福建省南平市2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷（二）数学

福建省南平市 2026—2027 学年九年级上学期期中模拟卷（二） 数　学 （满分：150 分　　答题时间：120 分钟） 原创模拟卷 · 非考试真题 · 仅供期中复习检测 考试科目：数学　　适用年级：九年级（九年级上册）　　学期范围：第一学期期中（人教版九年级上册：一元二次方程、二次函数、图形的旋转） 注意事项：1．本卷为原创模拟卷，非考试真题。2．全卷共 25 题，分选择题、填空题、解答题三部分，满分 150 分，答题时间 120 分钟。3．答题前请将姓名、班级、座号填写在答题卡指定位置。4．答案一律写在答题卡上，写在试卷上无效。 一、选择题（共 10 题，每小题 4 分，共 40 分） 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（4 分）方程 x²=3x 的解是（　　） A. x=3　　B. x=0　　C. x₁=0，x₂=3　　D. x₁=0，x₂=−3 2．（4 分）关于二次函数 y=x²−4x+3 的图象，下列说法正确的是（　　） A. 开口向下　　B. 对称轴是直线 x=−2　　C. 顶点坐标是 (2,−1)　　D. 当 x=0 时，y 取得最小值 3．（4 分）在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8。将 △ABC 绕点 B 按顺时针方向旋转 90° 得到 △A′BC′，则线段 AA′ 的长为（　　） A. 6√2　　B. 8√2　　C. 10　　D. 10√2 4．（4 分）若 x₁、x₂ 是方程 2x²−4x−1=0 的两个实数根，则 x₁²x₂+x₁x₂² 的值为（　　） A. −1　　B. 1　　C. −2　　D. 2 5．（4 分）将抛物线 y=−2x²+4x+1 关于 x 轴翻折，所得抛物线的解析式为（　　） A. y=2x²+4x+1　　B. y=2x²−4x−1　　C. y=−2x²−4x+1　　D. y=2x²−4x+1 6．（4 分）已知点 P(2a−1, a+3) 关于原点的对称点在第四象限，则 a 的取值范围是（　　） A. a<1/2　　B. −3<a<1/2　　C. a>−3　　D. a<−3 或 a>1/2 7．（4 分）若方程 x²−3x+m=0 有两个不相等的实数根，且 m 为整数，则 m 的最大值是（　　） A. 1　　B. 2　　C. 3　　D. 4 8．（4 分）直线 y=x−1 与抛物线 y=x²−2x−3 的公共点个数是（　　） A. 0　　B. 1　　C. 2　　D. 3 9．（4 分）如图，将 △ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 35° 得到 △A′B′C，A′B′ 与 AC 相交于点 D。若 ∠A′DC=90°，则 ∠A 的度数为（　　） A. 35°　　B. 45°　　C. 55°　　D. 65° 10．（4 分）已知抛物线 y=ax²+bx+c 的对称轴为直线 x=2，且经过点 (0,3)、(−1,0)。下列结论： ①a>0；②b=−4a；③当 x>2 时，y 随 x 的增大而减小；④方程 ax²+bx+c=0 的两根之和为 4。 其中正确的结论有（　　） A. ②③　　B. ①②　　C. ②③④　　D. ①③④ 二、填空题（共 6 题，每小题 4 分，共 24 分） 11．（4 分）若 x=1 是关于 x 的方程 x²+mx−3=0 的一个根，则 m 的值为______。 12．（4 分）抛物线 y=−(x+2)²+5 的顶点坐标是______。 13．（4 分）在平面直角坐标系中，点 P(−2,3) 关于 x 轴对称的点为 P′，则 P′ 关于原点对称的点 P″ 的坐标为______。 14．（4 分）若二次函数 y=x²−2mx+3 的图象在 x<1 的部分上，y 随 x 的增大而减小，则 m 的取值范围是______。 15．（4 分）若关于 x 的方程 x²−(k+1)x+k=0 的两根之差为 3，则 k 的值为______。 16．（4 分）将抛物线 y=x²−2x+3 绕它的顶点旋转 180°，所得抛物线的解析式为______。 三、解答题（共 9 题，共 86 分） 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8 分）用适当的方法解下列方程： （1）x²−4x−5=0；（4 分） （2）3x²−5x+1=0。（4 分） 18．（8 分）某小区有一块长 30 m、宽 20 m 的矩形空地，计划在空地中间修筑两条小路：一条平行于长边、一条平行于宽边，两条小路的宽度相同，其余部分种植草坪。若草坪的面积为 504 m²，求小路的宽度。 （1）设小路的宽度为 x m，列出关于 x 的方程；（4 分） （2）求小路的宽度。（4 分） 19．（8 分）如图，△ABC 是等边三角形，AB=4，D 是边 BC 的中点。将 △ABD 绕点 A 按顺时针方向旋转 60° 得到 △ACE。 （1）求证：△ADE 是等边三角形；（4 分） （2）求 ∠BCE 的度数。（4 分） 20．（8 分）如图，某河上有一座抛物线形拱桥，正常水位时水面宽 AB=8 m，拱顶 P 到水面的距离为 4 m。以水面 AB 所在直线为 x 轴、AB 的中点为原点建立平面直角坐标系。 （1）求这条抛物线的解析式；（4 分） （2）当水位上升 1 m 时，水面的宽度是多少米？（4 分） 21．（8 分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点分别为 A(2,1)、B(4,3)、C(1,4)。 （1）画出 △ABC 绕原点 O 按逆时针方向旋转 90° 后得到的 △A₁B₁C₁，并写出点 A₁、B₁、C₁ 的坐标；（4 分） （2）求 △A₁B₁C₁ 的面积。（4 分） 22．（10 分）已知抛物线 y=ax²+bx+c 经过点 A(−3,0)、B(1,0)、C(0,3)。 （1）求该抛物线的解析式；（4 分） （2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴；（3 分） （3）当 −2≤x≤2 时，求 y 的最大值与最小值。（3 分） 23．（10 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在边 BC 上，BE=1。将 △ABE 绕点 A 按逆时针方向旋转 90° 得到 △ADG。 （1）求证：点 C、D、G 在同一条直线上；（4 分） （2）求 CG 的长及 △AEG 的面积。（6 分） 24．（12 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=6 cm，BC=8 cm。点 P 从点 A 出发沿 AB 向点 B 以 1 cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 出发沿 BC 向点 C 以 2 cm/s 的速度移动，两点同时出发，运动时间为 t s。 （1）用含 t 的式子表示 PB 与 BQ 的长，并写出 t 的取值范围；（4 分） （2）经过多少秒，△PBQ 的面积等于 8 cm²？（5 分） （3）△PBQ 的面积能否等于 10 cm²？请说明理由。（3 分） 25．（14 分）如图，抛物线 y=x²−2x−3 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C。 （1）求点 A、B、C 的坐标及抛物线的顶点 D 的坐标；（4 分） （2）点 P 是抛物线对称轴上的一点，若 △PBC 是等腰三角形，求点 P 的坐标；（6 分） （3）点 M 是抛物线上的一个点，若 S△ABM=2S△ABC，求点 M 的坐标。（4 分） 数学试卷　第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省南平市 2026—2027 学年九年级上学期期中模拟卷（二） 数　学 （教师卷·含答案与解析） （满分：150 分　　答题时间：120 分钟） 原创模拟卷 · 非考试真题 · 仅供期中复习检测 考试科目：数学　　适用年级：九年级（九年级上册）　　学期范围：第一学期期中（人教版九年级上册：一元二次方程、二次函数、图形的旋转） 注意事项：1．本卷为原创模拟卷，非考试真题。2．全卷共 25 题，分选择题、填空题、解答题三部分，满分 150 分，答题时间 120 分钟。3．答题前请将姓名、班级、座号填写在答题卡指定位置。4．答案一律写在答题卡上，写在试卷上无效。 一、选择题（共 10 题，每小题 4 分，共 40 分） 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（4 分）方程 x²=3x 的解是（　　） A. x=3　　B. x=0　　C. x₁=0，x₂=3　　D. x₁=0，x₂=−3 【答案】 C 【解析】 移项得 x²−3x=0，因式分解得 x(x−3)=0，所以 x=0 或 x−3=0，即 x₁=0，x₂=3。注意不能在方程两边同时除以 x，否则会丢掉 x=0 这个根。故选 C。 2．（4 分）关于二次函数 y=x²−4x+3 的图象，下列说法正确的是（　　） A. 开口向下　　B. 对称轴是直线 x=−2　　C. 顶点坐标是 (2,−1)　　D. 当 x=0 时，y 取得最小值 【答案】 C 【解析】 y=x²−4x+3=(x−2)²−1。因为 a=1>0，开口向上，A 错误；对称轴为直线 x=2，B 错误；顶点为 (2,−1)，C 正确；x=0 时 y=3，而开口向上的抛物线在顶点 x=2 处取得最小值 −1，故 D 错误。故选 C。 3．（4 分）在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8。将 △ABC 绕点 B 按顺时针方向旋转 90° 得到 △A′BC′，则线段 AA′ 的长为（　　） A. 6√2　　B. 8√2　　C. 10　　D. 10√2 【答案】 D 【解析】 在 Rt△ABC 中，BA=√(6²+8²)=10。由旋转得 BA′=BA=10，且旋转角 ∠ABA′=90°，所以 △ABA′ 是等腰直角三角形，AA′=√2·BA=10√2。故选 D。 4．（4 分）若 x₁、x₂ 是方程 2x²−4x−1=0 的两个实数根，则 x₁²x₂+x₁x₂² 的值为（　　） A. −1　　B. 1　　C. −2　　D. 2 【答案】 A 【解析】 由根与系数的关系得 x₁+x₂=2，x₁x₂=−1/2。x₁²x₂+x₁x₂²=x₁x₂(x₁+x₂)=(−1/2)×2=−1。故选 A。 5．（4 分）将抛物线 y=−2x²+4x+1 关于 x 轴翻折，所得抛物线的解析式为（　　） A. y=2x²+4x+1　　B. y=2x²−4x−1　　C. y=−2x²−4x+1　　D. y=2x²−4x+1 【答案】 B 【解析】 关于 x 轴对称的两点横坐标相同、纵坐标互为相反数，把 y 换成 −y 得 −y=−2x²+4x+1，即 y=2x²−4x−1。故选 B。 6．（4 分）已知点 P(2a−1, a+3) 关于原点的对称点在第四象限，则 a 的取值范围是（　　） A. a<1/2　　B. −3<a<1/2　　C. a>−3　　D. a<−3 或 a>1/2 【答案】 B 【解析】 点 P 关于原点的对称点为 Q(1−2a, −a−3)。Q 在第四象限，则横坐标为正、纵坐标为负：1−2a>0 得 a<1/2；−a−3<0 得 a>−3。所以 −3<a<1/2。故选 B。 7．（4 分）若方程 x²−3x+m=0 有两个不相等的实数根，且 m 为整数，则 m 的最大值是（　　） A. 1　　B. 2　　C. 3　　D. 4 【答案】 B 【解析】 Δ=(−3)²−4m=9−4m>0，解得 m<9/4。小于 9/4 的最大整数是 2。故选 B。 8．（4 分）直线 y=x−1 与抛物线 y=x²−2x−3 的公共点个数是（　　） A. 0　　B. 1　　C. 2　　D. 3 【答案】 C 【解析】 联立得 x−1=x²−2x−3，整理得 x²−3x−2=0。Δ=(−3)²−4×1×(−2)=17>0，方程有两个不相等的实数根，故两图象有两个公共点。故选 C。 9．（4 分）如图，将 △ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 35° 得到 △A′B′C，A′B′ 与 AC 相交于点 D。若 ∠A′DC=90°，则 ∠A 的度数为（　　） A. 35°　　B. 45°　　C. 55°　　D. 65° 【答案】 C 【解析】 由旋转得 ∠ACA′=35°，∠A=∠A′。点 D 在 AC 上，故 ∠A′CD=∠ACA′=35°。在 △A′CD 中，∠A′DC=90°，所以 ∠A′=180°−90°−35°=55°，从而 ∠A=55°。故选 C。 10．（4 分）已知抛物线 y=ax²+bx+c 的对称轴为直线 x=2，且经过点 (0,3)、(−1,0)。下列结论： ①a>0；②b=−4a；③当 x>2 时，y 随 x 的增大而减小；④方程 ax²+bx+c=0 的两根之和为 4。 其中正确的结论有（　　） A. ②③　　B. ①②　　C. ②③④　　D. ①③④ 【答案】 C 【解析】 由对称轴 x=−b/(2a)=2 得 b=−4a，②正确。图象过 (0,3) 得 c=3；过 (−1,0) 得 a−b+c=0，代入 b=−4a、c=3 得 a+4a+3=0，a=−3/5<0，①错误。a<0 开口向下，对称轴右侧（x>2）y 随 x 的增大而减小，③正确。设两根为 x₁、x₂，则 x₁+x₂=−b/a=4，④正确。故选 C。 二、填空题（共 6 题，每小题 4 分，共 24 分） 11．（4 分）若 x=1 是关于 x 的方程 x²+mx−3=0 的一个根，则 m 的值为______。 【答案】 2 【解析】 把 x=1 代入得 1+m−3=0，解得 m=2。 12．（4 分）抛物线 y=−(x+2)²+5 的顶点坐标是______。 【答案】 (−2,5) 【解析】 y=a(x−h)²+k 的顶点为 (h,k)，此处 h=−2，k=5，故顶点为 (−2,5)。 13．（4 分）在平面直角坐标系中，点 P(−2,3) 关于 x 轴对称的点为 P′，则 P′ 关于原点对称的点 P″ 的坐标为______。 【答案】 (2,3) 【解析】 P(−2,3) 关于 x 轴对称得 P′(−2,−3)；P′(−2,−3) 关于原点对称得 P″(2,3)。 14．（4 分）若二次函数 y=x²−2mx+3 的图象在 x<1 的部分上，y 随 x 的增大而减小，则 m 的取值范围是______。 【答案】 m≥1 【解析】 抛物线开口向上，对称轴为直线 x=m，当 x<m 时 y 随 x 的增大而减小。要使 x<1 的全体取值都落在递减区间内，需 m≥1。 15．（4 分）若关于 x 的方程 x²−(k+1)x+k=0 的两根之差为 3，则 k 的值为______。 【答案】 4 或 −2 【解析】 因式分解得 (x−1)(x−k)=0，两根为 1 和 k。由两根之差为 3 得 |k−1|=3，所以 k=4 或 k=−2。当 k=4 时两根为 1、4；当 k=−2 时两根为 1、−2，均符合题意。 16．（4 分）将抛物线 y=x²−2x+3 绕它的顶点旋转 180°，所得抛物线的解析式为______。 【答案】 y=−x²+2x+1 【解析】 y=x²−2x+3=(x−1)²+2，顶点为 (1,2)。绕顶点旋转 180° 后开口方向相反、顶点不变，故新抛物线为 y=−(x−1)²+2，即 y=−x²+2x+1。 三、解答题（共 9 题，共 86 分） 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8 分）用适当的方法解下列方程： （1）x²−4x−5=0；（4 分） （2）3x²−5x+1=0。（4 分） 【答案】 （1）x₁=−1，x₂=5；（2）x₁=(5+√13)/6，x₂=(5−√13)/6。 【解析】 （1）因式分解得 (x+1)(x−5)=0，所以 x+1=0 或 x−5=0，即 x₁=−1，x₂=5。 （2）a=3，b=−5，c=1，Δ=(−5)²−4×3×1=13>0，x=(5±√13)/6，即 x₁=(5+√13)/6，x₂=(5−√13)/6。 18．（8 分）某小区有一块长 30 m、宽 20 m 的矩形空地，计划在空地中间修筑两条小路：一条平行于长边、一条平行于宽边，两条小路的宽度相同，其余部分种植草坪。若草坪的面积为 504 m²，求小路的宽度。 （1）设小路的宽度为 x m，列出关于 x 的方程；（4 分） （2）求小路的宽度。（4 分） 【答案】 （1）(30−x)(20−x)=504；（2）2 m。 【解析】 （1）两条小路把草坪拼成一个长为 (30−x) m、宽为 (20−x) m 的矩形（把两条小路分别平移到大矩形的一边，草坪面积不变），故 (30−x)(20−x)=504。 （2）展开整理得 600−50x+x²=504，即 x²−50x+96=0。因式分解得 (x−2)(x−48)=0，所以 x=2 或 x=48。因为小路宽度必须小于 20 m，故 x=48 不合题意，取 x=2。答：小路的宽度为 2 m。 19．（8 分）如图，△ABC 是等边三角形，AB=4，D 是边 BC 的中点。将 △ABD 绕点 A 按顺时针方向旋转 60° 得到 △ACE。 （1）求证：△ADE 是等边三角形；（4 分） （2）求 ∠BCE 的度数。（4 分） 【答案】 （1）证明见解析；（2）∠BCE=120°。 【解析】 （1）由旋转得 AD=AE，∠DAE=60°。又 AD=AE，所以 △ADE 是等腰三角形，且顶角为 60°，故 △ADE 是等边三角形。 （2）由旋转得 △ABD≌△ACE，所以 ∠ACE=∠ABD。因为 △ABC 是等边三角形，点 D 在边 BC 上，所以 ∠ABD=∠ABC=60°，从而 ∠ACE=60°。又 ∠ACB=60°，点 C 在 ∠BCE 的内部，所以 ∠BCE=∠BCA+∠ACE=60°+60°=120°。 20．（8 分）如图，某河上有一座抛物线形拱桥，正常水位时水面宽 AB=8 m，拱顶 P 到水面的距离为 4 m。以水面 AB 所在直线为 x 轴、AB 的中点为原点建立平面直角坐标系。 （1）求这条抛物线的解析式；（4 分） （2）当水位上升 1 m 时，水面的宽度是多少米？（4 分） 【答案】 （1）y=−(1/4)x²+4；（2）4√3 m。 【解析】 （1）抛物线的顶点为 (0,4)，与 x 轴交于 A(−4,0)、B(4,0)。设 y=ax²+4，把 B(4,0) 代入得 16a+4=0，a=−1/4，所以 y=−(1/4)x²+4。 （2）水位上升 1 m 后，水面所在直线为 y=1。令 −(1/4)x²+4=1，得 x²=12，x=±2√3。所以水面宽度为 2√3−(−2√3)=4√3（m）。答：水面宽度为 4√3 m。 21．（8 分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点分别为 A(2,1)、B(4,3)、C(1,4)。 （1）画出 △ABC 绕原点 O 按逆时针方向旋转 90° 后得到的 △A₁B₁C₁，并写出点 A₁、B₁、C₁ 的坐标；（4 分） （2）求 △A₁B₁C₁ 的面积。（4 分） 【答案】 （1）A₁(−1,2)，B₁(−3,4)，C₁(−4,1)，图略；（2）4。 【解析】 （1）点 (x,y) 绕原点逆时针旋转 90° 后对应点为 (−y,x)。所以 A(2,1)→A₁(−1,2)，B(4,3)→B₁(−3,4)，C(1,4)→C₁(−4,1)。 （2）用割补法：△ABC 的外接矩形在 x 方向跨 3 个单位、y 方向跨 3 个单位，面积为 9；三个角上的直角三角形面积分别为 3/2、2、3/2，故 S△ABC=9−3/2−2−3/2=4。旋转不改变图形的大小，所以 S△A₁B₁C₁=4。 22．（10 分）已知抛物线 y=ax²+bx+c 经过点 A(−3,0)、B(1,0)、C(0,3)。 （1）求该抛物线的解析式；（4 分） （2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴；（3 分） （3）当 −2≤x≤2 时，求 y 的最大值与最小值。（3 分） 【答案】 （1）y=−x²−2x+3；（2）顶点 (−1,4)，对称轴为直线 x=−1；（3）最大值 4，最小值 −5。 【解析】 （1）设 y=a(x+3)(x−1)，把 C(0,3) 代入得 3=a×3×(−1)=−3a，a=−1，所以 y=−(x+3)(x−1)=−x²−2x+3。 （2）y=−(x²+2x)+3=−(x+1)²+4，顶点为 (−1,4)，对称轴为直线 x=−1。 （3）抛物线开口向下，顶点在 −2≤x≤2 内，故 x=−1 时 y 取最大值 4；x=−2 时 y=3，x=2 时 y=−4−4+3=−5，故最小值为 −5。 23．（10 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在边 BC 上，BE=1。将 △ABE 绕点 A 按逆时针方向旋转 90° 得到 △ADG。 （1）求证：点 C、D、G 在同一条直线上；（4 分） （2）求 CG 的长及 △AEG 的面积。（6 分） 【答案】 （1）证明见解析；（2）CG=5，S△AEG=17/2。 【解析】 （1）由旋转得 △ADG≌△ABE，所以 ∠ADG=∠ABE=90°。又正方形中 ∠ADC=90°，于是 ∠GDC=∠GDA+∠ADC=90°+90°=180°，故点 C、D、G 在同一条直线上（G 在 CD 的延长线上）。 （2）由旋转得 DG=BE=1，而 CD=4，所以 CG=CD+DG=5。又 AG=AE=√(4²+1²)=√17，∠EAG=90°（旋转角），所以 S△AEG=(1/2)×AE×AG=(1/2)×√17×√17=17/2。 24．（12 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=6 cm，BC=8 cm。点 P 从点 A 出发沿 AB 向点 B 以 1 cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 出发沿 BC 向点 C 以 2 cm/s 的速度移动，两点同时出发，运动时间为 t s。 （1）用含 t 的式子表示 PB 与 BQ 的长，并写出 t 的取值范围；（4 分） （2）经过多少秒，△PBQ 的面积等于 8 cm²？（5 分） （3）△PBQ 的面积能否等于 10 cm²？请说明理由。（3 分） 【答案】 （1）PB=(6−t) cm，BQ=2t cm，0≤t≤4；（2）2 s 或 4 s；（3）不能，理由见解析。 【解析】 （1）P 移动了 t cm，故 PB=(6−t) cm；Q 移动了 2t cm，故 BQ=2t cm。因为 Q 到达点 C 时运动结束，2t≤8，所以 0≤t≤4（此时 PB=6−t>0）。 （2）S△PBQ=(1/2)·PB·BQ=(1/2)(6−t)(2t)=t(6−t)。由 t(6−t)=8 得 t²−6t+8=0，因式分解得 (t−2)(t−4)=0，所以 t=2 或 t=4。两个值都在 0≤t≤4 内，故经过 2 s 或 4 s，△PBQ 的面积等于 8 cm²。 （3）不能。因为 S△PBQ=t(6−t)=−(t−3)²+9，当 t=3 时取最大值 9，所以 △PBQ 的面积最大为 9 cm²，不可能等于 10 cm²。 25．（14 分）如图，抛物线 y=x²−2x−3 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C。 （1）求点 A、B、C 的坐标及抛物线的顶点 D 的坐标；（4 分） （2）点 P 是抛物线对称轴上的一点，若 △PBC 是等腰三角形，求点 P 的坐标；（6 分） （3）点 M 是抛物线上的一个点，若 S△ABM=2S△ABC，求点 M 的坐标。（4 分） 【答案】 （1）A(−1,0)，B(3,0)，C(0,−3)，D(1,−4)；（2）(1,−1)、(1,√14)、(1,−√14)、(1,−3+√17)、(1,−3−√17)；（3）(1+√10,6) 或 (1−√10,6)。 【解析】 （1）令 y=0 得 x²−2x−3=0，解得 x=−1 或 x=3，故 A(−1,0)，B(3,0)；令 x=0 得 y=−3，故 C(0,−3)。y=(x−1)²−4，顶点 D(1,−4)。 （2）对称轴为直线 x=1，设 P(1,t)。则 BC²=(3−0)²+(0+3)²=18，PB²=(1−3)²+t²=4+t²，PC²=(1−0)²+(t+3)²=t²+6t+10。 ①若 PB=PC，则 4+t²=t²+6t+10，解得 t=−1，P(1,−1)； ②若 PB=BC，则 4+t²=18，解得 t=±√14，P₁(1,√14)，P₂(1,−√14)； ③若 PC=BC，则 t²+6t+10=18，即 t²+6t−8=0，解得 t=−3±√17，P₃(1,−3+√17)，P₄(1,−3−√17)。 经检验，这五个点都不与 B、C 重合，故点 P 的坐标为 (1,−1)、(1,√14)、(1,−√14)、(1,−3+√17)、(1,−3−√17)。 （3）AB=3−(−1)=4，S△ABC=(1/2)×AB×OC=(1/2)×4×3=6，故 S△ABM=12。设 M(x,y)，则 (1/2)×4×|y|=12，|y|=6，即 y=6 或 y=−6。 当 y=6 时，x²−2x−3=6，即 x²−2x−9=0，解得 x=1±√10，得 M₁(1+√10,6)，M₂(1−√10,6)； 当 y=−6 时，x²−2x−3=−6，即 x²−2x+3=0，Δ=4−12=−8<0，方程无实数根。 所以点 M 的坐标为 (1+√10,6) 或 (1−√10,6)。 数学试卷　第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $