7.1.2 两条直线垂直 学案 2026--2027学年人教版七年级数学下册

7.1.2  两条直线垂直

 

一、学习目标

1. 理解两条直线互相垂直的概念，会用“⊥”表示垂直关系，能指出垂足。

2. 掌握垂线的基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

3. 理解点到直线的距离的概念，知道垂线段最短，能运用它解决简单的实际问题。

4. 经历“观察—操作—归纳”的过程，发展几何直观和有条理的表达能力。

二、学习重点与难点

学习重点：垂直的概念、垂线的基本事实、点到直线的距离。

学习难点：区分“垂线段”与“点到直线的距离”；运用分类讨论解决没有给出图形的垂直问题。

三、情境导入

十字路口的斑马线、教室墙角的棱、窗框的横档与竖档……两条直线相交成直角的情形在生活中随处可见。

工人师傅砌墙时，常用一根细线悬挂重物，借它检查墙身是否竖直；木工做门框时，也要保证横档与竖档互相垂直。这些看似平常的做法，背后都藏着同一个几何概念——垂直。

问题1：图中两条直线相交所成的四个角有什么数量关系？

问题2：如果其中一个角是 90°，其余三个角各是多少度？

四、合作探究

探究一：垂直的定义

如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，∠AOC = 90°。

由邻补角互补可知，∠BOC = 180° − 90° = 90°；由对顶角相等可知，∠BOD = ∠AOC = 90°，∠AOD = ∠BOC = 90°。

当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。

直线 AB 与 CD 互相垂直，记作 AB ⊥ CD，读作“AB 垂直于 CD”。其中一条直线叫做另一条直线的

垂线，它们的交点 O 叫做垂足。

追问：垂直是相交的一种特殊情况吗？为什么？

是。两条直线垂直时仍然相交，只是相交所成的四个角都是 90°，所以垂直是相交的特殊情形。

探究二：垂线的画法

用三角尺可以过一点画已知直线的垂线，分两种情形：点在直线上、点在直线外。

基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

追问：“有且只有”包含哪两层含义？

“有”说明这样的直线存在，“只有”说明这样的直线唯一，即最多只能画出一条。

探究三：点到直线的距离

从直线外一点 P 向直线 l 作垂线，垂足为 H，线段 PH 叫做点 P 到直线 l 的垂线段。

点 P 到直线 l 的距离：垂线段 PH 的长度。

注意：距离是一个数值，不能说“垂线段就是距离”。

探究四：垂线段最短

如图，点 P 在直线 l 外，PH ⊥ l 于点 H，A、B 是直线 l 上另外两点。度量 PH、PA、PB 的长度并比较。

结论：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

追问：这个结论在生活中有什么应用？

跳远成绩的测量、铺设管道时选择垂直于管道走向的路线、修路时把弯道改直等，都是“垂线段最短”的应用。

五、典型例题

例题1. 如图，点 O 为直线 AB 上一点，OC ⊥ OD。如果 ∠1 = 35°，那么 ∠2 的度数是（　　）

A．35°　　　B．45°　　　C．55°　　　D．65°

例题2. 如图所示，已知 OA ⊥ OB，OC ⊥ OD，则图中 ∠1 = ∠2，这是根据（　　）

A．直角都相等

B．等角的余角相等

C．同角的余角相等

D．同角的补角相等

【分析】∠1、∠2 都与 ∠BOC 互余，把 ∠BOC 看作“同一个角”，即可判断依据。

例题3. 如图，直线 AB、CD 相交于点 O，OF ⊥ CD，OF 平分 ∠BOE，垂足为 O。

（1）直接写出图中所有与 ∠BOC 互补的角；

（2）若 ∠BOE = 110°，求 ∠AOC 的度数。

【分析】（1）互补的角既可能来自平角，也可能来自对顶角，要把两条直线分开看；（2）先由垂直求出 ∠FOD = 90°，再用角平分线把 ∠BOE 拆成两个 55°。

六、错误诊所

甲说：“点 C 到直线 AB 的距离是线段 CD。”

乙说：“直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离。”

请判断两人的说法是否正确，并说明理由。

提示：先想一想“距离”到底是一个图形，还是一个数值。