3.1.1 椭圆及其标准方程 同步讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

 3.1.1　椭圆及其标准方程

 选择性必修第一册　第三章　圆锥曲线的方程

[学习目标]

1．结合画椭圆的实验理解椭圆的定义，能指出椭圆的焦点与焦距，会依据定义判断动点的轨迹是否为椭圆。

2．经历建立坐标系推导椭圆标准方程的过程，掌握焦点在 轴与 轴上的标准方程，会由方程求出 、、 与焦点坐标。

3．会用定义和待定系数法求椭圆的标准方程，能处理焦点位置未定的情形，会求与椭圆有关的简单轨迹方程。

[链接教材 · 夯基固本] 落实主干 · 激活技能

 1．椭圆的定义

固定两个图钉 、，把一根长于 的细绳两端分别拴在图钉上，用笔尖把绳拉直并绕行一周，就得到一条封闭曲线。绳长不变，笔尖 到 的距离与到 的距离之和始终等于绳长，是一个常数。图 1 就是按此方法画出的椭圆，它的两个定点为 、，曲线上的点 到两定点的距离分别为 与 ，和为 4，且 。

图 1: ，恒大于

(1) 定义：平面内与两个定点 、 的距离的等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的，两焦点间的距离叫做椭圆的。

(2) 设 （），定义中的常数为 ，则椭圆上任一点 都满足 ，并且 。

(3) 定义中的常数与 的大小关系决定了轨迹的形状。点 不在直线 上时，由三角形任意两边之和大于第三边得 ；点 在线段 上时 。

判断（先在括号内打“√”或“×”，再说清理由）

(1) 平面内到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆。（　　）

(2) 已知 、，动点 满足 ，则点 的轨迹是椭圆。（　　）

 2．椭圆的标准方程（焦点在 轴上）

求曲线的方程要把图形放到坐标系中。把 、 放在 轴上，并使线段 的中点成为原点（图 2），于是可设 、，其中 。设椭圆上任意一点为 ，由定义 ，再用 2.3.2 的两点间距离公式把两个距离写出来，得

把一个根式移到右边并平方，化简后得 ，再平方并整理，得

因为 ，所以 。令 （），上式化为 ，两边同除以 。

图 2: 以 所在直线为 轴、其垂直平分线为 轴建系

(1) 焦点在 轴上的椭圆的标准方程为 （0），其中 ，两个焦点的坐标是 与 。

(2) 反过来，满足上述方程的任意一点 到 、 的距离之和都等于 ，所以这个方程就是椭圆的方程。方程只含 、 两个正参数，且 ，因此称为标准方程。

 提醒： 、、 三个量中 最大，关系是 ，不要记成 ；由方程求焦点时先用大分母减小分母算出 ，再按大分母所在项定轴。

判断

(1) 已知 ，，则椭圆的标准方程是 。（　　）

(2) 椭圆 的焦距为 。（　　）

 3．焦点在 轴上的椭圆的标准方程

把图 2 中的两个焦点改放在 轴上，即 、，重复上面的推导，只是把 与 互换位置。图 3 在同一坐标系中画出焦点分别在 轴与 轴上的两个椭圆，实心点为它们的焦点。

图 3: 蓝色实线 的焦点在 轴上，红色虚线 的焦点在 轴上，四个焦点依次为 与

(1) 焦点在 轴上的椭圆的标准方程为 （），两个焦点的坐标是与，仍有 。

(2) 判断焦点在哪条坐标轴上，只看哪个分母大：分母大的是 ，它在哪一项上，焦点就在哪条轴上。两种形式的共同特征是 、，且 、 的系数都是正数且不相等。

判断

(1) 椭圆 的焦点在 轴上。（　　）

(2) 方程 表示椭圆的条件是 且 。（　　）