专题 第四章 一次函数与三角形的面积专项训练2026-2027学年北师大版数学八年级上册

一次函数与三角形的面积专项训练 1．如图所示，直线y1＝﹣2x+4与过点A（5，0）的直线y2相交于点C（3，﹣2），与x轴交于点B． （1）求直线y2关于x的函数解析式； （2）求△ABC的面积． 2．在平面直角坐标系xOy中，函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，﹣3）． （1）求b的值和点A的坐标； （2）在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （3）点P在x轴上，若，直接写出点P的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（﹣1，4），BC⊥x轴，垂足为点C，一次函数y＝kx+1的图象经过点C，与AB交于点E． （1）求一次函数y＝kx+1的解析式； （2）Rt△ABC沿x轴向右平移，点B的对应点B1恰好落在直线y＝kx+1上，求△BB1E的面积． 4．在如图所示平面直角坐标系xOy中，画出直线y＝﹣3x+3． （1）若直线y＝﹣3x+3与x，y轴分别交于A，B两点，直接写出A，B两点的坐标； （2）求△AOB的面积． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在y轴上，点D在x轴正半轴上，且OA＝OD．点E（﹣1，e）是直线CD与线段AB的交点． （1）求直线CD的解析式； （2）若F为直线AB上一动点，连接FD，当S△ADFS△ADE时，求点F的坐标． 6．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣1，0），B（1，4）． （1）求这个一次函数的解析式并画出函数图象； （2）若点C为x轴上一点，且△ABC的面积为6，求点C的坐标． 7．如表是一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）中y与x的几组对应值． x ﹣1 0 1 y 3 m ﹣1 （1）求这个一次函数的表达式，并直接写出m的值； （2）已知点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（1，﹣1），问：x轴上是否存在点P使得△APB的面积为2？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，一次函数y1＝2x﹣2的图象与y轴交于点A，一次函数y2的图象与y轴交于点B（0，6），点C为两函数图象的交点，且点C的横坐标为2． （1）求一次函数y2的函数解析式； （2）求△ABC的面积； （3）问：在坐标轴上，是否存在一点P，使得S△ACP＝2S△ABC？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，直线AB经过点A（﹣3，1），B（3，3）． （1）求直线AB对应的函数解析式； （2）连接OA，OB，求△AOB的面积． 10．直线AC与线段AO如图所示． （1）求出线段AO的解析式，及自变量x的取值范围； （2）求出△AOC的面积． 11．如图，已知直线l1：y＝kx+b经过点A（0，﹣2）、B（2，m），且平行于直线l：y＝2x． （1）求直线l1的表达式； （2）如果直线l2经过点B，与y轴的正半轴相交于点C，已知△ABC的面积为6，求直线l2的表达式． 12．如图，已知直线l1经过点A（0，5），B（2，1），直线l2：y＝2x﹣1与y轴交于点C，与l1交于点P． （1）求直线l1的解析式，并判断点M（﹣1，7）是否在直线l1上； （2）①直接写出点P的坐标为　 　 ； ②求△CPA的面积． 13．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，0）和B（0，2）． （1）求这个一次函数的解析式； （2）画出此函数的图象；观察图象，当0≤y≤4时，x的取值范围是　 　 ； （3）若点C是y轴上一点，且△ABC的面积为2，求点C的坐标． 14．如表是一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）中y与x的几组对应值． x ﹣1 0 1 y 3 m ﹣1 （1）求这个一次函数的表达式，并直接写出m的值； （2）画出这个函数的图象，并直接写出它与x轴的交点坐标； （3）当﹣2≤x≤4时，y的取值范围是　 　 ； （4）已知点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（1，﹣1），问：x轴上是否存在点P使得△APB的面积为2？