3.3.2 抛物线的简单几何性质 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 3.3.2抛物线的简单几何性质知识归纳与题型总结 思 图 抛物线的几何性质 标准方程、图形 顶点。轴、焦点。准线、离心率、开口。焦半径.范围 都是轴对称图形 抛物线的简单几何性质 项点个数不同 焦点个数不同 抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异 离心率取值范围不同 准线不同 是否是封闭式曲线 培 优 考点01抛物线的简单几何性质 考点梳理 1.抛物线的几何性质 抛物线的简单几何性质： 标准方程 y2=2pxp>0) y2=-2p.x0p>0) x2=2v0p>0) x2=-2pyp>0) y 图形 顶点 (0,0) (0,0) 轴 对称轴y=0 对称轴x=0 1/9 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 焦点 F侵 ( 0 0,引 准线 =-号 x=号 y=-号 y=号 离心率 e=1 e=1 开口 开口向右 开口向左 开口向上 开口向下 焦半径 MPI=+号 MF=-+号 Mr=%+号 IMF=-h+ 2 范围 x20 x≤0 20 0 2.抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异 抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异有以下几个方面： ①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形： ②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点： ③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点： ④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<<1，双曲线的离心率范围是e>1,抛物线 的离心率是e=1: ⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线： ⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线。 典例引领 考向01 判断抛物线的开口方向 2=8y 【例1】（多选）对于抛物线 ,下列说法正确的是()· A开口向上，焦点为02) 8.开口向上，焦点为(0,4) C.焦点到准线的距离为4 D.准线方程是y=-4 考向02比较抛物线的开口大小 【例2】在同一坐标系下，下面4条抛物线中开口最大的为() 2/9 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 A x2=y x2=2y B c.r=3 D.=4y 考向03抛物线的范围 【例3】已知抛物线C:广=4r,点(a,0)(a>0,点P在c上.PO的最小值是a,则a 的取值范围是() A.0<a≤2 B.0<a<2 c.0<a≤1 D.0<a<1 考向04求抛物线的对称轴 【例4)已知抛物线的焦点坐标为(2，)，准线方程为2x+y=0,则其顶点坐标为 考向05抛物线的对称性的应用 【别51已知抛物线C:广=2x与题0，+少=RR>0)交T4,B两点，且 AB=4 则R= 考向06根据抛物线的对称性求相关的参数 【例61设圆0，+y=4,(P>0)与面线广=2p交于A,B,C,D四点，若 四边形ABCD为正方形， BD叭2() 8 A B.4 C.4 D.2V5 对点提升 y2,x2 【对点】在同一坐标系中，方程口+存 与c+b=0(a>b>0)的曲线大致是() 3/9 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 【对点2】在同一坐标系中画出下列抛物线： 1)y2=x 4 2)y=x (3)y-2x 再比较这些图形，说明抛物线开口的大小与方程中x的系数之间的关系， 【对点3】已知点P是抛物线C:=4y上一动点，过点P作圆+0-4=4的切线，切 点分别为M,N,则os∠MPN的最小值为() 2 A..3 1 c.3 D.3 【对点】（多选）已知点F,0),直线：x=山，动点P(点P的横坐标不小于-1)到点 F的距离比到直线1的距离大2，点P的轨迹为C,则() A.点，4)在C上 B.C关于x轴对称 A(-1,0 C.过 作C的两条弦AM,N,若4M·AN=0 则直线MN过定点 D.若点B在C上，点G在圆x-4+少=1上，则B 的最小值为26 EG 4/9 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 【对点5】已知曲 C:4x-yy=0.E(-1,0)E(1,0 ,点 ,第一象限内的点P及第三象限 内的点e都在C上，且直线S与直线25关于》轴对称，若P=5,则=() A.4 B.4 C.2 D.2 【对点6】已知抛物线C关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点 M(2,-22) (1)求C的标准方程. (2)设正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在C上，求这个正三角形的边长 能力提升 一、单选题 1.过原点的一条直线与圆C:c+2+广= 相切，交曲线》=2pr(p>0 于点M,若M 的横坐标为4，则p的值为() A.4 B.6 C.8 D.12 y2=2px(p>0 2.过抛物线 的焦点F作直线1，直线1交该抛物线于A,B两点(B在第一 象限)，且BF=V2A ,若直线l的倾斜角为a,则cos0=（) A3-22 8.4-v5 c.2-1 0.2-v5 3.p> ,抛物线9：Y=Cy2=2pm 的焦点分别 为F,坐标原点0.过的直 AB= 线交G于有6B,过5的直线交C于点CD,且FAF网-rC50-2,则 () 5/9 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 A.2 B.4 C.2 D.4 4.已知抛物线广=2x,过点，2)作直线，使'与抛物线有且只有一个公共点，则满足 上述条件的直线共有() A.O条 B.1条 C.2条 D.3条 5.直线y=x+1 截抛物线 y2=2px(p≠0) 所得弦长为26，此抛物线方程为《) A.y=-2x 8.y=6x C.y--2x6x 或 D.以上都 不对 6.已知抛物 C:y2=4x0 为坐标原点，过焦点F的直线交抛物线于A,B两点，M 为线段AB的中点，则直线OM的斜率的最大值为() 2 A.2 B.2 C.1 D.2 1 直角坐标系中，P是直线，2上一动点，启右) 点O为PF的 中点，动点M满足M01PF,M=OF(eR),过点M作圆Cx-3+y=2 切线， 切点分别为S,T,则S网 的最小值为() 2V30 V30 > 5 A.5 B.5 c.2 D. 8.平面上，若曲线「满足：对于任意不在「上的点，都存在「上两个不同的点，使得这三 点中的其中一点恰为另外两个点连线段的中点，则称曲线「具有性质P.给出下面两个命 题：①所有椭圆都具有性质P;②所有抛物线都具有性质P:则()· A.①成立；②成立 B.①成立；②不成立 C.①不成立；②成立 D.①不成立：②不成立 二、多选题 6/9 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 9.(多选)已知抛物 C:y=2pxD>0)与圆0 0:x2+y2=20 20交T4,8两点，且 AB= 8.过焦点F的直线'与抛物线C交于M,N两点，点P是抛物线C上异于顶点的 任意一点，点Q是抛物线C的准线与坐标轴的交点，则() A.点F的坐标为 F(2,0) ￥3 B.若MF=3FN,则直线I的斜率为3 C.M+4F的最小值为18 PF D.点p与点F的横坐标相同时，PO最小 C:y2=4x 10.(多选)已知抛物线 的焦点为F,过F的直线I与C交于A,B两点，点P 在C的准线上，则() A 4B 的最小值为4 B.存在点p,使得∠APB= 3 C.若PA⊥PB,则直线PA与C有两个交点 D.若点P在x轴上，则∠APF=∠BPF 1。《多选)已知0为坐标原点，抛物线P.广=4的焦点为F,过转上一点 M(m,0)(m>0) 的直线交E于A,B两点，且OAOB=4,则() A.m=1 B丽丽的聚货利为子 C.抛物线E上总存在一点K,使得∠AKB=90° 7/9 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲 c D.以4，B为切点，分别作E的切线交于点P,则△MBP P 2 的面积的最小值为 三、填空题 12.己知点F为抛物线 2=4x 的焦点，直线 与该抛物线交于A,B 两点， 为坐标原点 且OA1OB FA+FB 则 的最小值为 13.已知抛物线广=2 ,若A 两点在抛物线上，焦点为F,M=2,BF=4A0=3 则直线AB的斜率为 14,已知抛物线C:y=2x(p>0 的焦点为F,点M在抛物线上，过点M作C的准线 的垂线，垂足为W,若直线T的方程为'=2x-4.则M 15.如图，抛物线 E:y2=4x 的焦点为F,过点M20)的 线，与E分别相交于A, 的直线， B和C,D,直线4D过点F,设直线MD,BC aB,tan(a-β) 的倾斜角分别为，，则 的 最大值为 B 四、解答题 4W3 16.已知边长为 0 的等边三角形的一个顶点与坐标原点重合，另外两个顶点在抛物线 C:y=2pp>0上. (1)求C的方程： 8/9 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 (2)过点 P(2,0) 的直线与C交于M,N两点，求证：OM1ON C:y2=4x 且与抛物线C交于4B限 (3,) 17.已知抛物线 的焦点为F,直线过点 两点. (1)若点P为线段AB的中点，求直线AB的方程： 2求aF1B 的最小值. 1 18.己知抛物线C:y=16的焦点为F (1)求点F的坐标及C的准线方程： @倒若点B在C的准线上，线段BF与C交于点4，且B=74,求直线BF的斜率及 点B的坐标. 19.己知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，且经过点 P(1,2) (1)求抛物线C的方程： (2)过点 (3,2) 作直线！交抛物线于A,B两点，若恰为弦AB的中点，求直 线1的方程. M(-3m,0) 20.给定正实数l和定点 ,已知P,N两点分别在x轴和y轴上运动，且满足 M.M=M=P心O为坐标原点 (1)求动点的轨迹方程（用m表示）： (2)过点 E(m0)作直线与点Q的轨迹交于A,B两点 (i)求cos∠AOB的最小值； (过点B作的垂线与点Q的轨迹交于C,D两点，求4C,BD 的取值范围（用m表 示. 9/9高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 3.3.2 抛物线的简单几何性质 知识归纳与题型总结 考点01 抛物线的简单几何性质 1．抛物线的几何性质 抛物线的简单几何性质： 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形 顶点 (0,0) (0,0) 轴 对称轴y=0 对称轴x=0 焦点 准线 离心率 e =1 e=1 开口 开口向右 开口向左 开口向上 开口向下 焦半径 范围 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0 2．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异 抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异有以下几个方面： ①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形； ②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点； ③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点； ④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<e<1，双曲线的离心率范围是e>1，抛物线的离心率是e=1； ⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线； ⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线. 考向01 判断抛物线的开口方向 【例1】（多选）对于抛物线，下列说法正确的是（    ）. A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程是 【答案】AC 【分析】根据抛物线的方程，求出的值，得出开口方向，即可得出答案. 【详解】A、B，由已知得，，且抛物线开口向上，所以焦点坐标为，故A正确、B错误； C，根据抛物线的定义可知，焦点到准线的距离为，故C正确； D，根据抛物线的方程可知，准线方程为，故D错误. 故选：AC. 考向02 比较抛物线的开口大小 【例2】在同一坐标系下，下面4条抛物线中开口最大的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由抛物线的性质，得抛物线中，越大，抛物线开口越大， 所以抛物线中，开口最大的为. 考向03 抛物线的范围 【例3】已知抛物线，点，点P在C上，的最小值是，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出，利用，可得，由此可求解范围． 【详解】设点的坐标为， 因为的最小值是，所以， 所以，整理得，， 因为，所以， 所以，又， 所以． 考向04 求抛物线的对称轴 【例4】已知抛物线的焦点坐标为，准线方程为，则其顶点坐标为_______． 【答案】 【分析】由垂直关系求得抛物线对称轴所在直线方程，再求得对称轴与准线的交点，进而可求解. 【详解】准线的斜率为， 因此过焦点且垂直于准线的对称轴斜率为​， 可得方程是，整理得， 联立，解得，即垂足为， 顶点即为焦点和垂足的中点， 由中点坐标公式得： ，​， 因此顶点坐标为. 考向05 抛物线的对称性的应用 【例5】已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则_______. 【答案】 【分析】利用抛物线与圆的对称性，得出即可求解. 【详解】设，（）， 由，得，所以. 因为在圆上，所以，得， 考向06 根据抛物线的对称性求相关的参数 【例6】设圆：，（）与曲线交于，，，四点，若四边形为正方形，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆与曲线的对称性，及四个交点的坐标特征求出的值，进而根据为圆的直径即可求解． 【详解】由圆：，与曲线都关于轴，轴对称，且它们的交点为，，，， 又四边形为正方形，则不妨设，，，，其中， 所以，解得， 又为圆的直径，所以．    【对点1】在同一坐标系中，方程与的曲线大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，判断椭圆焦点在轴上，将化成标准方程，即可判断焦点位置和开口方向，得出结论. 【详解】由，方程表示焦点在轴上的椭圆， 得，因，故该方程表示焦点在轴上开口向左的抛物线. 故选：D. 【对点2】在同一坐标系中画出下列抛物线： （1）             （2）；             （3）． 再比较这些图形，说明抛物线开口的大小与方程中x的系数之间的关系． 【答案】 如图所示，在同一坐标系下画出抛物线，和图象， 由图象可得，当方程中的系数越大，抛物线的开口就越大. 【分析】在同一坐标系下画出抛物线，和图象，结合图象，即可求解. 【详解】略. 【对点3】已知点P是抛物线上一动点，过点P作圆的切线，切点分别为M，N，则的最小值为（    ） A．. B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆的方程求出圆心的坐标和半径，由切线性质可得，由此可得，，设，根据两点距离公式结合二次函数性质求的最小值，由此可得结论． 【详解】圆的圆心的坐标为，半径为， 因为，为圆的切线，切点分别为， 所以，，，， 所以， 所以，， 设，则， 当时，，此时最大， 又，函数在上单调递增， 所以当时，即时，最大， 此时最大，最小， 则． 【对点4】（多选）已知点，直线，动点P（点P的横坐标不小于）到点F的距离比到直线l的距离大2，点P的轨迹为C，则（    ） A．点在C上 B．C关于x轴对称 C．过作C的两条弦AM，AN，若，则直线MN过定点 D．若点E在C上，点G在圆上，则的最小值为 【答案】ABC 【分析】根据给定条件求出轨迹的方程，验证判断A；利用轴对称的特征判断B；求出点的坐标，进而求出直线的方程判断C；求出点到圆心距离判断D. 【详解】设点，由点P到点F的距离比到直线l的距离大2， 则得，整理得轨迹的方程为， 对于A，当时，，因此点在C上，A正确； 对于B，显然点满足方程，而点与关于轴对称， 因此轨迹C关于x轴对称，B正确； 对于C，设直线方程为，由，得, 则直线的方程为， 由，得或，则得点， 同理可得点， 当直线不垂直于轴时，直线的方程为，整理得， 当直线时，由，解得,则直线，故直线恒过定点，C正确； 对于D，圆的圆心，半径，设，则， 于是，当且仅当时取等号， 因此的最小值为，D错误.    【对点5】已知曲线，点，，第一象限内的点及第三象限内的点都在上，且直线与直线关于轴对称，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，当时，曲线，即， 其焦点为； 当时，曲线，即， 其焦点为. 易知点关于轴的对称点在抛物线位于第四象限的部分，且在直线上， 所以. 设， 由抛物线的定义知，，所以，，所以， 所以直线的斜率为， 直线的方程为， 由，得， 所以，所以， 所以.    【对点6】已知抛物线C关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点， (1)求C的标准方程. (2)设正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在C上，求这个正三角形的边长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意利用待定系数法求解； （2）设，，结合可得线段关于x轴对称，得，求得，得解. 【详解】（1）因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点， 所以可设它的标准方程为 因为点M在抛物线上，所以，解得 因此，所求抛物线的标准方程是 （2）设正三角形的顶点A、B在抛物线上，且设点，， 则，，又， ，即， ，又，，， 由此可得，即线段关于x轴对称， 轴垂直于，且，， ，， 一、单选题 1．过原点的一条直线与圆：相切，交曲线于点M，若M的横坐标为4，则p的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】求出直线方程，从而得到的坐标，代入中，求出答案 【详解】过原点的一条直线与圆相切，显然直线斜率存在，设直线方程为， 由得，所以直线方程为， 因为的横坐标为，所以纵坐标为，将的坐标代入中， 可得，所以. 2．过抛物线的焦点F作直线l，直线l交该抛物线于A，B两点（B在第一象限），且，若直线l的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】抛物线的焦点为准线方程为， 过点分别作准线的垂线，垂足为， 由抛物线定义：抛物线上任一点到焦点距离等于到准线距离， ， 设直线的倾斜角为， ，， ，， ，， 由题意得，，代入得：， ，两边约去：， ，，， ， 故. 3．，抛物线的焦点分别为，坐标原点．过的直线交于点，过的直线交于点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出两条抛物线的焦点，设过焦点的直线方程并联立抛物线方程，结合韦达定理和向量点积条件得到直线参数关系，再计算两个三角形的面积比即可， 【详解】的焦点，的焦点， 设过的直线为，联立得， 设，由韦达定理得，， 由题知，即，得， ， ，代入得， 设过的直线为，联立得， 设，由韦达定理得， ， 同理，即，得， ， ，代入得， 故. 4．已知抛物线，过点作直线，使与抛物线有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线共有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】D 【分析】根据抛物线的性质，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可. 【详解】当直线不存在斜率时，直线的方程为， 当时，，该方程无实根，此时直线与抛物线无交点； 当直线存在斜率时，设直线的方程为， 与抛物线方程联立，得， 当时，， 此时直线与抛物线 有且只有一个交点，符合题意； 当时，要想直线与抛物线有且只有一个公共点， 只需， 方程的判别式， 所以方程有两个不相等的实数根， 显然不是方程的实根， 所以满足条件的直线共有3条. 5．直线截抛物线所得弦长为，此抛物线方程为（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】联立直线与抛物线方程消去得到关于的二次方程，由判别式大于零确定的范围，再利用韦达定理和弦长公式建立关于的方程求解即可． 【详解】由得：． ，所以或， 因为． ． 解得或， ∴抛物线方程为或． 6．已知抛物线，为坐标原点，过焦点的直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则直线的斜率的最大值为（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】联立直线与抛物线方程得到弦中点坐标，进而表示出直线的斜率，结合不等式性质求解最大值. 【详解】∵ 抛物线，，∴ 焦点的坐标为. 分两种情况讨论： ① 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入抛物线方程得， 故，，中点，此时直线的斜率为. ② 当直线的斜率存在时，设直线的方程为（）， 联立，消去整理得. 设，，由韦达定理得， ∴ . ∵ 为线段的中点， ∴ 的横坐标，纵坐标. ∴ 直线的斜率. 要求的最大值，不妨设（时斜率为负，显然小于正数），则. 由基本不等式得，当且仅当即时等号成立， ∴ . 综上，直线的斜率的最大值为. 7．在平面直角坐标系中，点是直线：上一动点，定点，点为的中点，动点满足，，过点作圆的切线，切点分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题设先求得动点的轨迹方程为，再利用等面积法表示出，进而求解即可. 【详解】设，由，得，即， 而，点为的中点，则， 所以， 又因为，所以，即， 则动点的轨迹方程为， 由圆，圆心为，半径为， 则， 当且仅当时等号成立， 因为，且四边形的面积为， 则， 即的最小值为. 8．平面上，若曲线满足：对于任意不在上的点，都存在上两个不同的点，使得这三点中的其中一点恰为另外两个点连线段的中点，则称曲线具有性质．给出下面两个命题：①所有椭圆都具有性质；②所有抛物线都具有性质；则（     ）． A．①成立；②成立 B．①成立；②不成立 C．①不成立；②成立 D．①不成立；②不成立 【答案】C 【分析】椭圆不成立：椭圆范围有限，取离它足够远的点，无法在椭圆上找到两点满足“其中一点是另两点中点”的关系.抛物线成立：抛物线无限延伸，无论所取点在抛物线内还是外，都能在抛物线上找到两点，使其中一点为另一点与该点的中点. 【详解】①所有椭圆都具有性质：不成立； 椭圆是有界图形，取离椭圆足够远的外部点，若 是椭圆上两点的中点，则不可能离椭圆太远； 若椭圆上一点是的中点，则线段， 由于都在有界椭圆上，也只能在有界范围内，因此取足够远的点时，找不到满足条件的所以椭圆不一定具有性质； ②所有抛物线都具有性质：成立； 用抛物线标准方程 证明如下，设不在抛物线上的点，则 ， 1. 当在抛物线内部（）时： 设为弦的中点，设，代入抛物线方程并利用中点公式消元， 可得关于 的一元二次方程： 其判别式 ，故存在两个不同实根，即存在满足条件的； 2. 当在抛物线外部（）时： 设为线段的中点（即在抛物线上），由中点公式得坐标为 ， 代入抛物线方程消去可得关于的二次方程： 其判别式 ，存在实根，且（否则与不在抛物线上矛盾），故不重合； 推广：其他开口方向及位置的抛物线，均可由标准抛物线 通过平移、旋转、对称变换得到， 而这些变换均保持“中点”关系不变. 二、多选题 9．（多选）已知抛物线与圆交于，两点，且．过焦点的直线与抛物线交于，两点，点是抛物线上异于顶点的任意一点，点是抛物线的准线与坐标轴的交点，则（    ） A．点的坐标为 B．若，则直线的斜率为 C．的最小值为 D．点与点的横坐标相同时，最小 【答案】ACD 【分析】首先根据抛物线与圆的对称性及弦长求出交点坐标，代入抛物线方程，确定抛物线方程，再根据抛物线的性质逐个分析选项即可. 【详解】 对于A，抛物线与圆均关于轴对称，故垂直轴，第一象限交点纵坐标为，代入圆方程得横坐标为，即， 代入抛物线方程得，解得，焦点坐标为，故A正确； 对于B，设，由得，设直线，联立得， 则，，代入解得，直线斜率，故B错误； 对于C，由抛物线焦点弦性质得， 则，当且仅当时取等号， 因此最小值为，故C正确； 对于D，设，则，，，故， 由基本不等式得，当且仅当（即与横坐标相同）时取等号，此时最小，故D正确. 10．（多选）已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点P在C的准线上，则（     ） A．的最小值为 B．存在点，使得 C．若，则直线与有两个交点 D．若点在轴上，则 【答案】AD 【分析】选项A，利用直线参数方程结合韦达定理与焦点弦长公式，求出弦长关于斜率倒数的二次函数最小值，选项B，通过证明向量恒非负，得出两线夹角最大为直角，从而排除钝角可能，选项C，由向量垂直条件得出点坐标后，推导发现直线斜率恰好等于抛物线在点处的切线斜率，证明其为仅有一个交点的切线，选项D，确定点坐标后，利用韦达定理推导证明直线和的斜率互为相反数，从而得出两直线关于轴对称且角度相等. 【详解】由题意得，准线，，设直线， 联立得，设， 则，则， 且恒成立， 对于A，， 因为，所以当时即直线垂直于轴时，取最小值，故A正确， 对于B，因为P在C的准线上，故设点， 所以， 则， 由上知， 则， 因为，所以，则， 可知，故B错误， 对于C，若，则，由上知此时，即， 此时点，则， 由上知， 则， 因为，且点在抛物线上，即， 所以， 则， 设过点的切线方程为，由题意得存在且， 则，代入整理得， 则有，即， 即，结合，所以， 代入得，即，解得， 故此时直线为抛物线的切线，只有1个交点，故C错误， 对于D，由题意得，所以为轴，， 则 ， 将和代入分子得， 所以，即，所以直线和关于轴对称， 所以，故D正确. 11．（多选）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，过轴上一点的直线交于，两点，且，则（   ） A． B．的取值范围为 C．抛物线上总存在一点，使得 D．以，为切点，分别作的切线交于点，则的面积的最小值为 【答案】BD 【分析】设直线：，与抛物线方程联立，利用韦达定理，得到，，，.由可求的值，判断A的真假；结合抛物线的定义，用表示，再求其取值范围，可判断B的真假；设，利用可得关于的方程，利用特例可判断C的真假；写出在，处的切线方程，求切线交点的坐标，求弦长和点到直线的距离，即可表示的面积，求其最小值，可判断D的真假. 【详解】因为抛物线的方程为，所以，. 设直线：，代入抛物线的方程，得， 整理得. 设，，则，，，. 由，所以，解得. 对A，因为，故A错误； 对B，因为，， 所以， 因为，所以，所以， 即的取值范围为.故B正确； 对C，设，由得. 即. 所以， 因为，，，， 所以. 当时，，此时，的坐标为，点坐标为，即与或重合时，才有. 故此时不存在，使得.故C错误； 对D，因为均不为0，所以在点，的切线均有斜率. 设在点处的切线方程为，，所以， 代入，整理得. 由. 所以切线方程为，即. 同理，在点处的切线为. 由， 两式相减得， 所以， 两式相加得. 所以. 因为直线：， 所以， 点到直线的距离为， 所以的面积为. 所以当时，取得最小值.故D正确. 三、填空题 12．已知点为抛物线的焦点，直线与该抛物线交于，两点，为坐标原点且，则的最小值为_______． 【答案】10 【分析】先确定抛物线基本参数，利用抛物线定义表示，再利用 的条件建立关系，最后求出的最小值. 【详解】，，，准线方程：， 设，， 则，，. 又， ，两式相乘得：. 因为，所以，即， 即，解得：或（舍）， 所以，又，， ， 当且仅当时，等号成立. , 故的最小值为10. 13．已知抛物线，若两点在抛物线上，焦点为，，则直线的斜率为__________． 【答案】 【分析】设，，利用抛物线的定义用表示进而得出之间的关系，最后代入到弦长公式里即可求解. 【详解】 设，， 因此：，得， ，得， 因此，直线斜率必然存在， 由弦长公式，代入，解得. 所以直线的斜率为. 14．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，过点作的准线的垂线，垂足为，若直线的方程为，则_____. 【答案】10 【分析】根据直线的方程求得、点坐标，从而求得抛物线解析式，再利用两点距离公式或抛物线的性质即可求解. 【详解】抛物线：的焦点为，点在抛物线上，过点作的准线的垂线，垂足为， 直线的方程为，令，解得，即，， 可得抛物线：，坐标， 令代入直线方程，解得，即坐标， 令代入抛物线方程，解得，即坐标， 所以. 15．如图，抛物线的焦点为，过点的直线，与分别相交于，和，，直线过点，设直线，的倾斜角分别为，，则的最大值为______． 【答案】/ 【分析】利用直线过定点与抛物线相交，结合韦达定理，找到，，，四点纵坐标之间的数量关系，进而推导出直线与斜率的关系，最后利用两角差的正切公式和基本不等式求最值. 【详解】由题意，设，，，， 因为直线过点与相交于，两点，设， 与抛物线联立，可得， 同理，可求得，， 由，可得；由，可得； 由，可得， 又，， 又，，， 所以，， 所以， 所以， 若，则， 若，则， 若，则， 当且仅当时，等号成立. 综上所述，的最大值为. 四、解答题 16．已知边长为的等边三角形的一个顶点与坐标原点重合，另外两个顶点在抛物线上． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，求证：． 【答案】(1) (2)过点的直线与交于，两点，则直线斜率不为0， 设直线的方程为，， 则，得，其中恒成立 所以， 则， 因为，， 所以，即得证. 【分析】（1）由题意可得在抛物线上，代入计算即可求解； （2）设直线的方程为，直线与抛物线联立方程组，由韦达定理结合向量数量积坐标运算计算可得，即可得证. 【详解】（1）因为边长为的等边三角形的一个顶点位于原点， 另外两个顶点在抛物线上，并且该抛物线关于轴对称，又， 所以点在抛物线上， 所以，解得， 所以抛物线的方程为； （2）略 17．已知抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于两点． (1)若点为线段的中点，求直线的方程； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设直线方程为，直线与抛物线联立方程组，利用根与系数的关系可得，结合中点坐标公式建立等式计算求解即可； （2）分斜率存在和不存在两种情况，结合抛物线定义计算求解即可. 【详解】（1）设，．由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为， 则直线的方程为，． 由，消去，整理得，恒成立． 因为点是线段的中点， 所以．解得， 所以直线的方程为，即． （2）由抛物线的定义，得，． 当直线的斜率存在时，由（1）知，， 所以，． 所以， 所以当时，取得最小值． 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则， 所以，则． 因为，所以的最小值为． 18．已知抛物线：的焦点为． (1)求点的坐标及的准线方程； (2)若点在的准线上，线段与交于点，且，求直线的斜率及点的坐标． 【答案】(1)，的准线方程为 (2)当点在第四象限时，直线的斜率为，； 当点在第三象限时，直线的斜率为， 【分析】（1）根据抛物线的定义即可得到答案； （2）先根据题意不妨设点在第四象限，从而根据斜率与倾斜角的关系得到直线的斜率，进而得到点的坐标，进而根据对称性得到当点在第三象限时直线的斜率及点的坐标． 【详解】（1）由，得， 则焦点在轴上，且，，     所以，的准线方程为． （2）根据题意，不妨设点在第四象限，过点作准线的垂线，垂足为，如下图：     由，设， 则，所以，     所以直线的斜率为．     又，所以，解得，所以．     由对称性知，当点在第三象限时，直线的斜率为，． 19．已知抛物线 的顶点在原点，焦点在 轴正半轴上，且经过点 ． (1)求抛物线 的方程； (2)过点 作直线 交抛物线于 ， 两点，若 恰为弦 的中点，求直线 的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出抛物线方程，代入点求解即可. （2）根据“点差法”求出斜率，结合直线的点斜式方程求解即可． 【详解】（1）设 （）， 因为抛物线经过 ，代入得 ，， 所以抛物线方程为 ． （2）设 ，，则 ，， 两式相减得 ， 又 是 的中点，所以 ， 于是 ， 所以 ，即 ． 20．给定正实数m和定点，已知 P，N两点分别在x轴和y 轴上运动，且满足 O为坐标原点. (1)求动点 Q的轨迹方程(用m 表示)； (2)过点 作直线与点 Q的轨迹交于A，B两点. （i）求 的最小值; （ii）过点 E作的垂线与点Q的轨迹交于C，D 两点，求 的取值范围(用m 表示). 【答案】(1)​ (2)（i）；（ii）． 【分析】（1）设出的坐标，由两个向量条件建立坐标关系并消去参数，求出的轨迹． （2）用参数表示抛物线上的点，利用韦达定理求弦端点参数的关系；再用两条垂直方向向量表示，把数量积化为斜率的函数并求范围． 【详解】（1）设，，． 由，得，． 由，得． 又，且，所以，即，． 代入，得，所以的轨迹方程为． 反之，对任意满足的点，取、，则、满足题设两个向量条件，故轨迹没有遗漏． （2）（i）将轨迹参数化为，其中． 设直线的方程为，其中不同时为． 要使与抛物线交于两个不同点，须； 若，则为轴，只与抛物线交于一点． 将参数点代入，得． 设两根为，则． 于是． 由，得，所以，其中． 当时取等，此时，为直线，与抛物线交于、，故最小值为． （ii）若为竖直线，则为轴，只与抛物线交于一点； 若为轴，则也只交于一点． 因此可设为斜率的直线，的方向向量可分别取、，且、． 设，，，． 由及抛物线方程，是方程的两根，故； 是方程的两根，故． 这两个方程的判别式均为正，所表示的交点确为两两不同的实点． 由、及，得． 因为，所以，且的取值范围为． 故，从而． 当时取得最大值，故所求取值范围为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $