3.1.2 椭圆的简单几何性质 同步讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

 3.1.2　椭圆的简单几何性质

 选择性必修第一册　第三章　圆锥曲线的方程

[学习目标]

1．掌握椭圆的范围、对称性、顶点、长轴与短轴，理解 、、 的几何意义及 的关系，能由标准方程读出这些量并画出草图。

2．理解椭圆离心率的定义与几何意义，会由焦点三角形等几何条件求离心率，会由几何性质求椭圆的标准方程。

3．会求椭圆上的点到焦点的距离、距离之积与距离之和的最值，掌握把几何条件化为 、、 齐次关系的通法。

[链接教材 · 夯基固本] 落实主干 · 激活技能

 1．椭圆的位置范围

上一讲由椭圆的定义推出标准方程 （）。现在反过来由方程看图形：方程左边是两个非负项的和，且和为 1，所以每一项都不超过 1，即 与 。

(1) 范围：椭圆上任意一点的横坐标 满足，纵坐标 满足。

这就是说，整个椭圆落在由直线 与 围成的矩形内部，四条边与椭圆各有一个公共点。 与 一旦确定，图形的横向跨度就是 ，纵向跨度就是 。

图 1: 长半轴为 3、短半轴为 2 的椭圆与它的外接矩形

判断（先在括号内打“√”或“×”，再说清理由）

(1) 椭圆 上的点的横坐标 满足 。（　　）

(2) 椭圆 上的点到 轴的最大距离是 2。（　　）

 2．椭圆的对称性

在方程 中，点 在椭圆上是指它满足这个方程。把 换成 、把 换成 ，因为只出现平方项，方程仍然成立，所以与 对应的三个点也都在椭圆上。

(1) 对称性：把 换成 、把 换成 、把 与 同时换成 与 ，方程都不改变，所以椭圆有三处对称关系：关于 轴对称、关于 轴对称、关于。坐标轴是椭圆的，两条对称轴的交点叫做椭圆的。

通常把对称中心取为坐标原点、对称轴取为坐标轴来建立方程，这正是上一讲“建系”时作的选择：这样得到的方程最简洁。

图 2: 椭圆上的点 与它关于两坐标轴、关于原点的三个对称点

判断

(1) 若点 在椭圆上，则点 也在椭圆上。（　　）

(2) 椭圆 关于直线 对称。（　　）

 3．顶点、长轴与短轴

由范围可知 与 是四条边界直线，而椭圆与坐标轴恰好各有两个公共点：令 得 ，令 得 。这四个点就是前面判断中反复出现的“端点”。

(1) 顶点：椭圆的对称轴与椭圆相交，交点共有，这些交点叫做椭圆的顶点。椭圆 （）的四个顶点坐标是。

(2) 长轴与短轴：线段 叫做椭圆的，它的长等于；线段 叫做椭圆的，它的长等于。其中 叫做， 叫做。

(3) 、、 的关系：在 中，，，，所以。

图 3: 椭圆的四个顶点、两个焦点与直角三角形

焦点在 轴上时， 是 下面的分母，长轴在 轴上，四个顶点为 、。

判断

(1) 椭圆 的长轴长是 2。（　　）

(2) 椭圆 的短轴长是 8。（　　）

 提醒： 长轴长、短轴长、焦距指的是 、、，都是线段的长；、、 只分别是它们的一半，答题时别把两者写混。

 4．椭圆的离心率

取两组 相同而 不同的椭圆比较：当 ， 时 ，图象接近圆；当 ， 时 ，图象明显变扁。两组的 相同，差别全在 与 的比值上。

(1) 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，通常用 表示，即 。

(2) 取值范围：因为 ，所以 1。

(3) 几何意义： 越接近 1，椭圆越； 越接近 0，椭圆越接近。

图 4: 长半轴都是 3，短半轴依次变短时椭圆的形状（离心率依次增大）

由 可得 ：离心率只由 与 的比值决定，与椭圆整体放大缩小无关。

判断

(1) 椭圆的离心率可以等于 1。（　　）