精品解析：湖南张家界市桑植县2026-2027学年上学期九年级期中考试试卷数学

2026年下学期九年级期中教学质量检测 数学试卷 说明： 1．范围：第一、第二章． 2．满分：120分；时间：120分钟． 3．请将答案写在答题卡上． 一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，满分30分． 1. 下列图形一定相似的是（ ） A. 两个等边三角形 B. 两个直角三角形 C. 两个矩形 D. 两个菱形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似多边形的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据相似图形的定义（对应角相等、对应边成比例的图形相似），结合各选项图形的性质逐一分析判断即可． 【详解】解：相似图形需满足对应角相等且对应边成比例， A选项：∵等边三角形的三个内角均为，且各边长度相等， ∴任意两个等边三角形对应角相等，对应边的比值为定值， ∴两个等边三角形一定相似，该项正确； B选项：∵两个直角三角形仅直角相等，另外两个锐角不一定相等，对应边也未必成比例， ∴两个直角三角形不一定相似，该项错误； C选项：∵两个矩形的对应角均为，但对应边的比值不一定相等， ∴两个矩形不一定相似，该项错误； D选项：∵两个菱形的对应边成比例，但对应角不一定相等， ∴两个菱形不一定相似，该项错误； 故选A． 2. 若，则锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值． 根据已知正弦值，即可得锐角的度数． 【详解】解：∵ ， 为锐角， ∴ ． 故选：B． 3. 两个相似三角形的对应边上的中线比为，则它们面积比的为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵两个相似三角形的对应边上的中线比为，即其相似比为， 而相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴其面积比为：． 故选：B． 4. 已知在中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据，设，，由勾股定理求得，即可求得． 【详解】在中，， ∵， 设，， 由勾股定理得，， ∴． 故选：D 【点睛】此题重点考查三角函数值，把握三角函数值的计算方法是解题的关键． 5. 如图，直线，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解： ，即， ， 解得： 故选：D． 6. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．如下图汉字“坤”端庄稳重、舒展美观．其中竖笔画起点为，终点为，交接处点恰好是线段的黄金分割点，即，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，黄金分割的定义是：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值即为黄金分割，其比值是． 根据黄金分割的定义列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即 解得：或（舍去）． 故选：A． 7. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，位似比为，则和的面积比是（ ） A. 2∶3 B. 1∶2 C. D. 1∶4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，解题关键是掌握位似变换的相关性质，运用比例解题． 先根据和是以点为位似中心的位似图形，位似比为，然后利用相似三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形，位似比为， ， ∴与的面积比是， 故选：C． 8. 如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似多边形的对应角相等，求出 和 的度数，再利用四边形内角和定理计算 的度数． 【详解】解：∵四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应， ∴，． 在四边形 中，∵，  ∴． 9. 如图，在正方形网格中，以点为位似中心，作的位似图形，若点是点的对应点，则点的对应点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，掌握位似图形的对应点连线相交于一点以及位似图形的性质是解题的关键．连接并延长，根据位似变换的性质判断即可． 【详解】解：如图所示，连接，，连接并延长， 以点为位似中心，作的位似图形，若点是点的对应点， 位似比为， 点的对应点是． 故选：D ． 10. 如图，给出下列条件：①，②，③，④，其中不能判定的条件为（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，此题主要考查学生对相似三角形判定定理的理解和掌握，难度不大，属于基础题，要求学生应熟练掌握．由图可知与中为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答． 【详解】解：①，再加上为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定； ②，再加上为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定； ③可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定； ④中不是已知的比例线段的夹角，不正确 故选：D． 二、填空题：本题共6个小题，每小题3分，满分18分． 11. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知比例设参数，代入所求代数式化简即可得到结果． 【详解】解： 设，，其中 将，代入得：． 12. 若为锐角，且，则等于________度． 【答案】 【解析】 【分析】利用特殊角的正切值，先求出的度数，再计算． 【详解】解：∵，又锐角三角函数中， ∴， ∴， 则等于度． 13. 如图，在中，，则__________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，掌握余弦的定义是解题的关键，在中，；根据，求出，再由勾股定理求解即可； 【详解】解：中，， ， ， 故答案为：10 14. 某水库大坝，其坡面的坡度 ，则斜坡的坡角的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题，利用坡度的定义及特殊锐角三角函数值可求出斜坡的坡角的度数，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，易知，小明同学想求的值，他在上取点，使得，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角形外角性质和等腰三角形性质得出，设，，利用勾股定理建立方程求出的值，再结合求解，即可解题． 【详解】解：，， ， ， 设， ， ， ， 解得， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质、三角形外角性质、勾股定理、锐角三角函数，熟练掌握相关性质并灵活运用，即可解题． 16. 如图，已知矩形，长，宽，P、Q分别是、上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿方向运动，则经过_____ 秒，以P、B、Q为顶点的三角形与相似． 【答案】或 【解析】 【分析】要使以P、B、Q为顶点的三角形与相似，则要分两种情况进行分析．分别是或，利用相似的性质得出比例线段并建立方程即可． 【详解】解：设经x秒后，以P、B、Q为顶点的三角形与相似， 则，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ①当时，有， ∴，即， 解得； ②当时，有， ∴，即， 解得， ∴经过2秒或秒时,以P、B、Q为顶点的三角形与相似． 故答案为：2或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，正确分类是解题的关键． 三、解答题：本题共8个小题，第17，18小题每小题6分，第19，20小题每小题9分，第21，22，23小题每小题10分，第24小题12分，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 如图，点，分别在的边，上，，且与的面积之比为，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】证明，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 19. 如图，等边三角形△ACB的边长为3，点P为BC上的一点，点D为AC上的一点，连接AP、PD，∠APD=60°． （1）求证：△ABP∽△PCD； （2）若PC=2，求CD的长． 【答案】（1） 证明：∵等边三角形ABC， ∴∠B=∠C=60°， ∵∠APD=60°， ∴∠APB+∠CPD=120°， 在△APB中，∠APB+∠BAP=120°， ∴∠BAP=∠CPD， ∴△ABP∽△PCD； （2）CD的长为 【解析】 【分析】（1）由等边三角形和∠APD=60°得，∠B=∠C=∠APD=60°，∠APB+∠CPD=120°，在△APB中，∠APB+∠BAP=120°，由此可得∠BAP=∠CPD．因此△ABP∽△PCD； （2）由（1）的结论△ABP∽△PCD 可得，从而可以求出线段CD的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：等边三角形边长为3，PC=2， 由（1）得△ABP∽△PCD， ， ∴， ∴CD=． 答：CD的长为． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△ABP∽△PCD． 20. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为多少? 【答案】AD=2 【解析】 【分析】作DE⊥AB于E，先利用勾股定理求出，然后证明△ADE是等腰直角三角形，得到AE=DE，设AE=x，则DE=x，则，在Rt△BED中，，则BE=5x，再由即可求解． 【详解】解：作DE⊥AB于E，如图， ∴∠AED=∠DEB=90° ∵∠C=90°，AC=BC=6， ∴，∠A=45°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴AE=DE 在Rt△ADE中，设AE=x，则DE=x， ∴ 在Rt△BED中，， ∴BE=5x， ∴， ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查了勾股定理和解直角三角形，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握解直角三角形的方法． 21. 如图，我县某校九年级师生在一次“我的长征”研学活动中需要翻越一座小山．他们先从山脚点爬到点，再从点爬到山顶点．已知坡角，坡角，，，问：这座小山的高度是多少米（结果精确到，参考数据：，，）？ 【答案】 【解析】 【分析】过点B作于点F，则四边形是矩形，可得，解直角三角形分别求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点B作于点F，则四边形是矩形， ∴； 在中，， 在中，， ∴， ∴， 答：这座小山的高度约是． 22. 如图所示，在矩形中，为边上一点，且，垂足为，求证：． 【答案】证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【解析】 【分析】由矩形的性质得到，证明，得到，据此可证明结论． 【详解】略 23. 综合与实践 项目主题 探究海边救援下水点问题 生活素材 某学校数学兴趣小组模拟了海上救援活动，探究海边救援下水点，设置了以下情境： 如图所示，在海边沙滩的点处发现海上点处有人落水，救生员从点出发前去营救．设计以下三种营救方案（忽略海浪、风向、洋流等因素影响）： 方案一：救生员从点直接跳入海中，径直游向点； 方案二：救生员从点沿沙滩向正东方向跑到点跳入海中，再径直游向点； 方案三：救生员从点沿沙滩向正东方向跑300米到达点跳入海中，再径直游向点． 已知点在点的北偏东的方向上，在点的北偏东的方向上，点在点的正北方向，救生员沙滩上奔跑的速度都是5米/秒，水中游泳的速度都是2米/秒． 问题解决 根据以上信息，解决下列问题： （1）项目任务一： ， ． （2）项目任务二： 米； 米． （3）项目任务三：三个方案中哪个方案的救生员最先到达点，通过计算说明理由．（参考数据：） 【答案】（1）； （2）；200 （3）方案二的救生员最先到达点． 解：在中，米， 在中，米， 方案一：秒， 方案二：秒， 方案三：秒， ∵， ∴方案二的救生员最先到达点． 【解析】 【分析】（1）根据方向角的定义求解即可． （2）根据题意可知：米，解求出，解，求出，进而可求出． （3）解直角三角形求出，然后分别计算三个方案中所需的时间，比较时间即可得出答案． 【小问1详解】 解：，． 【小问2详解】 解：根据题意可知：米， 由（1）知， 在中，， 即， 解得：米， 在中，， 即， 解得：米， ∴米． 【小问3详解】 略 24. 如图1，在中，，，点是边上一点，过点作垂直于射线，垂足为，点在射线上，且，连接、． （1）求证：； （2）如图2，连接，点、、分别为线段、、的中点，连接、、，求的度数； （3）在（2）的条件下，直接写出的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可知，，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证结论成立； （2）根据，可得，从而可得，根据中位线定理可得，根据邻补角定义即可求出的度数； （3）根据可得，根据中位线定理可得． 【小问1详解】 证明：在中，，， ，， ， ， ， ，， ，， 即， ； 【小问2详解】 解：如下图所示，延长交于点， ， ， ， ， 点、分别为线段、的中点， 是的中位线， ， ， 点、分别为线段、的中点， 是的中位线， ， ， ； 【小问3详解】 解：，， ， 是的中位线，是的中位线， ，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年下学期九年级期中教学质量检测 数学试卷 说明： 1．范围：第一、第二章． 2．满分：120分；时间：120分钟． 3．请将答案写在答题卡上． 一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，满分30分． 1. 下列图形一定相似的是（ ） A. 两个等边三角形 B. 两个直角三角形 C. 两个矩形 D. 两个菱形 2. 若，则锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 两个相似三角形的对应边上的中线比为，则它们面积比的为（　　） A. B. C. D. 4. 已知在中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 6. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．如下图汉字“坤”端庄稳重、舒展美观．其中竖笔画起点为，终点为，交接处点恰好是线段的黄金分割点，即，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，位似比为，则和的面积比是（ ） A. 2∶3 B. 1∶2 C. D. 1∶4 8. 如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形网格中，以点为位似中心，作的位似图形，若点是点的对应点，则点的对应点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 10. 如图，给出下列条件：①，②，③，④，其中不能判定的条件为（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 二、填空题：本题共6个小题，每小题3分，满分18分． 11. 已知，则的值为______． 12. 若为锐角，且，则等于________度． 13. 如图，在中，，则__________． 14. 某水库大坝，其坡面的坡度 ，则斜坡的坡角的度数为_____． 15. 如图，在中，，易知，小明同学想求的值，他在上取点，使得，则___________． 16. 如图，已知矩形，长，宽，P、Q分别是、上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿方向运动，则经过_____ 秒，以P、B、Q为顶点的三角形与相似． 三、解答题：本题共8个小题，第17，18小题每小题6分，第19，20小题每小题9分，第21，22，23小题每小题10分，第24小题12分，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 如图，点，分别在的边，上，，且与的面积之比为，，求的长． 19. 如图，等边三角形△ACB的边长为3，点P为BC上的一点，点D为AC上的一点，连接AP、PD，∠APD=60°． （1）求证：△ABP∽△PCD； （2）若PC=2，求CD的长． 20. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为多少? 21. 如图，我县某校九年级师生在一次“我的长征”研学活动中需要翻越一座小山．他们先从山脚点爬到点，再从点爬到山顶点．已知坡角，坡角，，，问：这座小山的高度是多少米（结果精确到，参考数据：，，）？ 22. 如图所示，在矩形中，为边上一点，且，垂足为，求证：． 23. 综合与实践 项目主题 探究海边救援下水点问题 生活素材 某学校数学兴趣小组模拟了海上救援活动，探究海边救援下水点，设置了以下情境： 如图所示，在海边沙滩的点处发现海上点处有人落水，救生员从点出发前去营救．设计以下三种营救方案（忽略海浪、风向、洋流等因素影响）： 方案一：救生员从点直接跳入海中，径直游向点； 方案二：救生员从点沿沙滩向正东方向跑到点跳入海中，再径直游向点； 方案三：救生员从点沿沙滩向正东方向跑300米到达点跳入海中，再径直游向点． 已知点在点的北偏东的方向上，在点的北偏东的方向上，点在点的正北方向，救生员沙滩上奔跑的速度都是5米/秒，水中游泳的速度都是2米/秒． 问题解决 根据以上信息，解决下列问题： （1）项目任务一： ， ． （2）项目任务二： 米； 米． （3）项目任务三：三个方案中哪个方案的救生员最先到达点，通过计算说明理由．（参考数据：） 24. 如图1，在中，，，点是边上一点，过点作垂直于射线，垂足为，点在射线上，且，连接、． （1）求证：； （2）如图2，连接，点、、分别为线段、、的中点，连接、、，求的度数； （3）在（2）的条件下，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $