2026-2027学年浙教版九年级数学上册期中模拟卷

2026-2027学年浙教版九年级数学上册期中模拟卷 测试范围:第1章二次函数圆的基本性质 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．下列函数中是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将各选项函数解析式化为最简形式，再结合二次函数的定义判断． 【详解】解：A选项，的最高次数为1，是一次函数，不符合题意； B选项，化简，得，是整式且二次项系数不为0，符合二次函数定义； C选项，化简，得，是一次函数，不符合题意； D选项，不是整式函数，不符合题意． 2．将二次函数图象向上平移3个单位长度，向右平移2个单位长度，得到新图象的函数表达式为，则原表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将配方为，然后反向平移即可求得原函数表达式． 【详解】解：将配方得 . 将该函数图象向左平移2个单位长度，向下平移3个单位长度，得到原函数图象， 则原函数表达式为． 3．欢欢和园园抛豆子玩游戏，每人都有3颗豆子，每局每人可以随机抛出1-3颗（且抛出1-3颗豆子的可能性相同），如果两人抛出的豆子数的和是奇数则欢欢赢，如果和是偶数则是园园赢．那么两人谁赢的可能性大（  ） A．欢欢大 B．园园大 C．两人一样大 D．无法确定 【答案】B 【分析】需列举两人抛豆的所有等可能结果，统计和为奇、偶的结果数，比较赢的可能性大小． 【详解】解：两人抛出的豆子数均有、、共种等可能情况，所有组合共种且等可能，对应和的奇偶性如下： 和为偶，和为奇，和为偶， 和为奇，和为偶，和为奇， 和为偶，和为奇，和为偶． ∵和为奇数的结果有种，和为偶数的结果有种． 又∵， ∴ 园园赢的可能性大． 4．现有4种没有标签的无色溶液（蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱），任取其中两种滴加无色酚酞溶液（友情提示：酚酞遇蒸馏水、稀盐酸不变色，酚酞遇烧碱、纯碱变红色）颜色恰好都发生变化的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】明确颜色都变化即两种溶液均能使酚酞变红，通过作树状图得到所有等可能结果，结合概率公式求解即可． 【详解】解：将蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱分别记为，其中能使酚酞溶液变色的是，根据题意，作出树状图如下， 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中颜色恰好都发生变化的结果有2种， ∴所求概率为． 5．如图，点A，B，C，D顺次分布在半径为2的上，其中是的直径，点C是弧的中点，顺次连接，，，若，则弧的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，．求出的度数，利用弧长公式进行解答即可． 【详解】解：连接，． 点C是弧的中点， ， ． ， ， ， ∴弧的长． 6．如图所示，已知过B，C两点，圆心O在等腰直角的内部，，则的半径为（　　） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据可得是的垂直平分线，再根据等腰直角三角形的性质得出，从而求出，然后根据勾股定理即可得答案． 【详解】解：连接，延长交于D， ∵为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴，则 ∴， 在中，． 7．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，且，延长，交于点，连接，．若，，则劣弧的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，求出劣弧所对的圆心角的度数，首先根据圆周角定理求出的度数，然后在中利用内角和定理求出的度数，再利用等腰三角形性质结合三角形内角和定理求出，代入弧长公式计算即可． 【详解】， ， 在中，，， ， 连接， ， ， ， ， 的半径， 劣弧的长． 8．二次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由抛物线开口方向、对称轴、与轴交点位置可判断A错误；根据当时，和可判断C正确；根据可判断B错误；由得，进而可判断D错误． 【详解】解：观察图象，抛物线开口向下， ． ∵对称轴为直线， ，即． ∵抛物线与轴交点在轴上方， ， ，故A错误． 由图象可知，当时，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，故C正确； ∴， ∴ ∵不一定小于0， 不一定成立，故B错误． 由得， ． 又∵， ，故D错误． 9．如图1，一圆弧形桥拱的圆心为，拱桥的水面跨度为，桥拱到水面的最大高度为2米．汛期水面上涨的过程中，设水面上涨的高度为（单位：），为（单位：），如图2，是关于的函数图象的一部分，图象与轴交于点，且经过点．下列选项正确的是（     ） A．拱桥的水面跨度为4米 B．拱桥的半径为4米 C．点在该函数图象上 D．该函数图象是某一个一次函数图象的一部分 【答案】C 【分析】根据图象与轴交于点，可得当时，，进一步可得A不符合题意；设拱桥的半径是r，可得，进一步可得B不符合题意；当水位上升米时，如图，可得，，进一步可得C符合题意；当水面上涨的高度为（单位：）时，可得，可得D不符合题意. 【详解】解：∵图象与轴交于点， ∴当时，， ∴（米），故A不符合题意； 设拱桥的半径是r， 则由垂径定理知，于F， ∴，， 由勾股定理知，， 则：， 解得：； 即桥拱的半径为5米；故B不符合题意； 当水位上升米时，如图， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即当时，， ∴点在该函数图象上，故C符合题意； 当水面上涨的高度为（单位：）时， 同理可得：， ∴， ∴该函数图象是某一个二次函数图象的一部分，故D不符合题意. 10．如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，．若二次函数的图象与线段有交点，则该抛物线与轴交点的纵坐标的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意先求得该抛物线的顶点坐标和n的表达式，先根据抛物线的图象与线段 有交点，结合A，B两点的坐标，根据顶点坐标推出且点一定在抛物线的下方，然后分两种情况讨论：①当点在抛物线的上方时一定满足条件，从而得到b的取值范围，进而确定n的取值范围；②当点 在抛物线的下方时，需满足抛物线的对称轴，进而确定n的取值范围，即可解答． 【详解】解：∵， ∴该抛物线开口向上，顶点坐标为；当时，， ∴抛物线与轴的交点纵坐标， ∵，两点的坐标分别为，，抛物线的图象与线段 有交点， ∴该抛物线的顶点的纵坐标，即， 又∵当 时，， ∴点一定在抛物线的下方， ∴①当点在抛物线的上方时一定满足条件， 即当时，， 解得， ∵，是关于的二次函数，抛物线开口向上，对称轴为， ∴在范围内，当时，取得最小值，当时，取得最大值， ∴； ②当点 在抛物线的下方时，需满足抛物线的对称轴， 此时对于，当时，取得最小值0，当时，取得最大值10， ∴， 综上，的取值范围是 ． 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 11．一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在，估计盒子中小球的个数为______． 【答案】25 【分析】根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为，然后根据概率公式计算的值． 本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 【详解】解：根据题意，盒子中小球的个数为：． 12．如图，阴影部分是以点为圆心，分别以，为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为______（结果保留）． 【答案】 【分析】根据，利用扇形的面积公式求解即可． 【详解】解： ． 13．如图，在平面直角坐标系中，点（其中）在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点，在线段上，分别过点，作轴的垂线交抛物线于，两点，连接． （1）________； （2）当四边形为正方形时，求线段的长为________． 【答案】 / 【分析】（1）把点代入可求出，由点在第一象限可得； （2）设E点坐标为，进而表示出F、C点坐标，利用列出方程求解即可． 【详解】解：（1）把点代入得：， 解得：， ∵点在第一象限， ∴； （2）设E点坐标为，由抛物线的对称性得F点坐标为， ∴C点坐标为， ∵四边形为正方形， ∴，即， 解得：（舍去）， ∴， ∴． 14．已知抛物线，若这两条抛物线与轴共有3个交点，则的值为___________． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了一元二次方程与二次函数的关系，先求抛物线与轴的交点，再分情况讨论与轴的交点情况，使得总交点为个. 【详解】解：， 抛物线与轴交于点和， 情况1：与轴只有一个交点， 即方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 可得方程为， 解得：， 交点坐标为，不与交点重合，成立； 情况2：经过点， 代入得， 即， ， 解方程， 可得或， 与轴交点坐标为和， 两条抛物线与轴共有个交点，成立； 情况3：经过点， 代入得， 即， ， 解方程， 可得：或， 与轴的交点坐标为和， 两条抛物线与轴共有个交点． 故答案为：或或． 15．如图，是的直径，点D是的中点，、的延长线相交于点P．若，，则和之间的数量关系为________________． 【答案】 【分析】连接，则，根据直角三角形的性质和圆内接四边形的性质求出的度数，证明，结合可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 16．如图，在中，的长为定值，，点在射线上运动，连接，过点三点的圆交于点，当的最小值为时，则的长为_____． 【答案】 【分析】要求的长，需要搞清楚是怎么取到的最小值，当、的长为定值时，由定弦对定角模型可知点在以为弦的上运动，作出图形，从而得到当三点共线时，有最小值，设的半径为，则，在中，由勾股定理列方程求出，最后在等腰中，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：连接，如图所示： ， ， ∵， ， ， ∵、的长为定值，则由定弦对定角模型可知点在以为弦的上运动，如图所示： 由圆外一定点与圆周上动点连线长度变化情况可知，当三点共线时，即运动到图中位置时，有最小值，为，表示为， ∵在中，， ， ， ， ， ， 设的半径为，则 在中，，， 则由勾股定理可得， 解得， ， 在等腰中，，，则． 【点睛】掌握定弦对定角模型得到辅助圆、圆外一定点与圆周上动点连线长度变化情况是解决问题最重要的内容． 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17．（8分）济南有众多旅游景区，皆是华夏文明的璀璨坐标．正面分别印有“趵突泉”“大明湖”“千佛山”“灵岩寺”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀． (1)若从中随机抽取一张，抽到的卡片上的景区为“趵突泉”的概率是 ； (2)若从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两次抽取的卡片正面恰好是同一景区的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）总共有4张等可能卡片，“趵突泉”占1张，直接用符合条件数量除以总数求概率； （2）用列表法得到一共有种等可能情况，从中找出两次相同的情况有4种，再计算概率． 【详解】（1）解：一共4张卡片，“趵突泉”只有1张， 抽到的卡片上的景区为“趵突泉”的概率是； （2）解：设A：“趵突泉”，B：“大明湖”，C：“千佛山”，D：“灵岩寺”， 二 一 A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 共有种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面恰好是同一景区的有种， 两次抽取的卡片正面恰好是同一景区的概率为． 18．（8分）某种小麦种子在相同条件下发芽实验的结果如下： 每批粒数 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000 发芽的频数 0 4 45 92 188 476 951 1899 2855 发芽的频率 0 0.80 0.90 0.92 0.94 0.952 0.951 0.950 0.952 (1)发芽的概率的估计值是__________．（精确到0.01） (2)若有该小麦种子12000粒，请用（1）中的概率估计能发芽的小麦种子有多少粒？ 【答案】(1)0.95； (2)11400 【分析】（1）根据大量反复试验下的频率稳定值即为概率的近似值，即得出答案； （2）用12000粒乘以（1）所得概率即可． 【详解】（1）解：由表格可知小麦种子的发芽频率在0.95左右波动， ∴该种小麦种子发芽的概率的估计值为0.95． （2）解：（粒） 答：估计能发芽的小麦种子有11400粒． 19．（8分）已知二次函数． (1)求该二次函数的顶点坐标； (2)画出此函数的图象． (3)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) ； (2)图象如下： (3)． 【分析】（1）将一般式化成顶点式即可得到顶点坐标； （2）根据（1）中所求顶点坐标，利用对称性列表，再描点，连线，即可作出该函数的图象； （3）根据图象直接写出答案即可． 【详解】（1）解：， ∴该二次函数的顶点坐标． （2）列表如下： x 0 1 2 3 4 5 ⋯   y    5 0 0 5 ⋯   （3）解：由图象可知，当时，的取值范围为． 20．（8分）如图，是的直径，点，是直径上方半圆上两点，且，与交于点． (1)求证：为的中点； (2)若，求半径． 【答案】(1)证明：∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵为的弦， ∴平分，即为的中点； (2)5 【分析】（1）根据是的直径，可得，从而得到，再由垂径定理，即可解答； （2）设的半径为r，则，，在中，利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：设的半径为r，则， ∵， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， 即半径为5． 21．（8分）在矩形中，，，以为直径作半圆（如图1），点P为边上一点．将矩形沿折叠，使得点C的对应点E恰好落在边上（如图2）． (1)求的度数； (2)求阴影部分周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据矩形和折叠的性质可得，再由勾股定理求出的长，即可解答； （2）设阴影部分所在的圆心为O，连接，根据阴影部分周长，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，， ∴，， 由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，设阴影部分所在的圆心为O，连接， 由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分周长． 22．（10分）综合与实践 【研究主题】抛绣球得分策略研究 【场地介绍】如图1，绣球训练场地中，高杆底部到两边抛球线的距离和均为，高杆高度为，球圈的半径是． 【测试方法】测试员在抛球线后将球抛出，绣球穿过高杆上方的球圈算成功一次，绣球抛出后快跑捡回，至对面抛球线后继续抛出，规定时间内穿过次数越多，得分越高． 【实践建模】如图2，测试过程中，球从点正上方的处飞出，穿过球圈后，落到点（点，，在同条直线上）．绣球大小和球圈厚度忽略不计，在不考虑空气阻力的情况下，绣球的飞行路线是抛物线，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)当绣球飞行的水平距离为时，达到最大高度． ①求关于的函数解析式； ②请判断此次抛出的绣球是否能穿过球圈，并说明理由； 【方案优化】实践发现，绣球落点的位置影响得分效率，当时，落点位于最佳区域． (2)请判断（1）中绣球的落点是否位于最佳区域，并说明理由： (3)调整绣球的轨迹，使其穿过球圈的圆心后，落点在最佳区域．设此时飞行路线的解析式为．请直接写出的取值范围． 【答案】(1)①； ②绣球能穿过球圈；理由如下： 根据题意得球圈圆心坐标为，球圈高度范围为，， 当时，， ∵， ∴绣球能穿过球圈； (2)落点不在最佳区域；理由如下： 令，则， 解得（舍去负值）； ∵， ∴， ∴， ∵最佳区域是， ∴落点不在最佳区域； (3)． 【分析】（1）①利用待定系数法求解即可； ②当时，求得，再判断出绣球能穿过球圈； （2）令，求得，再判断出落点不在最佳区域； （3）根据题意求得解析式为，分别求得，和，时，的值，据此求解即可． 【详解】（1）解：①根据题意得顶点坐标为， 设函数解析式为， 代入得， 解得， ∴函数解析式为，即； ②略 （2）解：略 （3）解：代入得， 即， 整理得， ∴解析式为， 令，则， ∵是正根，且，抛物线开口向下，， 当，：， 解得； 当，：， 解得； ∴的取值范围为． 23．（10分）如图，在中，，，点是线段上一点，以为腰在上方作等腰三角形． (1)如图，若点是的中点，，，求的长； (2)如图，连接，当，在线段上取点，连接，使得，求证：； (3)如图，若，为线段上一点，连接，，为线段上一点，，平分，在射线上取一点，使得，为上一点，，连接、，当取得最大值时，求的长． 【答案】(1)； (2) 证明：是的外角， ， ， ， 由（1）可知， ， ， ， ， ， 为等腰三角形，， 为等边三角形， ，， 如图，过点作，并使得，连接，延长交于点， ，， ， ， 为等边三角形， ，， ， 三点共线， 为等腰三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 为的外角， ， ，， ， ， ， ； (3)． 【分析】（1）过点作交于点，过点作交于点，先根据题意求出，结合直角三角形的性质和勾股定理求出，，，，最后运用勾股定理求出，以及结合为等腰即可求解； （2）先通过等量代换推出，证明为等边三角形，再过点作，并使得，连接，延长交于点，证明为等边三角形，推出，运用全等性质可得，，推出，证明，即可推出，最后结合题意并运用三角形内角和的性质换角推出，，即可证明； （3）如图，过点作交于点，连接，根据，可得当三点共线时，为最大值，如图，再结合题意和勾股定理及直角三角形的性质求出，，，证明，推出，，，然后设，求出，接着过点作，，分别交的延长线，线段，射线于点，运用角平分线的性质求出，，，，最后过点作，并与的延长线交于点，作的外接圆，连接，根据圆和等腰三角形的性质分别证明，，即可推出为等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作交于点，过点作交于点， 在中，，，， ，， ，， ，， 在中，，，， ， 根据勾股定理，， ，， 为中点， ， 在中，，，， ， 根据勾股定理，， ， 在中，，，， 根据勾股定理，， 为等腰三角形，， ， 根据勾股定理，． （2）略； （3）如图，过点作交于点，连接， ， 当三点共线时，为最大值，如图， 在中，，， ， ， ， ，， ， ， ， ，， 在中，，，， ， 根据勾股定理，，即，解得， ，，， 在和中，，， ， ，，， ， ，， 设， ，， ， 如图，过点作，，分别交的延长线，线段，射线于点， 平分，，， ， ，，， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， 如图，过点作，并与的延长线交于点，作的外接圆，连接， ，， ， ， 四点共圆， 在上， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， 为等腰直角三角形， ， 根据勾股定理，， ． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于，两点（在的左侧），连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴交于点．点，为抛物线对称轴上的动点（点在点的下方），且，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出，结合题意可得，再利用待定系数法计算即可得出结果； （2）求出，从而可得直线的表达式为，设点，则点，表示出，结合二次函数的性质可得当时，取得最大值，此时，，将点向下平移1个单位得到点，连接，由平移的性质可得，，则四边形为平行四边形，从而可得，由此计算即可得出结果； （3）先求出新抛物线的表达式为，直线的表达式为，再分两种情况：当点在下方时，当点在上方时，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 由题意得， 解得， 则抛物线的表达式为：； （2）解：在中，令，则， 解得，， ∴， 由（1）可得，， 设直线的解析式为， 将和代入解析式得， 解得， ∴直线的表达式为， 设点，则点， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，此时，， ∵， ∴将点向下平移1个单位得到点，连接， 由平移的性质可得，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴为最小； （3）解：由（2）可得直线的表达式为， ∵将该抛物线沿射线方向平移， ∴设抛物线向左平移个单位，则向下也平移了个单位， ∴新抛物线的表达式为， 将点的坐标代入上式得， 解得， ∴新抛物线的表达式为， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴直线的表达式为， 当点在下方时， ， ∴， ∴设直线的解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立上式和新抛物线的表达式得， ∴， 解得（舍去）或， 即点， 令直线与轴交于点， 在中，当时，， 解得， ∴； 当点在上方时，作点关于直线的对称点，作直线交新的抛物线于点， 由轴对称的性质可得，，点和的中点在直线上， 设，则， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴点， 同理可得直线的表达式为， 联立上式和新抛物线的表达式得， ∴， 解得（舍去）或， 即点； 综上，点的坐标为或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年浙教版九年级数学上册期中模拟卷 测试范围:第1章二次函数圆的基本性质 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．下列函数中是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．将二次函数图象向上平移3个单位长度，向右平移2个单位长度，得到新图象的函数表达式为，则原表达式为（     ） A． B． C． D． 3．欢欢和园园抛豆子玩游戏，每人都有3颗豆子，每局每人可以随机抛出1-3颗（且抛出1-3颗豆子的可能性相同），如果两人抛出的豆子数的和是奇数则欢欢赢，如果和是偶数则是园园赢．那么两人谁赢的可能性大（  ） A．欢欢大 B．园园大 C．两人一样大 D．无法确定 4．现有4种没有标签的无色溶液（蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱），任取其中两种滴加无色酚酞溶液（友情提示：酚酞遇蒸馏水、稀盐酸不变色，酚酞遇烧碱、纯碱变红色）颜色恰好都发生变化的概率是（     ） A． B． C． D． 5．如图，点A，B，C，D顺次分布在半径为2的上，其中是的直径，点C是弧的中点，顺次连接，，，若，则弧的长为（     ） A． B． C． D． 6．如图所示，已知过B，C两点，圆心O在等腰直角的内部，，则的半径为（　　） A．5 B． C． D． 7．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，且，延长，交于点，连接，．若，，则劣弧的长为（     ） A． B． C． D． 8．二次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（） A． B． C． D． 9．如图1，一圆弧形桥拱的圆心为，拱桥的水面跨度为，桥拱到水面的最大高度为2米．汛期水面上涨的过程中，设水面上涨的高度为（单位：），为（单位：），如图2，是关于的函数图象的一部分，图象与轴交于点，且经过点．下列选项正确的是（     ） A．拱桥的水面跨度为4米 B．拱桥的半径为4米 C．点在该函数图象上 D．该函数图象是某一个一次函数图象的一部分 10．如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，．若二次函数的图象与线段有交点，则该抛物线与轴交点的纵坐标的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 11．一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在，估计盒子中小球的个数为______． 12．如图，阴影部分是以点为圆心，分别以，为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为______（结果保留）． 13．如图，在平面直角坐标系中，点（其中）在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点，在线段上，分别过点，作轴的垂线交抛物线于，两点，连接． （1）________； （2）当四边形为正方形时，求线段的长为________． 14．已知抛物线，若这两条抛物线与轴共有3个交点，则的值为___________． 15．如图，是的直径，点D是的中点，、的延长线相交于点P．若，，则和之间的数量关系为________________． 16．如图，在中，的长为定值，，点在射线上运动，连接，过点三点的圆交于点，当的最小值为时，则的长为_____． 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17．（8分）济南有众多旅游景区，皆是华夏文明的璀璨坐标．正面分别印有“趵突泉”“大明湖”“千佛山”“灵岩寺”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀． (1)若从中随机抽取一张，抽到的卡片上的景区为“趵突泉”的概率是 ； (2)若从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两次抽取的卡片正面恰好是同一景区的概率． 18．（8分）某种小麦种子在相同条件下发芽实验的结果如下： 每批粒数 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000 发芽的频数 0 4 45 92 188 476 951 1899 2855 发芽的频率 0 0.80 0.90 0.92 0.94 0.952 0.951 0.950 0.952 (1)发芽的概率的估计值是__________．（精确到0.01） (2)若有该小麦种子12000粒，请用（1）中的概率估计能发芽的小麦种子有多少粒？ 19．（8分）已知二次函数． (1)求该二次函数的顶点坐标； (2)画出此函数的图象． (3)当时，直接写出的取值范围． 20．（8分）如图，是的直径，点，是直径上方半圆上两点，且，与交于点． (1)求证：为的中点； (2)若，求半径． 21．（8分）在矩形中，，，以为直径作半圆（如图1），点P为边上一点．将矩形沿折叠，使得点C的对应点E恰好落在边上（如图2）． (1)求的度数； (2)求阴影部分周长． 22．（10分）综合与实践 【研究主题】抛绣球得分策略研究 【场地介绍】如图1，绣球训练场地中，高杆底部到两边抛球线的距离和均为，高杆高度为，球圈的半径是． 【测试方法】测试员在抛球线后将球抛出，绣球穿过高杆上方的球圈算成功一次，绣球抛出后快跑捡回，至对面抛球线后继续抛出，规定时间内穿过次数越多，得分越高． 【实践建模】如图2，测试过程中，球从点正上方的处飞出，穿过球圈后，落到点（点，，在同条直线上）．绣球大小和球圈厚度忽略不计，在不考虑空气阻力的情况下，绣球的飞行路线是抛物线，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)当绣球飞行的水平距离为时，达到最大高度． ①求关于的函数解析式； ②请判断此次抛出的绣球是否能穿过球圈，并说明理由； 【方案优化】实践发现，绣球落点的位置影响得分效率，当时，落点位于最佳区域． (2)请判断（1）中绣球的落点是否位于最佳区域，并说明理由： (3)调整绣球的轨迹，使其穿过球圈的圆心后，落点在最佳区域．设此时飞行路线的解析式为．请直接写出的取值范围． 23．（10分）如图，在中，，，点是线段上一点，以为腰在上方作等腰三角形． (1)如图，若点是的中点，，，求的长； (2)如图，连接，当，在线段上取点，连接，使得，求证：； (3)如图，若，为线段上一点，连接，，为线段上一点，，平分，在射线上取一点，使得，为上一点，，连接、，当取得最大值时，求的长． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于，两点（在的左侧），连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴交于点．点，为抛物线对称轴上的动点（点在点的下方），且，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $