3.1 椭圆 3.1.1 椭圆及其标准方程 第2课时 轨迹问题 (Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教A版）

本讲义聚焦解析几何中轨迹方程的求法这一核心知识点，系统梳理定义法、相关点（代入法）、直接法的应用脉络，从椭圆定义的几何特征到动点坐标转移，再到几何条件直接翻译，构建递进式学习支架。 通过例题与变式结合（如动圆外切内切用定义法、重心轨迹用代入法），培养数学思维的推理能力与数学语言的模型观念，课中助力教师分层教学，课后素养小结帮助学生巩固方法，查漏补缺。

第2课时　轨迹问题 【学习目标】 　　1.理解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法. 　　2.能熟练地运用直接法、定义法、代入法等方法求曲线的轨迹方程. ◆ 探究点一　定义法求轨迹方程 例1 [2026·吉林实验中学高二期中] 一动圆与圆(x+3)2+y2=4外切,同时与圆(x-3)2+y2=100内切,则动圆圆心的轨迹方程是 (　 ) A.-=1 B.+=1 C.-=1 D.+=1 变式 (1)已知△ABC的周长为20,且顶点B(0,-4),C(0,4),则顶点A的轨迹方程是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.+=1(x≠0) B.+=1(x≠0) C.+=1(x≠0) D.+=1 (2)如图,已知M为圆P:(x+1)2+y2=36上的一个动点,定点Q(1,0),线段MQ的垂直平分线交线段PM于点N,则点N的轨迹方程为 (　 ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 [素养小结] 用定义法求椭圆方程的思路是先观察、分析已知条件,看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义,若符合椭圆的定义,可以先定位,再确定a,b的值. ◆ 探究点二　相关点(代入法)求轨迹方程 例2 在△ABC中,已知A(-2,0),B(2,0),2|AB|=|AC|+|BC|. (1)求顶点C的轨迹方程; (2)求△ABC的重心G的轨迹方程. 变式 [2026·福建师大附中高二期中] 在平面直角坐标系中,点M在x轴上运动,点N在y轴上运动,且|MN|=1,若点P满足=3,则点P的轨迹方程为 (　 ) A.+y2=1 B.+=1 C.+x2=1 D.+=1 [素养小结] 有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的,只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去,即可解决问题. ◆ 探究点三 　直接法求轨迹方程 例3 [教材P108例3改编] 已知△ABC的两个顶点是B(0,6)和C(0,-6),边AB,AC所在直线的斜率的乘积是-,求顶点A的轨迹方程. 变式 (1)在平面直角坐标系中,已知点Q(1,0),直线l:x=2.若动点P在直线l上的射影为R,且||=||,设点P的轨迹为C,则C的方程为 　　　　　　.  (2)[2026·沈阳五校协作体高二期中] 在平面直角坐标系xOy中,已知动点P,Q分别在x轴、y轴上,M是线段PQ上靠近P的三等分点,N为M关于x轴的对称点.若·=-3,则点M的轨迹方程为　　　　　　.  [素养小结] 直接法是求轨迹方程的最基本的方法,根据所满足的几何条件,将几何条件{M|p(M)}直接翻译成x,y的形式,即F(x,y)=0,然后进行等价变换. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　轨迹问题 【课中探究】 探究点一 例1　B　[解析] 设圆(x+3)2+y2=4的圆心为A,半径为r,圆(x-3)2+y2=100的圆心为B,半径为R,动圆圆心为M,半径为r',则A(-3,0),B(3,0),r=2,R=10,由圆M与圆A外切可得|MA|=2+r',由圆M与圆B内切可得|MB|=10-r',所以|MA|+|MB|=12>|AB|=6,所以点M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,设其方程为+=1(a>b>0),则2a=12,2c=6,所以a=6,c=3,则b2=36-9=27,所以动圆圆心的轨迹方程为+=1.故选B. 变式　(1)B　(2)C　[解析] (1)∵△ABC的周长为20,顶点B(0,-4),C(0,4),∴|BC|=8,则|AB|+|AC|=20-8=12>8,∴顶点A的轨迹是焦点在y轴上的椭圆(不含与y轴的交点).∵a=6,c=4,∴b2=20,∴顶点A的轨迹方程是+=1(x≠0).故选B. (2)连接NQ,由圆P:(x+1)2+y2=36,可得圆心为P(-1,0),半径r=6,又Q(1,0),所以|PQ|=2.因为线段MQ的垂直平分线交线段PM于点N,所以|NM|=|NQ|,则|NP|+|NQ|=|NP|+|NM|=|PM|=6>|PQ|=2,结合椭圆的定义,可得点N的轨迹是以P,Q为焦点的椭圆,其中2a=6,2c=2,可得a=3,c=1,则b2=a2-c2=8,所以点N的轨迹方程为+=1.故选C. 探究点二 例2　解:(1)由题意可得2|AB|=|AC|+|BC|=2×4=8>4,故顶点C的轨迹是以A,B为焦点的椭圆(除去与直线AB的交点),且2a=8,∴a=4, 又2c=4,∴c=2,∴b2=a2-c2=12, 故顶点C的轨迹方程为+=1(y≠0). (2)设G(x,y),C(x0,y0), 则∴ ∵+=1(y0≠0),∴+=1(y≠0), 即△ABC的重心G的轨迹方程为+=1(y≠0). 变式　D　[解析] 设M(a,0),N(0,b),P(x,y),因为|MN|=1,所以a2+b2=1.因为=3,=(x-a,y),=(-a,b),所以即代入a2+b2=1得+=1,所以点P的轨迹方程为+=1.故选D. 探究点三 例3　解:设顶点A的坐标为(x,y)(x≠0),则kAB=,kAC=. 依题意得·=-,化简可得顶点A的轨迹方程为+=1(x≠0). 变式　(1)+y2=1　(2)+y2=1　[解析] (1)设P(x,y),由||=||,得|2-x|=×,整理得C的方程为+y2=1. (2)设M(x,y),因为M是线段PQ上靠近P的三等分点,所以Q(0,3y),P,又N为M关于x轴的对称点,所以N(x,-y),所以=,=(x,-y).因为·=-3,所以-x2-3y2=-3,即+y2=1,则点M的轨迹方程为+y2=1. 学科网（北京）股份有限公司 $