精品解析：吉林省长春市宽城区部分学校2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年吉林省长春市宽城区部分学校九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AB的长为10km，则M，C两点间的距离为（ ） A. 3km B. 4km C. 5km D. 6km 4. 如图，，直线AC、DF与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB＝4，DE＝3，EF＝6，则AC的长是（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 5. 如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子的长是3米．若梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离BC为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 已知点，，都在二次函数的图象上，那么a、b、c的大小是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值是( ) A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）交轴正半轴于点，交轴于点，线段轴交此抛物线于点，且，则的面积是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 计算：____． 10. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是__________． 11. 在平面直角坐标系中，点A、B是抛物线y＝ax2（a＞0）上两点．若点A、B的坐标分别为（3，m）、（4，n），则m_____n．（填“＞”、“＝”或“＜”） 12. 如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝2，点B在直线L上，点A到直线L的距离AE＝3，则点C到直线L的距离CF为_____． 13. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（4，0），则点E的坐标是_____． 14. 如图，四边形是边长为2的正方形，点E是边上一动点（不与点B，C重合），，且交正方形外角的平分线于点F，交于点G，连接，有下列结论： ①； ②； ③； ④的面积的最大值为1． 其中正确结论的序号是_____________．（把正确结论的序号都填上） 三、解答题：本题共10小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 解方程：． 16. 在一个不透明的盒子里装有三张卡片，分别标有数字1,2,5，这些卡片处数字外均相同，现随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片，用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率． 17. 共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多辆．该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率相同，求第二、三两个月的月平均增长率． 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为，四边形的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图①中的四边形内确定一点，连结、，使为等腰直角三角形； （2）在图②中的边确定一点，连结，使； （3）在图③中的边确定一点，连结，使将四边形的面积分为两部分． 19. 如图，为了测量旗杆的高度BC，在距旗杆底部B点10米的A处，用高1.5米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角∠CDE为52°，求旗杆BC的高度．（结果精确到0.1米）【参考数据sin52°＝0.79，cos52°＝0.62，tan52°＝1.28】 20. 第二十四届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京市和张家口市举行．为了调查学生对冬奥知识的了解情况，某校对七、八年级全体学生进行了相关知识测试，然后从七、八年级各随机抽取了20名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． Ⅰ．七年级20名学生成绩的频数分布表如下： 七年级学生样本成绩频数分布表 成绩m（分） 频数（人数） 50≤m＜60 1 60≤m＜70 2 70≤m＜80 3 80≤m＜90 8 90≤m≤100 6 合计 20 Ⅱ．七年级20名学生成绩在80≤m＜90这一组的具体成绩是： 87 88 88 88 89 89 89 89 Ⅲ．七、八年级学生样本成绩的平均数、中位数、众数如下表所示： 平均数 中位数 众数 七年级 84 n 89 八年级 84.2 85 85 根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）表中n的值为 　 　． （2）在学生样本成绩中，某学生的成绩是87分，在他所属年级抽取的学生中排在前10名，根据表中数据判断该学生所在年级，并说明理由． （3）七年级共有学生180名，若将不低于80分的成绩定为优秀，请估计七年级成绩优秀的学生人数． 21. 某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为． （1）求雕塑高． （2）求落水点之间的距离． （3）若需要在上的点处竖立雕塑．问：顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明． 22. 【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第页的部分内容， 猜想：如图，在中，点、分别是与的中点，根据画出的图形，可以猜想，且．对此，我们可以用演绎推理给出证明． 【定理证明】请根据教材内容，结合图，写出证明过程． 【定理应用】如图，已知矩形中，，，点在从向移动，、、分别是、、的中点，则 ． 【拓展提升】如图，中，，，点，分别是，的中点，点在上，且，则 ． 23. 如图，在ABCD中，，，．点P从点A出发，沿折线AB—BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动（点P不与点A、B、C重合）．在点P的运动过程中，过点P作AB所在直线的垂线，交边AD或边CD于点Q，以PQ为一边作矩形PQMN，且，MN与BD在PQ的同侧．设点P的运动时间为t（秒）． （1）的值为______． （2）求线段PQ的长．（用含t的代数式表示） （3）当时，求△PCQ的面积． （4）连接 AC．当点M或点N落在AC上时，直接写出t的值． 24. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线是常数）经过点和点，与轴交于两点（点在点左侧），点在此抛物线上，横坐标为． （1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标． （2）当点在第四象限时，求的取值范围． （3）当点在轴下方时，抛物线在点和点之间的部分（包括两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值． （4）点在轴上，横坐标为，当所在直线不与坐标轴垂直时，以为对角线作矩形，边在轴上．当抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而增大或函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年吉林省长春市宽城区部分学校九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， 解得， 故选A． 2. 将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，二次函数的图象和性质．掌握二次函数图象的平移规律是解题关键．根据二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”求出新抛物线解析式，进而即得出其顶点坐标． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移2个单位后，得到的新抛物线解析式为，即， ∴平移后抛物线的顶点坐标为． 故选D． 3. 如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AB的长为10km，则M，C两点间的距离为（ ） A. 3km B. 4km C. 5km D. 6km 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质得出，再求出答案即可． 【详解】∵公路AC，BC互相垂直， ∴． ∵M为AB的中点， ∴． ∵AB=10km， ∴CM=5km， 即M，C两点间的距离为5km， 故选C． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，能熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解此题的关键． 4. 如图，，直线AC、DF与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB＝4，DE＝3，EF＝6，则AC的长是（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例定理求出BC，可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴BC＝8， ∴AC＝AB+BC＝4+8＝12， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线段成比例，解决本题的关键是掌握平行线段成比例的性质． 5. 如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子的长是3米．若梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离BC为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用锐角三角函数关系得出，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得：， 故． 故选A 【点睛】考核知识点：由正弦求边.理解正弦定义是关键. 6. 已知点，，都在二次函数的图象上，那么a、b、c的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，由二次函数解析式可知抛物线开口向下，且对称轴直线，再根据二次函数上的点距离对称轴越近，其对应的函数值越大判断即可． 【详解】解：∵， ∴ 抛物线开口向下，且对称轴直线， ∵，，，， ∴， 故选：C． 7. 如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D，利用正切函数的定义求解可得． 【详解】如图，过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D， 则tan∠BAC＝＝， 故选C． 【点睛】本题主要考查三角函数的定义，解题的关键是掌握正切函数的定义：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切． 8. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）交轴正半轴于点，交轴于点，线段轴交此抛物线于点，且，则的面积是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由y=ax2-2ax+2（a＜0）可得点B坐标与对称轴所在直线解析式，从而求出点D坐标，再通过CD=BC求出BC长度，通过三角形面积=×底×高求解． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线x=， 点B的坐标为（0，2）， ∴点D的坐标为（2，2）， BD=2-0=2， ∵CD=BC， ∴CD=BD=1， ∴BC=2+1=3． ∴S△ABC=×3×2=3． 故选：D． 【点睛】本题主要考查函数图象上点的坐标特征，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 计算：____． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的性质化简，再相减． 【详解】解： 故答案是：． 【点睛】本题考查了二次根式的减法，解题的关键是掌握二次根式的化简及性质． 10. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解．熟记相关结论是关键． 【详解】解：由题意得：， 解得：； 故答案为： 11. 在平面直角坐标系中，点A、B是抛物线y＝ax2（a＞0）上两点．若点A、B的坐标分别为（3，m）、（4，n），则m_____n．（填“＞”、“＝”或“＜”） 【答案】＜ 【解析】 【分析】求出抛物线的对称轴为y轴，然后根据二次函数的增减性解答． 【详解】∵抛物线y＝ax2（a＞0） ∴抛物线开口向上，在对称轴右侧y随x的增大而增大，对称轴为y轴 ∵点A、B的坐标分别为（3，m）、（4，n），且3＜4， ∴m＜n 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，求出抛物线的对称轴解析式是解题的关键． 12. 如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝2，点B在直线L上，点A到直线L的距离AE＝3，则点C到直线L的距离CF为_____． 【答案】1.6 【解析】 【分析】易得△AEB和△BFC相似，那么利用相似三角形的对应边成比例可得BF长，进而利用勾股定理可得CF长． 【详解】由题意得：∠AEB＝∠CFB＝90°， ∴∠EAB+∠ABE＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∴∠ABE+∠CBF＝90°， ∴∠EAB＝∠CBF， ∴△AEB∽△BFC， ∴AE：BF＝AB：BC， ∵AB＝5，BC＝2，AE＝3， ∴BF＝1.2， ∴CF＝1.6． 故答案为：1.6． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的性质．熟练掌握相似三角形的对应边成比例及勾股定理是解题的关键． 13. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（4，0），则点E的坐标是_____． 【答案】（6，6）． 【解析】 【分析】利用位似变换的概念和相似三角形的性质进行解答即可. 【详解】解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3， ∴，即 解得，OD＝6，OF＝6， 则点E的坐标为（6，6）， 故答案为：（6，6）． 【点睛】本题考查了相似三角形、正方形的性质以及位似变换的概念，掌握位似和相似的区别与联系是解答本题的关键. 14. 如图，四边形是边长为2的正方形，点E是边上一动点（不与点B，C重合），，且交正方形外角的平分线于点F，交于点G，连接，有下列结论： ①； ②； ③； ④的面积的最大值为1． 其中正确结论的序号是_____________．（把正确结论的序号都填上） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】证明∠BAE=∠CEG，结合∠B=∠BCD可证明△ABE∽△ECG，可判断①；在BA上截取BM=BE，证明△AME≌△ECF，可判断②；可得△AEF为等腰直角三角形，证明∠BAE+∠DAF=45°，结合∠BAE=∠CEF，∠FCH=45°=∠CFE+∠CEF，可判断③；设BE=x，则BM=x，AM=AB-BM=2-x，根据△AME≌△ECF，求出△AME面积的最大值即可判断④. 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠B=∠BCD=90°， ∵∠AEF=90°， ∴∠AEB+∠CEG=90°，又∠AEB+∠BAE=90°， ∴∠BAE=∠CEG， ∴△ABE∽△ECG，故①正确； 在BA上截取BM=BE， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠B=90°，BA=BC， ∴△BEM为等腰直角三角形， ∴∠BME=45°， ∴∠AME=135°， ∵BA-BM=BC-BE， ∴AM=CE， ∵CF为正方形外角平分线， ∴∠DCF=45°， ∴∠ECF=135°=∠AME， ∵∠BAE=∠FEC， ∴△AME≌△ECF（ASA）， ∴AE=EF，故②正确； ∴△AEF为等腰直角三角形， ∴∠EAF=∠EFA=45°， ∴∠BAE+∠DAF=45°， 而∠BAE=∠CEF，∠FCH=45°=∠CFE+∠CEF， ∴，故③正确； 设BE=x，则BM=x，AM=AB-BM=2-x， S△AME=•x•（2-x）=， 当x=1时，S△AME有最大值， 而△AME≌△ECF， ∴S△AME=S△CEF， ∴S△CEF有最大值，所以④错误； 综上：正确结论的序号是：①②③. 故答案为：①②③. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的性质，二次函数的最值，解题的关键是添加辅助线，灵活运用全等三角形的知识解决线段的问题. 三、解答题：本题共10小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 利用公式法的求根公式来求解即可． 【详解】解：方程，其中，，． ∴， ∴ 解得：，． 16. 在一个不透明的盒子里装有三张卡片，分别标有数字1,2,5，这些卡片处数字外均相同，现随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片，用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次抽取的卡片上数字之和是偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】画树状图如下： ∵共有9种等可能的结果，两次抽取的卡片上数字之和是偶数的有5种情况， ∴两次两次抽取的卡片上数字之和是偶数的概率为． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．解题关键是用列表法或画树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果，然后利用概率=所求情况数÷总情况数． 17. 共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多辆．该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率相同，求第二、三两个月的月平均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设第二、三两个月的月平均增长率为，利用该单车公司第三个月投放单车的数量该单车公司第一个月投放单车的数量（第二、三两个月的月平均增长率，可列出关于的一元二次方程，解方程取符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：设第二、三两个月的月平均增长率为， 根据题意得， 解得，（负值不符合题意，舍去）， 答：第二、三两个月的月平均增长率为． 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为，四边形的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图①中的四边形内确定一点，连结、，使为等腰直角三角形； （2）在图②中的边确定一点，连结，使； （3）在图③中的边确定一点，连结，使将四边形的面积分为两部分． 【答案】（1） 如下图所示，即为所求， （2） 如下图所示，点即为所求， （3） 如下图所示，点即为所求， 【解析】 【分析】 【小问1详解】 解：作线段的垂直平分线，垂直平分线经过格点， 连接、得到，即为所求， 【小问2详解】 解：过的中点作于点， 则有，， 可得：； 【小问3详解】 解：连接点与的中点， 则有， 把分成两部分． 19. 如图，为了测量旗杆的高度BC，在距旗杆底部B点10米的A处，用高1.5米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角∠CDE为52°，求旗杆BC的高度．（结果精确到0.1米）【参考数据sin52°＝0.79，cos52°＝0.62，tan52°＝1.28】 【答案】14.3米 【解析】 【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形△ADE，解其可得DE的长，进而借助BC＝EC+EB可解即可求出答案． 【详解】过点D作DE⊥BC交BC于E， 在△CDE中，有CE＝tan52°×DE＝1.28×10≈12.8， 故BC＝BE+CE＝1.5+12.8≈14.3， 答：旗杆的高度为14.3米． 【点睛】此题考查的知识点是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，关键是本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形． 20. 第二十四届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京市和张家口市举行．为了调查学生对冬奥知识的了解情况，某校对七、八年级全体学生进行了相关知识测试，然后从七、八年级各随机抽取了20名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． Ⅰ．七年级20名学生成绩的频数分布表如下： 七年级学生样本成绩频数分布表 成绩m（分） 频数（人数） 50≤m＜60 1 60≤m＜70 2 70≤m＜80 3 80≤m＜90 8 90≤m≤100 6 合计 20 Ⅱ．七年级20名学生成绩在80≤m＜90这一组的具体成绩是： 87 88 88 88 89 89 89 89 Ⅲ．七、八年级学生样本成绩的平均数、中位数、众数如下表所示： 平均数 中位数 众数 七年级 84 n 89 八年级 84.2 85 85 根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）表中n的值为 　 　． （2）在学生样本成绩中，某学生的成绩是87分，在他所属年级抽取的学生中排在前10名，根据表中数据判断该学生所在年级，并说明理由． （3）七年级共有学生180名，若将不低于80分的成绩定为优秀，请估计七年级成绩优秀的学生人数． 【答案】（1）88.5； （2）在学生样本成绩中，某学生的成绩是87分，在他所属年级抽取的学生中排在前10名，根据表中数据判断该学生所在年级是八年级， 理由：∵七年级中位数是88.5，87＜88.5， ∴如果该学生在七年级，排名是后10名，不合题意； ∵八年级中位数是85，85＜87， ∴如果该学生在八年级，排名是前10名，符合题意； 由上可得，在学生样本成绩中，某学生的成绩是87分，在他所属年级抽取的学生中排在前10名，根据表中数据判断该学生所在年级是八年级； （3）126人 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据，可以求得n的值； （2）根据表格中的数据，可以判断该生所在的年级，然后根据表格中的数据，即可说明理由； （3）根据表格中的数据，可以计算出七年级成绩优秀的学生人数． 【详解】解：（1）由表格中的数据可得， n＝（88+89）÷2＝88.5， 故答案为：88.5； （2）略 （3）180×＝126（人）， 答：七年级成绩优秀的学生有126人． 【点睛】本题考查中位数和众数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，会求一组数据的中位数． 21. 某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为． （1）求雕塑高． （2）求落水点之间的距离． （3）若需要在上的点处竖立雕塑．问：顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明． 【答案】（1） （2） （3） 解：当时，， ∴顶部是会碰到水柱． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质及图像关于轴对称问题，解题的关键是：掌握二次函数的图像与性质． （1）求雕塑高，直接令，代入求解可得； （2）可先求出的距离，再根据对称性求的长； （3）利用，计算出的函数值，再与的长进行比较可得结论． 【小问1详解】 解：由题意得，点在图象上． 当时， ． 【小问2详解】 解：由题意得，点在图象上． 令，得． 解得：（不合题意，舍去）． ， 【小问3详解】 略 22. 【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第页的部分内容， 猜想：如图，在中，点、分别是与的中点，根据画出的图形，可以猜想，且．对此，我们可以用演绎推理给出证明． 【定理证明】请根据教材内容，结合图，写出证明过程． 【定理应用】如图，已知矩形中，，，点在从向移动，、、分别是、、的中点，则 ． 【拓展提升】如图，中，，，点，分别是，的中点，点在上，且，则 ． 【答案】 【定理证明】证明：在中，点、分别是与的中点， 且， ， ， ； 【定理应用】； 【拓展提升】． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定、三角形中位线定理、直角三角形的性质． 【定理证明】利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明； 【定理应用】连接，在中求出的长度，再由中位线的性质求出的长度即可； 【拓展提升】在中根据中位线的性质求出的长度，利用斜边的中线等于斜边的一半，求出的长度，即可求的长度． 【详解】解：【定理证明】略 【定理应用】如图所示，连接， 四边形是矩形， ，，， 又点是的中点， ， 在中，， 、分别是、的中点， ， 故答案为：； 【拓展提升】如图所示， 点，分别是，的中点， ， 又， 在中点是斜边的中点， ， ， 故答案为： ． 23. 如图，在ABCD中，，，．点P从点A出发，沿折线AB—BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动（点P不与点A、B、C重合）．在点P的运动过程中，过点P作AB所在直线的垂线，交边AD或边CD于点Q，以PQ为一边作矩形PQMN，且，MN与BD在PQ的同侧．设点P的运动时间为t（秒）． （1）的值为______． （2）求线段PQ的长．（用含t的代数式表示） （3）当时，求△PCQ的面积． （4）连接 AC．当点M或点N落在AC上时，直接写出t的值． 【答案】（1） （2）当时，；当时， （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出BD的长，再利用正切的定义可求解； （2）分两种情形求解即可．①如图（1）中，当时，②如图（2）中，当时； （3）当时，点P线段BC上，可求出PQ的长，根据三角形的面积公式求解即可； （4）分两种情形分别求解即可：①当点M在线段AC上；②当点N在线段AC上． 【小问1详解】 解：在Rt△ABD中，，， ∴，∴， 故答案为． 【小问2详解】 ①如图（1）中，当时， ∵，∴，∴，∴． ②如图（2）中，当时， ∵，∴，∴， ∴． 综上，当时，；当时，． 【小问3详解】 当时，，， ∴． 【小问4详解】 ①当点M在线段AC上时，如图， ， 在Rt△APQ中，，， 则，由矩形的性质可知，，， 又，∴， ∴，即，解得； ②当点N在线段AC上，如图， 由题意可知，， 由矩形的性质可知，，，又，∴， ∴，即，解得． 综上，或． 【点睛】本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用平行线分线段成比例定理，构建方程解决问题，属于中考压轴题． 24. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线是常数）经过点和点，与轴交于两点（点在点左侧），点在此抛物线上，横坐标为． （1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标． （2）当点在第四象限时，求的取值范围． （3）当点在轴下方时，抛物线在点和点之间的部分（包括两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值． （4）点在轴上，横坐标为，当所在直线不与坐标轴垂直时，以为对角线作矩形，边在轴上．当抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而增大或函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）0或 （4）或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式，再把解析式化为顶点式求出顶点坐标即可； （2）由题意知，抛物线对称轴为直线，顶点坐标为；则，，当时，，结合二次函数的图象与性质，求解即可； （3）由题意知，，当时，最高点与最低点的纵坐标之差为，即，计算求解即可；当时，最高点与最低点的纵坐标之差为，即，计算求出满足要求的解即可； （4）由以为对角线的矩形可知，轴，则，，由题意知，，即；由题意知，分当矩形在对称轴的同侧，当矩形在对称轴的两侧，画图象求解即可． 【小问1详解】 解：将，代入得，， 解得，， ∴抛物线解析式为， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为； ∴，， 由函数图象可知，当点在第四象限时，求的取值范围为； 【小问3详解】 解：由题意知，， 当时，最高点与最低点的纵坐标之差为， ∴， 解得，； 当时，最高点与最低点的纵坐标之差为， ∴， 解得，或（舍去）； 综上所述，的值为0或． 【小问4详解】 解：由以为对角线的矩形可知，轴，则，， 由题意知，，即； 抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而增大， ①当矩形在对称轴的同侧，矩形在对称轴的右侧时， 当在点的左侧时，，解得，，此时无解； 当在点的右侧时，，解得，，，此时无解； ②当矩形在对称轴的两侧， 当在点的左侧时，关于对称轴对称的点坐标的横坐标为，如图1， ∴，， 解得，； 当时，，如图2，此时不满足要求； 综上可得：抛物线在矩形内部的图象所对应的函数值y随x的增大而增大时m的取值范围是； 抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小， ①当矩形在对称轴的同侧，当矩形在对称轴的左侧时， 当在点的左侧时，，解得，，此时不符合题意； 当在点的右侧时，，解得，； ②当矩形在对称轴的两侧， 当在点的右侧时，如图3， ∴，， 解得 ，； 当时，，如图4，此时不满足要求； ∴当抛物线在矩形内部的图象所对应的函数值y随x的增大而减小时m的取值范围是． 综上所述，m的取值范围是或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，无理数的估算，解一元二次方程，二次函数与特殊的平行四边形综合．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与特殊的平行四边形综合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $