7.1.2 两条直线垂直 导学案 2025-2026学年人教版七年级数学下册

该初中数学导学案聚焦“两条直线垂直”，涵盖垂直定义、符号表示、垂线基本事实、垂线段最短及点到直线的距离。通过转动木条的相交线模型，从角的变化引出垂直定义，衔接相交线知识，搭建学习支架。 以生活情境（跳远测量、灌溉挖渠）抽象数学模型，通过画垂线探究、垂线段比较等活动，培养几何直观与推理意识，习题结合实际问题强化应用，助力学生发展数学眼光、思维与语言表达能力。

第二课时：7.1.2两条直线垂直 一、教学目标 1.认识生活中的垂直现象,理解垂直的定义,并能用符号表示. 2.掌握垂线的基本事实,会过--点画己知直线的垂线. 3.掌握垂线段最短与点到直线的距离. 4.素养目标：从实际问题中抽象出垂直模型，再用数学知识解决实际问题，在这个过程中逐步提高数学应用能力和数学建模的核心素养. 二、教学重点、难点 重点：垂直的定义；垂线的画法；垂线的基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；垂线的性质：垂线段最短. 难点：垂线的画法；对点到直线的距离的概念的理解. 三、教学过程 创设情境 在相交线的模型中，固定木条 a ，转动木条 b.当 b的位置变化时，a、b 所成的角∠α也会发生变化. 当∠α＝90°时，这两根木条垂直. 一般地，当两条直线a 、 b相交所成的四个角中，有一个是直角，我们说 a 与 b互相垂直，记作 “ a⊥b”. 两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足. 如右图，直线AB与直线CD垂直，记作：AB⊥CD，垂足是O； 直线 m 与直线 n 垂直，记作：m⊥n； “⊥”是“垂直”的记号，读作“垂直于”； 而“┐”是图形中“垂直”(直角)的标记. 垂直的定义有以下两层含义： 1.∵AB⊥CD (已知) 2.∵∠1＝90°(已知) ∴∠1＝90°(垂直的定义) ∴AB⊥CD (垂直的定义) 日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，你能再举出其他例子吗？ 探究一 如图,用三角尺或量角器画已知直线 l 的垂线. (1)经过直线 l 上一点A画 l 的垂线，这样的垂线能画出几条？ (2)经过直线 l 外一点B画 l 的垂线，这样的垂线能画出几条？ 经过一点(已知直线上或直线外)，能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线. 即在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 例2 如图，过点P画出射线AB或线段AB的垂线. 画一条射线或线段的垂线，就是画它们所在直线的垂线. 注意：①画一条射线或线段的垂线，垂足可能在射线或线段上，也可能在射线的反向延长线上或线段的延长线上；②画图时，不要忘记在垂直处标记垂直符号“┐”. 同学们，你们知道在跳远比赛中，跳远成绩是如何测量出来的吗？ 思考 如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？ 探究二 如图，P是直线l外一点，PO⊥l，垂足为O，我们称PO为点P到直线l的垂线段.A是直l上除点O外一点，连接PA.测量并比较线段PO与PA的长度，你能得到什么结论？改变点A的位置呢？ 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 简单说成：垂线段最短. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离. 练习 1.当两条直线相交所成的四个角都相等时，这两条直线有什么位置关系？为什么？ 2.如图，分别过点P画直线AB，CD的垂线，并量出点P到直线AB的距离. 3.如图，三角形ABC中，∠C＝90°. (1)分别指出点A到直线CB，点B到直线AC的距离是哪些线段的长度； (2)三条边AB，AC，CB中哪条边最长？为什么？ 四、课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 五、教学反思 六、课堂检测 1.如图所示,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=acm,BC=bcm,则BD的范围是( ) A.大于acm B.小于bcm C.大于acm或小于bcm D.大于bcm且小于acm 2.点P为直线m外一点,点A,B,C为直线m上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P到 直线m的距离为( ) A.4cm B.2cm; C.小于2cm D.不大于2cm 3.如图所示,直线AB,CD,EF交于点O,OG平分∠BOF,且CD⊥EF,∠AOE=70°,�求∠DOG的度数. 4．如图所示，分别过P画AB的垂线． 5.如图，OA⊥OC，OB⊥OD，且∠AOD=3∠BOC，求∠BOC的度数． 课堂检测参考答案： 1、 D 2、D 3、55° 4、略 5、45° 学科网（北京）股份有限公司 $