7.2.1 平行线的概念 学案 2026--2027学年人教版七年级数学下册

7.2.1  平行线的概念

 

 

一、学习目标

1. 理解平行线的定义，知道“在同一平面内”和“不相交”这两个条件缺一不可。

2. 掌握平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

3. 掌握平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

4. 会用符号“∥”表示平行关系，能判断同一平面内两条直线的位置关系。

二、学习重点与难点

学习重点：平行线的定义、平行公理及其推论。

学习难点：理解“有且只有”的含义，会用平行公理说明三点共线、两直线相交等问题。

三、情境导入

火车轨道的两条钢轨、斑马线上的一条条白线、练习本上的横线，把它们看成直线，都有“不相交”的特点。

在同一平面内，直线 a 与直线 b 无论怎样延长都不会相交，我们就说直线 a 与直线 b 互相平行，记作 a∥b，读作“a 平行于 b”。

问题1：在同一平面内，两条直线除了不相交，还可能有什么位置关系？

问题2：如果把“在同一平面内”这个条件去掉，还一定是平行线吗？想一想长方体的棱。

四、合作探究

探究一：平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

定义里有三个条件：①在同一平面内；②是两条直线；③不相交。三个条件缺一不可。

追问：线段 AB 与线段 CD 不相交，能说它们平行吗？

不能直接说。线段或射线平行，指的是它们所在的直线互相平行。

探究二：平行公理

如图，直线 l 外有一点 P，过点 P 画直线 l 的平行线。

用三角尺和直尺平移的方法可以发现：过点 P 只能画出一条与 l 平行的直线 m，而图中另外两条虚线所画的直线都与 l 相交。

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

“有且只有”包含两层意思：“有”说明这样的直线存在，“只有”说明这样的直线唯一。

追问：如果点 P 在直线 l 上，过点 P 还能画出与 l 平行的直线吗？

不能。过直线上一点画出的直线都与 l 相交（或重合），所以平行公理必须强调“直线外一点”。

探究三：平行公理的推论

如图，直线 a∥b，b∥c，那么直线 a 与直线 c 有什么关系？

假设 a 与 c 相交于点 Q，那么过点 Q 就有两条直线 a、c 都与 b 平行，这与平行公理矛盾。所以 a 与 c 不能相交，只能平行。

平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

用符号表示：若 a∥b，b∥c，则 a∥c。这个结论也叫“平行线的传递性”。

五、典型例题

例题1. 下列说法正确的是（　　）

A．两点之间，直线最短

B．不相交的两条直线叫做平行线

C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离

【分析】逐项对照定义：平行线必须强调“在同一平面内”；点到直线的距离是垂线段的长度，不是垂线段本身。

例题2. 如图，如果 CD∥AB，CE∥AB，那么 C，D，E 三点是否共线？你能说明理由吗？

【分析】要说明三点共线，只需说明 CD 与 CE 是同一条直线。想一想平行公理中“只有”两个字的用处。

例题3. 直线 a∥b，b∥c，直线 d 与 a 相交于点 A。

（1）判断 a 与 c 的位置关系，并说明理由；

（2）判断 c 与 d 的位置关系，并说明理由。

【分析】第（1）问直接用平行公理的推论；第（2）问用反证法：假设 c∥d，看会不会与已知条件矛盾。

六、错误诊所

甲说：“不相交的两条直线一定平行。”

乙说：“过一点有且只有一条直线与已知直线平行。”

丙说：“若 a∥b，b∥c，则 a∥c，所以三条直线两两平行。”

请判断三人的说法是否正确，并说明理由。

提示：甲漏掉了什么前提？乙漏掉了点与直线的什么位置要求？丙的结论与前提是否一致？

七、达标检测

A组 · 基础巩固

1. 在同一平面内，两条直线可能的位置关系是（　　）

A．平行　　　B．相交　　　C．相交或平行　　　D．垂直

2. 在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系可能是（　　）

A．相交或平行　　　B．相交或垂直　　　C．平行或垂直　　　D．不能确定

3. 平行线是指（　　）

A．两条不相交的直线　　　B．两条延长后仍不相交的直线

C．同一平面内两条不相交的直线　　　D．以上都不对