比例函数在第一象限内的两个交点A，B是“瞬移点”． ①k的值为________；②若的面积为4，求m的值． （3）如图2，已知，D为反比例函数上一点．若且，E为平面内一点，若四边形为正方形，正方形的四个顶点中是否存在相邻的两个顶点是“2瞬移点”？若不存在请说明理由，存在请求出m的值． 解：（1）∵，∴，①，②，③，∴是“2瞬移点”的有②③； （2）①设，∵，在直线上，∴∴，∵，是“瞬移点”，∴，∴，②联立消去y得，，，，，∵有两个交点A，B，∴，即，又∵B在A的右侧，则，，如图所示，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D， ∵A，B在第一象限，则，， ；所以，，经检验是原方程的解，∴m的值为3； （3）存在，∵，，①当时，解得：，满足，此时，当在第三象限时，如图所示， 过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，∴，，∴，∵四边形为正方形，∴，∴，∴，∴，∴，∴；当在第四象限时，设，则与关于对称，∴，解得：，∴， ∴；②当时，解得：，满足，结论同①，∵不能为对角线，且，不存在其他情形，综上所述，或． 26.（14分）【问题提出】 我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么，在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？ 【初步思考] （1）如图1，是的弦，，点、分别是优弧和劣弧上的点，则______，　　； （2）如图2，是的弦，圆心角，点是上不与、重合的一点，求弦所对的圆周角的度数为 ______；（用的代数式表示） 【问题解决】 （3）如图3，已知线段，点在所在直线的上方，且，用尺规作图的方法作出满足条件的点所组成的图形①直尺为无刻度直尺；②不写作法，保留作图痕迹）； 【实际应用】 （4）如图4，在边长为12等边三角形中，点、D分别是边、上的动点，连接、，交于点，若始终保持，当点从点运动到点时，的最小值是______． 解：（1），． 故答案为：50，130； （2）当在优弧上时，；当在劣弧上时，；故答案为：或 （3）如图（实线部分且不包含、两个端点）就是所满足条件的点所组成的图形． 证明：∵为的直径，∴，在中，∵点C在上，由（2）得，∴（实线部分且不包含、两个端点）就是所满足条件的点所组成的图形； （4）如图， ∵△ABC为等边三角形，∴，，∵， ∴，∴， ∵，∴， ∴点P的运动轨迹是，∴．连接CO，∵， ∴，∴，， ∴，在中，设，则， 根据勾股定理得，解得，∴，， ∵，∴，∴的最小值为．故答案为：． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $