3.1 椭圆 3.1.2 椭圆的简单几何性质 第2课时 直线与椭圆的位置关系 (Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“直线与椭圆的位置关系”核心知识点，系统梳理通过联立方程、判别式判断相交相切相离的代数方法，衔接中点弦问题的根与系数关系法及点差法，构建从基础判断到实际应用的递进学习支架。 资料设计亮点突出，以诊断分析题夯实基础认知，探究点结合例题与变式分层教学，生活案例（油罐车截面、桥塔椭圆）引导用数学眼光观察现实世界。中点弦解法培养数学思维，规范解答提升数学语言表达，课中辅助教师授课，课后助力学生查漏补缺。

第2课时　直线与椭圆的位置关系 【课前预习】 知识点一 2　Δ>0　1　Δ=0　0　Δ<0 诊断分析 (1)×　(2)√　[解析] (1)易知点P(b,0)在椭圆+=1(a>b>0)的内部,因此过点P作不出椭圆的切线. (2)易知直线y=k(x-a)恒过点(a,0),此点为椭圆的右顶点,且直线斜率存在,故直线与椭圆相交. 【课中探究】 探究点一 例1　解:由得9x2+8mx+2m2-4=0, Δ=64m2-36(2m2-4)=144-8m2. (1)当直线与椭圆相交时,Δ>0,则144-8m2>0,解得-3<m<3. (2)当直线与椭圆相切时,Δ=0,则144-8m2=0,解得m=±3. (3)当直线与椭圆相离时,Δ<0,则144-8m2<0,解得m>3或m<-3. 变式　B　[解析] 因为椭圆的长轴长为2a=4,所以a=2,又c=1,所以b2=a2-c2=3.因为椭圆的焦点在x轴上,所以椭圆的方程为+=1.由消去y得x2-2x+1=(x-1)2=0,解得x=1,所以直线x+2y-4=0与椭圆有1个交点.故选B. 探究点二 例2　解:方法一:由题意可知直线l的斜率存在, 设直线l的方程为y-2=k(x-4),直线l与椭圆的两交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),椭圆的方程可化为x2+4y2-36=0. 将直线方程与椭圆方程联立,消去y化简得(4k2+1)x2-8k(4k-2)x+4(4k-2)2-36=0, 所以x1+x2==8,解得k=-,所以直线l的方程为y-2=-(x-4),即x+2y-8=0. 方法二:设直线l与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2), 则+4-36=0,+4-36=0,两式相减,得(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0. 因为x1+x2=8,y1+y2=4, 所以=-,即直线l的斜率k=-,所以直线l的方程为y-2=-(x-4),即x+2y-8=0. 变式　　[解析] 由消去y可得14x2+36x-9=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,故线段AB的中点的横坐标是=-,又中点在直线l:y=x+2上,所以中点的纵坐标为-+2=,故AB的中点坐标是. 探究点三 例3　　[解析] 依题意画出油罐的截面图,建立如图所示的平面直角坐标系,则a=1.2,b=0.8,所以椭圆的方程为+=1,下顶点A(0,-0.8).设油面与第一象限交于B(xB,yB),则yB=0.4,所以+=1,可得xB=,所以油面的面积为2××9=(平方米). 变式　D　[解析] 建立平面直角坐标系,如图所示.设椭圆方程为+=1(a>b>0),令y=-c,得+=1,解得x=±,依题意可得所以所以=,即1-=,所以离心率e==.故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　直线与椭圆的位置关系 【学习目标】 　　1.由直线与椭圆的方程,利用代数方法解决直线与椭圆位置关系的相关问题. 　　2.能灵活运用椭圆的相关知识解决一些生活中的问题. ◆ 知识点一　直线与椭圆的位置关系 直线y=kx+m与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系的判断方法: 由消去y,得到一个关于x的一元二次方程. 直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数与Δ的取值的关系如下表所示: 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 　　　  　　　  相切 　　　  　　　  相离 　　　  　　　  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)已知椭圆+=1(a>b>0)与点P(b,0),则过点P可作出该椭圆的一条切线. (　 ) (2)直线y=k(x-a)与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系是相交. (　 ) ◆ 知识点二　中点弦 解决椭圆中点弦问题的方法: (1)根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. (2)点差法:利用弦的端点在椭圆上,坐标满足方程,将端点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系. 已知椭圆+=1(a>b>0)上两点A(x1,y1),B(x2,y2)(y1+y2≠0),AB的中点为M(x0,y0),则有两式相减得+=0,整理得=-·=-·,即直线AB的斜率k=-. ◆ 探究点一　直线与椭圆的位置关系 例1 已知直线l:y=2x+m,椭圆C:+=1.试问当m取何值时,直线l与椭圆C: (1)相交; (2)相切; (3)相离. 　　　　　 　　　　　 　　　　　 变式 已知椭圆的左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),长轴长为4,则直线x+2y-4=0与椭圆的交点个数为 (　 ) A.0 B.1 C.2 D.无法确定 [素养小结] 1.判断直线与椭圆的位置关系时,由直线方程与椭圆方程构成方程组,消去方程组中的一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则 Δ>0⇔直线与椭圆相交; Δ=0⇔直线与椭圆相切; Δ<0⇔直线与椭圆相离. 2.除联立椭圆方程与直线方程由判别式符号判断它们的交点个数外,还可利用直线的某些特征,如过定点等,把“直线与椭圆的位置关系”转化为“点与椭圆的位置关系”判断. ◆ 探究点二　中点弦问题 例2 已知点P(4,2)是直线l被椭圆+=1所截得的弦的中点,求直线l的方程. 变式 已知椭圆C:+=1,直线l:y=x+2交椭圆C于A,B两点,则线段AB的中点坐标是　　　　.  [素养小结] (1)涉及弦的中点,可以使用点差法:设出弦的两端点坐标,代入椭圆方程,两式相减即得弦的中点坐标与斜率的关系式. (2)与弦中点有关的问题有平行弦的中点轨迹、过定点且被定点平分的弦所在的直线方程等. ◆ 探究点三　生活中的椭圆问题 例3 油液在运输过程中不仅会对底部产生压力,同时会对侧壁产生压力,因为弧形所能承受的压力会比其他形状的压力大,所以油罐车的油罐截面是椭圆.已知某油罐车罐体长9米,截面椭圆的长轴长为2.4米,短轴长为1.6米,当静止状态下所装汽油的高(到油罐最底部的垂直距离)为1.2米时,此时的油面面积为　　　　平方米.(保留根式)  变式 如图①,广东韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥,桥塔外形近似为椭圆,示意图如图②所示,若桥塔所在平面截桥面为线段AB,且AB过椭圆的下焦点,AB=44米,桥塔最高点P距桥面110米,则此椭圆的离心率为 (　 ) ① ② A. B. C. D. [素养小结] 解决生活中的椭圆问题,先要从题目中找到椭圆中涉及的基本量,再结合椭圆定义及其简单几何性质求解. 学科网（北京）股份有限公司 $