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图，一次函数y1＝2x﹣2的图象与y轴交于点A，一次函数y2的图象与y轴交于点B（0，6），点C为两函数图象的交点，且点C的横坐标为2． （1）求C点坐标及一次函数y2的函数解析式； （2）求△ABC的面积． 16．已知一次函数y＝（1﹣2m）x+m﹣3（m是常数）图象与y轴的交点位于y轴负半轴上，且函数值y随自变量x的增大而减小． （1）该一次函数图象一定经过第　 　 象限； （2）求m的取值范围； （3）如果该一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积是2，求这个一次函数的表达式． 17．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象交正比例函数y＝2x于P（m，4），交y轴于点B（0，2），交x轴于点A． （1）求该一次函数解析式； （2）求△AOP的面积． 18．如图，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是OB的中点． （1）求A点坐标； （2）在x轴上是否存在点D，使得S△ACD＝S△ABC，若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 19．已知直线AB解析式为y＝kx+t（k≠0），过点A（﹣2，﹣3），B（6，1）． （1）求直线AB的解析式； （2）过点M（m，0）作垂直于x轴的直线，与直线AB交于点N． ①当MN≤3时，求m的取值范围； ②若m＝﹣1，P是直线AB上的一点，直线MP将△BMN的面积分成1：2的两部分，求点P的坐标． 20．如图，直线l1：与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点E；直线l2：y＝kx+b经过点B（﹣2，0）和点C（0，1），且与l1相交于点D，连接AB． （1）求直线l1和l2的函数表达式； （2）当x取何值时，y1＞y2？ （3）求△ABD的面积． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 一次函数与三角形的面积专项训练 1．如图所示，直线y1＝﹣2x+4与过点A（5，0）的直线y2相交于点C（3，﹣2），与x轴交于点B． （1）求直线y2关于x的函数解析式； （2）求△ABC的面积． 2．在平面直角坐标系xOy中，函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，﹣3）． （1）求b的值和点A的坐标； （2）在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （3）点P在x轴上，若，直接写出点P的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（﹣1，4），BC⊥x轴，垂足为点C，一次函数y＝kx+1的图象经过点C，与AB交于点E． （1）求一次函数y＝kx+1的解析式； （2）Rt△ABC沿x轴向右平移，点B的对应点B1恰好落在直线y＝kx+1上，求△BB1E的面积． 4．在如图所示平面直角坐标系xOy中，画出直线y＝﹣3x+3． （1）若直线y＝﹣3x+3与x，y轴分别交于A，B两点，直接写出A，B两点的坐标； （2）求△AOB的面积． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在y轴上，点D在x轴正半轴上，且OA＝OD．点E（﹣1，e）是直线CD与线段AB的交点． （1）求直线CD的解析式； （2）若F为直线AB上一动点，连接FD，当S△ADFS△ADE时，求点F的坐标． 6．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣1，0），B（1，4）． （1）求这个一次函数的解析式并画出函数图象； （2）若点C为x轴上一点，且△ABC的面积为6，求点C的坐标． 7．如表是一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）中y与x的几组对应值． x ﹣1 0 1 y 3 m ﹣1 （1）求这个一次函数的表达式，并直接写出m的值； （2）已知点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（1，﹣1），问：x轴上是否存在点P使得△APB的面积为2？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，一次函数y1＝2x﹣2的图象与y轴交于点A，一次函数y2的图象与y轴交于点B（0，6），点C为两函数图象的交点，且点C的横坐标为2． （1）求一次函数y2的函数解析式； （2）求△ABC的面积； （3）问：在坐标轴上，是否存在一点P，使得S△ACP＝2S△ABC？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，直线AB经过点A（﹣3，1），B（3，3）． （1）求直线AB对应的函数解析式； （2）连接OA，OB，求△AOB的面积． 10．直线AC与线段AO如图所示． （1）求出线段AO的解析式，及自变量x的取值范围； （2）求出△AOC的面积． 11．如图，已知直线l1：y＝kx+b经过点A（0，﹣2）、B（2，m），且平行于直线l：y＝2x． （1）求直线l1的表达式； （2）如果直线l2经过点B，与y轴的正半轴相交于点C，已知△ABC的面积为6，求直线l2的表达式． 12．如图，已知直线l1经过点A（0，5），B（2，1），直线l2：y＝2x﹣1与y轴交于点C，与l1交于点P． （1）求直线l1的解析式，并判断点M（﹣1，7）是否在直线l1上； （2）①直接写出点P的坐标为　 　 ； ②求△CPA的面积． 13．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，0）和B（0，2）． （1）求这个一次函数的解析式； （2）画出此函数的图象；观察图象，当0≤y≤4时，x的取值范围是　 　 ； （3）若点C是y轴上一点，且△ABC的面积为2，求点C的坐标． 14．如表是一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）中y与x的几组对应值． x ﹣1 0 1 y 3 m ﹣1 （1）求这个一次函数的表达式，并直接写出m的值； （2）画出这个函数的图象，并直接写出它与x轴的交点坐标； （3）当﹣2≤x≤4时，y的取值范围是　 　 ； （4）已知点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（1，﹣1），问：x轴上是否存在点P使得△APB的面积为2？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图，一次函数y1＝2x﹣2的图象与y轴交于点A，一次函数y2的图象与y轴交于点B（0，6），点C为两函数图象的交点，且点C的横坐标为2． （1）求C点坐标及一次函数y2的函数解析式； （2）求△ABC的面积． 16．已知一次函数y＝（1﹣2m）x+m﹣3（m是常数）图象与y轴的交点位于y轴负半轴上，且函数值y随自变量x的增大而减小． （1）该一次函数图象一定经过第　 　 象限； （2）求m的取值范围； （3）如果该一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积是2，求这个一次函数的表达式． 17．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象交正比例函数y＝2x于P（m，4），交y轴于点B（0，2），交x轴于点A． （1）求该一次函数解析式； （2）求△AOP的面积． 18．如图，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是OB的中点． （1）求A点坐标； （2）在x轴上是否存在点D，使得S△ACD＝S△ABC，若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 19．已知直线AB解析式为y＝kx+t（k≠0），过点A（﹣2，﹣3），B（6，1）． （1）求直线AB的解析式； （2）过点M（m，0）作垂直于x轴的直线，与直线AB交于点N． ①当MN≤3时，求m的取值范围； ②若m＝﹣1，P是直线AB上的一点，直线MP将△BMN的面积分成1：2的两部分，求点P的坐标． 20．如图，直线l1：与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点E；直线l2：y＝kx+b经过点B（﹣2，0）和点C（0，1），且与l1相交于点D，连接AB． （1）求直线l1和l2的函数表达式； （2）当x取何值时，y1＞y2？ （3）求△ABD的面积． 参考答案与试题解析 1．【解答】解：（1）设函数解析式为y＝kx+b，将A（5，0）、C（3，﹣2）代入y＝kx+b，得， 解得：， ∴函数解析式为：y＝x﹣5； （2）当y＝0时，﹣2x+4＝0时，x＝2， ∴点B的坐标为（2，0）， ∴△ABC的面积是：（5﹣2）×2＝3． 2．【解答】解：（1）由条件可得， 解得b＝﹣3， ∴函数表达式为， 令y＝0，则， 解得x＝4， ∴点A的坐标为（4，0）； （2）如图，直线AB即为所求作， （3）解：由题意得，OA＝4，OB＝3， ∴， ∵， ∴， ∵点P在x轴上，设P的坐标为（p，0）， ∴AP＝|p﹣4|， ∵， ∴|p﹣4|＝6， ∴p﹣4＝±6， ∴p＝﹣2或p＝10， ∴点P的坐标为（﹣2，0）或（10，0）． 3．【解答】解：（1）由条件可知点C（﹣1，0）， ∵一次函数y＝kx+1的图象经过点C（﹣1，0）， ∴﹣k+1＝0， 解得：k＝1， ∴y＝x+1； （2）把y＝4代入y＝x+1得x＝3， ∴点B1（3，4）， ∵B（﹣1，4）， ∴BB1＝4， ∵点B（﹣1，4），A（1，0）， 设AB的解析式为y＝mx+n（m≠0），则， 解得， ∴y＝﹣2x+2， ∴， 解得， ∴点， 过点E作EF⊥BB1，垂足为点F， ∴， ∴， ∴△BB1E的面积． 4．【解答】解：（1）列表， x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y＝﹣3x+3 … 9 6 3 0 ﹣3 … 描点，连线， 由图象可知，A（1，0），B（0，3）； （2）∵A（1，0），B（0，3）， ∴OA＝1，OB＝3， ∴△AOB的面积为． 5．【解答】解：（1）由条件可得A（﹣3，0）， ∴OA＝3， ∴OD＝OA＝3， ∴D（3，0）； 由条件可得E（﹣1，4）； 设直线CD的解析式为y＝kx+b（k≠0），则， ∴， ∴直线CD的解析式为y＝﹣x+3； （2）由（1）得OD＝OA＝3，E（﹣1，4）， ∴AD＝OD+OA＝6， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在y＝2x+6中，当时，，解得， 在y＝2x+6中，当时，，解得， ∴点F的坐标为或． 6．【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（1，4）分别代入y＝kx+b得， ∴ ∴这个一次函数解析式为y＝2x+2； （2）如图，设C（t，0）， ∵△ABC的面积为6， ∴，解得t＝2或t＝﹣4， ∴C点坐标为（2，0）或（﹣4，0）． 7．【解答】解：（1）将x＝﹣1，y＝3，以及x＝1，y＝﹣1代入y＝kx+b， 得：， 解得， ∴一次函数的表达式为y＝﹣2x+1， 将x＝0代入y＝﹣2x+1， 得：m＝1． （2）存在，点P的坐标为或． 已知点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（1，﹣1）， 如图，设函数图象与x轴交于点C， 令y＝﹣2x+1＝0，得， ∴它与x轴的交点坐标， 设P（p，0），则， ∴， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或． 8．【解答】解：（1）把x＝2代入y1＝2x﹣2得y＝2， ∴C（2，2）， 设y2＝kx+b（k≠0）， 把B（0，6），C（2，2）代入可得： ， 解得：， ∴y2＝﹣2x+6． （2）∵一次函数y1＝2x﹣2的图象与y轴交于点A， ∴A（0，﹣2）， ∴； （3）存在，理由如下： ∵S△ACP＝2S△ABC＝2×8＝16， ∴S△ACP＝16， 当P在y轴上时，，即， ∴|AP|＝16， ∵A（0，﹣2）， ∴点P的坐标为（0，14）或（0，﹣18）， 当P在x轴上时，设直线y1＝2x﹣2与x轴交于点D， ∴D（1，0）， ∴， ∴， ∴|PD|＝8， ∵D（1，0）， ∴点P的坐标为（﹣7，0）或（9，0）， 综上，在坐标轴上，存在一点P，使得S△ACP＝2S△ABC，点P的坐标为（0，14）或（0，﹣18）或（﹣7，0）或（9，0）． 9．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∵点A（﹣3，1），B（3，3）， ∴， 解得， 故一次函数的解析式为yx+2； （2）过点A作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D， ∵点A（﹣3，1），B（3，3）， ∴AC＝1，BD＝3，CD＝|﹣3﹣3|＝6， ∴S△AOB＝S梯形ACDB﹣S△AOC﹣S△BOD （AC+BD）•CD （1+3）×6 4×6 ＝12． 10．【解答】解：（1）设线段AO的解析式为y＝kx， ∵线段AO过点A（2，4）， ∴2k＝4， ∴k＝2， ∴线段AO的解析式为y＝2x，自变量x的取值范围是0≤x≤2； （2）∵点C的坐标是（﹣2，0）， ∴OC＝2， ∴4． 11．【解答】解：（1）由条件可知k＝2， 将A（0，﹣2）代入y＝2x+b得： b＝﹣2， 则y＝2x﹣2； （2）设直线l2的表达式y＝k′x+b′，则由题意可知，C（0，b′）（b′＞0）， 将B（2，m）代入y＝2x﹣2得： m＝2×2﹣2＝2， 即B（2，2）， S△ABC＝6， ∴， 解得b′＝4或b′＝﹣8（舍）， 则C（0，4）， 由条件可知： ， 解得， 则直线l2的表达式y＝﹣x+4． 12．【解答】解：（1）设直线l1的表达式为y＝kx+b，由条件可得： ， 解得， ∴直线l1的表达式为y＝﹣2x+5， 当x＝﹣1时，y＝﹣2×（﹣1）+5＝7， ∴点M（﹣1，7）在直线l1上； （2）①联立， 解得：， ∴点P的坐标为； 故答案为：； ②把x＝0代入y＝2x﹣1得：y＝﹣1， ∴点C的坐标为（0，﹣1）， ∴AC＝5﹣（﹣1）＝5+1＝6， ∴． 13．【解答】解：（1）由条件可知， 解得， 所以一次函数关系式为y＝2x+2； （2）如图所示， 当y＝0时，2x+2＝0，解得x＝﹣1； 当y＝4时，2 x+2＝4，解得x＝1， ∵一次函数y＝2x+2，其中2＞0， ∴一次函数值y随着x的增大而增大． 当﹣1≤x≤1时，0≤y≤4， 即当0≤y≤4时，﹣1≤x≤1； 故答案为：﹣1≤x≤1； （3）设点C（0，a），则BC＝2﹣a，且AO＝1， ∴， 解得a＝6或a＝﹣2， ∴点C（0，﹣2）或（0，6）． 14．【解答】解：（1）由题意得， 解得， ∴一次函数的表达式为y＝﹣2x+1， 将x＝0代入y＝﹣2x+1， 得m＝1； （2）函数图象如图所示， 令y＝﹣2x+1＝0，得， 所以它与x轴的交点坐标为； （3）由（2）中函数图象可知，y随x的增大而减小， ∵﹣2≤x≤4， ∴当x＝﹣2时，y取最大值，最大值为﹣2×（﹣2）+1＝5， 当x＝4时，y取最小值，最小值为﹣2×4+1＝﹣7， ∴当﹣2≤x≤4时，y的取值范围是﹣7≤y≤5， 故答案为：﹣7≤y≤5； （4）存在，点P的坐标为或． 如图，设函数图象与x轴交于点C， 由（2）得， 设P（p，0），则， ∴， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或． 15．【解答】解：（1）当x＝2时，y1＝2×2﹣2＝2， ∴C（2，2）， 设一次函数y2的解析式为y2＝kx+b，由条件可知： ， 解得：， ∴一次函数y2的解析式为y2＝﹣2x+6． （2）由条件可知A（0，﹣2）， ∵B（0，6）， ∴AB＝6﹣（﹣2）＝8， ∵点C横坐标为2，即△ABC中AB边上的高为2， ∴． 16．【解答】解：（1）由条件可知该一次函数图象一定经过第三、四象限， ∵该函数值y随自变量x的增大而减小， ∴该一次函数图象一定经过第二、四象限， 综上：该一次函数图象一定经过第二、三、四象限， 故答案为：二、三、四； （2）∵一次函数y＝（1﹣2m）x+m﹣3的值y随自变量x的增大而减小， ∴1﹣2m＜0，即， 当x＝0时，y＝m﹣3， ∴函数图象与y轴的交点为（0，m﹣3）， 由条件可知m﹣3＜0，即m＜3， 综上：； （3）当y＝0时，即：y＝（1﹣2m）x+m﹣3＝0， 则有：， ∴函数图象与x轴的交点为， ∴1﹣2m＜0，即， 当x＝0时，y＝m﹣3， ∵， ∴1﹣2m＜0，m﹣3＜0， ∴原点与点的距离为：，原点与点（0，m﹣3）的距离为：3﹣m， 由条件可知， 整理：m2﹣14m+13＝0， ∴（m﹣13）（m﹣1）＝0， ∴m＝1，m＝13， ∵， ∴m＝1，即y＝（1﹣2×1）x+1﹣3＝﹣x﹣2， ∴一次函数的表达式为：y＝﹣x﹣2． 17．【解答】解：（1）由条件可得4＝2m， 解得m＝2， ∴P（2，4）， 由条件可得， 解得， 所以一次函数解析式为y＝x+2； （2）把y＝0代入y＝x+2得x＝﹣2， ∴A点坐标为（﹣2，0）， ∴△AOP的面积． 18．【解答】解：（1）∵y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B， 当x＝0时，y＝2×0+4＝4，则B（0，4）， 当y＝0时，0＝2x+4，x＝﹣2，则A（﹣2，0）； （2）存在． 由（1）知，OA＝2，OB＝4， ∵点C是OB的中点， ∴C（0，2）， ∴OC＝2， ∴BC＝2， ∴S△ABCCB×AO＝2， 设D（m，0）， 则AD＝|m+2|， ∴S△ACDAD•OC|m+2|×2＝|m+2|， 当S△ACD＝S△ABC时，2＝， 解得：m＝﹣4或m＝0， ∴D（﹣4，0）或（0，0）； 19．【解答】解：（1）由条件可得： ， 解得， ∴直线AB的解析式为； （2）①由条件可知，， ∴， ∵MN≤3， ∴， 解得﹣2≤m≤10； ②当m＝﹣1时，， ∴， ∴， ∴， 当时，即， 解得或（舍去）， ∴点P的坐标为； 当时，即， 解得或（舍去）， ∴点P的坐标为； ∴点P的坐标为或． 20．【解答】解：（1）由条件可得6＝m， ∴直线l1的表达式为：； ∵直线l2：y＝kx+b经过点B（﹣2，0）和点C（0，1）， ∴， ∴， ∴直线l2的表达式为：； （2）联立， 解得， ∴点D（4，3）， 结合图象可知x＜4时，y1＞y2； （3）由条件可得到，解得x＝8， ∵直线l1与x轴交于点E； ∴点E（8，0）， ∵B（﹣2，0）， ∴BE＝10， ∴△ABD的面积． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/7/12 22:08:08；用户：贾老师；邮箱：18700475953；学号：68421402 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $