精品解析：吉林长春市第七十二中学2026-2027学年上学期九年级11月期中检测数学试卷（六三制）

2026-11-72中63制9上数学期中卷 2026.11 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 在下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义逐项判断即可求解，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 【详解】、二次根式中被开方数是分数，不是最简二次根式，该选项不符合题意； 、中分母含有二次根式，不是最简二次根式，该选项不符合题意； 、是最简二次根式，该选项符合题意； 、，故不是最简二次根式，该选项不符合题意； 故选：． 2. 关于x的一元二次方程没有实数根，则m的值可能是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程无实数根． 【详解】解：关于x的一元二次方程没有实数根， ，即， 解得：， ， 故选：D． 3. 在下列长度的各组线段中，是成比例线段的是（ ） A. 2，3，4，5 B. 1，3，6，12 C. 1.5，2，3.5，4 D. 4，5，8，10 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了成比例线段，判定四条线段是否成比例，计算最长与最短线段的乘积，两较长线段的积，看是否相等即可． 【详解】解：∵， ∴长为2，3，4，5的线段不是成比例线段，故A不符合题意； ∵， ∴长为1，3，6，12的线段不是成比例线段，故B不符合题意； ∵， ∴长为1.5，2，3.5，4的线段不是成比例线段，故C不符合题意； ∵， ∴长为4，5，8，10的线段是成比例线段，故D符合题意； 故选D． 4. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，是用杠杆撬石头，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头，其示意图如图乙所示，点为支点，若，，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题通过已知条件证明，再由相似三角形对应边成比例最终求得的长度． 【详解】解：由题意得，，， ， ． ，，， ，解得． 5. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为．若以原点O为位似中心画，使它与相似比为，则点A的对应点的坐标是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解∶以原点为位似中心，相似比为，把缩小，点A的坐标为， 点A的对应点的坐标为或， 即或． 故选∶B． 6. 在中，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正弦的定义，在直角三角形中，，为斜边，定义为的对边与斜边的比值，即． 【详解】解：， ， 故选：A． 7. 为倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点为跷跷板中点，支柱垂直于地面，垂足为，，跷跷板的一端落到地面时与地面的夹角，则点离地面的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识．求出，过点B作垂直底面于点D，判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，， 在中，， 如图，过点B作垂直底面于点D， ， ， ∴， ∴， 点O为跷跷板的中点， ∴， 是的中位线， ， 故选：D． 8. 东方美学钟爱“白银分割”．日常生活中随处可以见到“白银分割”的身影，比如日常用到的纸（图①），对折后得到两个全等的纸并与纸相似（图②），则图中纸长与宽的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，设纸长与宽分别为，则纸长与宽分别为，由题意得，据此即可求解； 【详解】解：设纸长与宽分别为， 则纸长与宽分别为， ∵对折后得到两个全等的纸并与纸相似， ∴， 即：， ∴， ∴， 故选：C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算的结果是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的除法法则化简计算即可得到结果． 【详解】解：． 10. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根是， 将代入方程得：， 整理得：， 解得：． 11. 如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，若将原空地一边减少了，另一边减少了，剩余一块面积为的矩形空地，则原正方形空地的边长为________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． 设正方形空地的边长为，则矩形空地的长为，宽为，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：设正方形空地的边长为，则矩形空地的长为，宽为， 依题意得，，整理得，， ∴， 解得，或（舍去）， 故答案为：7． 12. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐．一种四四拍的五线谱如图所示，直线与五线谱的横线的交点分别为点、、，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】分别过点A，B作，垂足分别为点C，E，则，，可得，即可求解． 【详解】解：如图，分别过点A，B作，垂足分别为点C，E，则，， ∴， ∴． 故答案为： 13. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B、C均在格点上，连接．则的值为____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，取格点D，连接，在中，利用直角三角形的边角关系定理解答即可． 【详解】解：取格点D，连接， 在中，， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，，点是的中点，连接，分别交、于点、．给出下面四个结论： ①； ②； ③和是以点为位似中心的位似图形； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是________． 【答案】①② 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，位似图形的性质．由斜边中线的性质，可判断①；由斜边中线的性质，求得，得到，证明，可判断②；利用勾股定理求得斜边的长，证明和，利用相似三角形的性质求得的长，推出，可判断③；求得的值，据此可判断③④． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴，故①说法正确； ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②说法正确； ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴和不是以点为位似中心的位似图形，故③说法错误； ∵， ∴， ∵， ∴，故④说法错误， 综上，正确的有①②． 故答案为：①②． 三、解答题（本大题10小题，共78分） 15. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 16. “十一”期间，我校（1）班学生通过抽取卡片的方式决定去三个场馆中的两个场馆进行锻炼．三个场馆分别用字母、、表示．现把分别印有、、的三张卡片（除字母外，其余都相同）背面朝上，洗匀放好．从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是和的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法．列表得出所有等可能的结果数以及抽到的两张卡片编号恰好是和的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：树状图如下： 一共有6种等可能结果，其中抽到的两张卡片恰好是和的有2种． ∴（抽到的两张卡片恰好是和）． 17. 芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个．若每季度生产量的平均增长率相等，求前三季度生产量的平均增长率． 【答案】前三季度生产量的平均增长率为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据平均增长率问题列方程求解即可． 【详解】解：设前三季度生产量的平均增长率为， ， 解得：，（舍去）， 答：前三季度生产量的平均增长率为． 18. 如图，图①、图②、图③均为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点A、B、C、D、E、F、G、H、M、N均在格点上．按要求完成下列问题，在给定的网格中作图时只用无刻度的直尺，保留作图痕迹． （1）在图①中，点P为与的交点，则的值为________； （2）在图②中，在线段上确定一点Q，使； （3）在图③中，在线段上确定一点K，连结、，使． 【答案】（1） （2） 解：作图如下，点Q即为所作； （3） 解：作图如下，点K即为所作． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质． （1）利用勾股定理求出，，问题得解； （2）取网格点S、T，连接交于点Q，根据可得：，即有，根据，即可得，问题得解； （3）取网格点U，连接交于点K，连接、，根据可得：，结合网格图可知，即可得，问题得解． 【小问1详解】 解：根据网格图可得：，， 则， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 如图，在中，，点为边上的点，连结，作，使边交于点． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明： ∵, ∴, ∵, ∴, ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角，三角形外角的性质，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． （1）先根据等边对等角得到，再利用三角形外角的性质和已知条件证明，由此即可证明； （2）根据相似三角形的性质得到 ，据此代值计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ， ∵, , , ， ∴． 20. 图①是一款可调节椅背的沙发椅，它可以减轻使用者的脊椎压力．图②是它的侧面示意图，椅背，将椅背角度从调节到（即，）时，分别过点、作于点，于点，求水平方向增加的距离长．（结果精确到；参考数据：，，，） 【答案】水平方向增加的距离长为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．在与中，利用三角函数的定义列式计算即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， 在与中， ， ， ∴ ． 答：水平方向增加的距离长为． 21. 某中学对九年级学生进行了教育质量监测，随机抽查了参加50米跑的部分学生成绩（成绩划分为优秀、良好、合格与不合格四个等级），并绘制了不完整的统计图（如图所示）．根据图中提供的信息解答下列问题： （1）求抽查的学生人数； （2）请把条形统计图补充完整； （3）若该校九年级学生有900人，试估计该校九年级学生50米跑成绩优秀的人数． 【答案】（1）抽查的学生人数为30人 （2） 补全条形统计图如下： （3）该校九年级学生50米跑成绩优秀的人数约为150人 【解析】 【分析】本题主要考查条形统计图与扇形统计图，熟练掌握条形统计图与扇形统计图是解题的关键； （1）根据条形统计图与扇形统计图可知：良好的人数为12人，所占百分比为，然后问题可求解； （2）由（1）可知不合格的人数为人，然后问题可求解； （3）由题意可列式进行求解即可． 【小问1详解】 解：根据条形统计图与扇形统计图可知：良好的人数为12人，所占百分比为， ∴（人）； 即抽查的学生人数为30人； 【小问2详解】 解：由（1）可知不合格的人数为（人）； 【小问3详解】 解：由题意得： （人）； 答：该校九年级学生50米跑成绩优秀的人数约为150人． 22. 杭州第19届亚运会于2023年9月23日举行．某商场销售亚运会文化衫，每件进价为50元，试销售期间发现，销售定价为55元时，平均每天可售出2100件；销售定价每上涨1元，销售量就减少30件． （1）当每件文化衫的售价为58元时，平均每天售出________件文化衫，销售利润是________元； （2）若每件文化衫的售价上涨x元（）． ①平均每天售出________件文化衫（用含x的代数式表示）； ②若每天的销售利润恰好为元，且获利不超过，求x的值． 【答案】（1）； （2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、列代数式、有理数的混合运算等知识点，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）利用日销售量每件文化衫的售价上涨的钱数，可求出日销售量，再利用每天的销售利润=每件的销售利润×日销售量，即可求出每天的销售利润； （2）①利用日销售量每件文化衫的售价上涨的钱数，可用含x的代数式表示出日销售量；②利用每天的销售利润=每件的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意得：当每件文化衫的售价为58元时，平均每天售出：（件）文化衫， 销售利润是（元）． 故答案为：；； 【小问2详解】 解：①根据题意得：平均每天售出件文化衫． 故答案为：； ②根据题意得：， 整理得：，解得：， 又∵获利不超过， ∴， ∴． 答：x的值为10． 23. 模型思想是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化而建立，能近似刻画并解决实际问题，以下是某数学小组应用模型思想解决数学问题的过程． 【模型探究】 探究1．如图①，点是中上的一点，且，过点作交的延长线于点，则________． 探究2．如图②，在中，，．，交于点、．求证：． 【模型应用】 如图③，点为正方形边的中点，连接，作，交于点，连接，分别交、于点、，若，则 ． 【答案】探究1：； 探究2：证明：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 探究3： 【解析】 【分析】探究1：证明，得出，根据，求出结果即可； 探究2：证明，得出，，即可证明； 探究3：根据勾股定理求出，，证明，得出，求出，，证明，得出，代入数据求出结果即可． 【详解】探究1：解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 探究2：略 探究3：∵四边形为正方形， ∴，。，， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形相似的判定方法． 24. 如图，在中，，，．动点在折线上运动．当点不与点重合时，以为腰作等腰三角形，使，且底边在的内部． （1）的长为________． （2）当点在边上时，求的长． （3）连结，当直线将分成面积相等的两部分时，求的长． （4）设边与边的交点为点，当点将边分成两部分时，直接写出的长． 【答案】（1） （2）或5 （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理即可求解； （2）当点在边上时，角度推导可得；当点在边上，可证明 ，则，即可求解； （3）可知点D在的中线上，则，当点P在边上，过点D作于点M，由得，设，由，得到，求解即可；当点在上时，过点作于点，同上可求解； （4）当点在边上时，，过点作交于点，过点作于点，连接，则，同（2）可得，则，由，得，求得，显然，则，由，得，设，则由，得：，解得：，由即可求解；当点在边上时，，则，过点作于点，角度推导得到，由，可求，那么． 【小问1详解】 解：中，，，， ∴， 故答案为：10； 【小问2详解】 解：当点在边上时，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在边上，如图： 由，得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或； 【小问3详解】 解：∵直线将分成面积相等的两部分 ∴点D在的中线上， ∴， 如图：当点P在边上，过点D作于点M， 则， 由得， ∴设， 则由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴ ∴， 解得：， ∴， 当点在上时，过点作于点， 则， 由得 ∴设，则由勾股定理得， 同理可证明：， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上所述：或； 【小问4详解】 解：当点在边上时，， 过点作交于点，过点作于点，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同（2）可得， ∴， 由，得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴设， 则由，得：， 解得：， ∴； 当点在边上时，，则，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述：的长为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质等知识点，难度较大，注意分类讨论的思想在本题的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-11-72中63制9上数学期中卷 2026.11 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 在下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的一元二次方程没有实数根，则m的值可能是（ ） A. B. 0 C. D. 3. 在下列长度的各组线段中，是成比例线段的是（ ） A. 2，3，4，5 B. 1，3，6，12 C. 1.5，2，3.5，4 D. 4，5，8，10 4. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，是用杠杆撬石头，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头，其示意图如图乙所示，点为支点，若，，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为．若以原点O为位似中心画，使它与相似比为，则点A的对应点的坐标是（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 在中，，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 为倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点为跷跷板中点，支柱垂直于地面，垂足为，，跷跷板的一端落到地面时与地面的夹角，则点离地面的距离是（ ） A. B. C. D. 8. 东方美学钟爱“白银分割”．日常生活中随处可以见到“白银分割”的身影，比如日常用到的纸（图①），对折后得到两个全等的纸并与纸相似（图②），则图中纸长与宽的比值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算的结果是___________． 10. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为__________． 11. 如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，若将原空地一边减少了，另一边减少了，剩余一块面积为的矩形空地，则原正方形空地的边长为________． 12. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐．一种四四拍的五线谱如图所示，直线与五线谱的横线的交点分别为点、、，则的值是________． 13. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B、C均在格点上，连接．则的值为____________________． 14. 如图，在中，，，，点是的中点，连接，分别交、于点、．给出下面四个结论： ①； ②； ③和是以点为位似中心的位似图形； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是________． 三、解答题（本大题10小题，共78分） 15. 计算 （1）； （2）． 16. “十一”期间，我校（1）班学生通过抽取卡片的方式决定去三个场馆中的两个场馆进行锻炼．三个场馆分别用字母、、表示．现把分别印有、、的三张卡片（除字母外，其余都相同）背面朝上，洗匀放好．从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是和的概率． 17. 芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个．若每季度生产量的平均增长率相等，求前三季度生产量的平均增长率． 18. 如图，图①、图②、图③均为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点A、B、C、D、E、F、G、H、M、N均在格点上．按要求完成下列问题，在给定的网格中作图时只用无刻度的直尺，保留作图痕迹． （1）在图①中，点P为与的交点，则的值为________； （2）在图②中，在线段上确定一点Q，使； （3）在图③中，在线段上确定一点K，连结、，使． 19. 如图，在中，，点为边上的点，连结，作，使边交于点． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 20. 图①是一款可调节椅背的沙发椅，它可以减轻使用者的脊椎压力．图②是它的侧面示意图，椅背，将椅背角度从调节到（即，）时，分别过点、作于点，于点，求水平方向增加的距离长．（结果精确到；参考数据：，，，） 21. 某中学对九年级学生进行了教育质量监测，随机抽查了参加50米跑的部分学生成绩（成绩划分为优秀、良好、合格与不合格四个等级），并绘制了不完整的统计图（如图所示）．根据图中提供的信息解答下列问题： （1）求抽查的学生人数； （2）请把条形统计图补充完整； （3）若该校九年级学生有900人，试估计该校九年级学生50米跑成绩优秀的人数． 22. 杭州第19届亚运会于2023年9月23日举行．某商场销售亚运会文化衫，每件进价为50元，试销售期间发现，销售定价为55元时，平均每天可售出2100件；销售定价每上涨1元，销售量就减少30件． （1）当每件文化衫的售价为58元时，平均每天售出________件文化衫，销售利润是________元； （2）若每件文化衫的售价上涨x元（）． ①平均每天售出________件文化衫（用含x的代数式表示）； ②若每天的销售利润恰好为元，且获利不超过，求x的值． 23. 模型思想是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化而建立，能近似刻画并解决实际问题，以下是某数学小组应用模型思想解决数学问题的过程． 【模型探究】 探究1．如图①，点是中上的一点，且，过点作交的延长线于点，则________． 探究2．如图②，在中，，．，交于点、．求证：． 【模型应用】 如图③，点为正方形边的中点，连接，作，交于点，连接，分别交、于点、，若，则 ． 24. 如图，在中，，，．动点在折线上运动．当点不与点重合时，以为腰作等腰三角形，使，且底边在的内部． （1）的长为________． （2）当点在边上时，求的长． （3）连结，当直线将分成面积相等的两部分时，求的长． （4）设边与边的交点为点，当点将边分成两部分时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $