3.3-3.4 解一元一次不等式及其实际应用（知识解读）讲义 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

3.3-3.4 解一元一次不等式及其实际应用（知识解读） 【浙教版2024】 题型归纳 【题型·1.-元一次不等式的定义】 1 【题型·2·求一元一次不等式的解集】 3 【题型·3·求一元一次不等式的整数解】 6 【题型·4·求一元一次不等式解的最值】 7 【题型·5·解|x>a 型的不等式】 9 【题型·6 列一元一次不等式】 14 【随堂检测】 18 知识点1 一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫作一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式。 注意：一元一次不等式满足的条件： ①左右两边都是整式（单项式或多项式）； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为1 【题型·1.-元一次不等式的定义】 【例1】下列式子是一元一次不等式的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式不等式，逐一判断选项即可． 【详解】根据一元一次不等式的定义判断： 选项A、 中没有未知数，不符合定义，A错误； 选项B、 中未知数的最高次数为2，不符合定义， B错误； 选项C、 只含有1个未知数，且的次数为1，不等号两边都是整式，符合一元一次不等式的定义， C正确； 选项D、 中含有2个未知数，不符合定义，D错误． 【变式1-1】下列选项中是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵选项A，中不含有未知数，不是一元一次不等式，∴A不符合题意； ∵选项B，中含有两个未知数，是二元不等式，∴B不符合题意； ∵选项C，中未知数的最高次数为2，不是一元一次不等式，∴C不符合题意； ∵选项D，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，符合一元一次不等式的定义，∴D符合题意． 【变式1-2】下列不等式中，是一元一次不等式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式的定义判断各选项即可． 【详解】解：选项A、中没有未知数，不符合一元一次不等式定义，∴A不符合题意； 选项B、中含有两个未知数，不符合定义，∴B不符合题意； 选项C、中未知数的次数为2，不符合定义，∴C不符合题意； 选项D、满足只含一个未知数，未知数次数为1，不等号两边都是整式，符合一元一次不等式的定义，∴D符合题意． 【点睛】 【变式1-3】下列是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】据一元一次不等式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，不是不等式，故本选项不符合题意； B、中含有一个未知数，并且未知数的最高次数等于1，是一元一次不等式，故本选项符合题意； C、中不含有未知数，故本选项不符合题意； D、中含有一个未知数，但未知数的最高次数等于2，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意． 知识点2 解一元一次不等式 解一元一次不等式的一般步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1；⑥其中当系数是负数时，不等号的方向要改变。 （1）去分母：根据不等式的性质2和3，把不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，得到整数系数的小等式。 （2）去括号：根据上括号的法则，特别要注意括号外面是负号时，去掉括号和负号，括号里面的各项要改变符号。 （3）移项：根据不等式基本性质1，一般把含有未知数的项移到不等式的左边，常数项移到不等式的右边。 （4）合并同类项。 （5）将未知数的系数化为1：根据不等式基本性质2或3，特别要注意系数化为1时，系数是负数，不等号要改变方向。 （6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集。 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左 【题型·2·求一元一次不等式的解集】 【例2】解不等式并把它的解集在数轴上表示出来。 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解；， ， ， ， ， 图略； （2）解：， ， ， ， ， ， 图略． 【变式2-1】解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式2-2】小明解不等式出现了错误，解答过程如下： 解：     第一步              第二步                         第三步 (1)小明解答过程是从第________步开始出错的，其错误的原因是_______； (2)写出此题正确的解答过程． 【答案】(1)一，去分母时不等号右边的常数项1漏乘了6 (2)解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得： 系数化为1，得：． 【详解】（1）解：小明解答过程是从第一步开始出错的，其错误的原因是去分母时不等号右边的常数项1漏乘了6； （2）略 【变式2-3】定义一种运算※：，如． (1)若，求x的取值范围； (2)若关于x的不等式的解集与的解集相同，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据新定义运算列出不等式即可求解； （）分别求出两个不等式的解集，再根据解集相同即可求解 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴； （2）解：解不等式得，， 由得，， ∴， ∵不等式的解和的解相同， ∴， 解得． 【题型·3·求一元一次不等式的整数解】 【例3】不等式的正整数解有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 该不等式的正整数解为，共个． 【变式3-1】不等式的最小整数解是（     ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】先求解不等式得到解集，再在解集中找出最小整数即可． 【详解】解：， 移项得 ， 合并同类项得 ， 解得 ， ∵ 大于的最小整数是， ∴ 该不等式的最小整数解是． 【变式3-2】不等式的所有正整数解的和是（     ） A．10 B．15 C．6 D．3 【答案】A 【详解】解：去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 系数化为，得 ， 不等式的正整数解为 ， 正整数解的和为 ． 【变式3-3】若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（     ）． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】解题时无需分别解出，直接将方程组两个方程相加得到目标式，再代入不等式求出的取值范围，即可得到最小整数解． 【详解】解：， 由①+②得：， 方程组的解满足， ， 解得， 为整数， 的最小整数解为，故选C． 【题型·4·求一元一次不等式解的最值】 【例4】已知实数x，y满足，并且，则的最小值是（   ） A．-1 B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据题意可得，易知，结合可得的取值范围，进而可得答案． 【详解】解：∵, ∴， ∴， ∵， ∴，解得， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴的最小值是． 【变式4-1】若关于的不等式的正整数解恰有两个，则实数的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元一次不等式正整数解的应用，理解正整数解的个数与不等式中参数取值范围的关系是关键．先确定满足“正整数解恰有两个”时正整数解的具体值，再据此分析实数的取值范围，从而求出的最大值． 【详解】解：∵正整数解恰有两个，而最小的正整数是， ∴这两个正整数解为和， 要使正整数解是和，那么要大于（如果，则的正整数解只有 ）； 同时不能大于（如果，则的正整数解会有，可能还有，不满足恰有两个正整数解）， ∴， ∴的最大值为． 故选：D． 【变式4-2】已知是不等式的一个解，则整数的最小值为（   ） A．6 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可． 【详解】解：∵是不等式的一个解， ∴， 解得， ∴整数k的最小值是6． 故选：A． 【变式4-3】若是关于x的不等式的一个解，则a可取的最大整数值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．先解不等式得到，再根据题意可得不等式，解之即可得到答案． 【详解】解：解不等式得， ∵是关于x的不等式的一个解， ∴， 解得， ∴a可取的最大整数为7， 故选：D． 【题型·5·解|x>a 型的不等式】 【例5】如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们就把这个不等式叫作绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题． 例如求和的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义， 的解集为． 的解集为．或． 根据以上探究，回答下列问题： (1)填空：不等式的解集为 ； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】（1）根据绝对值几何意义：表示数轴上数对应的点到原点0的距离；即点到原点距离大于2，数轴上原点左侧小于-2、右侧大于2的区域满足条件． （2）表示数轴上点到定点的距离；距离小于等于，则在往左个单位、往右个单位之间，转化为不含绝对值的一次不等式组求解． （3）根据不同取值分情况解得不等式解集． 【详解】（1）解：由绝对值定义，等价于或， 解集为或． （2）解：根据绝对值不等式规律：，， ， 三边同时加： ， ， 不等式解集为． （3）解：当时，，不成立； 当时，，解得； 当时，，解得， 不等式的解集为或． 【变式5-1】先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题．①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或．②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有大于且小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． (1)的解集为______； (2)解不等式； (3)解不等式． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了绝对值的意义，不等式组的解集，加减消元法解二元一次方程组等知识．理解题意是解题的关键． （1）根据题意求解集即可； （2）根据题意解不等式即可； （3）根据题意解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意知，的解集为， 故答案为：； （2）解：由题意得不等式可化为， 解得； （3）解：不等式可化为或， 解得或． 【变式5-2】如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题． 例如求和的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义， ∵ ∴的解集为， ∵ ∴解集为或． 根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)或； (2)； (3)或． 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，绝对值以及不等式的定义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法，理解绝对值、不等式的定义是正确解答的关键． （1）根据题目所提供的数轴解法进行解答即可； （2）根据题目所提供的数轴解法进行解答即可； （3）根据所表示的意义，用数轴表示，进而得出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：不等式的解集为或， 故答案为：或； （2）解：不等式的解集为， 解得； （3）解：所表示的意义为：数轴上表示数x的点，到表示数2，的点的距离之和大于7， 由数轴可知， 所以不等式的解集为或． 【变式5-3】数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究： 根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1），可得的解集是：；将不等式的解集表示在数轴上（如图2），可得的解集是：或．    根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)，或 (2)或 (3) 【分析】此题是一个阅读题目，首先通过阅读把握题目中解题规律和方法，然后利用这些方法解决所给出的题目，所以解题关键是正确理解阅读材料的解题方法，才能比较好的解决问题．此题是一个绝对值的问题，有点难以理解，要反复阅读，充分理解题意． （1）由于的解集是，的解集是或，根据它们即可确定 和的解集； （2）把当做一个整体，首先利用（1）的结论可以求出的取值范围，然后就可以求出的取值范围； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）根据题干规律可得，不等式（）的解集为； 不等式（）的解集为或； （2）由（1）得：由于， 所以或， 所以或， 所以的解集为或； （3）由绝对值的意义得方程的解就是求在数轴上到1和对应点的距离之和等于5的点对应的x的值， 因为数轴上1和对应点的距离为3， 所以满足方程的x对应的点在1的右边或的左边． 若x对应的点在1的右边，可得； 若x对应的点在的左边，可得； 所以方程的解为或， 所以不等式的解集为． 知识点3 用一元一次不等式解实际应用 解有关应用题步骤如下： （1）审题：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，抓住题设中的关键字眼，如“大于”“不小于”等； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出不等关系； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列不等式的解集； （6）答：写出答案，并检验答案是否符合题意。 【题型·6 列一元一次不等式】 【例6】将关系“的一半不小于1”用不等式表示是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解题关键是明确“不小于”对应不等号． 【详解】解：的一半为，“不小于”即，得． 【变式6-1】．“a的2倍与7的和小于”用不等式表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：“a的2倍与7的和小于”用不等式表示为． 【变式6=2】李轩每天从甲地到乙地锻炼身体，甲、乙两地相距2千米．已知李轩步行的平均速度为100米/分，跑步的平均速度为200米/分，若他要在15分钟的时间内到达乙地，至少需要跑步多少分钟？设李轩需要跑步x分钟，则可列出的不等式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】统一单位后，根据路程和不小于总路程列不等式． 【详解】解：千米米， 跑步分钟的路程为米，步行分钟的路程为米， 由题意得． 【变式6-3】某班举行环保知识竞赛，规则如下：每位选手有基础分20分，需回答20道题，每答对一道题得4分，每答错或不答一道题扣1分．在这次竞赛中，小明被评为优秀选手（85分或85分以上），为求小明至少答对几道题，设小明答对了道题，下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设答对道题，先表示出答错或不答的题量，再根据竞赛规则计算总得分，结合优秀的得分要求列出不等式即可． 【详解】解：∵设小明答对了道题，一共回答道题， ∴答错或不答的题量为道． 由题意可得：总得分为． ∵优秀选手要求得分是分或分以上，即总得分大于等于， ∴列出不等式为． 【题型·7·用一元一次不等式解决实际问题】 【例7】2026年是红军长征胜利90周年．为了弘扬民族文化，传承长征精神，某地区设计的两种纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多元，用元购买型号纪念品的数量是用元购买型号纪念品数量的倍． (1)求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？ (2)若计划购买，两种型号的纪念品共个，且所花费用不超过元，求最多能购买多少个型号的纪念品？ 【答案】(1)购买型号纪念品的单价为元，购买型号纪念品的单价为元． (2)最多能购买个型号的纪念品 【分析】（1）根据“数量总价单价”，结合“型号数量是型号数量的倍”列出分式方程求解； （2）根据“总费用型号单价数量型号单价数量”，结合“总费用不超过元”列出一元一次不等式求解． 【详解】（1）解：设购买型号纪念品的单价为元，则购买型号纪念品的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：购买型号纪念品的单价为元，购买型号纪念品的单价为元． （2）解：设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个， 根据题意，得， 解得， ∴最多能购买个型号的纪念品． 【变式7-1】年月日哈尔滨宣告解放，是东北解放的标志性胜利．为纪念哈尔滨解放周年，德强学校团委组织开展演讲大讲堂活动，并为参加演讲的学生发放了A，B两种纪念品．若购买个A种纪念品和个B种纪念品共需元；购买个A种纪念品和个B种纪念品的费用相同． (1)求A、B两种纪念品的销售单价各是多少元； (2)已知报名参加演讲的同学共人，若每名同学只获得一个纪念品，要购买A，B两种纪念品的总费用不超过元，则至少购买多少个A种纪念品？ 【答案】(1)A、B两种纪念品的销售单价分别为元和元 (2)至少购买48个A种纪念品 【分析】（1）设A、B两种纪念品的销售单价分别为元和元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设购买个A种纪念品，根据题意列出不等式进行求解即可. 【详解】（1）解：设A、B两种纪念品的销售单价分别为元和元， 由题意，得， 解得， 答：A、B两种纪念品的销售单价分别为元和元. （2）解：设购买个A种纪念品，则购买个B种纪念品， 由题意，得， 解得； 答：至少购买48个A种纪念品. 【变式7-2】2026年6月，由国家卫生健康委等16个部门启动的“体重管理年”活动迎来两周年，为响应全民健身的号召，某健身器材专卖店推出两种优惠方案（规定只能选择其中一种）： 方案一：所购商品按原价打八折． 方案二：若所购商品原价超过80元，可以使用80元代金券． 设顾客购买的健身器材原价为元． (1)若顾客选择方案一，共花费________元；若顾客选择方案二，需要花费________元； (2)对于方案一和方案二两种不同的优惠方案，顾客怎样选择花费较少？ 【答案】(1)； (2)商品原价大于元时，顾客选择方案一花费较少；商品原价元时，顾客选择方案一和方案二的花费相同；商品原价小于元时，顾客选择方案二花费较少 【详解】（1）解：顾客选择方案一，共花费元， 顾客选择方案二，需要花费元； （2）解：当，即时，方案一花费小于方案二花费； 当，即时，方案一花费与方案二花费相同； 当，即时，方案一花费大于方案二花费； 故商品原价大于元时，顾客选择方案一花费较少；商品原价元时，顾客选择方案一和方案二的花费相同；商品原价小于元时，顾客选择方案二花费较少． 【变式7-3】为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批A，B两种型号的一体机．经过市场调查发现，今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多万元，且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套B型一体机． (1)求今年每套A型、B型一体机的价格分别是多少万元？ (2)该市明年计划采购A型、B型一体机共1100套，考虑物价因素，预计明年每套A型一体机的价格比今年上涨，每套B型一体机的价格不变，若购买B型一体机的总费用不低于购买A型一体机的总费用，那么该市明年最多购买多少套A型一体机？ 【答案】(1)今年每套A型一体机价格为1.2万元，B型一体机价格为万元 (2)该市明年最多购买611套A型一体机． 【分析】（1）今年每套A型一体机的价格为万元，每套B型一体机的价格为万元，根据价格差和总费用的等量关系列二元一次方程组求解； （2）设明年购买A型一体机的数量，根据B型总费用不低于A型总费用的不等关系列一元一次不等式，求最大正整数解即可． 【详解】（1）解：设今年每套A型一体机的价格为万元，每套B型一体机的价格为万元， 根据题意，得 ， 解得 ， 答：今年每套A型一体机价格为万元，B型一体机价格为万元； （2）设该市明年购买套A型一体机，则购买B型一体机套， ∴明年每套A型一体机的价格为万元，每套B型一体机价格为万元， 根据题意，得 ， 解得 ， ∵为正整数， ∴的最大值为611， 答：该市明年最多购买611套A型一体机． 随堂检测 【随堂检测】 1．不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 两边同时除以2， 得. 2．不等式的解集中最大的整数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照一元一次不等式的解法求出不等式的解集，再找出解集中的最大整数即可得到答案． 【详解】解： ， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 不等式的解集为 ， 解集中的整数有， 其中最大的整数是． 3．解不等式时，下列去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元一次不等式去分母时需要给不等式每一项都乘以所有分母的最小公倍数，去括号时要注意符号变化，据此计算判断即可． 【详解】解：∵分母6和3的最小公倍数为6， ∴不等式两边每一项同时乘以6，得：． 4．张老师打算将38件相同的新年礼物进行包装，现有A，B两种礼品袋可选，A种礼品袋可装3件礼品，B种礼品袋可装5件礼品，则不同的包装方案共有（    ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】A 【分析】本题通过设未知数，根据礼品总数列出二元一次方程，求方程的非负整数解，解的个数即为不同包装方案的数量． 【详解】解：设需要A种礼品袋个，B种礼品袋个，其中为非负整数， 根据题意可得： 整理得 ， ， 解得 又必须是3的非负倍数，且为非负整数， 验证可得符合条件的解为：；；； 其余值均不满足条件，因此共有3种不同的包装方案． 5．若关于x的不等式的解集为，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式解集的形式，确定系数符号，进而求出a的取值范围． 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴， ∴． 6．在某校班级足球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场扣1分，如果某班要在第一轮的28场比赛中至少得20分，那么这个班至少要胜多少场？（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设这个班要胜场，则负场，根据总得分至少20分的不等关系列不等式求解即可． 【详解】解：设这个班要胜场，则负场， 由题意得， 化简得， 解得， ∴的最小值为， ∴这个班至少要胜场． 7．某种衬衫的进价为300元，出售时标价为400元，由于换季，商店准备打折销售，但要保持利润不低于，那么至多打（     ） A．6折 B．7折 C．8折 D．9折 【答案】D 【分析】设该衬衫可打x折，则该衬衫的实际售价为元，根据“利润不低于”列出不等式求解即可． 【详解】解：设该衬衫可打x折， 根据题意，得， 解得， ∴该衬衫至多打9折． 8．“的倍与的和是负数”用不等式表示为__________． 【答案】 【分析】将文字描述逐步转化为代数式，负数是小于的数，据此列出对应不等式即可． 【详解】解：先表示的倍得：， 再表示的倍与的和得：， 负数是小于的数， 可得不等式． 9．已知某种衬衫的进价为元，标价为元，由于换季，商场准备对这种衬衫进行打折销售，但要保证利润不低于元，那么至少应打______折． 【答案】 【分析】设应打折，根据题意可列不等式，然后解不等式即可． 【详解】解：设应打折，根据题意，衬衫进价为元，标价为元，打折后的售价为元，要求利润不低于元， ∴，化简得， 解得， 因此至少应打折． 10．解不等式：，并将解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】 ； 【分析】按照解一元一次不等式的步骤求出解集，再将解集表示在数轴上即可. 【详解】解：， 两边同乘去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 将解集表示在数轴上见答案． 11．对于任意有理数，约定关于的一种运算如下：．例如：． (1)若满足，求的取值范围； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新运算规则将原式转化为一元一次不等式，求解不等式得到的取值范围； （2）根据新运算规则将已知条件转化为二元一次方程组，求解得到x，y的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】（1）解：依题意得： ， ， ， 解得． （2）解：依题意得： ， ，， ，解得 ， 则 ． 12．海南盛产荔枝，有“荔枝王”、“妃子笑”等品种．已知购买1斤“荔枝王”和3斤“妃子笑”需要30元，购买2斤“荔枝王”和4斤“妃子笑”需要50元． (1)这两种荔枝每斤的售价各是多少元？ (2)某班级组织活动，计划购买这两种荔枝共10斤，预算不超过100元，请问最多能购买“荔枝王”多少斤？ 【答案】(1)“荔枝王”每斤售价15元，“妃子笑”每斤售价5元 (2)最多能购买“荔枝王”5斤 【分析】（1）设“荔枝王”每斤售价元，“妃子笑”每斤售价元，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案； （2）设购买“荔枝王”斤，则购买“妃子笑”斤，根据题意列出关于的一元一次不等式并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：设“荔枝王”每斤售价元，“妃子笑”每斤售价元， 根据题意，可得，解得， 即“荔枝王”每斤售价15元，“妃子笑”每斤售价5元． （2）设购买“荔枝王”斤，则购买“妃子笑”斤， 根据题意，可得， 解得， ∴最多能购买“荔枝王”5斤． 13．为欢度中秋佳节，某学校工会准备采购40盒月饼礼盒和若干盒中秋酥饼．现有甲、乙两家超市，月饼礼盒每盒定价70元，中秋酥饼每盒定价10元．为了加快销售速度，两家超市都进行了促销活动． 甲超市促销方案：买1盒月饼礼盒赠送1盒中秋酥饼． 乙超市促销方案：全部商品均按照定价打九折销售． 设准备采购中秋酥饼盒（）． (1)若某学校工会全部在甲超市采购，所需总费用为_____________________元（用含的代数式表示） (2)若某学校工会全部在乙超市采购，所需总费用为_____________________元（用含的代数式表示） (3)若某学校工会只能选择其中一家超市采购，请通过计算说明选择哪家超市更加优惠； (4)若某学校工会既可以只选一家采购，也可以在两家超市分开组合采购，请写出最省钱的采购方案，并用含的代数式表示出最低的总费用． 【答案】(1) (2) (3)由得， 由得， 由得， ∵， ∴当时，选择甲超市更优惠； 当时，两家超市费用相同； 当时，选择乙超市更优惠． (4)最省钱采购方案为在甲超市购买40盒月饼礼盒，获赠40盒中秋酥饼，剩余盒中秋酥饼在乙超市购买．最低总费用为元 【分析】（1）根据甲超市促销方案列代数式即可； （2）根据乙超市促销方案列代数式即可； （3）分别列方程和不等式求解，再进行判断即可； （4）根据题意，在甲超市购买40盒月饼礼盒，获赠40盒中秋酥饼，剩余盒中秋酥饼在乙超市购买最省钱，进而得到最低总费用． 【详解】（1）解：在甲超市采购，所需总费用为元； （2）解：在乙超市采购，所需总费用为元； （3）略 （4）解：最省钱采购方案为在甲超市购买40盒月饼礼盒，获赠40盒中秋酥饼，剩余盒中秋酥饼在乙超市购买． 最低总费用为元． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3-3.4 解一元一次不等式及其实际应用（知识解读） 【浙教版2024】 题型归纳 【题型·1.-元一次不等式的定义】 1 【题型·2·求一元一次不等式的解集】 2 【题型·3·求一元一次不等式的整数解】 3 【题型·4·求一元一次不等式解的最值】 3 【题型·5·解|x>a 型的不等式】 4 【题型·6 列一元一次不等式】 6 【随堂检测】 9 知识点1 一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫作一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式。 注意：一元一次不等式满足的条件： ①左右两边都是整式（单项式或多项式）； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为1 【题型·1.-元一次不等式的定义】 【例1】下列式子是一元一次不等式的是（     ）． A． B． C． D． 【变式1-1】下列选项中是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列不等式中，是一元一次不等式的是（  ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 知识点2 解一元一次不等式 解一元一次不等式的一般步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1；⑥其中当系数是负数时，不等号的方向要改变。 （1）去分母：根据不等式的性质2和3，把不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，得到整数系数的小等式。 （2）去括号：根据上括号的法则，特别要注意括号外面是负号时，去掉括号和负号，括号里面的各项要改变符号。 （3）移项：根据不等式基本性质1，一般把含有未知数的项移到不等式的左边，常数项移到不等式的右边。 （4）合并同类项。 （5）将未知数的系数化为1：根据不等式基本性质2或3，特别要注意系数化为1时，系数是负数，不等号要改变方向。 （6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集。 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左 【题型·2·求一元一次不等式的解集】 【例2】解不等式并把它的解集在数轴上表示出来。 (1) (2) 【变式2-1】解下列不等式： (1)； (2)． 【变式2-2】小明解不等式出现了错误，解答过程如下： 解：     第一步              第二步                         第三步 (1)小明解答过程是从第________步开始出错的，其错误的原因是_______； (2)写出此题正确的解答过程． 【变式2-3】定义一种运算※：，如． (1) 若，求x的取值范围； (2) 若关于x的不等式的解集与的解集相同，求a的值． 【题型·3·求一元一次不等式的整数解】 【例3】不等式的正整数解有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-1】不等式的最小整数解是（     ） A． B． C．0 D．1 【变式3-2】不等式的所有正整数解的和是（     ） A．10 B．15 C．6 D．3 【变式3-3】若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（     ）． A．4 B．3 C．2 D．1 【题型·4·求一元一次不等式解的最值】 【例4】已知实数x，y满足，并且，则的最小值是（   ） A．-1 B． C． D． 【变式4-1】若关于的不等式的正整数解恰有两个，则实数的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】已知是不等式的一个解，则整数的最小值为（   ） A．6 B．5 C． D． 【变式4-3】若是关于x的不等式的一个解，则a可取的最大整数值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【题型·5·解|x>a 型的不等式】 【例5】如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们就把这个不等式叫作绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题． 例如求和的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义， 的解集为． 的解集为．或． 根据以上探究，回答下列问题： (1)填空：不等式的解集为 ； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【变式5-1】先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题．①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或．②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有大于且小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． (1)的解集为______； (2)解不等式； (3)解不等式． 【变式5-2】如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题． 例如求和的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义， ∵ ∴的解集为， ∵ ∴解集为或． 根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【变式5-3】数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究： 根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1），可得的解集是：；将不等式的解集表示在数轴上（如图2），可得的解集是：或．    根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 知识点3 用一元一次不等式解实际应用 解有关应用题步骤如下： （1）审题：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，抓住题设中的关键字眼，如“大于”“不小于”等； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出不等关系； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列不等式的解集； （6）答：写出答案，并检验答案是否符合题意。 【题型·6 列一元一次不等式】 【例6】将关系“的一半不小于1”用不等式表示是（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】．“a的2倍与7的和小于”用不等式表示为（     ） A． B． C． D． 【变式6=2】李轩每天从甲地到乙地锻炼身体，甲、乙两地相距2千米．已知李轩步行的平均速度为100米/分，跑步的平均速度为200米/分，若他要在15分钟的时间内到达乙地，至少需要跑步多少分钟？设李轩需要跑步x分钟，则可列出的不等式为（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】某班举行环保知识竞赛，规则如下：每位选手有基础分20分，需回答20道题，每答对一道题得4分，每答错或不答一道题扣1分．在这次竞赛中，小明被评为优秀选手（85分或85分以上），为求小明至少答对几道题，设小明答对了道题，下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型·7·用一元一次不等式解决实际问题】 【例7】2026年是红军长征胜利90周年．为了弘扬民族文化，传承长征精神，某地区设计的两种纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多元，用元购买型号纪念品的数量是用元购买型号纪念品数量的倍． (1)求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？ (2)若计划购买，两种型号的纪念品共个，且所花费用不超过元，求最多能购买多少个型号的纪念品？ 【变式7-1】年月日哈尔滨宣告解放，是东北解放的标志性胜利．为纪念哈尔滨解放周年，德强学校团委组织开展演讲大讲堂活动，并为参加演讲的学生发放了A，B两种纪念品．若购买个A种纪念品和个B种纪念品共需元；购买个A种纪念品和个B种纪念品的费用相同． (1)求A、B两种纪念品的销售单价各是多少元； (2)已知报名参加演讲的同学共人，若每名同学只获得一个纪念品，要购买A，B两种纪念品的总费用不超过元，则至少购买多少个A种纪念品？ 【变式7-2】2026年6月，由国家卫生健康委等16个部门启动的“体重管理年”活动迎来两周年，为响应全民健身的号召，某健身器材专卖店推出两种优惠方案（规定只能选择其中一种）： 方案一：所购商品按原价打八折． 方案二：若所购商品原价超过80元，可以使用80元代金券． 设顾客购买的健身器材原价为元． (1)若顾客选择方案一，共花费________元；若顾客选择方案二，需要花费________元； (2)对于方案一和方案二两种不同的优惠方案，顾客怎样选择花费较少？ 【变式7-3】为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批A，B两种型号的一体机．经过市场调查发现，今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多万元，且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套B型一体机． (1)求今年每套A型、B型一体机的价格分别是多少万元？ (2)该市明年计划采购A型、B型一体机共1100套，考虑物价因素，预计明年每套A型一体机的价格比今年上涨，每套B型一体机的价格不变，若购买B型一体机的总费用不低于购买A型一体机的总费用，那么该市明年最多购买多少套A型一体机？ 随堂检测 【随堂检测】 1．不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 2．不等式的解集中最大的整数是（     ） A． B． C． D． 3．解不等式时，下列去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 4．张老师打算将38件相同的新年礼物进行包装，现有A，B两种礼品袋可选，A种礼品袋可装3件礼品，B种礼品袋可装5件礼品，则不同的包装方案共有（    ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 5．若关于x的不等式的解集为，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．在某校班级足球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场扣1分，如果某班要在第一轮的28场比赛中至少得20分，那么这个班至少要胜多少场？（     ） A． B． C． D． 7．某种衬衫的进价为300元，出售时标价为400元，由于换季，商店准备打折销售，但要保持利润不低于，那么至多打（     ） A．6折 B．7折 C．8折 D．9折 8．“的倍与的和是负数”用不等式表示为__________． 9．已知某种衬衫的进价为元，标价为元，由于换季，商场准备对这种衬衫进行打折销售，但要保证利润不低于元，那么至少应打______折． 10．解不等式：，并将解集表示在如图所示的数轴上． 11．对于任意有理数，约定关于的一种运算如下：．例如：． (1)若满足，求的取值范围； (2)若，且，求的值． 12．海南盛产荔枝，有“荔枝王”、“妃子笑”等品种．已知购买1斤“荔枝王”和3斤“妃子笑”需要30元，购买2斤“荔枝王”和4斤“妃子笑”需要50元． (1)这两种荔枝每斤的售价各是多少元？ (2)某班级组织活动，计划购买这两种荔枝共10斤，预算不超过100元，请问最多能购买“荔枝王”多少斤？ 13．为欢度中秋佳节，某学校工会准备采购40盒月饼礼盒和若干盒中秋酥饼．现有甲、乙两家超市，月饼礼盒每盒定价70元，中秋酥饼每盒定价10元．为了加快销售速度，两家超市都进行了促销活动． 甲超市促销方案：买1盒月饼礼盒赠送1盒中秋酥饼． 乙超市促销方案：全部商品均按照定价打九折销售． 设准备采购中秋酥饼盒（）． (1)若某学校工会全部在甲超市采购，所需总费用为_____________________元（用含的代数式表示） (2)若某学校工会全部在乙超市采购，所需总费用为_____________________元（用含的代数式表示） (3)若某学校工会只能选择其中一家超市采购，请通过计算说明选择哪家超市更加优惠； (4)若某学校工会既可以只选一家采购，也可以在两家超市分开组合采购，请写出最省钱的采购方案，并用含的代数式表示出最低的总费用． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $