3.3.1 抛物线及其标准方程（讲义，知识点&5大题型&刷好题）高二数学人教A版选择性必修第一册

司 第三章 圆锥曲线的方程 3.3.1 抛物线及其标准方程 课标要点 1.通过实例了解抛物线的背景，理解抛物线的定义，掌握抛物线的几何特征。 2.能根据抛物线定义建立坐标系，推导抛物线四种形式的标准方程，明确标准方程中参数p的几何意义。 3.掌握四种标准方程对应的焦点坐标、准线方程，能由抛物线方程写出焦点、准线；也能根据条件求抛物线的标准方程。 4.体会解析几何“用代数方法研究几何问题” 的思想，感受圆锥曲线内在联系，提升直观想象、数学运算素养。 学习重难点 重点： 1.抛物线的定义，理解定义中“定点不在定直线上”这一限制条件。 2.抛物线四种标准方程的形式，参数p的几何意义。 3.根据已知条件求抛物线的标准方程，由标准方程写出焦点坐标与准线方程。 难点： 1.抛物线定义的辨析：定点在定直线上时，轨迹不是抛物线而是直线，容易忽略该前提。 2.区分四种标准方程，根据焦点位置判断抛物线开口方向，避免焦点、准线符号出错。 3.运用抛物线定义进行转化，解决简单的距离转化类问题；建系推导标准方程时理解坐标法的思路。 知识点 抛物线的定义 1、定义：把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2、抛物线集合表示：． 特别提醒 要点辨析： （1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线． （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 随学随练 1．下列命题是假命题的有________．（填序号） ①到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹为抛物线； ②到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹为抛物线； ③到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹为抛物线． 【答案】③ 【解析】由抛物线的定义易得①②是真命题； 因为定点在定直线上， 所以动点的轨迹为直线，故③是假命题． 2．（25-26高二下·湖南张家界·期末）已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【解析】由抛物线可得，即，因此其准线方程为， 已知点到焦点的距离为3，则点到准线的距离也为3， 即 ，解得. 知识点 抛物线的标准方程 1、抛物线四种标准方程 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 特别提醒 1、只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线方程才具有标准形式． 2、标准方程的特征：等号的一边是某个变量的完全平方，等号的另一边是另一变量的一次项． 3、四个标准方程的区分：焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口朝向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口朝向坐标轴的负方向． 2、参数p的几何意义 抛物线标准方程中参数p的几何意义：抛物线的焦点到准线的距离（焦准距），所以p的值恒大于0．当抛物线标准方程中一次项的系数为负时，不要出现p<0的错误． 特别提醒 1、p的值决定开口大小，p越大，则抛物线开口越大；p越小，则抛物线开口越小． 2、抛物线虽然是不封闭图形，但与双曲线不同，它没有渐近线． 随学随练 1．（25-26高二上·四川绵阳·期中）抛物线的焦点到准线的距离为，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解析】由题设，抛物线标准形式为，则，可得.故选：D 2．（25-26高二上·浙江丽水·期中）顶点在坐标原点，焦点坐标为的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的标准方程与焦点的关系求解即可. 【解析】焦点坐标为在轴正半轴上，可设抛物线方程为， 又，则，故抛物线的标准方程为.故选：C 知识点 抛物线的焦半径公式 1、焦半径的定义 设抛物线上一点，焦点为，准线为，则线段叫做抛物线的焦半径，过点作准线的垂线段，由抛物线的定义可知，． 2、用坐标表示焦半径公式 （1）抛物线，． （2）抛物线，． （3）抛物线，． （4）抛物线，． 【注意】在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式． 3、焦半径公式的应用：利用焦半径公式，我们可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，解题时方便快捷．一般来说，涉及到过焦点的直线与抛物线的交点问题，利用此公式解决较为简单． 随学随练 1．（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点在上.若到直线的距离为8，则=（    ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】C 【解析】由抛物线，得，即. 得准线方程为，焦点. 设点横坐标为，点到直线的距离为， 即，解得. 根据抛物线定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离， 因此： . 2．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知抛物线的焦点为是抛物线上一点，且，则点到轴的距离为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【解析】设点的坐标为，由及，可得， 在抛物线上，所以， 所以，可得点到轴的距离为.故选：A 拓展 抛物线在实际问题中的应用 1、把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言（文字、符号、图形、字母等）表达、分析是解决此类问题的关键． 