第三章·专题三：一元一次不等式（组）的实际应用 讲义 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

浙教版八上第三章·专题三： 一元一次不等式（组）的实际应用 （解析版） 目录导航 知识详解 2 一、关键词、严格端点与整数取值 3 二、把平均量要求转化为总量要求 4 三、分配、余缺与最后一组 5 四、固定总量中的双重约束 6 五、百分比与总数变化 8 六、路程、工作量与时间窗口 9 七、几何数量关系与边长限制 10 八、模型纠错与可行性判断 11 A组　基础通关 13 B组　难点突破 16 C组　方法进阶 20 D组　真题精选 24 姓名：_______________　班级：_______________　日期：_______________ 知识详解 1. 不等关系的关键词 “大于、超过、多于”对应“小于、低于、不足”对应“不少于、至少、不低于”对应“不多于、至多、不超过”对应 “比多表示“比至少多表示数量关系的方向必须落在所比较的两个完整数量上。 易错提醒：不大于就是不是“不足”不包含恰好相等。 2. 建模的基本步骤 审：圈出总量、单位及上限或下限。设：写清未知数代表的量及单位。列：用同一未知数表示有关数量，列出不等式或不等式组。 解：求出数学范围。检：检查正负、整数、整包、满分、容量等限制。答：用题目所问的量写出结论，并保留单位。 易错提醒：设“再工作天”时，不是全部工作天数；求解后须回到原问题作答。 3. 常用数量关系 费用单价数量固定费用；路程速度时间；工作总量效率时间；剩余量原有量已用量。 平均量要求可改写为总量要求。例如人平均至少本，等价于总本数其中必须是实际总人数。 某类数量占总数至少等价于该类数量总数增加或移除对象后，要重新确定总数与该类数量。 易错提醒：比例中的“整体”可能发生变化；不能把原总数一直放在分母或右端。 4. 同时满足与实际定义域 两个条件同时成立时，应列不等式组并取公共部分。固定总数为用表示一类数量时，另一类通常是同时有 人数、车辆数、箱数等常要求整数；整包购买还可能要求是指定数的倍数。分配、装箱和排队中的最后一组通常必须非空。 每组最多装个且最少需要组，通常有总数若明确最后一组未满，还应把右端改为 易错提醒：不等式算出的实数范围不是最终实际答案；还要保留所有有效的实际条件。 5. 取整不是四舍五入 求最多件数：从上界往下找符合条件的整数。求至少数量：从下界往上找符合条件的整数。严格不等号的整数端点要特别检查。 例如时，最大整数为时，最小整数为时，最小整数仍为而时最小整数为 易错提醒：整数端点恰好取等时，要回到“不超过”还是“少于”等原话判断，不能凭近似小数取整。 6. 检验结论是否可实现 将临界整数代回原条件，必要时再检查相邻的一个整数。若出现两个范围没有公共部分，说明要求不可同时满足。 题目只给出范围时，答案可能有多个。要求“所有可能值”就要列全；没有额外条件时，不应擅自确定唯一人数或数量。 易错提醒：列出的约束若冲突，应答“无符合条件的方案或数量”，不能随意舍去某条条件。 一、关键词、严格端点与整数取值 方法提示：先把“不超过、至少、不足、超过”译成不等号，再根据所求量是人数、件数还是连续量确定取值。 例一　 社团制作活动手册，装订准备费为元，每本另需元，总费用不超过元。手册按整本制作，最多可制作多少本？ 【答案】最多本。 【解析】设制作本，依题意得 解得是正整数，故最大取检验：本需元，本需元，超过预算。 变式1-1　 一段彩带长米，现接上若干段各长米的彩带，接头损耗忽略不计。要使总长超过米，至少需接上多少段？ 【答案】至少段。 【解析】设接上段，得即 因为要求“超过”而非“达到”，段时恰为米，不符合要求。为正整数，故至少段。 变式1-2　 班级买了若干箱饮用水，每箱瓶。取出瓶后，剩余的瓶数不足瓶。原来买了多少箱？请写出所有可能的箱数。 【答案】箱。 【解析】设原来买了箱。能取出瓶，要求剩余不足瓶，要求 合并得为正整数，所以可取不能只使用“不足瓶”而漏掉够取瓶的条件。 变式1-3　 把套资料装入容量相同的纸箱，每箱最多装套。要求全部装下，且所有纸箱的空位合计不超过个。需要多少个纸箱？ 【答案】个。 【解析】设用个纸箱，则空位总数为依题意得 解得为正整数，只有此时有个空位，满足要求。 二、把平均量要求转化为总量要求 方法提示：平均数的分母是实际参加计算的次数或人数。先求已有总量，再把平均量下限或上限改写成总量的界限。 例二　 小宁前三次数学测验的成绩分别为分、分、分。每次满分分，成绩均为整数。若四次平均成绩至少分，第四次成绩可以是多少分？ 【答案】至分中的任意整数。 【解析】设第四次得分，得即 还须满足且为整数，所以可取…，只答会遗漏试卷满分限制。 变式2-1　 志愿小队前天整理图书的数量依次为本、本、本、本。若天平均每天整理不少于本且不多于本，第天可以整理多少本？ 【答案】至本中的任意整数。 【解析】设第天整理本，前天共整理本。由平均数要求，得 解得取整数。两个平均数边界都允许取到。 变式2-2　 名同学共捐书本。现又有若干名同学参加，每位新参加的同学捐本，且新参加人数不超过人。要使全体同学平均捐书不少于本，新参加人数可以是多少？ 【答案】人。 【解析】设新参加人，总人数为总书数为平均每人不少于本，等价于 解得结合及正整数限制，可取新参加同学既增加书数，也增加人数。 变式2-3　 某同学前次测验的成绩为分、分、分、分。每次满分分。第次测验后，次平均成绩能否达到分？请用不等式说明理由。 【答案】不能。 【解析】设第次得分。若平均成绩达到分，应有即 但实际成绩满足两个要求没有公共部分，因此不能达到目标。即使第次得分，平均分也只有分。 三、分配、余缺与最后一组 方法提示：“够分”和“不够分”分别对应容量大于等于需求、容量小于需求；最后一组应另查是否非空、是否满额。 例三　 有个苹果发给若干名同学。每人分个够分，每人分个则不够分。参加分苹果的同学有多少人？写出所有可能人数。 【答案】至人中的任意整数。 【解析】设有名同学。“每人个够分”给出“每人个不够分”给出 解得为正整数，所以可取 变式3-1　 将张卡片发给若干名同学，每人张，剩余卡片不少于张且不足张。共有多少名同学？ 【答案】名。 【解析】设有名同学，剩余张。依题意得 由左边得由右边得故为正整数，所以检验：余张，符合要求。 变式3-2　 把一批同学排成若干排。每排站人时，还有人未排入；每排最多站人时，所有人恰好需要这些排，且最后一排允许站满。排数有哪些可能？相应共有多少人？ 【答案】排数为相应人数为 【解析】设排数为则总人数为恰好需要排且每排最多人，意味着 左边给出右边给出故取整数至再代入求相应人数。最后一排必须有人，不能把左边改成 变式3-3　 同一批资料先按每箱最多份装箱，恰好需要箱。若改为每箱最多份，恰好少用箱；此时前面的箱子均装满，最后一箱装份。求原来可能使用的箱数及资料总份数。 【答案】原来可能用箱；相应资料为份。 【解析】改装后共箱，前箱各份，故资料总数为 原装法恰需箱，得解得 为正整数且改装有最后一箱，故可取相应总份数为各组都满足两种装箱数的要求。 四、固定总量中的双重约束 方法提示：总数固定时，用表示一种数量，另一种写成“总数每一条数量、费用或容量要求都列出，并一起筛选。 例四　 社团购买两种手册共本，基础手册每本元，专题手册每本元。专题手册至少买本，总费用不超过元。专题手册可以买多少本？ 【答案】本。 【解析】设专题手册买本，则基础手册买本。由题意得 费用式整理得即结合两种数量的实际范围及整数限制，可取 变式4-1　 打印张海报，分为大、小两种。大海报每张元，小海报每张元，预算不超过元。要求大海报张数不少于小海报张数的求大海报的所有可能张数。 【答案】张或张。 【解析】设大海报有张，则小海报有张。由数量比例得即由预算得 整理费用不等式得因此取整数，得到或 变式4-2　 一次参观共有名成人和学生参加，成人票每张元，学生票每张元。票款合计不少于元，且成人数不多于学生数。成人有多少人？写出所有可能人数。 【答案】人。 【解析】设成人人，则学生人。票款要求给出人数要求给出 前式解得后式解得为整数，所以成人可以有人。 变式4-3　 租用小、大两种周转箱。个小箱和个大箱租金共元，个小箱和个大箱租金共元；小箱每个装件，大箱每个装件。现共租个箱，要装下件物品，租金不超过元。大箱可以租多少个？ 【答案】个。 【解析】设小箱、大箱的租金分别为元、元，则解得 设租大箱个，则小箱个。容量要求为租金要求为 分别解得结合及整数限制，可取 五、百分比与总数变化 方法提示：找准百分比的整体。增加、移除部分对象时，要同时检查符合条件的数量和总数量是否改变。 例五　 某项目已检测件产品，其中件合格。接着检测的产品全部合格，至少还需检测多少件，才能使已检测产品的合格率达到 【答案】至少件。 【解析】设再检测件。合格件数为总件数为要求 整理得即为整数，因此至少件；此时件合格、件受检，合格率恰为 变式5-1　 图书角共有本书，其中文学书本。现在只增加科普书，要使文学书占总数的比例不超过至少需要增加多少本科普书？ 【答案】至少本。 【解析】设增加本科普书。文学书仍为本，总数变为因此 解得为非负整数，故至少本。这里改变的是总数，文学书数量不变。 变式5-2　 现有名志愿者，其中名接受过急救培训。再招募不超过人，按每批人招募，每批恰有人接受过急救培训。要使接受过培训的人数达到总人数的一半，可能招募多少人？ 【答案】人。 【解析】设招募人，则新增受训人数为依题意得且 两边乘得所以 结合为的倍数，得到不能把至间的所有整数都作为答案。 变式5-3　 一箱只灯泡中有只合格，其余不合格。只从中移除不合格灯泡，要使留下的灯泡合格率不低于可以移除多少只？写出所有可能数。 【答案】只。 【解析】设移除只不合格灯泡，剩余合格灯泡仍是只，总数为要求 整理得即实际仅有只不合格灯泡，且为整数，故可取 六、路程、工作量与时间窗口 方法提示：用“速度时间”或“效率时间”表示工作量。单位先统一，再写非负时间、未超过全程等实际限制。 例六　 志愿队计划完成张卡片。前天每天完成张，之后每天完成张，只在每天结束时统计完成总数。至少再工作几天，累计完成数才能不少于张？ 【答案】至少再工作天。 【解析】设再工作天，则累计完成张。由得 按整天计，故至少再工作天。注意是“再工作”的天数，全部工作时间为天。 变式6-1　 小组用小时完成两项工作：制作标牌时每小时制作块，整理档案时每小时整理份，两项工作不能同时进行。要求标牌至少块，档案至少份。若每项用时均按整小时安排，制作标牌可以安排几小时？ 【答案】小时或小时。 【解析】设制作标牌小时，则整理档案小时。要求 解得且两项时间均非负，且为整数，所以可取 变式6-2　 小林要完成千米路程，可先骑车再步行，也允许全程骑车。骑车速度为千米/时，步行速度为千米/时，中途转换方式不计时间。若总用时不超过小时，骑车时间至少是多少？骑车时间能无限增加吗？ 【答案】至少小时，即分钟；不能，至多小时，即分钟。 【解析】设骑车小时，则骑车路程为千米，步行路程为千米。由实际意义有 总用时要求为整理得即 故达到最短骑车时间时总用时恰为小时；上界表示全程均骑车。 变式6-3　 小林走米路，部分时间骑车，速度米/分，其余时间步行，速度米/分，转换方式不计时间。若总用时需在至分钟之间（含端点），且骑车时间为整分钟，骑车时间有哪些可能？ 【答案】分钟。 【解析】设骑车分钟，则步行路程为米。总用时为分钟。 由得实际还要求前一范围完全满足。 为整数，所以骑车分钟均可。骑车分钟时总用时分钟，低于允许的下限。 七、几何数量关系与边长限制 方法提示：先写周长、面积或三边关系，再检查边长为正、三角形能够组成等条件。只把与所求量有关的一次不等关系联立。 例七　 一块长方形展板宽分米，长为分米。要求周长不超过分米，面积不少于平方分米。求长的取值范围。 【答案】 【解析】周长为面积为因此 分别解得公共部分为此时符合长不短于宽的实际意义。 变式7-1　 用厘米长的铁丝做一个正三角形和一个正方形框架。正三角形边长为厘米，正方形边长比它长厘米，接头损耗忽略。若做完后剩余铁丝不足厘米，且为正整数，求 【答案】 【解析】两框架共用铁丝厘米。剩余长度应满足 整理得为正整数，只有此时正三角形边长厘米，正方形边长厘米，铁丝恰好用完。 变式7-2　 长方形花圃宽米，长为米。在四周安装围栏，但留出米宽的入口。现有围栏米，要求够用；花圃面积至少平方米。求的取值范围。 【答案】 【解析】需要围栏米，故得 面积要求为得合并得到此时长至少米，花圃边长与入口均可实现。 变式7-3　 三角形两边长分别为厘米、厘米，第三边长为整数厘米。若周长不少于厘米，求第三边的所有可能长度。 【答案】厘米或厘米。 【解析】由三角形三边关系，得即 由周长要求，得即 两个范围的公共部分为因此整数只能取厘米虽满足周长要求，却不能组成三角形。 八、模型纠错与可行性判断 方法提示：先检查模型是否完整，再计算。无公共部分意味着要求无法同时达到，不能为了给出整数答案而强行取整。 例八　 名学生乘车，每辆车最多乘名学生。小明设需要辆车，列式解得认为“最多用辆车”。指出错误，并求至少需要的车辆数。 【答案】容量与人数的大小关系列反了；至少需要辆车。 【解析】车辆总容量至少应达到人，所以正确不等式是 解得为正整数，故至少辆。辆只有个座位，不够乘坐；在需求下限处应取符合条件的最小整数，而非直接去尾。 变式8-1　 图书室有本同规格书，每箱最多装本，现有个箱子。有人说：“≈按整数记为所以箱子够用。”判断这一说法。若新纸箱只按每捆个出售，至少还需买几捆？买后共有几个箱子？ 【答案】说法错误；至少还需买捆，买后共有个箱子。 【解析】个箱子最多装本，不够装本，不能将容量需求向下取整。 设再买捆，则箱子共有个。由得 捆数为非负整数，至少买捆，此时共有个箱子。所需箱数虽至少为但整捆购买后不能恰好只增加个箱子。 变式8-2　 节电池中有节合格。只从中取走节合格电池，要求剩余电池的合格率不低于小华列式这个模型是否完整？请改正，并求最多可以取走多少节合格电池。 【答案】不完整；应为最多取走节。 【解析】取走合格电池后，合格数和总数都减少正确的总数是故应有 整理得即结合且为整数，最多可取走节。此时剩余节合格、节电池，满足要求；取节时，不符合要求。 变式8-3　 印制两种资料共册，每册页，每册页，至少印册。现有纸张最多可印页（只计单面页数，不计损耗）。这些条件能否同时满足？若可印页数增加到页，应印多少册？ 【答案】页时不能同时满足；页时只能印册。 【解析】设印册，则印册，所需页数为 原条件要求且即两者没有公共部分，因此不可行。 增加到页后，有且即所以此时印册，合计页。 A组　基础通关 A1　 现有一根长厘米的铁丝，计划从中截取一段围成一个长方形，接头长度忽略不计。长方形的长比宽的倍多厘米。设宽为厘米，求的取值范围。 【答案】 【解析】宽为厘米，则长为厘米，所需铁丝长为厘米。宽必须为正，且所需铁丝不能超过厘米。 整理第二个不等式，得解得结合得 A2　 手工纸册每本标价元，现按标价的出售。班级有元经费，购买手工纸册后必须留下不少于元用于其他材料。若没有其他费用，最多能买多少本手工纸册？ 【答案】最多能买本。 【解析】每本手工纸册的售价为（元）。设购买本，其中为非负整数，则买后剩余的经费为元。 必须留下不少于元，可列解得由于为整数，最多能买本。 检验：买本后剩（元），符合要求；买本后只剩元，不符合要求。 A3　 一个水箱原有升水，现以每分钟升的速度注水。要使箱内水量不少于升，若注水时间按整分钟计，至少需要注水多少分钟？水箱容量足够大，注水过程中没有水流出。 【答案】至少需要分钟。 【解析】设注水分钟，其中为正整数。注水后的水量为由“不少于升”，得 解得即取最小的正整数此时水量恰为升，所以至少需要分钟。 A4　 小雨练习毛笔字，前天平均每天写个字，后天计划每天写同样多的字。要使这天平均每天写字不少于个，后天每天至少应写多少个字？ 【答案】后天每天至少应写个字。 【解析】前天共写（个）字。设后天每天写个字，其中为正整数，这天共写个字。 平均每天不少于个字，说明天总数至少为（个），可列 解得即因此后天每天至少应写个字。 A5　 老师把一叠练习纸分给参加活动的学生。若每人分张，还剩张；若每人分张，则这叠纸不够分。参加活动的学生至少有多少人？ 【答案】至少有人。 【解析】设参加活动的学生有人，其中为正整数。由第一种分法，这叠纸共有张。 每人分张不够，说明纸的总张数小于可列解得 为正整数，所以最小为此时共有张纸，每人分张需要张，确实不够。因此至少有人。 A6　 某实验样品的初始温度为在本题所需的降温阶段，装置使样品温度每分钟降低要把样品温度降到不高于至少需要降温多少分钟？ 【答案】至少需要分钟。 【解析】设降温时间为分钟，则降温后的温度为由“不高于得 移项得两边除以负数并改变不等号方向，得因此至少需要分钟。 A7　 校园里共有盏路灯需要检修，现已检修盏。要使已检修的路灯数达到总数的或以上，至少还要检修多少盏？ 【答案】至少还要检修盏。 【解析】设还要检修盏，其中为至之间的整数。已检修的总数至少应为（盏），所以 解得不超过剩余的盏，因此至少还要检修盏。 A8　 小林距目的地还有千米，计划从现在起分钟内到达。若他沿原路线匀速步行，且中途不停留，那么步行速度至少应为多少千米/时？ 【答案】至少应为千米/时。 【解析】分钟设步行速度为千米/时，其中要在分钟内到达，按该速度在内能行走的路程应不少于千米。 因此可列解得所以步行速度至少应为千米/时。 A9　 温度计显示的华氏温度与摄氏温度满足某实验要求华氏温度高于且不超过求允许的摄氏温度的取值范围。 【答案】 【解析】“高于对应严格大于，“不超过对应小于或等于。代入温度关系，得： 分别解得和取公共部分，得 A10　 小华第一天读了页书，第二天比第一天少读页，两天合计至少读了页。两天阅读的页数均为正整数，求的所有可能取值。 【答案】可取至之间的任意整数。 【解析】第二天读了页。由于第二天比第一天少读，且第二天至少读页，故为满足的整数。 由两天合计至少页，得整理得即 与实际取值范围取公共部分，得且为整数。因此可取至之间的任意整数。 A11　 一个人的合唱队中既有男生也有女生，女生人数不少于男生人数的倍。男生至多有多少人？ 【答案】男生至多有人。 【解析】设男生有人，则女生有人，其中为至之间的整数。根据女生人数不少于男生人数的倍，得 整理得即所以男生至多有人；此时女生有人，恰为男生人数的倍。 A12　 活动室的彩笔每包支。一次活动需要准备不少于支、且不多于支彩笔。若只能整包领取而不能拆包，可以领取多少包？ 【答案】可以领取包或包。 【解析】设领取包，其中为正整数。彩笔总数为支，必须同时满足两个数量限制。 解得取其中的正整数，得或分别对应支、支，都符合要求。 B组　难点突破 B1　 露营活动有名学生，每人占一个床位。计划搭建顶帐篷，每顶为人帐篷或人帐篷。要求床位够所有学生使用，且空床位总数不超过个。人帐篷可以有多少顶？ 【答案】人帐篷可以有顶、顶或顶。 【解析】设人帐篷有顶，则人帐篷有顶，其中为至之间的整数。床位总数为 床位够用且空床位不超过个，说明床位总数至少为至多为 解得结合为整数，得或对应的床位数分别为 B2　 将件标本装入同样的盒子，每盒最多装件，为正整数。装满盒后还有标本剩余，余下的标本能放入第盒，且第盒未装满。求每盒最多装多少件标本。 【答案】每盒最多装件标本。 【解析】装满盒后还有剩余，说明第盒也未装满，说明全部件标本少于盒的总容量，即 分别解得和所以这个范围内的正整数只有 检验：前盒装（件），第盒装件，确实有标本且未装满。因此每盒最多装件。 B3　 一本书共页。小陈计划前天每天读页，从第天起每天读页，其中为正整数。除读完当天外，每天都完成当天的计划页数；读完当天实际阅读页数可以少于或等于当天的计划页数。若恰好在第天读完，求的所有可能取值。 【答案】或 【解析】恰好在第天读完，表示前天累计阅读不足页，而按计划读满天的页数不少于页。 前天的累计页数为前天按计划的累计页数为 解得且所以取其中的正整数，得或 B4　 一次知识竞赛共有道判断题，每题答对得分，答错扣分。小明答完了所有题，最终得分不少于分且不足分。他可能答对了多少道题？ 【答案】可能答对道、道或道题。 【解析】设答对道，则答错道，为至之间的整数。总得分为 解得取符合条件的整数，得或 对应得分分别为分、分、分，均满足不少于分且不足分。 B5　 小宁次训练测试的成绩分别为分、分、分、分、分，成绩均为整数。已知这次成绩的最高分为分、最低分为分。去掉一个最高分和一个最低分后，剩余次的平均分不少于分且不足分。求的所有可能取值。 【答案】可取至之间的任意整数。 【解析】由最高分为最低分为得即使最高分或最低分并列，去掉一个最高分和一个最低分后，余下次的总分仍为 剩余次的平均分不少于分且不足分，可用总分表示为： 解得再与取公共部分，得由于为整数，所有可能值为至之间的整数。 B6　 若干个金属块的质量完全相同，且每个金属块的质量为整数克。个金属块与一个克砝码的总质量小于克，个金属块的总质量不少于克。求每个金属块可能的质量。 【答案】每个金属块可能重克或克。 【解析】设每个金属块重克，其中为正整数。根据两次称重给出的范围，可列： 解得且所以这个范围内的正整数只有和 检验：时，块加砝码重克，块重克；时，相应为克、克，均符合两个条件。 B7　 一个志愿服务队由名女生和若干名男生组成。要求女生人数不少于全队人数的男生人数不少于全队人数的男生人数可能是多少？ 【答案】男生人数可能为人、人、人或人。 【解析】设男生有人，其中为正整数，全队共有人。直接把各部分人数与总人数的相应百分比比较，可列： 解第一个不等式，得即解第二个不等式，得即 因此取其中的正整数，得或 B8　 一场展示活动安排若干个节目，每个节目用时分钟，只在相邻两个节目之间安排分钟换场；此外有分钟开幕讲话，没有其他用时。若整场活动不少于分钟且不超过分钟，可以安排多少个节目？ 【答案】可以安排个或个节目。 【解析】设安排个节目，其中为正整数。个节目之间共有次换场，因此总用时为（分钟）。 解得取其中的正整数，得或 检验：个节目用时分钟，个节目用时分钟，均符合要求。 B9　 甲、乙两台机器分别已经加工了个和个零件。从现在起，甲每小时加工个，乙每小时加工个，两台机器同时继续工作个整小时。要求此时两台机器累计加工的零件总数不少于个，且甲累计加工的数量不少于乙累计加工数量的倍。求的所有可能取值。 【答案】或 【解析】继续工作小时后，甲累计加工个，乙累计加工个，为正整数。 第一个不等式整理为解得第二个不等式整理为解得 因此由于为正整数，所有可能值为 B10　 某校参加科普讲座的七年级学生有人，八年级参加的人数比七年级的倍少人。会场每排有个座位，学生按从前向后的顺序依次入座，前排坐满，第排有人但未坐满，其余各排无人。求的所有可能取值。 【答案】或 【解析】八年级有人，两个年级共有（人）。第排有人，说明总人数大于第排未坐满，说明总人数小于 解得且即因为为正整数，得或 这时总人数分别为均能使前排坐满、第排有人但未坐满。 C组　方法进阶 C1　 名学生参加实践活动，其中有名女生。计划分成组，每组至少人且至多人，并且每组至少有名女生。 小明列出求得整数可以取于是认为这些组数都可以。指出他的推理遗漏了什么，求出全部可行的组数，并说明每个组数确实能安排。 【答案】遗漏了每组至少名女生对组数的限制。全部可行的组数为组或组。 【解析】由每组至少人且至多人，得且所以整数可取至小明在这一步没有错误，但遗漏了女生只有人，每组至少名女生意味着 综合所有条件，得且为整数，所以只可能分成组或组。还须说明这两个组数确实能实现。 分成组时，可安排组各人、组各人，总人数为先给每组安排名女生，再把剩下的名女生安排进任一组，其余名额由名男生补齐。 分成组时，每组人，每组安排名女生、名男生，恰好用完名女生和名男生。因此组、组都可行。 C2　 科技社准备制作套实验材料包，基础包和拓展包都要有。现有纸板张、短绳根，两种材料均可有剩余，各类材料包的用量见表： 材料包种类 每套用纸板（张） 每套用短绳（根） 基础包 拓展包 设基础包有套。先写出不考虑材料库存时的实际取值范围，再求现有材料允许的所有整数 【答案】不考虑库存时，为满足的整数；考虑库存后，或 【解析】基础包有套，则拓展包有套。两类都要制作，故和都至少为即且为整数。这是由实际意义得到的取值范围。 制作这些材料包需要纸板张、短绳根，分别不能超过库存。 第一个不等式整理为解得第二个不等式整理为解得 与实际范围取公共部分，得且为整数。因此或 C3　 阅读社团现有名社员，准备只新增社员而无人退出。新增人数为正整数，且要求新增人数不少于新增后总人数的活动教室最多容纳人，为正整数。若合乎全部要求的新增人数恰好有个可选值，求 【答案】 【解析】新增后总人数为新增人数不少于总人数的可列解得即 由于为整数，这个条件等价于教室容量又要求即 因此可行的新增人数是从开始、到整数为止的连续整数。当时，没有可行的当时，才开始有可行的 要恰有个可选值，这个值必须为且上端点解得此时新增人均符合要求，新增人则超出教室容量。 C4　 老师取来若干整包纪念卡，每包张，把所有卡全部拆开后分给一批学生。若每人分张，还剩张；若每人分张，前面的学生都能领满张，最后一名学生只能领到至张。求学生人数和纪念卡的总张数。 【答案】学生有人，纪念卡共有张。 【解析】设学生有人，其中为正整数。由每人分张后剩张，得纪念卡总数为 若每人分张，前人共领张，最后一人领到的张数为最后一人领到至张，因此： 解得且所以或相应的总张数分别为 纪念卡来自每包张的整包，故总张数必须是的倍数。三个候选总数中只有符合，因而学生有人、卡有张。检验：每人张后剩张；前人各张后，最后人得到张。 C5　 甲、乙两支队伍参加同一次知识测试，甲队平均分为分，乙队平均分为分，乙队共有人。两队合并后的平均分不少于分且不足分。甲队参加测试时按每桌人安排，恰好没有空位。求甲队可能有多少人。 【答案】甲队可能有人或人。 【解析】设甲队有人，则甲队总分为乙队总分为两队共有人。甲队按每桌人且没有空位，所以为的正整数倍。 合并后的平均分不少于分且不足分，可转化为总分的两个限制： 第一个不等式整理为解得第二个不等式整理为解得 所以这个范围内的整数为至其中的倍数只有和因此甲队可能有人或人。 C6　 一条环形跑道每圈米。校队拟定连续天每天跑同样多的完整圈数为正整数，要求前天的总路程不少于千米，前天的总路程不多于千米。判断原要求能否实现。若只把“千米”这一上限调高，其他条件不变，该上限至少应改为多少千米？ 【答案】原要求不能实现；该上限至少应改为千米。 【解析】先统一单位：千米米，千米米。根据两个总路程限制，可列： 解得这个区间虽有实数，但没有整数，因此每天跑完整圈数时，原要求不能实现。 保持天总路程不少于千米，仍有为正整数，所以至少取此时前天总路程为（千米）。 若上限小于千米，也不符合，任何更大的整数更不符合；若上限改为千米，取时天跑千米，两个要求都满足。因此新上限至少为千米。 C7　 一次活动共有名学生，为正整数。全部学生要一次坐下，使用的每张桌子都安排至名学生，允许各桌人数不同，桌数可以自由选择。已知满足要求的用桌数恰好只有张和张。求的所有可能取值。 【答案】或 【解析】能使用张桌子，要求能使用张桌子，要求两个条件同时成立，先得 还要排除张、张之外的桌数。若则可使用张桌子，每桌人，此时不止两种桌数，所以必须排除 对于若用不超过张桌子，最多坐人，不够；若用不少于张桌子，至少需要人，也不符合。因此其他桌数全部不可能。 在至之间，张桌子可先每桌安排人，再把剩下的至人分配到各桌，每桌至多增加人；张桌子可先每桌安排人，再把剩下的至人分配到各桌。因此张、张确实都可实现。 综上，可取或 C8　 某实验样品的初始温度只能确定在至之间，含两个端点。装置在本题涉及的温度范围内，每工作分钟使样品温度降低要求处理结束时温度在至之间，含两个端点。若工作时间必须是正整数分钟，求能保证任意一种可能的初始温度都符合要求的 【答案】即工作分钟。 【解析】初始温度最低为最高为工作分钟后，可能的最低温度为可能的最高温度为 要保证任意可能的初温都符合要求，最低的情况也不能低于最高的情况也不能高于因此： 第一个不等式解得第二个不等式解得因此 因为为正整数，只能取检验：工作分钟后，温度在至之间，全部落在允许的至之间。因此应工作分钟。 D组　真题精选 D1　（2025·杭州拱墅区八上期末·第2题） 杭州秋季某日最低气温为最高气温为用（℃）表示当日气温，则的变化范围是（  ）。 　　 　　 　　 【答案】 【解析】气温既不能低于当日最低气温，也不能高于当日最高气温，且两个极值均可取到，所以 D2　（2025·宁波奉港中学八上期中·第20题（1）选编） 某连锁酒店购买两种型号的送餐机器人共台，要求型号的台数不少于型号台数的酒店最多可买型号机器人多少台？ 【答案】最多台。 【解析】设购买型号机器人台，则型号为台。由题意得解得为非负整数，取时，型号台，恰好等于的满足要求，所以最多买台型号机器人。 D3　（2025·杭州开元中学八上期中·第9题） 学校买两种笔记本共本作为奖品，两种笔记本的单价依次为元、元。种的数量至少是种的倍，且至多是种的倍。符合条件的购买方案共有（  ）种。 　　 　　 　　 【答案】共种。 【解析】设种买本，则种买本。数量条件给出解得为整数，故对应种本，共种。两种单价不参与本问计算。 D4　（2026·杭州余杭临平八上期末·第23题（3）选编） 把糖的质量与糖水质量的比值称为甜度。有克糖水，其中糖的质量为克再加入克糖并使其完全溶解。若加糖后的甜度不低于也不超过求的取值范围。 【答案】单位为克。 【解析】加入糖后，糖的质量为克，糖水质量为克。由题意得即所以该范围同时满足表示质量，不必取整数。 D5　（2025·温州新质教育联盟八上期中·第22题） 某赛事招募专业志愿者和本地志愿者，两类志愿者各自的每场薪资保持不变。前两场的招募记录为：名专业志愿者、名本地志愿者共需元；名专业志愿者、名本地志愿者共需元。 （求两类志愿者各自的每场薪资。 （下一场要招募两类志愿者共名，其中专业志愿者不少于名，总费用不超过元。写出所有符合条件的人数组合。 【答案】（专业志愿者每人每场元，本地志愿者每人每场元。 （（专业，本地）人数为 【解析】（1）设两类每人每场薪资分别为元、元，则将第二式乘后减第一式，得所以代入得 （2）设专业志愿者名，则本地志愿者名。由且得为整数，因此得到三种人数组合。 D6　（2025·嵊州城关中学八上期中·第22题） 学校准备购买钢笔和中性笔作为竞赛奖品。支钢笔与支中性笔共元；支钢笔与支中性笔共元。 （每支钢笔、每支中性笔分别多少元？ （要买两种笔共支，钢笔数量不少于中性笔数量的且总支出不超过元。写出所有可行的购买方案。 【答案】（钢笔元/支，中性笔元/支。 （（钢笔，中性笔）数量为单位为支。 【解析】（1）设钢笔、中性笔的单价分别为元、元，列解得 （2）设钢笔支，则中性笔支。由且分别得结合整数条件，对应三种方案。 D7　（2025·宁波仁爱中学八上期末·第22题（1）（2）选编） 学校购买绿色、灰色两类垃圾桶：个绿色与个灰色共元，个绿色与个灰色共元。 （求两种垃圾桶各自的单价。 （计划购买两种垃圾桶共个，预算不超过元，绿色垃圾桶数量至少是灰色垃圾桶数量的共有多少种购买方案？ 【答案】（绿色元/个，灰色元/个。 （共种：绿色可买至个，灰色相应买至个。 【解析】（1）设绿色、灰色垃圾桶的单价分别为元、元，则解得 （2）设绿色垃圾桶买个。由以及解得为整数，所以共种。特别注意的比较基数是灰色的数量，不是总数 D8　（2025·杭州采荷中学八上期中·第23题（1）（3）选编） 某校研学拟租用两型客车。辆型、辆型坐满时可载人；辆型、辆型坐满时可载人。 （求两种车型每辆的载客人数。 （现只租型车若干辆。若每车安排名学生，还有名学生不能上车；若留出辆车搭载教师，所有学生恰好平均乘坐其余车辆。求租用型车的辆数与参加研学的学生人数。 【答案】（型每辆人，型每辆人。 （租辆型车，学生名；留出教师车后，辆学生车每辆坐名学生。 【解析】（1）设型每辆分别载人、人，列解得 （2）设共租辆型车，则学生共有人。留出辆教师车后，学生平均乘坐其余辆车。若每辆不超过人，至多能载人，小于人，因此每辆必须超过人。又因每辆最多载人，且人数为整数，所以每辆只能坐人或人。 若每辆人，则得若每辆人，则得不合整数要求。因此学生人数为 检验：符合容量与平均乘坐的要求。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙教版八上第三章·专题三： 一元一次不等式（组）的实际应用 （学生版） 目录导航 知识详解 2 一、关键词、严格端点与整数取值 3 二、把平均量要求转化为总量要求 4 三、分配、余缺与最后一组 6 四、固定总量中的双重约束 7 五、百分比与总数变化 9 六、路程、工作量与时间窗口 10 七、几何数量关系与边长限制 12 八、模型纠错与可行性判断 14 A组　基础通关 16 B组　难点突破 19 C组　方法进阶 23 D组　真题精选 27 姓名：_______________　班级：_______________　日期：_______________ 知识详解 1. 不等关系的关键词 “大于、超过、多于”对应“小于、低于、不足”对应“不少于、至少、不低于”对应“不多于、至多、不超过”对应 “比多表示“比至少多表示数量关系的方向必须落在所比较的两个完整数量上。 易错提醒：不大于就是不是“不足”不包含恰好相等。 2. 建模的基本步骤 审：圈出总量、单位及上限或下限。设：写清未知数代表的量及单位。列：用同一未知数表示有关数量，列出不等式或不等式组。 解：求出数学范围。检：检查正负、整数、整包、满分、容量等限制。答：用题目所问的量写出结论，并保留单位。 易错提醒：设“再工作天”时，不是全部工作天数；求解后须回到原问题作答。 3. 常用数量关系 费用单价数量固定费用；路程速度时间；工作总量效率时间；剩余量原有量已用量。 平均量要求可改写为总量要求。例如人平均至少本，等价于总本数其中必须是实际总人数。 某类数量占总数至少等价于该类数量总数增加或移除对象后，要重新确定总数与该类数量。 易错提醒：比例中的“整体”可能发生变化；不能把原总数一直放在分母或右端。 4. 同时满足与实际定义域 两个条件同时成立时，应列不等式组并取公共部分。固定总数为用表示一类数量时，另一类通常是同时有 人数、车辆数、箱数等常要求整数；整包购买还可能要求是指定数的倍数。分配、装箱和排队中的最后一组通常必须非空。 每组最多装个且最少需要组，通常有总数若明确最后一组未满，还应把右端改为 易错提醒：不等式算出的实数范围不是最终实际答案；还要保留所有有效的实际条件。 5. 取整不是四舍五入 求最多件数：从上界往下找符合条件的整数。求至少数量：从下界往上找符合条件的整数。严格不等号的整数端点要特别检查。 例如时，最大整数为时，最小整数为时，最小整数仍为而时最小整数为 易错提醒：整数端点恰好取等时，要回到“不超过”还是“少于”等原话判断，不能凭近似小数取整。 6. 检验结论是否可实现 将临界整数代回原条件，必要时再检查相邻的一个整数。若出现两个范围没有公共部分，说明要求不可同时满足。 题目只给出范围时，答案可能有多个。要求“所有可能值”就要列全；没有额外条件时，不应擅自确定唯一人数或数量。 易错提醒：列出的约束若冲突，应答“无符合条件的方案或数量”，不能随意舍去某条条件。 一、关键词、严格端点与整数取值 方法提示：先把“不超过、至少、不足、超过”译成不等号，再根据所求量是人数、件数还是连续量确定取值。 例一　 社团制作活动手册，装订准备费为元，每本另需元，总费用不超过元。手册按整本制作，最多可制作多少本？ 变式1-1　 一段彩带长米，现接上若干段各长米的彩带，接头损耗忽略不计。要使总长超过米，至少需接上多少段？ 变式1-2　 班级买了若干箱饮用水，每箱瓶。取出瓶后，剩余的瓶数不足瓶。原来买了多少箱？请写出所有可能的箱数。 变式1-3　 把套资料装入容量相同的纸箱，每箱最多装套。要求全部装下，且所有纸箱的空位合计不超过个。需要多少个纸箱？ 二、把平均量要求转化为总量要求 方法提示：平均数的分母是实际参加计算的次数或人数。先求已有总量，再把平均量下限或上限改写成总量的界限。 例二　 小宁前三次数学测验的成绩分别为分、分、分。每次满分分，成绩均为整数。若四次平均成绩至少分，第四次成绩可以是多少分？ 变式2-1　 志愿小队前天整理图书的数量依次为本、本、本、本。若天平均每天整理不少于本且不多于本，第天可以整理多少本？ 变式2-2　 名同学共捐书本。现又有若干名同学参加，每位新参加的同学捐本，且新参加人数不超过人。要使全体同学平均捐书不少于本，新参加人数可以是多少？ 变式2-3　 某同学前次测验的成绩为分、分、分、分。每次满分分。第次测验后，次平均成绩能否达到分？请用不等式说明理由。 三、分配、余缺与最后一组 方法提示：“够分”和“不够分”分别对应容量大于等于需求、容量小于需求；最后一组应另查是否非空、是否满额。 例三　 有个苹果发给若干名同学。每人分个够分，每人分个则不够分。参加分苹果的同学有多少人？写出所有可能人数。 变式3-1　 将张卡片发给若干名同学，每人张，剩余卡片不少于张且不足张。共有多少名同学？ 变式3-2　 把一批同学排成若干排。每排站人时，还有人未排入；每排最多站人时，所有人恰好需要这些排，且最后一排允许站满。排数有哪些可能？相应共有多少人？ 变式3-3　 同一批资料先按每箱最多份装箱，恰好需要箱。若改为每箱最多份，恰好少用箱；此时前面的箱子均装满，最后一箱装份。求原来可能使用的箱数及资料总份数。 四、固定总量中的双重约束 方法提示：总数固定时，用表示一种数量，另一种写成“总数每一条数量、费用或容量要求都列出，并一起筛选。 例四　 社团购买两种手册共本，基础手册每本元，专题手册每本元。专题手册至少买本，总费用不超过元。专题手册可以买多少本？ 变式4-1　 打印张海报，分为大、小两种。大海报每张元，小海报每张元，预算不超过元。要求大海报张数不少于小海报张数的求大海报的所有可能张数。 变式4-2　 一次参观共有名成人和学生参加，成人票每张元，学生票每张元。票款合计不少于元，且成人数不多于学生数。成人有多少人？写出所有可能人数。 变式4-3　 租用小、大两种周转箱。个小箱和个大箱租金共元，个小箱和个大箱租金共元；小箱每个装件，大箱每个装件。现共租个箱，要装下件物品，租金不超过元。大箱可以租多少个？ 五、百分比与总数变化 方法提示：找准百分比的整体。增加、移除部分对象时，要同时检查符合条件的数量和总数量是否改变。 例五　 某项目已检测件产品，其中件合格。接着检测的产品全部合格，至少还需检测多少件，才能使已检测产品的合格率达到 变式5-1　 图书角共有本书，其中文学书本。现在只增加科普书，要使文学书占总数的比例不超过至少需要增加多少本科普书？ 变式5-2　 现有名志愿者，其中名接受过急救培训。再招募不超过人，按每批人招募，每批恰有人接受过急救培训。要使接受过培训的人数达到总人数的一半，可能招募多少人？ 变式5-3　 一箱只灯泡中有只合格，其余不合格。只从中移除不合格灯泡，要使留下的灯泡合格率不低于可以移除多少只？写出所有可能数。 六、路程、工作量与时间窗口 方法提示：用“速度时间”或“效率时间”表示工作量。单位先统一，再写非负时间、未超过全程等实际限制。 例六　 志愿队计划完成张卡片。前天每天完成张，之后每天完成张，只在每天结束时统计完成总数。至少再工作几天，累计完成数才能不少于张？ 变式6-1　 小组用小时完成两项工作：制作标牌时每小时制作块，整理档案时每小时整理份，两项工作不能同时进行。要求标牌至少块，档案至少份。若每项用时均按整小时安排，制作标牌可以安排几小时？ 变式6-2　 小林要完成千米路程，可先骑车再步行，也允许全程骑车。骑车速度为千米/时，步行速度为千米/时，中途转换方式不计时间。若总用时不超过小时，骑车时间至少是多少？骑车时间能无限增加吗？ 变式6-3　 小林走米路，部分时间骑车，速度米/分，其余时间步行，速度米/分，转换方式不计时间。若总用时需在至分钟之间（含端点），且骑车时间为整分钟，骑车时间有哪些可能？ 七、几何数量关系与边长限制 方法提示：先写周长、面积或三边关系，再检查边长为正、三角形能够组成等条件。只把与所求量有关的一次不等关系联立。 例七　 一块长方形展板宽分米，长为分米。要求周长不超过分米，面积不少于平方分米。求长的取值范围。 变式7-1　 用厘米长的铁丝做一个正三角形和一个正方形框架。正三角形边长为厘米，正方形边长比它长厘米，接头损耗忽略。若做完后剩余铁丝不足厘米，且为正整数，求 变式7-2　 长方形花圃宽米，长为米。在四周安装围栏，但留出米宽的入口。现有围栏米，要求够用；花圃面积至少平方米。求的取值范围。 变式7-3　 三角形两边长分别为厘米、厘米，第三边长为整数厘米。若周长不少于厘米，求第三边的所有可能长度。 八、模型纠错与可行性判断 方法提示：先检查模型是否完整，再计算。无公共部分意味着要求无法同时达到，不能为了给出整数答案而强行取整。 例八　 名学生乘车，每辆车最多乘名学生。小明设需要辆车，列式解得认为“最多用辆车”。指出错误，并求至少需要的车辆数。 变式8-1　 图书室有本同规格书，每箱最多装本，现有个箱子。有人说：“≈按整数记为所以箱子够用。”判断这一说法。若新纸箱只按每捆个出售，至少还需买几捆？买后共有几个箱子？ 变式8-2　 节电池中有节合格。只从中取走节合格电池，要求剩余电池的合格率不低于小华列式这个模型是否完整？请改正，并求最多可以取走多少节合格电池。 变式8-3　 印制两种资料共册，每册页，每册页，至少印册。现有纸张最多可印页（只计单面页数，不计损耗）。这些条件能否同时满足？若可印页数增加到页，应印多少册？ A组　基础通关 A1　 现有一根长厘米的铁丝，计划从中截取一段围成一个长方形，接头长度忽略不计。长方形的长比宽的倍多厘米。设宽为厘米，求的取值范围。 A2　 手工纸册每本标价元，现按标价的出售。班级有元经费，购买手工纸册后必须留下不少于元用于其他材料。若没有其他费用，最多能买多少本手工纸册？ A3　 一个水箱原有升水，现以每分钟升的速度注水。要使箱内水量不少于升，若注水时间按整分钟计，至少需要注水多少分钟？水箱容量足够大，注水过程中没有水流出。 A4　 小雨练习毛笔字，前天平均每天写个字，后天计划每天写同样多的字。要使这天平均每天写字不少于个，后天每天至少应写多少个字？ A5　 老师把一叠练习纸分给参加活动的学生。若每人分张，还剩张；若每人分张，则这叠纸不够分。参加活动的学生至少有多少人？ A6　 某实验样品的初始温度为在本题所需的降温阶段，装置使样品温度每分钟降低要把样品温度降到不高于至少需要降温多少分钟？ A7　 校园里共有盏路灯需要检修，现已检修盏。要使已检修的路灯数达到总数的或以上，至少还要检修多少盏？ A8　 小林距目的地还有千米，计划从现在起分钟内到达。若他沿原路线匀速步行，且中途不停留，那么步行速度至少应为多少千米/时？ A9　 温度计显示的华氏温度与摄氏温度满足某实验要求华氏温度高于且不超过求允许的摄氏温度的取值范围。 A10　 小华第一天读了页书，第二天比第一天少读页，两天合计至少读了页。两天阅读的页数均为正整数，求的所有可能取值。 A11　 一个人的合唱队中既有男生也有女生，女生人数不少于男生人数的倍。男生至多有多少人？ A12　 活动室的彩笔每包支。一次活动需要准备不少于支、且不多于支彩笔。若只能整包领取而不能拆包，可以领取多少包？ B组　难点突破 B1　 露营活动有名学生，每人占一个床位。计划搭建顶帐篷，每顶为人帐篷或人帐篷。要求床位够所有学生使用，且空床位总数不超过个。人帐篷可以有多少顶？ B2　 将件标本装入同样的盒子，每盒最多装件，为正整数。装满盒后还有标本剩余，余下的标本能放入第盒，且第盒未装满。求每盒最多装多少件标本。 B3　 一本书共页。小陈计划前天每天读页，从第天起每天读页，其中为正整数。除读完当天外，每天都完成当天的计划页数；读完当天实际阅读页数可以少于或等于当天的计划页数。若恰好在第天读完，求的所有可能取值。 B4　 一次知识竞赛共有道判断题，每题答对得分，答错扣分。小明答完了所有题，最终得分不少于分且不足分。他可能答对了多少道题？ B5　 小宁次训练测试的成绩分别为分、分、分、分、分，成绩均为整数。已知这次成绩的最高分为分、最低分为分。去掉一个最高分和一个最低分后，剩余次的平均分不少于分且不足分。求的所有可能取值。 B6　 若干个金属块的质量完全相同，且每个金属块的质量为整数克。个金属块与一个克砝码的总质量小于克，个金属块的总质量不少于克。求每个金属块可能的质量。 B7　 一个志愿服务队由名女生和若干名男生组成。要求女生人数不少于全队人数的男生人数不少于全队人数的男生人数可能是多少？ B8　 一场展示活动安排若干个节目，每个节目用时分钟，只在相邻两个节目之间安排分钟换场；此外有分钟开幕讲话，没有其他用时。若整场活动不少于分钟且不超过分钟，可以安排多少个节目？ B9　 甲、乙两台机器分别已经加工了个和个零件。从现在起，甲每小时加工个，乙每小时加工个，两台机器同时继续工作个整小时。要求此时两台机器累计加工的零件总数不少于个，且甲累计加工的数量不少于乙累计加工数量的倍。求的所有可能取值。 B10　 某校参加科普讲座的七年级学生有人，八年级参加的人数比七年级的倍少人。会场每排有个座位，学生按从前向后的顺序依次入座，前排坐满，第排有人但未坐满，其余各排无人。求的所有可能取值。 C组　方法进阶 C1　 名学生参加实践活动，其中有名女生。计划分成组，每组至少人且至多人，并且每组至少有名女生。 小明列出求得整数可以取于是认为这些组数都可以。指出他的推理遗漏了什么，求出全部可行的组数，并说明每个组数确实能安排。 C2　 科技社准备制作套实验材料包，基础包和拓展包都要有。现有纸板张、短绳根，两种材料均可有剩余，各类材料包的用量见表： 材料包种类 每套用纸板（张） 每套用短绳（根） 基础包 拓展包 设基础包有套。先写出不考虑材料库存时的实际取值范围，再求现有材料允许的所有整数 C3　 阅读社团现有名社员，准备只新增社员而无人退出。新增人数为正整数，且要求新增人数不少于新增后总人数的活动教室最多容纳人，为正整数。若合乎全部要求的新增人数恰好有个可选值，求 C4　 老师取来若干整包纪念卡，每包张，把所有卡全部拆开后分给一批学生。若每人分张，还剩张；若每人分张，前面的学生都能领满张，最后一名学生只能领到至张。求学生人数和纪念卡的总张数。 C5　 甲、乙两支队伍参加同一次知识测试，甲队平均分为分，乙队平均分为分，乙队共有人。两队合并后的平均分不少于分且不足分。甲队参加测试时按每桌人安排，恰好没有空位。求甲队可能有多少人。 C6　 一条环形跑道每圈米。校队拟定连续天每天跑同样多的完整圈数为正整数，要求前天的总路程不少于千米，前天的总路程不多于千米。判断原要求能否实现。若只把“千米”这一上限调高，其他条件不变，该上限至少应改为多少千米？ C7　 一次活动共有名学生，为正整数。全部学生要一次坐下，使用的每张桌子都安排至名学生，允许各桌人数不同，桌数可以自由选择。已知满足要求的用桌数恰好只有张和张。求的所有可能取值。 C8　 某实验样品的初始温度只能确定在至之间，含两个端点。装置在本题涉及的温度范围内，每工作分钟使样品温度降低要求处理结束时温度在至之间，含两个端点。若工作时间必须是正整数分钟，求能保证任意一种可能的初始温度都符合要求的 D组　真题精选 D1　（2025·杭州拱墅区八上期末·第2题） 杭州秋季某日最低气温为最高气温为用（℃）表示当日气温，则的变化范围是（  ）。 　　 　　 　　 D2　（2025·宁波奉港中学八上期中·第20题（1）选编） 某连锁酒店购买两种型号的送餐机器人共台，要求型号的台数不少于型号台数的酒店最多可买型号机器人多少台？ D3　（2025·杭州开元中学八上期中·第9题） 学校买两种笔记本共本作为奖品，两种笔记本的单价依次为元、元。种的数量至少是种的倍，且至多是种的倍。符合条件的购买方案共有（  ）种。 　　 　　 　　 D4　（2026·杭州余杭临平八上期末·第23题（3）选编） 把糖的质量与糖水质量的比值称为甜度。有克糖水，其中糖的质量为克再加入克糖并使其完全溶解。若加糖后的甜度不低于也不超过求的取值范围。 D5　（2025·温州新质教育联盟八上期中·第22题） 某赛事招募专业志愿者和本地志愿者，两类志愿者各自的每场薪资保持不变。前两场的招募记录为：名专业志愿者、名本地志愿者共需元；名专业志愿者、名本地志愿者共需元。 （求两类志愿者各自的每场薪资。 （下一场要招募两类志愿者共名，其中专业志愿者不少于名，总费用不超过元。写出所有符合条件的人数组合。 D6　（2025·嵊州城关中学八上期中·第22题） 学校准备购买钢笔和中性笔作为竞赛奖品。支钢笔与支中性笔共元；支钢笔与支中性笔共元。 （每支钢笔、每支中性笔分别多少元？ （要买两种笔共支，钢笔数量不少于中性笔数量的且总支出不超过元。写出所有可行的购买方案。 D7　（2025·宁波仁爱中学八上期末·第22题（1）（2）选编） 学校购买绿色、灰色两类垃圾桶：个绿色与个灰色共元，个绿色与个灰色共元。 （求两种垃圾桶各自的单价。 （计划购买两种垃圾桶共个，预算不超过元，绿色垃圾桶数量至少是灰色垃圾桶数量的共有多少种购买方案？ D8　（2025·杭州采荷中学八上期中·第23题（1）（3）选编） 某校研学拟租用两型客车。辆型、辆型坐满时可载人；辆型、辆型坐满时可载人。 （求两种车型每辆的载客人数。 （现只租型车若干辆。若每车安排名学生，还有名学生不能上车；若留出辆车搭载教师，所有学生恰好平均乘坐其余车辆。求租用型车的辆数与参加研学的学生人数。 1 学科网（北京）股份有限公司 $