吉林长春市东北师范大学附属中学2026-2027学年上学期九年级数学期中试卷

初三年级数学学科综合练习 时长：120分钟 分值：120分 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.下列函数是二次函数的是 A.y=3x+1 B.y=x2+2 C.y D.y=5 2x 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列等式中，正 确的是 () A.sinA= B.cosB=c C.tand=4 D. 0 6 tanB= b lmin跳坝次数 210 200 210 B 180 180 160 145 140 30 -120 110 甲班 乙班 (第2题) (第4题) (第6题) 3.将抛物线y=-2x-32+5向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后的抛物线的函 数表达式为 () A.y=-2x-1+9 B.y=-2(x-52+9 C.y=-2x-12+1 D.y=-2(x-5}+1 4.为了解八年级学生的体能状况，某校对甲、乙两个班级学生的一分钟跳绳成绩进行了统计.制 作了两个班级成绩的箱线图如图所示。下列说法正确的是 () A.甲班的下四分位数低于乙班的下四分位数 B.甲班学生的最好成绩高于乙班学生的最好成绩 C,甲班学生的成绩比乙班学生的成绩更加分散 D.甲班学生成绩的中位数高于乙班学生成绩的中位数 5.二次函数y=(x-3在第三象限的图象从左到右 ( A.逐渐下降 B.逐渐上升 C.先上升再下降 D.先下降再上升 6.如图，在⊙O中，点A是BC的中点，∠AOB=50°，则∠OBC的度数为 () A.25° B.30° C.35° D.40° 7.如图为长春市跨伊通河轻轨斜拉桥，其桥塔正面示意图是△AOB,其中OA=OB,小明测得桥 面宽度AB=a米，∠OAB=80°，则点O到桥面的距离（单位：米）是 ( nsin A. B. acos80 C.atan80° D.Latan80 ol D (第7题) (第8题) 8.如图，点A、B在抛物线y=ax-h}上，且AB∥x轴，直线AB与y轴交于(0,8)，在平行 四边形ABCD中，点C、D坐标分别为(7,0)，(3,0)，则a的值为 () A.1 B.1.5 C.2 D.3 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9.二次函数y=-（x-2}+4的顶点坐标为 10.已知二次函数y=2x2+x+a（a为常数)的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围 是 11.如图，已知OA为⊙0的半径，且OA=10cm,弦BC⊥OA于点M.若OM:MA=4:1.则BC 的长为 cm. (第11题) (第13题) (第14题) 12.有一组数据如下：3、4、5、6、7，这组数据的方差是 13.如图，二次函数y=amx2+bx+c的图象与y轴交于点(0，-2)，对称轴为直线2，当y>-2 时，x的取值范围是 14.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（-4,0),B(2,0),交y轴负半轴于点C,点 D为抛物线顶点，则下列结论：①ab心0；②2a-b=0;③a-b≤am24bm(m为任意实数)； ④直线CD与x轴交点坐标为(8,0)，其中正确的是 ,(填序号) 三、解答题：本题共10小题，共78分。 15.(6分)计算， (1)cos230°+sin230°-tan60°.tan30°； (2)2sin60°+2cos60°+4tan45°. 16.(6分)在Rt△ABC中，∠C-=90°，AC=2,AB=6.求anB. 17.（6分)已知抛物线的解析式为y=-2x2+bx+c(b、c为常数)，点（1，-3)、(-2,3) 在抛物线上，请回答下列问题： (1)求抛物线的解析式： (2)当-3<x≤2时，y的取值范围为 18.（7分)投壶源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，投壶的规则：由游戏者轮流 站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分。箭在空中飞行的轨迹可以近似看 成抛物线。同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系 (单位长度为1m).某同学将箭从A(0,)处抛出，且当箭距离投出点的水平距离为1m 时，箭达到最大高度2m.把壶近似看作矩形BCDE,已知壶口的宽度DE-0.2m,壶的高度 BE-0.38m. (1)求抛物线的解析式； (2)若箭刚好由点D处擦边投入壶中，求人离壶的距离(OB的长) 19.（7分)如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点.仅用 无刻度的直尺完成作图，并回答问题. B 图① 图② (1) 如图①，点A、B、C均在格点上，则tan∠BAC 请在网格中找到格点D,连结 AD,使得an∠CAD=1,且点D和点B在AC的两侧.由图可知，∠BAC+∠CAD= 度 (2) 如图②，点A在格点上，已知ama=了aB=7以点4为顶点作∠BAC,使得 ∠BACa+B,并在图中标出∠a和∠B,此时an∠BAC 20.（7分)2026年3月14日是全球第六个“国际数学日”，今年的主题是“数学与杨帆”.某 校在“国际数学日”当天举办了“数学节”活动，通过开展趣味数学游戏、知识拓展、数学 创意展示等活动，展现数学魅力，传播数学文化.研究小组为了解学生数学素养竞赛的答题 情况，从七、八年级各随机抽取了20名学生的成绩（百分制）进行整理和分析：所有学生 的成绩均高于60分（成绩用x表示，共分成四个等级：A.90<≤100；B.80<x≤90： C.70<x≤80；D.60<x≤70)，下面给出了部分信息. 七年级20名学生的成绩： 100,98,97,95,94,93,89,88,87,86,86,85,84,82,79,79,79,68,66,65; 八年级20名学生的成绩在B等级的数据：89,89,87,85,82,81. 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 八年级所抽学生的 竞赛成绩扇形统计图 年级 平均数 中位数 众数 10% 七年级 85 86 a 0 C 八年级 85 b 79 20% A B 根据以上信息，解答下列问题： (1) ,b= (2)杨帆本次数学活动的最后得分是87分，在进行活动总结时，他说：“在我们年级 抽取的20位同学中，我的得分是中等偏上”，若他的话没有问题，请判断杨帆是 哪个年级的学生，并说明理由； (3)在本次数学活动中，得分在85分及以上的同学会被评为“数学达人”，该学校八 年级共有600名同学，请估计八年级学生中获评为“数学达人”的人数， 21.(8分)如图，已知抛物线y=-x2-3x+4与x轴负半轴交于点A,与y轴交于点B,过 点A和点B作直线AB (I)求直线AB的解析式 (2)若点P在抛物线上且在直线AB上方，连结PA、PB,当△PAB的面积最大时，求 点P的坐标 22.(9分)【问题呈现】 杨帆在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在矩形ABCD中，AB=5,AD=7, 点E、F分别在边AB、BC上，且AE=CF,连培CE、DF,求CE+DF的最小值； 【问题解决】 经过讨论，如图②，小组同学想利用构造全等三角形的方式将线段DF转移到线段EG的位 置，从而利用“两点之间，线段最短”求CE+DF的最小值，下面是解题过程： 解：延长DA至点G,使AG=CD,连接EG, 证明过程缺失 ∴.CE+DF=CE+EG, 当点C、E、G三点共线时，CE+EG最小， ,AD=7,AB=5, ∴.CD=AB=5 ∴.AG=CD=5 ∴.DG=AG+AD=12 在Rt△CDG中，∠CDG=90°， CG=CD2+DG2 =13, ∴.CE+EG的最小值为13， ∴.CE+DF的最小值为13. 请补全缺失的证明过程； 【方法应用】 (1)如图③，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,点B、F分别在边AB、BC上，且AE=二BF, 连络AR、CE,则二AF+CE最小值为 3 (2)如图④，在△ABC中，taB=二，AC5,点D、E分别在边AB、BC上，且AD=CE, 连接AE、CD,则AE+CD的最小值为 A D B 图① 图② 图③ 图④ 23.（10分)如图，在矩形ABCD中，AB=2,∠BAC=60°.点P在边BC上，连结AP,将 △ABP绕点A逆时针旋转，使点B的对应点E落在AC上，点P的对应点为点Q.连结 DO、PO,PQ与AC交于点F (1)线段BC的长为 (2)当an∠Q4AC=3时，求BP的长； D (3)DQ的最小值为 R (4)当点F为PQ的三等分点时，直接写出BP的长. B 24.（12分)在平面直角坐标系x0y中，点A为抛物线y=x2-4x上的点，横坐标为m,点B 与点A关于点O对称，点C和点A关于点(4,0)对称，连结BC. （1)抛物线的顶点坐标为 (2)求BC的长： (3)当直线BC与抛物线有两个交点时，设这两个点分别为点D、E（点D在点E左侧) ①当点A与抛物线顶点重合时，求DE的长； ②当点A在第四象限时，作点B关于点D的对称点B',点C关于点E的对称点C', 若B'C'=二BC,直接写出m的值 B