2、以抛物线为数学模型的实例很多，如拱桥、隧道、喷泉等，应用抛物线解决问题主要体现在：（1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的标准方程；（2）利用已求方程求点的坐标． 3、求解抛物线实际应用题的步骤： 活学活用 1．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）如图为抛物线拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面宽度为，若经过桥洞的一艘货船宽为，则其船体两侧的货物距离水面的最大高度不超过（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，在平面直角坐标系中画出抛物线如下所示： 设抛物线的标准方程为，焦点坐标为， 当水面过抛物线焦点时，水面宽度为，因此抛物线经过点， 即有，所以，则 ，焦点坐标为， 所以水面距离轴距离为，因为船宽，所以船刚好通过时，点在抛物线上时， 此时代入抛物线方程得，此时两侧货物不能超过m. 2．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图所示，从沿直线发出的光线经抛物线两次反射后，回到光源接收器，则该光线经过的路程为（    ） A．11 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【解析】由抛物线方程得，设，， 由抛物线性质，与轴的交点即为抛物线的焦点， 所以，，， 所以， 即该光线经过的路程为， 故选：C 题型 抛物线的定义及辨析 ▌例1 （24-25高二上·吉林长春·阶段检测）抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A． B．1 C．3 D． 【答案】A 【解析】，抛物线的标准方程为， ，， 抛物线的焦点到准线的距离为.故选：A. 解题贴士 与抛物线的定义有关的长度问题的解题策略： （1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，或将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离． （2）注意抛物线的焦半径的应用． ▌对点练1-1 （2026·贵州黔东南·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，点在抛物线C上，且，则（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【解析】由题意可得抛物线的焦点为，准线方程为， 根据抛物线的定义可得，则. ▌对点练1-2 （24-25高二下·安徽六安·阶段检测）抛物线上与焦点的距离等于6的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以．由焦半径公式得，， 因为抛物线开口朝左，所以，即，所以故选：A． ▌对点练1-3 （25-26高三上·四川成都·阶段检测）如图，设抛物线的焦点为，过轴上一点作直线交于，两点，若，，则（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】B 【解析】对抛物线，焦点，准线：.如图： 过向准线作垂线，垂足为，交轴于， 根据抛物线定义，得，所以； 过向准线作垂线，垂足为，交轴于， 根据抛物线定义，得，所以. 所以，所以.故选：B 题型 求抛物线的焦点或准线 ▌例2 （25-26高二下·浙江绍兴·阶段检测）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】抛物线的标准方程为，所以，，所以， 所以抛物线的准线方程为. 解题贴士 由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法 （1）已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数，从而得焦点坐标与准线方程，要注意； （2）焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴． ▌对点练2-1 （25-26高二上·河北衡水·期末）抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将抛物线方程化成标准方程为， 则焦点在y轴正半轴上，则，得, 所以抛物线的准线方程为．故选：B． ▌对点练2-2 （25-26高二上·湖南永州·期末）若抛物线的焦点为，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【解析】因为抛物线的焦点为， 所以，，故选：C. ▌对点练2-3 （25-26高二下·湖南湘潭·阶段检测）已知是抛物线的焦点，是上一点，直线交轴于点．若为的中点，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【解析】 由抛物线得焦点，设， 因为是的中点，所以的坐标为， 因为在抛物线上，将坐标代入得： ， 再由两点间距离公式： . 题型 求抛物线的标准方程 ▌例3 （24-25高二上·北京平谷·期末）以为焦点的抛物线标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，抛物线标准方程形如，焦点坐标为， 所以，解得， 故以为焦点的抛物线标准方程是.故选：D. 解题贴士 （1）直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数； （2）待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为或． 注意： ①已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式； ②已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图形及开口方向确定． ▌对点练3-1 （25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）抛物线的准线与直线的距离为4，则此抛物线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】抛物线的准线方程为，则，得或， 故所求抛物线的方程为或.故选：C ▌对点练3-2 （25-26高二下·云南曲靖·阶段检测）若抛物线的准线为直线，且被圆：所截得的弦长为，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】抛物线的准线l方程为， 圆的圆心为原点，半径为1，所以圆心到直线的距离为， 所以，故，即抛物线的准线方程为， 所以抛物线的方程为. ▌对点练3-3 （25-26高二上·河南南阳·期中）已知某抛物线的顶点为坐标原点，焦点在直线上，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】直线与轴的交点为，与轴的交点为， 当抛物线的焦点在轴上时，可得焦点坐标为，此时抛物线的标准方程为； 当抛物线的焦点在轴上时，可得焦点坐标为，此时抛物线的标准方程为.故选：D 题型 利用定义求距离和差的最值 ▌例4 （25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知为抛物线：的焦点，点，若为抛物线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为抛物线方程为，所以焦点，准线为， 设点到准线的垂线段为，垂足为， 根据抛物线定义得，所以， 根据两点之间线段最短得到，三点共线时等号成立， 且此时，所以，即的最小值为. 解题贴士 1、利用抛物线的定义研究最值，本质是利用三角形不等式求解，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，共线时取最值． 2.点和抛物线的位置关系的讨论： 当时，点在抛物线上； 当时，点在抛物线外； 当时，点在抛物线内. 同理可得其余三种形式的抛物线与点的位置关系． ▌对点练4-1 （25-26高二上·江西·阶段检测）已知抛物线的焦点为F，点，P是C上任意一点，则的最小值为________. 【答案】 【解析】设点P到抛物线C的准线的距离为d， 则（当AP与准线垂直时取最小值）， 故的最小值为5. ▌对点练4-2 （25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）已知抛物线的焦点为，是抛物线上的一个动点，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为抛物线，所以且准线为， 由抛物线的定义可知，则， 因为且，所以， 则，当且仅当三点共线时，等号成立.故选：B. ▌对点练4-3 （25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知抛物线的准线为，为抛物线上任意一点，则点到准线的距离和点到直线的距离之和的最小值为___________. 【答案】 【解析】抛物线的焦点为，准线方程为，根据题意作图如下, 点到直线的距离为,点到准线的距离为； 由抛物线的定义知：， 点到准线的距离与点到直线的距离之和为， 最小值为点到直线的距离，即. 题型 与抛物线有关的轨迹问题 ▌例5 （25-26高二上·江苏南通·期中）已知圆，直线，则与直线相切且与圆外切的圆的圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图可知，到F的距离比到直线的距离大1， 记直线为直线 ，则到F的距离等于到直线的距离， 由抛物线定义可知，M的轨迹为顶点在原点开口向左的抛物线，其中， 所以M的轨迹方程为：故选：B 解题贴士 1、定义法：分析动点满足的几何条件，若能整理成 “到定点距离=到定直线距离”，直接判断轨迹是抛物线，找出焦点、准线、，写出标准方程；注意检验前提：定点不能在定直线上，若定点在直线上，轨迹是直线，不是抛物线。 2、直译法：设动点，把题目中的几何等量关系翻译成含的等式，化简得到轨迹方程；化简过程中注意等价变形，去掉增根、补上缺失的点。 3、相关点法（代入法）：当动点随已知抛物线上的点运动时，设出动点与已知曲线上点的坐标，找到坐标之间的关系式，把已知点坐标用动点坐标表示，代入抛物线方程，整理得到动点轨迹方程；记得根据原抛物线上点的范围，限制所求轨迹变量范围。 ▌对点练5-1 （25-26高二上·山东临沂·阶段检测）已知动点到定点的距离比它到轴的距离大，则动点的轨迹为（    ） A．抛物线 B．射线 C．抛物线和射线 D．抛物线和直线 【答案】C 【解析】由题意可得， 当时，则有，化简得，此时点的轨迹为抛物线， 当时，则有，化简得，此时点的轨迹为射线， 故点的轨迹为抛物线或射线.故选：C. ▌对点练5-2 （24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知圆心在轴上移动的圆经过，且与轴，轴分别交于两个动点，过分别作轴，轴的垂线，两条垂线的交点记为，则点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【解析】设圆心坐标为，则圆的方程为， 令，得或，则， 令，得，则， 所以，所以， 所以点的轨迹为抛物线，故选：D ▌对点练5-3 （2025·辽宁沈阳·一模）已知平面直角坐标系中不同的三点，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为，则M点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由圆心在y轴上的圆E经过点，得线段为圆的直径， 而点在轴上，则，又， 于是，而不重合，即， 所以M点的轨迹方程为.故选：D 基础通关 1．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】抛物线即，，所以焦点坐标为.故选：A. 2．（25-26高二上·江西·阶段检测）抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】抛物线中，该抛物线焦点到准线的距离为.故选：D. 3．（24-25高二下·山东青岛·阶段检测）若抛物线上一点到准线和对称轴的距离均为4，则的值为（    ） A．18 B．4 C．2或18 D．4或9 【答案】B 【解析】因为抛物线的准线方程为， 因为抛物线上一点到准线和对称轴的距离均为4， 所以点的坐标为， 代入抛物线方程得，解得.故选：B. 4．（26-27高三上·河北雄安·开学考试）已知点是抛物线：上任意一点，是抛物线的焦点，点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【解析】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为：， 设点到抛物线的准线：的距离为， 则，等号在时成立， 所以的最小值为9. 5．（25-26高二上·山西太原·期末）（多选）已知抛物线：与：，则（    ） A．与的焦点相同 B．与的离心率相同 C．与的准线相同 D．与的焦点到准线的距离相同 【答案】BD 【解析】抛物线的焦点为，准线为，焦点到准线的距离为，离心率为1， 抛物线的焦点为，准线为，焦点到准线的距离为，离心率为1． 故与的焦点不同，准线不同，离心率相同，与的焦点到准线的距离相同. 6．（25-26高二上·陕西渭南·期中）（多选）顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】因为抛物线经过，所以抛物线开口向左或开口向上， 设开口向左的抛物线方程为（）， 将点代入，得， 所以开口向左的抛物线方程为，故B正确,错误； 设开口向上的抛物线方程为（）， 将点代入，得，所以开口向上的抛物线方程为，故C正确，错误.故选:BC. 7．（25-26高二下·浙江温州·阶段检测）直线经过抛物线的焦点，则________． 【答案】 【解析】由题意得抛物线方程为，则其焦点为， 将其代入到得，解得，满足. 8．（25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）抛物线上一点M与焦点F的距离，则点M的坐标为________． 【答案】 【解析】抛物线对应， ， 所以， 所以的坐标为. 9．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）已知抛物线，点P为抛物线上一点，，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 设，则由题意得：， 因为点P为抛物线上一点，所以， 代入可得：， 所以当时，的最小值为. 10．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知A，B两点的坐标分别是，，直线，相交于点M，且，则点M的轨迹方程为________． 【答案】， 【解析】设，则，整理，得，． 动点的轨迹方程是，． 故答案为：，． 素养提升 11．（24-25高二下·云南临沧·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，为的重心，且尚，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由题：，设， 由抛物线定义知：， 又为的重心，所以，所以，故选：B. 12．（24-25高二上·江苏·阶段检测）如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构.如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端P到江面的距离为100m，且，则顶端到桥面的距离为（    ）    A．50m B． C．55m D． 【答案】A 【解析】以为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，依题意可知， 设抛物线方程为，其中为点到桥面的距离， 则,解得．故选：A 13．（25-26高二下·河南周口·阶段检测）已知抛物线的焦点为，．若上存在点，使得，且的面积为2，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由题意可知：，则， 设，则，可得，即， 又因为的面积为，解得. 14．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知点满足，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为表示点到点的距离，表示点到直线的距离， 又，所以点到点的距离等于点到直线的距离， 由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，抛物线方程为， 设，则， 当且仅当时，等号成立．故选：B． 15．（24-25高二上·江苏苏州·期末）如图，已知点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E．OE与MD相交于点P，则P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设， 因为直线的方程为，且点在直线上，所以， 因为直线的方程为，且点在直线上，所以， 因为轴，所以，则，故D正确.故选：D． 迁移创新 16．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）当变动时，曲线不可能表示的图形是（    ） A．焦点在y轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线 C．抛物线 D．圆 【答案】C 【解析】当时，由于有， 由可整理为， 因为，所以曲线表示焦点在y轴上的椭圆，故排除A； 当时，由于有， 由可整理为， 因为，所以曲线表示焦点在x轴上的双曲线，故排除B； 当时，由于有， 由可整理为， 所以曲线表示圆，故排除D； 无论为何值，曲线不可能表示抛物线，故选C.故选：C 17．（25-26高二上·江苏连云港·期中）（多选）已知点A是平面内一定点，点P是定圆M上的动点，点P与点A不重合，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，则点Q的轨迹可能为（    ） A．圆 B．双曲线 C．点 D．抛物线 【答案】ABC 【解析】假设定圆半径为； 因为线段的垂直平分线交直线于点，所以； 当点在圆外时，由，且，，三点共线，， 可得，故，即，且，根据双曲线的定义可得，此时点的轨迹是以，为焦点的双曲线； 当点在圆上时，因为, 线段的垂直平分线交直线于点,即此时点与点重合，点的轨迹为一个点； 当点在圆内且不与圆心重合时， 此时，线段的垂直平分线交直线于点, 此时， 根据椭圆的定义可得，此时点的轨迹是以，为焦点的椭圆； 当点与圆心重合时，此时点为半径的中点，即， 此时点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆； 由于抛物线的定义是平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹， 而无论点在圆的何种位置关系下，都无法满足抛物线的定义，所以点的轨迹不可能是抛物线. 故选：ABC 18．（25-26高二上·重庆·期中）已知在平面直角坐标系xOy中，，动点满足，则动点的轨迹方程为__________；点为抛物线上的动点，点在上的射影为，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】设点的坐标为，则， 因为，所以，整理得， 所以点的轨迹方程为，即点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 设抛物线的焦点为，则，故是抛物线的准线， 所以， 因为，所以， 所以， 此时，分别为线段与圆和抛物线的交点. 所以，的最小值为 故答案为：； 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 司 第三章 圆锥曲线的方程 3.3.1 抛物线及其标准方程 课标要点 1.通过实例了解抛物线的背景，理解抛物线的定义，掌握抛物线的几何特征。 2.能根据抛物线定义建立坐标系，推导抛物线四种形式的标准方程，明确标准方程中参数p的几何意义。 3.掌握四种标准方程对应的焦点坐标、准线方程，能由抛物线方程写出焦点、准线；也能根据条件求抛物线的标准方程。 4.体会解析几何“用代数方法研究几何问题” 的思想，感受圆锥曲线内在联系，提升直观想象、数学运算素养。 学习重难点 重点： 1.抛物线的定义，理解定义中“定点不在定直线上”这一限制条件。 2.抛物线四种标准方程的形式，参数p的几何意义。 3.根据已知条件求抛物线的标准方程，由标准方程写出焦点坐标与准线方程。 难点： 1.抛物线定义的辨析：定点在定直线上时，轨迹不是抛物线而是直线，容易忽略该前提。 2.区分四种标准方程，根据焦点位置判断抛物线开口方向，避免焦点、准线符号出错。 3.运用抛物线定义进行转化，解决简单的距离转化类问题；建系推导标准方程时理解坐标法的思路。 知识点 抛物线的定义 1、定义：把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2、抛物线集合表示：． 特别提醒 要点辨析： （1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线． （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 随学随练 1．下列命题是假命题的有________．（填序号） ①到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹为抛物线； ②到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹为抛物线； ③到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹为抛物线． 2．（25-26高二下·湖南张家界·期末）已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 知识点 抛物线的标准方程 1、抛物线四种标准方程 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 特别提醒 1、只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线方程才具有标准形式． 2、标准方程的特征：等号的一边是某个变量的完全平方，等号的另一边是另一变量的一次项． 3、四个标准方程的区分：焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口朝向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口朝向坐标轴的负方向． 2、参数p的几何意义 抛物线标准方程中参数p的几何意义：抛物线的焦点到准线的距离（焦准距），所以p的值恒大于0．当抛物线标准方程中一次项的系数为负时，不要出现p<0的错误． 特别提醒 1、p的值决定开口大小，p越大，则抛物线开口越大；p越小，则抛物线开口越小． 2、抛物线虽然是不封闭图形，但与双曲线不同，它没有渐近线． 随学随练 1．（25-26高二上·四川绵阳·期中）抛物线的焦点到准线的距离为，则（    ） A． B．或 C． D．或 2．（25-26高二上·浙江丽水·期中）顶点在坐标原点，焦点坐标为的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 知识点 抛物线的焦半径公式 1、焦半径的定义 设抛物线上一点，焦点为，准线为，则线段叫做抛物线的焦半径，过点作准线的垂线段，由抛物线的定义可知，． 2、用坐标表示焦半径公式 （1）抛物线，． （2）抛物线，． （3）抛物线，． （4）抛物线，． 【注意】在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式． 3、焦半径公式的应用：利用焦半径公式，我们可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，解题时方便快捷．一般来说，涉及到过焦点的直线与抛物线的交点问题，利用此公式解决较为简单． 随学随练 1．（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点在上.若到直线的距离为8，则=（    ） A．4 B．5 C．7 D．8 2．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知抛物线的焦点为是抛物线上一点，且，则点到轴的距离为（    ） A． B． C．6 D． 拓展 抛物线在实际问题中的应用 1、把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言（文字、符号、图形、字母等）表达、分析是解决此类问题的关键． 2、以抛物线为数学模型的实例很多，如拱桥、隧道、喷泉等，应用抛物线解决问题主要体现在：（1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的标准方程；（2）利用已求方程求点的坐标． 3、求解抛物线实际应用题的步骤： 活学活用 1．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）如图为抛物线拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面宽度为，若经过桥洞的一艘货船宽为，则其船体两侧的货物距离水面的最大高度不超过（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图所示，从沿直线发出的光线经抛物线两次反射后，回到光源接收器，则该光线经过的路程为（    ） A．11 B．12 C．14 D．16 题型 抛物线的定义及辨析 ▌例1 （24-25高二上·吉林长春·阶段检测）抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A． B．1 C．3 D． 解题贴士 与抛物线的定义有关的长度问题的解题策略： （1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，或将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离． （2）注意抛物线的焦半径的应用． ▌对点练1-1 （2026·贵州黔东南·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，点在抛物线C上，且，则（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 ▌对点练1-2 （24-25高二下·安徽六安·阶段检测）抛物线上与焦点的距离等于6的点的坐标是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-3 （25-26高三上·四川成都·阶段检测）如图，设抛物线的焦点为，过轴上一点作直线交于，两点，若，，则（    ） A．4 B．3 C． D． 题型 求抛物线的焦点或准线 ▌例2 （25-26高二下·浙江绍兴·阶段检测）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 解题贴士 由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法 （1）已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数，从而得焦点坐标与准线方程，要注意； （2）焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴． ▌对点练2-1 （25-26高二上·河北衡水·期末）抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． ▌对点练2-2 （25-26高二上·湖南永州·期末）若抛物线的焦点为，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 ▌对点练2-3 （25-26高二下·湖南湘潭·阶段检测）已知是抛物线的焦点，是上一点，直线交轴于点．若为的中点，则（    ） A．3 B． C．4 D． 题型 求抛物线的标准方程 ▌例3 （24-25高二上·北京平谷·期末）以为焦点的抛物线标准方程是（    ） A． B． C． D． 解题贴士 （1）直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数； （2）待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为或． 注意： ①已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式； ②已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图形及开口方向确定． ▌对点练3-1 （25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）抛物线的准线与直线的距离为4，则此抛物线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 ▌对点练3-2 （25-26高二下·云南曲靖·阶段检测）若抛物线的准线为直线，且被圆：所截得的弦长为，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． ▌对点练3-3 （25-26高二上·河南南阳·期中）已知某抛物线的顶点为坐标原点，焦点在直线上，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 题型 利用定义求距离和差的最值 ▌例4 （25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知为抛物线：的焦点，点，若为抛物线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 解题贴士 1、利用抛物线的定义研究最值，本质是利用三角形不等式求解，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，共线时取最值． 2.点和抛物线的位置关系的讨论： 当时，点在抛物线上； 当时，点在抛物线外； 当时，点在抛物线内. 同理可得其余三种形式的抛物线与点的位置关系． ▌对点练4-1 （25-26高二上·江西·阶段检测）已知抛物线的焦点为F，点，P是C上任意一点，则的最小值为________. ▌对点练4-2 （25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）已知抛物线的焦点为，是抛物线上的一个动点，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． ▌对点练4-3 （25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知抛物线的准线为，为抛物线上任意一点，则点到准线的距离和点到直线的距离之和的最小值为___________. 题型 与抛物线有关的轨迹问题 ▌例5 （25-26高二上·江苏南通·期中）已知圆，直线，则与直线相切且与圆外切的圆的圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 解题贴士 1、定义法：分析动点满足的几何条件，若能整理成 “到定点距离=到定直线距离”，直接判断轨迹是抛物线，找出焦点、准线、，写出标准方程；注意检验前提：定点不能在定直线上，若定点在直线上，轨迹是直线，不是抛物线。 2、直译法：设动点，把题目中的几何等量关系翻译成含的等式，化简得到轨迹方程；化简过程中注意等价变形，去掉增根、补上缺失的点。 3、相关点法（代入法）：当动点随已知抛物线上的点运动时，设出动点与已知曲线上点的坐标，找到坐标之间的关系式，把已知点坐标用动点坐标表示，代入抛物线方程，整理得到动点轨迹方程；记得根据原抛物线上点的范围，限制所求轨迹变量范围。 ▌对点练5-1 （25-26高二上·山东临沂·阶段检测）已知动点到定点的距离比它到轴的距离大，则动点的轨迹为（    ） A．抛物线 B．射线 C．抛物线和射线 D．抛物线和直线 ▌对点练5-2 （24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知圆心在轴上移动的圆经过，且与轴，轴分别交于两个动点，过分别作轴，轴的垂线，两条垂线的交点记为，则点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 ▌对点练5-3 （2025·辽宁沈阳·一模）已知平面直角坐标系中不同的三点，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为，则M点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 基础通关 1．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江西·阶段检测）抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·山东青岛·阶段检测）若抛物线上一点到准线和对称轴的距离均为4，则的值为（    ） A．18 B．4 C．2或18 D．4或9 4．（26-27高三上·河北雄安·开学考试）已知点是抛物线：上任意一点，是抛物线的焦点，点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 5．（25-26高二上·山西太原·期末）（多选）已知抛物线：与：，则（    ） A．与的焦点相同 B．与的离心率相同 C．与的准线相同 D．与的焦点到准线的距离相同 6．（25-26高二上·陕西渭南·期中）（多选）顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·浙江温州·阶段检测）直线经过抛物线的焦点，则____． 8．（25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）抛物线上一点M与焦点F的距离，则点M的坐标为________． 9．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）已知抛物线，点P为抛物线上一点，，则的最小值为______. 10．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知A，B两点的坐标分别是，，直线，相交于点M，且，则点M的轨迹方程为________． 素养提升 11．（24-25高二下·云南临沧·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，为的重心，且尚，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 12．（24-25高二上·江苏·阶段检测）如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构.如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端P到江面的距离为100m，且，则顶端到桥面的距离为（    ）    A．50m B． C．55m D． 13．（25-26高二下·河南周口·阶段检测）已知抛物线的焦点为，．若上存在点，使得，且的面积为2，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知点满足，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高二上·江苏苏州·期末）如图，已知点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E．OE与MD相交于点P，则P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 迁移创新 16．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）当变动时，曲线不可能表示的图形是（    ） A．焦点在y轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线 C．抛物线 D．圆 17．（25-26高二上·江苏连云港·期中）（多选）已知点A是平面内一定点，点P是定圆M上的动点，点P与点A不重合，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，则点Q的轨迹可能为（    ） A．圆 B．双曲线 C．点 D．抛物线 18．（25-26高二上·重庆·期中）已知在平面直角坐标系xOy中，，动点满足，则动点的轨迹方程为__________；点为抛物线上的动点，点在上的射影为，则的最小值为__________． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $