3.3.1 抛物线及其标准方程 同步讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

 3.3.1　抛物线及其标准方程

 选择性必修第一册　第三章　圆锥曲线的方程

[学习目标]

1．通过描点与实例，理解抛物线的定义，能指出抛物线的焦点与准线，并理解定义中“定点不在定直线上”这一条件的作用。

2．经历用坐标法推导抛物线标准方程的过程，掌握四种标准方程的形式、焦点坐标与准线方程，理解 的几何意义。

3．能根据焦点位置或已知点的坐标求抛物线的标准方程，会用定义把抛物线上一点到焦点的距离转化为到准线的距离，并解决简单的距离问题与实际问题。

[链接教材 · 夯基固本] 落实主干 · 激活技能

 1．抛物线的定义

初中已经知道，二次函数 的图象是一条抛物线。反过来，一条抛物线能否由“点到点、点到直线”的距离关系确定？在直角坐标系中取定点 与定直线 ，算出下表中的五个点，它们到 的距离与到 的距离都相等。把这五个点描出并用平滑曲线连接，就得到一条顶点在原点、开口向右的抛物线，它的方程是 （图 1）。

(1) 定义：平面内，动点 到定点 的距离与到定直线 的距离，那么点 的轨迹叫做，其中定点 叫做抛物线的，定直线 叫做抛物线的，这里要求 不在 上。

图 1: 到定点 与到定直线 距离相等的点的轨迹

图 1 中 ，其中 垂直于 ，垂足为 。抛物线的顶点是它与对称轴的交点，图 1 中顶点就是原点。

判断（先在括号内打“√”或“×”，再说清理由）

(1) 平面内到定点 与到定直线 的距离相等的点的轨迹是抛物线。（　　）

(2) 抛物线的焦点在抛物线上。（　　）

 2．抛物线标准方程的推导

上一节用坐标法求双曲线的方程，这里沿用同样的三步：建系、设点、列式。过焦点 作准线 的垂线，垂足记为 ，线段 的长度记作 ，即 ，其中 。以直线 为 轴、以线段 的中点为原点建立直角坐标系（图 2），则焦点为 ，准线为 。

设 是抛物线上任意一点，由定义得 ，两边平方并整理，得（）。这就是抛物线的标准方程，它的顶点在原点、开口向右。

图 2: 以线段 的中点为原点建立坐标系

在标准方程 （）中， 的几何意义是焦点到准线的距离，它决定抛物线的开口大小；焦点到顶点的距离是 。

判断

(1) 抛物线 （）的顶点到焦点的距离是 。（　　）

(2) 若改以焦点 为原点、直线 为 轴建立坐标系，所得方程仍然是 。（　　）

 3．抛物线的四种标准方程

把图 2 中的抛物线绕原点旋转，或关于坐标轴作对称变换，焦点仍落在坐标轴上、顶点仍是原点，但开口方向依次变为向左、向上、向下，于是得到四种标准方程（图 3、表 1）。四种方程里都不出现一次项与常数项，只由平方项与一次项构成。

表 1　抛物线的四种标准方程

图 3: 四种标准方程对应的开口方向

识别方程抓住两点：焦点在哪条坐标轴上，看（平方项是 时焦点在 轴上，平方项是 时焦点在 轴上）；开口朝向该轴的正方向还是负方向，看（系数为正时开口对着正方向，系数为负时开口对着负方向）。焦点坐标的绝对值等于一次项系数绝对值的，准线方程与焦点坐标只相差一个符号。

 提醒： 形如 、 的式子不是标准方程，一次项系数不能直接当作 用，必须先变形为“平方项 = 一次项”的形式，再读取焦点与准线。

判断

(1) 抛物线 （）的焦点坐标是 ，准线方程是 。（　　）

(2) 抛物线 的焦点坐标是 。（　　）

 4．求抛物线的标准方程

求标准方程与求椭圆、双曲线方程一样用待定系数法，但必须先确定方程的形式。例如已知抛物线经过点 (−4,2)，只说“顶点在原点、焦点在坐标轴上”，那么焦点可能在 轴上，也可能在 轴上：