北京市西城区德胜中学2026-2027年上学期九年级数学期中考试试卷

北京市西城区德胜中学2026-2027学年第一学期期中诊断 初三年级数学学科 2026.11 姓名 班级 1.本试卷共10页，共两部分，三道大题，28道小题。满分100分。考试时间120分钟。 考 2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名和班级。 生 3试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 须 4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 知 5考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。 第一部分 选择题 一、 选择题（共16分，每题2分) 第1~8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个， 1.抛物线y=2(x-1)2+3的顶点坐标是 A.(1,3) B.(-1,3) C.(1,-3) D.（-1,-3) 2.下列图形中，是中心对称图形的是 A.等边三角形 B:平行四边形 C.等腰梯形 D.正五边形 3.如图，△ABC为直角三角形，∠B=90°，AB=3,BC=4,若以点B为圆心，BA为 半径作⊙B,则△ABC斜边的中点D与⊙B的位置关系是 A.点D在⊙B上 B.点D在⊙B内 C.点D在⊙B外 D.不能确定 4.若方程(m-4xm2+6x-2=0是关于x的一元二次方程，则m的值为 A.0 B.4 C.-4 D.4或-4 5.如图是一个水平放置的圆柱形水管的截面，其中水面宽AB=24cm,半径OC⊥AB于 D,水面深度CD=8cm,则该水管的截面半径长为 A.13cm B.16cm C.17cm D.26cm 第1页（供10页） 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=2,将△ABC绕点C逆时针方 向旋转得到△ABC,点A,B的对应点分别为，B,连接 BB,若点A恰好落在AB边上，则△A'BB的周长为 A.2+4V3 B.3+2W5 C.4+4W3 b.6+2W5 7.运动员某次训练时，推出铅球后铅球在空中的飞行路线可以看作是抛物线的一部分， 铅球在空中飞行的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关 系y=ax2+bx+c(a≠0).下图记录了铅球飞行 Av/m 中的x与y的三组数据，根据上述函数模型和 3.0 2.7 数据，可推断出该铅球飞行到最高点时，水平 距离最接近的是 1.8 .2.6m 8.3m 6 x/m .3.5m D.4.8m 8.如图，在平面直角坐标系x0中，点4为双曲线)y=化>0，x>0上一点，过点4 作AB⊥y轴，垂足为点B,连接OA,点C在线段OA上，且满足OB=BC,将直线 BC绕点C顺时针旋转90°，与双曲线y=6(x>0)交于点D,连接BD.AD.若 CD=AB,则下列说法不正确的是 A.△ABO≌△DCB B.四边形OADB是平行四边形 C.点C是OA的中点 D.k=3 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9.若3是方程2x2-c=0的一个根，则常数c的值是 第2页供10页) 10.如图，点A,B,C在⊙0上，若∠ACB=50°，则∠AB0的度数是 11.如图，一次函数y=c+m(k≠0)的图象与抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)相交于A,B 两点，则关于x的不等式ax2+bx+c>+m的解集为 】e (第10题图) (第11题图) (第12题图) (第13题图) 12.中国扇文化底蕴深厚，是民族文化的重要组成部分.如图，一把扇形纸扇完全打开后， 若∠0=120°，OA=20cm,OB=5cm,则扇面ABCD的面积是 cm2, 13.某国产品牌无人机凭借人工智能精准飞控的技术优势，在销量上独占鳌头.该品牌 无人机在某次队列表演中的示意图如图所示，无人机原来排成3行4列，后来又增 加了258架，使队列增加的行数比增加的列数少2，求队列增加了多少行？设队列 增加了x行，则可列方程 14.在平面直角坐标系x0中，若点A(1,y),B(-2,2)均在反比例函数y=飞 (k<0)的图象上，则乃+2 0(填“<”“>”“=”) 15.在平面直角坐标系x0y中，将二次函数y=x2-2x+c的图象先向左平移3个单位长 度，再将其关于y轴对称，得到的新图象若过点(3,4)，则6的值为 16.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴是直线=1，与x轴的一个交点在 A(3,0)与B(4,0)之间（包含A,B两点），与y轴的交点在C(0,2)与 D(0,3)之间（包含C,D两点），部分图象如图所示.给出下面四个结论： @4a+2b+c>0,②-1≤a≤-子；®若此抛物线在-3<x<-2这 一段位于x轴下方，并且在3<x<4这一段位于x轴上方，则 ≤a≤-子：④关于x的方程am+c+e-5=0无实数根. 81 上述结论中，所有正确结论的序号是 第3页（共10页） 三、解答题（共68分，第17题8分，第18题5分，第19题6分，第20-21题每题3 分，第22题6分，第23-24题每题5分，第25题7分，第26题6分，第27-28题 每题7分) 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 17.解方程： (1)x2-2x=8; (2)x(3x-1)=2(3x-1). 18.已知关于x的一元二次方程x2-4x-m2=0. (1)求证：该方程有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个实数根名，5满足上+=-1，求m的值。 「x2 19.在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的 一个引理.如图，已知AB,C是弦AB上一点.求作：弦BF=BC. (1)尺规作图（保留作图痕迹)； ①作线段AC的垂直平分线DE,交AB于点D,垂足为E; ②以点D为圆心，DA长为半径作弧，交AB于点F(F与A不重合)，连接 BF. (2)完成下面的证明： 引理的结论为BC=BF. 证明：连接DA,DC,DF,DB. B DE为AC的垂直平分线， ∷ ∴.∠DAC=∠DCA. 四边形ABFD为圆的内接四边形， ∴.∠DAC+」 =180°( )·(填推理的依据) 第4项（共10页） 又.∠DCA+∠DCB=180°， .∠DFB=∠DCB. .AD=FD, ∴D=⑦ ∴.∠ABD=∠DBF( )(填推理的依据) 又BD=BD, ∴.△BCD≌△BFD(AAS). ∴.BC=BF. 20.如图，在5×5的方格中，每个小正方形的顶点叫作格点，下列所有标出的点均为格 点，请按要求画图 图1 图2 (1)如图1，画出与△ABC关于点O成中心对称的图形； (2)如图2，△ABC绕旋转中心顺时针旋转得到△DEF（点A,B,C的对应点分 别是点D,E,F),在图中标出旋转中心点P,并写出旋转角的度数 21.已知二次函数y=(x-1)2-3. (1)若0<x<3,则y的取值范围是 (2)若点A(a+1,五)和点B（1-a,52)在此抛物线上，则b _b2(填 “>”“=”或“<”). 第5项供10页) 22.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD⊥AB于点E,点F在⊙O上且 C=COA,连接AF. B (1)求证：AF=CD; (2)连接BF,AC,若∠CAF=30°，BF=6, 求CD的长. 23.中国女子跳水队在10米台跳水项目中成绩出色，某位运动员为备战亚运会开展10 米台跳水训练.如图1，建立平面直角坐标系xOy,设运动员所在位置的高度为y (单位：m),水平距离为x(单位：m).如果她从点A(4,10)起跳后的运动 路线可以看作抛物线的一部分，近似满足函数关系y=a(x-)2+k(a<0). (1)在一次训练中，记录了该运动员完成跳水 垂直高度血水 动作时，水平距离x与对应高度y的几组 数据，如下表： 水平距离x(单位：m) 方 5 5.5 永平离m 高度y(单位：m) 10 11.25 10 6.25 图1 根据上述数据，y与x的函数关系式为 记此次她的入 水点与原点的水平距离为d(单位：m); (2)亚运会比赛当天的某一次跳水中，她的高度y与水平距离x近似满足函数关系 y=-5.5(x-4.2)2+10.22,记此次入水点与原点的水平距离为d2（单位：m), 则4，一d2(填“>”“=”或“<”)； 第6页（共10页） (3)在比赛过程中，她选择了难度很高的207C动作（向后翻腾三周半抱膝)，从她 起跳后到达最高点B开始计时，设点B到水面的距离为c,则她到水面的距离y 与时间t之间近似满足函数关系y=-5t2+c,且她在达到最高点后需要1.5秒才 能完成207C动作.若此次跳水她的高度y与水平距离x近似地满足函数关系 y=ax2-9ax+20a+10(a<0).求她在达到最高点后能顺利完成207C动作的a 的取值范围. 24.如图，在平面直角坐标系x0中，反比例函数y=x>0)的图象经过点A(6,3)， 点B在y轴的负半轴上，AB交x轴于点C,点C为线段AB的中点， (1)求k的值和点C的坐标； (2)若点D为线段AB上的一个动点（不与A,B重合），过点D作DE∥y轴，交 反比例函数图象于点E,求△ODE面积最大时点E的坐标， 第7页（共10页） 25.德胜中学开展“校园责任田”劳动实践活动.某兴趣小组准备借助校园里一处直角墙 角（两面墙足够长），用长为m米的篱笆围成一个矩形责任田OABC(责任田只围 AB,BC两边).小组约定：如果篱笆的长度值恰好等于这块责 B 任田面积值的一半，就把这样的矩形叫作“智慧矩形”.在实 践的过程中，兴趣小组提出疑问：一定能围出“智慧矩形”吗？ 7777n77a7n2 如果能围出，篱笆长度m需要满足什么条件？ (1)建立模型.设AB=x米，BC=y米，依题意得x+y=2,从而得到y与x的 函数关系式为y=2x.再由篱笆长为m米，得x十y=m,即y=-x+.兴趣 x-2 小组的思路是利用两个函数图象来分析研究， (2)画出图象.先画出函数y= 2x的图象. x-2 ①列表：选取自变量x的若干值，计算出对应的函数值y,结果如下表， -3 3 -2 0 1 3 4 6 2 6 23 2 10 0 6 3 5 3 其中a= ②请在如图所示的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象. 65 31 2 6-5-43-2-10 123456x 2 6 第8页供10页) (3)深入分析.根据函数图象，直接写出能够围成“智慧矩形”时篱笆长m的范围 (4)拓展探究.结合图象回答，若方程4+2=t有两个不相等的实数根，则t的取 x-2 值范围是 26.已知二次函数y=ax2-4ax(a>0),点M(m,m+b)和N(n,n+b)在该二次函数的 图象上，且m≤n. (1)当a=1时，若点M和点N重合，求b的值； (2)若点M和点N不重合，且对任意满足条件的b,都有n>3,求a的取值范围. 27.如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=a(0<a<90°)，点D为线段BC上一点（不与 B,C重合)，连接AD,将AD绕点A逆时针旋转180°-2a得到线段AE,过点B 作直线m∥AC,连接ED交AC于点F,延长ED交直线m于点G: (1)当点D为BC中点时，如图1，直接写出线段EG与EF的数量关系 m B B G 图1 图2 (2)写出一个的值，使得对于任意点D,总有FG=√AD.根据题意在图2中补 全图形（点A在直线BC上方），并证明. 第9页（共10页） 28.平面直角坐标系xOy中，己知⊙0的半径为1，MN是⊙O的弦，对于线段PQ,若在 弦N上存在一点K,使得线段PQ绕点K旋转180°后得到的线段Pg的两端点都在 圆上（点P,2'分别是点P,2的对应点，且P,2不重合)，则称线段P2是弦MN 的“点反射弦线段”· (1)已知M(-1,0),N(0,-1), ①若点A(-1,-1),B（-2,-1),则在线段AM,BM,BN中，线段 是弦MN的“点反射弦线段”； ②若直线y= 2x+b上存在两个不同的点P,2,使线段P2是弦MN的“点 3 反射弦线段”，则b的取值范围是 (2)已知P(a,a),2(a叶1，a+1),若⊙0中存在长为V2的弦，使线段Pg是 这条弦的“点反射弦线段”，直接写出α的取值范围 51 5 3 2 32 54-3-2-9.12345x 方432-9 12345x -2 -3 -3 第10页（共10页）