精品解析：湖南省永州市东安县2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试卷

东安县初中2025年下学期期中考试九年级 数 学（试题卷） 温馨提示： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、考号填写清楚，并认真核对答题卡的姓名、考号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷共26个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，请将正确的选项填涂到答题卡上） 1. 已知反比例函数的图象经过点，则等于（ ） A. 4 B. C. 16 D. 2. 将一元二次方程化成（，为常数）的形式，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且与的相似比为3，若，则为（ ） A. 2 B. 4 C. 9 D. 18 4. 已知反比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. y随x的增大而增大 C. 图象在第二、四象限内 D. 若，则 5. 如图，，直线，与这三条平行线分别交于点、、和点、、，已知，，，则的长为（ ）  A. B. C. D. 6. 某农机厂四月份生产零件万个，第二季度共生产零件万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（　　） A. B. C. D. 7. 已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，则直线一定经过（） A. 第一、三象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第二、四象限 10. 已知实数x满足（x2－x）2－4（x2－x）－12=0，则x2－x=________ （ ） A. －2 B. 6或－2 C. 6 D. 3 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．请将答案填在答题卡的答案栏内） 11. 若，则的值是__________． 12. 关于x的一元二次方程有一个根为1，那m的值等于______． 13. 若点和点都在反比例函数的图象上，则 ______ ．（用“”“”或“”填空） 14. 如图所示，，，，若，则______． 15. 若点是线段的黄金分割点，且，，则_____（保留根号） 16. 已知m、n是方程的两个根，则的值为______． 17. 若，且一元二次方程有实数根，则的取值范围是____． 18. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，垂直于x轴，以为对称轴作的轴对称图形，对称轴与线段相交于点F，点D的对应点B恰好落在反比例函数的图象上，点O、E的对应点分别是点C、A．若点A为的中点，且，则k的值为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分，要求写出证明步骤或解答过程） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 已知：如图，C是AB上一点，，，，求证：． 21. 如图，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为、． （1）以O点为位似中心在y轴的左侧将放大两倍，画出图形； （2）直接写出（1）中B、C两点的对应点、的坐标； 22. 暑假期间，为了加强青少年积极参加体育锻炼，某体育用品店开展乒乓球拍促销活动． （1）据市场调研发现，某体育用品店近几个月的乒乓球拍销售量逐月提升，已知6月共销售乒乓球拍副，每月的月销售增长率相同，8月共销售副，求该乒乓球拍6月份到8月份销售量的月平均增长率； （2）已知某体育用品店乒乓球拍平均每天可销售副，每副盈利元，每下降1元，则每天可多售4副，在每副降价幅度不超过元的情况下，如果每天要盈利元，则每副乒乓球拍应降价多少元？ 23. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B （1）求证：△ADF∽△DEC； （2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长． 24. 如图，的顶点A是反比例函数的图象与一次函数的图象在第二象限的交点，轴于点B，且． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求一次函数与反比例函数图象的两个交点A，C的坐标； （3）当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值． 25. 若关于x的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”，通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数，现规定为该“快乐方程”的“快乐数”，例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数．若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． （1）“快乐方程”的“快乐数”为______． （2）若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值； （3）已知关于x的一元二次方程与（n为整数）都是“快乐方程”，它们的“快乐数”互为“开心数”，求n的值． 26. 综合与实践 数学实践课堂上，张老师从一道基础题入手，通过不断变化题目，引导学生们发现解决此类问题的图形中的基本图形，进而通过构造基本图形，解决问题． （1）基础题：如图1，于点B，于点D，P是BD上一点，． ①若，则与的关系为______． ②若，且，则______． （2）构造应用：如图2，点E是正方形边上一点，与交于点G，连接，请直接写出______°． （3）如图3，沿的边向外作矩形和矩形，，连接是边上的高，延长交于点K， ①求证：K是中点； ②并直接写出与的数量关系：______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东安县初中2025年下学期期中考试九年级 数 学（试题卷） 温馨提示： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、考号填写清楚，并认真核对答题卡的姓名、考号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷共26个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，请将正确的选项填涂到答题卡上） 1. 已知反比例函数的图象经过点，则等于（ ） A. 4 B. C. 16 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，将代入即可得出a的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 故选：B． 2. 将一元二次方程化成（，为常数）的形式，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．方程的常数项移到等号右边，两边加上，再利用完全平方公式将等号左边变形即可得到结果． 【详解】解：， 移项得：， 方程两边同时加得：， 即， 故选：C． 3. 已知，且与的相似比为3，若，则为（ ） A. 2 B. 4 C. 9 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据相似三角形对应边的比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵，相似比为3， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 4. 