3.1.2 椭圆的简单几何性质-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第一册同步讲义（学生版+教师版）

椭圆的性质 要点一、椭圆两个标准方程几何性质的比较 椭圆 与 EMBED Equation.3 的区别和联系： 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于 轴、 轴和原点对称 顶点 ， ， 轴长 长轴长= ，短轴长= 离心率 准线方程 左 右 焦半径 ， ， 要点诠释：椭圆 ， （a＞b＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a＞b＞0和 ，a2=b2+c2；椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。 要点二、椭圆的简单几何性质 椭圆的离心率 离心率：椭圆焦距与长轴长之比： EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . （ ） 当 越接近1时，c越接近a，椭圆越扁； 当 越接近0时，c越接近0，椭圆越接近圆； 当且仅当a=b时，图形为圆，方程为 如图，O为椭圆的中心，F为焦点，A为顶点，准线L交OA于B，P、Q在椭圆上，PD⊥L于D，QF⊥AD于F，设椭圆的离心率为e，则①e= EQ \f(｜PF｜,｜PD｜)；②e= EQ \f(｜QF｜,｜BF｜)；③e= EQ \f(｜AO｜,｜BO｜)； ④e= EQ \f(｜AF｜,｜BA｜)； ⑤e= EQ \f(｜FO｜,｜AO｜) 评：AQP为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④ ∵｜AO｜=a，｜OF｜=c，∴有⑤； ∵｜AO｜=a，｜BO｜= EQ \f(a2 ,c)， ∴有③ 要点诠释： 1.椭圆焦半径： 椭圆焦点在x轴上的焦半径：（左焦半径） ，（右焦半径） ， 是离心率 焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式： （ 其中 分别是椭圆的下上焦点） 2.与椭圆 EMBED Equation.3 共焦点的椭圆方程可设为： EMBED Equation.3 3.有相同离心率： （ ，焦点在x轴上）或 （ ，焦点在x轴上） 4.椭圆 的图象中线段的几何特征（如下图）： （1） ， ， ； （2） ， ， ； （3） , ， ； 要点三、直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆的位置关系 将直线的方程 与椭圆的方程 EMBED Equation.DSMT4 联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. ①Δ＞0 直线和椭圆相交 直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②Δ＝0 直线和椭圆相切 直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③Δ＜0 直线和椭圆相离 直线和椭圆无公共点． 直线与椭圆的相交弦 直线与椭圆问题（韦达定理的运用） （1）弦长公式：若直线 与圆锥曲线相交与 、 两点， 则： 弦长 EMBED Equation.3 弦长 EMBED Equation.KSEE3 这里 EMBED Equation.DSMT4 的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： ； （2）结论1：已知弦AB是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一条弦，中点M坐标为(x0，y0)，则AB的斜率为－eq \f(b2x0,a2y0) 运用点差法求AB的斜率，设A(x1，y1)，B(x2，y2)；A、B都在椭圆上，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(1, 2),a2)＋\f(y\o\al(1, 2),b2)＝1，,\f(x\o\al(2, 2),a2)＋\f(y\o\al(2, 2),b2)＝1，)) 两式相减得：eq \f(x\o\al(1, 2)－x\o\al(2, 2),a2)＋eq \f(y\o\al(1, 2)－y\o\al(2, 2),b2)＝0，∴eq \f(x1－x2x1＋x2,a2)＋eq \f(y1－y2y1＋y2,b2)＝0， 即 eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(b2x1＋x2,a2y1＋y2)＝－eq \f(b2x0,a2y0) ，故kAB＝－eq \f(b2x0,a2y0) 结论2：弦AB的斜率与弦中心M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值： 结论3：若C、D是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点，P为椭圆上不同于C、D的点，则 （3）椭圆切线的求法 1）切点（ ）已知时， 切线 切线 2）切线斜率k已知时， 切线