已知反比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. y随x的增大而增大 C. 图象在第二、四象限内 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质用排除法解答．根据反比例函数 中比例系数 的性质，判断各选项的正确性即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 图象在第二、四象限内，C正确； 当 时，， ∴ 图象必经过点 ，A正确； 当 时，图象在第四象限， 随 增大而增大，且 从 趋近于 ， ∴ ，即 ，D正确； 对于B，，在第二和第四象限内， 随 的增大而增大，但选项未指定象限，表述不完整，故B不正确； 故选：B 5. 如图，，直线，与这三条平行线分别交于点、、和点、、，已知，，，则的长为（ ）  A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入已知数据计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：， 故选：C． 6. 某农机厂四月份生产零件万个，第二季度共生产零件万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，由该农机厂四月份的产量及五、六月份平均每月的增长率，可得出该农机厂五月份生产零件万个，六月份生产零件万个，再结合该农机厂第二季度共生产零件万个，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：∵该农机厂四月份生产零件万个，五、六月份平均每月的增长率为， ∴该农机厂五月份生产零件万个，六月份生产零件万个， 根据题意得：， 故选：B． 7. 已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式及一次函数和反比例函数的图象．首先根据一元二次方程无实数根确定k的取值范围，然后根据一次函数和反比例函数的性质确定其图象的位置． 【详解】解：∵方程无实数根， ∴， 解得：，则函数的图象过二，四象限， 而函数的图象过一，三象限， ∴函数与函数的图象不会相交，则交点个数为0， 故选：A． 8. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据方程有两个相等的实数根得到，再将带入即可得到，从而得到答案． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 故先：A． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知当时方程有两个相等的实数根． 9. 已知，则直线一定经过（） A. 第一、三象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第二、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，一次函数的性质．由比例关系求出的值，再代入直线方程讨论所经象限． 【详解】解：∵， ∴，，， 三式相加得：， ∴， 当时，，； 当时，，． 当时，直线经过第一、二、三象限； 当时，直线经过第二、三、四象限． 综上，直线一定经过第二、三象限． 故选：B． 10. 已知实数x满足（x2－x）2－4（x2－x）－12=0，则x2－x=________ （ ） A. －2 B. 6或－2 C. 6 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：（x2－x）2－4（x2－x）－12=0，，所以，因为的△＜0，所以方程无解，所以，所以，故选C. 考点：1.解一元二次方程;2.根的判别式. 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．请将答案填在答题卡的答案栏内） 11. 若，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，正确将已知式子变形是解题的关键．根据，得到，再代入所求式子中计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 12. 关于x的一元二次方程有一个根为1，那m的值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义．把带入一元二次方程，得到关于m的方程，即可求出m的值． 【详解】解：将 代入方程 ， 得 ，即 ， 解得 ， 所以 ， 故答案为：． 13. 若点和点都在反比例函数的图象上，则 ______ ．（用“”“”或“”填空） 【答案】 【解析】 【分析】把和分别代入反比例函数中计算y的值，即可做出判断． 【详解】解：∵点和点都在反比例函数的图象上， ∴令，则； 令，则， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，计算y的值是解题的关键． 14. 如图所示，，，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴ ∴AD=． 故答案为：． 15. 若点是线段的黄金分割点，且，，则_____（保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点，先根据黄金分割点的定义确定较长线段与全长的比例关系，再代入已知线段长度计算较长线段的长度即可，熟练掌握黄金分割点的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且，， ∴， 故答案为：． 16. 已知m、n是方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程有两，，则，是解题的关键． 先由根与系数的关系求得，，再计算，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵m、n是方程的两个根， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 17. 若，且一元二次方程有实数根，则的取值范围是____． 【答案】且． 【解析】 【分析】首先根据非负数的定义求得a、b的值；然后利用一元二次方程的根判别式Δ＝b2﹣4ac≥0列出关于k的不等式，通过解该不等式即可求得k的取值范围． 【详解】∵，． ∴一元二次方程为． ∵一元二次方程有实数根， ∴且． 【点睛】本题综合考查了非负数的性质、根的判别式．在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系． 18. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，垂直于x轴，以为对称轴作的轴对称图形，对称轴与线段相交于点F，点D的对应点B恰好落在反比例函数的图象上，点O、E的对应点分别是点C、A．若点A为的中点，且，则k的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，设，由对称的性质知，，利用相似三角形的判定和性质求得，则，根据以及反比例函数的几何意义求解即可． 【详解】解：连接， 设对称轴与x轴交于点G， ∵与关于对称轴， ∴，，， ∵点A为的中点， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、中点的定义、相似三角形的判定和性质、反比例函数的定义等内容，解决本题的关键是牢记相关定义与性质，能根据题意在图形中找到对应关系，能挖掘图形中的隐含信息等，本题蕴含了数形结合的思想方法等． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分，要求写出证明步骤或解答过程） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （）利用直接开平方法求解即可； （）利用因式分解法求解即可； 【小问1详解】 解：， ， ∴，； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴或， ∴，． 20. 已知：如图，C是AB上一点，，，，求证：． 【答案】 证明：，， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定． 由垂直的定义可得，根据平行线的性质得到，即可证明． 【详解】略 21. 如图，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为、． （1）以O点为位似中心在y轴的左侧将放大两倍，画出图形； （2）直接写出（1）中B、C两点的对应点、的坐标； 【答案】（1） 解：如图，即为所求． （2）， 【解析】 【分析】本题考查了画位似图形及求对应点坐标．画位似图形的一般步骤为：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． （1）延长到，使，延长到，使，连接，则即为所求． （2）根据（1）中图象写出点坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵B，C两点的坐标分别为、， ∴，． 22. 暑假期间，为了加强青少年积极参加体育锻炼，某体育用品店开展乒乓球拍促销活动． （1）据市场调研发现，某体育用品店近几个月的乒乓球拍销售量逐月提升，已知6月共销售乒乓球拍副，每月的月销售增长率相同，8月共销售副，求该乒乓球拍6月份到8月份销售量的月平均增长率； （2）已知某体育用品店乒乓球拍平均每天可销售副，每副盈利元，每下降1元，则每天可多售4副，在每副降价幅度不超过元的情况下，如果每天要盈利元，则每副乒乓球拍应降价多少元？ 【答案】（1）该乒乓球拍6月份到8月份销售量的月平均增长率为； （2）每副乒乓球拍应降价元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设平均每月增长率为x，利用8月销售量6月销售量增长率，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设每副乒乓球拍降价y元，则每副乒乓球拍盈利元，平均每天可售出副，利用总利润每副的销售利润日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设平均每月增长率为x， 根据题意得：， 解得：或（舍去）， 答：该增长率为； 【小问2详解】 解：设每副乒乓球拍降价y元，则每副乒乓球拍盈利元，平均每天可售出副， 根据题意得：， 即， 解得：或（舍去）， 答：每副乒乓球拍应降价元． 23. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B （1）求证：△ADF∽△DEC； （2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，． ，， ． 在与中， ． （2）6 【解析】 【分析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似； （2）利用，可以求出线段的长度；然后在中，利用勾股定理求出线段的长度． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是平行四边形， ． 由（1）知， ， ． ，， ， ， 在中，由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，解题的关键是证明． 24. 如图，的顶点A是反比例函数的图象与一次函数的图象在第二象限的交点，轴于点B，且． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求一次函数与反比例函数图象的两个交点A，C的坐标； （3）当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 （2）， （3）当或时，一次函数的值大于反比例函数的值 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据反比例函数图象在第二、四象限，可得，进而问题可求解； （2）设一次函数的图象与轴的交点为，然后可得点的坐标为，进而联立反比例函数与一次函数解析式可得点A、C坐标； （3）由（2）及函数图象可进行求解． 【小问1详解】 解：∵轴于点，且， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：设一次函数的图象与轴的交点为， 令，得， ∴点的坐标为， 由， 解得或， ∴，； 【小问3详解】 解：∵，， ∴根据图象可知：当或时，一次函数的值大于反比例函数的值． 25. 若关于x的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”，通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数，现规定为该“快乐方程”的“快乐数”，例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数．若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． （1）“快乐方程”的“快乐数”为______． （2）若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值； （3）已知关于x的一元二次方程与（n为整数）都是“快乐方程”，它们的“快乐数”互为“开心数”，求n的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的整数根与有理根，解答本题的关键是熟练运用“快乐方程”的定义解决问题； （1）按照快乐数公式即可求解； （2）按照快乐数公式即可求解； （2）由，求出的值，再由，求出，，，建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：方程：的“快乐数，，； 故答案为：； 【小问2详解】 解：关于的一元二次方程，△， ，即：， 或36， ，（舍去）； 【小问3详解】 解：， ； ， ， ，，， 依题意得： ， 解得：或（不合题意）， n的值3． 26. 综合与实践 数学实践课堂上，张老师从一道基础题入手，通过不断变化题目，引导学生们发现解决此类问题的图形中的基本图形，进而通过构造基本图形，解决问题． （1）基础题：如图1，于点B，于点D，P是BD上一点，． ①若，则与的关系为______． ②若，且，则______． （2）构造应用：如图2，点E是正方形边上一点，与交于点G，连接，请直接写出______°． （3）如图3，沿的边向外作矩形和矩形，，连接是边上的高，延长交于点K， ①求证：K是中点； ②并直接写出与的数量关系：______． 【答案】（1）①；②； （2）45 （3） ①证明：如图，过E作的延长线于M，的延长线于N． ∴， ∵，， ∴， 又∵ ∴ ∴， ∴，， 同理，， ∴， ∵， ∴， ∴，即K是中点； ② 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正方形的性质，正确掌握各判定和性质定理及正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）①根据垂直的定义及同角的余角相等推出，由此证明； ②根据证得，由此得到； （2）如图，在边上取点H，使，连接，证明，推出，即可求出的度数； （3）过E作的延长线于M，的延长线于N．证明，推出，得到，，同理，，，得到，即可证得，推出，即K是中点；根据得出． 【小问1详解】 解：①∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， ∴， 故答案为； 【小问2详解】 如图，在边上取点H，使，连接， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为45； 【小问3详解】 ①略 ②∵ ∴， 故答案为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $