福建省南平市2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷数学试卷

福建省南平市 2026—2027 学年九年级上学期期中模拟卷 数　学 （满分：150 分　　答题时间：120 分钟） 原创模拟卷 · 非考试真题 · 仅供期中复习检测 考试科目：数学　　适用年级：九年级（九年级上册）　　学期范围：第一学期期中（人教版九年级上册：一元二次方程、二次函数、图形的旋转） 注意事项：1．本卷为原创模拟卷，非考试真题。2．全卷共 25 题，分选择题、填空题、解答题三部分，满分 150 分，答题时间 120 分钟。3．答题前请将姓名、班级、座号填写在答题卡指定位置。4．答案一律写在答题卡上，写在试卷上无效。 一、选择题（共 10 题，每小题 4 分，共 40 分） 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（4 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 等边三角形　　B. 平行四边形　　C. 正八边形　　D. 正五边形 2．（4 分）若关于 x 的方程 (k−1)x²+2x−1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（　　） A. k>0　　B. k>0 且 k≠1　　C. k>−1 且 k≠1　　D. k≥0 且 k≠1 3．（4 分）已知二次函数 y=ax²+bx+c（a≠0）中 x 与 y 的部分对应值如下表： x −2 −1 0 1 2 y 5 0 −3 −4 −3 则下列结论中错误的是（　　） A. abc<0　　B. 该抛物线的对称轴是直线 x=1　　C. 当 −1<x<3 时，y<0　　D. 方程 ax²+bx+c=0 的两个根是 x₁=−1，x₂=3 4．（4 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=35°，将 △ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转得到 △A′B′C，点 B 的对应点 B′ 恰好落在边 AB 上，则旋转角的度数为（　　） A. 35°　　B. 55°　　C. 70°　　D. 110° 5．（4 分）若实数 x、y 满足 (x²+y²+1)(x²+y²−2)=4，则 x²+y² 的值为（　　） A. −2 或 3　　B. 3　　C. 2　　D. −3 或 2 6．（4 分）将抛物线 y=x²−2x−3 向右平移 m（m>0）个单位长度后，所得抛物线经过原点，则 m 的值为（　　） A. 1　　B. 2　　C. 3　　D. 4 7．（4 分）设 x₁、x₂ 是方程 x²−3x−1=0 的两个实数根，则 x₁²+3x₂ 的值为（　　） A. 9　　B. 10　　C. 11　　D. 12 8．（4 分）在 △ABC 中，AB=AC，∠BAC=40°，将 △ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 30° 得到 △AB′C′，连接 BB′、CC′。下列结论中错误的是（　　） A. BB′=CC′　　B. ∠ABB′=∠ACC′　　C. BB′∥AC　　D. △ABB′≌△ACC′ 9．（4 分）已知抛物线 y=ax²+bx+c 经过点 A(−1,0)、B(3,0)，且与 y 轴交于正半轴，则不等式 a(x−2)²+b(x−2)+c<0 的解集是（　　） A. x<−1 或 x>3　　B. 1<x<5　　C. x<1 或 x>5　　D. −1<x<3 10．（4 分）已知二次函数 y=ax²+bx+c（a≠0）的图象开口向下，对称轴为直线 x=1，且经过点 (−1,0)。下列结论：①abc>0；②4a+2b+c>0；③方程 ax²+bx+c=0 的另一个根为 x=3；④当 y>0 时，x 的取值范围是 −1<x<3。其中正确的结论有（　　） A. ①②③　　B. ②③④　　C. ①③④　　D. ①②④ 二、填空题（共 6 题，每小题 4 分，共 24 分） 11．（4 分）在平面直角坐标系中，点 P(3,−2) 关于原点对称的点 Q 的坐标是______。 12．（4 分）若关于 x 的一元二次方程 (m−2)x²+3x+m²−4=0 有一个根为 0，则 m 的值为______。 13．（4 分）二次函数 y=x²−4x+5 在 0≤x≤4 上的最大值与最小值之和为______。 14．（4 分）在平面直角坐标系中，点 A(3,0)、B(0,4)，将线段 AB 绕点 A 旋转 90° 得到线段 AB′，则点 B′ 的坐标为______。 15．（4 分）已知抛物线 y=ax²+bx+c 经过点 (−2,0) 和 (4,0)，且 a<0。若 A(m,y₁)、B(m+1,y₂) 是该抛物线上的两点，当 y₁<y₂ 时，m 的取值范围是______。 16．（4 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，∠EAF=45°，连接 EF。若正方形 ABCD 的边长为 6，EF=5，则 △CEF 的周长为______。 三、解答题（共 9 题，共 86 分） 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8 分）用适当的方法解下列方程： （1）x²−6x+5=0；（4 分） （2）2x²−4x−1=0。（4 分） 18．（8 分）在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(−1,3)、B(−4,1)、C(−2,0)。 （1）画出 △ABC 关于原点 O 成中心对称的 △A₁B₁C₁，并写出点 A₁ 的坐标；（3 分） （2）将 △ABC 绕点 O 按顺时针方向旋转 90° 得到 △A₂B₂C₂，画出 △A₂B₂C₂；（3 分） （3）求 △A₁B₁C₁ 的面积。（2 分） 19．（8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x²−(2k+1)x+k²+k=0。 （1）求证：无论 k 取何值，该方程总有两个不相等的实数根；（4 分） （2）若 △ABC 的两边 AB、AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边 BC 的长为 5，当 △ABC 是等腰三角形时，求 k 的值。（4 分） 20．（8 分）某农户计划用长 60 m 的篱笆围成一个矩形菜园，菜园的一边利用长为 36 m 的墙（靠墙的一边不需要篱笆），并在菜园中间用一道与墙垂直的篱笆把菜园隔成两个全等的小矩形。设垂直于墙的篱笆长为 x m。 （1）求菜园面积 S（单位：m²）关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；（4 分） （2）当 x 为何值时，菜园的面积最大？最大面积是多少？（4 分） 21．（8 分）某商店销售一种进价为每件 40 元的商品，当售价为每件 60 元时，每月可售出 200 件。市场调查发现，售价每降低 1 元，每月销量可增加 20 件。 （1）若售价每件降低 x 元（0≤x<20），用含 x 的式子分别表示每月的销量和每件商品的利润；（3 分） （2）若商店希望每月销售这种商品的利润为 4480 元，且尽可能让顾客受益，则售价应定为每件多少元？（5 分） 22．（10 分）已知二次函数 y=−x²+2x+3。 （1）求该抛物线的顶点坐标以及它与 x 轴的交点坐标；（4 分） （2）当 −1≤x≤4 时，求 y 的最大值与最小值；（3 分） （3）若关于 x 的方程 −x²+2x+3=k 在 −1<x<3 内有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围。（3 分） 23．（10 分）如图，点 O 是等边三角形 ABC 内的一点，∠AOB=110°，∠BOC=135°。将 △BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60° 得到 △ADC，连接 OD。 （1）求证：△COD 是等边三角形；（3 分） （2）求 ∠ADO 的度数；（3 分） （3）探究：当 ∠BOC=α 时，是否存在 α 的值，使 △AOD 是等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的 α 的值；若不存在，请说明理由。（4 分） 24．（12 分）如图，已知抛物线 y=ax²+bx+c 与 x 轴交于 A(−1,0)、B(3,0) 两点，与 y 轴交于点 C(0,3)。 （1）求该抛物线的解析式；（4 分） （2）点 P 是直线 BC 上方抛物线上的一个动点，过点 P 作 PD⊥x 轴，交直线 BC 于点 D，求线段 PD 长度的最大值及此时点 P 的坐标；（4 分） （3）点 Q 是抛物线对称轴上的一点，是否存在点 Q，使 △QBC 为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由。（4 分） 25．（14 分）如图，在等边三角形 ABC 中，AB=6，点 D 是边 BC 上一动点（不与点 B、C 重合），将线段 AD 绕点 A 按逆时针方向旋转 60° 得到线段 AE，连接 CE、DE。 （1）求证：△ABD≌△ACE；（3 分） （2）在点 D 的运动过程中，∠DCE 的度数是否发生变化？若不变，求出这个度数；若变化，请说明理由；（3 分） （3）当 BD=2 时，求 DE 的长；（4 分） （4）在点 D 的运动过程中，求 △ADE 面积的最小值。（4 分） 数学试卷　第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省南平市 2026—2027 学年九年级上学期期中模拟卷 数　学 （教师卷·含答案与解析） （满分：150 分　　答题时间：120 分钟） 原创模拟卷 · 非考试真题 · 仅供期中复习检测 考试科目：数学　　适用年级：九年级（九年级上册）　　学期范围：第一学期期中（人教版九年级上册：一元二次方程、二次函数、图形的旋转） 注意事项：1．本卷为原创模拟卷，非考试真题。2．全卷共 25 题，分选择题、填空题、解答题三部分，满分 150 分，答题时间 120 分钟。3．答题前请将姓名、班级、座号填写在答题卡指定位置。4．答案一律写在答题卡上，写在试卷上无效。 一、选择题（共 10 题，每小题 4 分，共 40 分） 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（4 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 等边三角形　　B. 平行四边形　　C. 正八边形　　D. 正五边形 【答案】 C 【解析】 等边三角形、正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形；平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形；正八边形绕中心旋转 180° 能与自身重合，且有 8 条对称轴，两者都满足。故选 C。 2．（4 分）若关于 x 的方程 (k−1)x²+2x−1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（　　） A. k>0　　B. k>0 且 k≠1　　C. k>−1 且 k≠1　　D. k≥0 且 k≠1 【答案】 B 【解析】 方程是一元二次方程，故 k−1≠0，即 k≠1。又 Δ=2²−4(k−1)×(−1)=4k>0，得 k>0。所以 k>0 且 k≠1。故选 B。 3．（4 分）已知二次函数 y=ax²+bx+c（a≠0）中 x 与 y 的部分对应值如下表： x −2 −1 0 1 2 y 5 0 −3 −4 −3 则下列结论中错误的是（　　） A. abc<0　　B. 该抛物线的对称轴是直线 x=1　　C. 当 −1<x<3 时，y<0　　D. 方程 ax²+bx+c=0 的两个根是 x₁=−1，x₂=3 【答案】 A 【解析】 由表知 x=0 与 x=2 时 y 都为 −3，故对称轴为 x=1；x=1 时 y=−4 为最小值，得顶点 (1,−4)，设 y=a(x−1)²−4，代入 (0,−3) 得 a=1，所以 y=x²−2x−3，即 a=1>0，b=−2<0，c=−3<0，abc=6>0，A 错误。B、C、D 均正确。故选 A。 4．（4 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=35°，将 △ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转得到 △A′B′C，点 B 的对应点 B′ 恰好落在边 AB 上，则旋转角的度数为（　　） A. 35°　　B. 55°　　C. 70°　　D. 110° 【答案】 C 【解析】 由旋转得 CB=CB′，故 ∠CBB′=∠CB′B。在 Rt△ABC 中 ∠ABC=90°−35°=55°，即 ∠CBB′=55°，所以 ∠BCB′=180°−2×55°=70°。旋转角为 ∠BCB′=70°。故选 C。 5．（4 分）若实数 x、y 满足 (x²+y²+1)(x²+y²−2)=4，则 x²+y² 的值为（　　） A. −2 或 3　　B. 3　　C. 2　　D. −3 或 2 【答案】 B 【解析】 设 t=x²+y²。因为 x、y 都是实数，所以 t≥0。原等式化为 (t+1)(t−2)=4，即 t²−t−2=4，t²−t−6=0，因式分解得 (t−3)(t+2)=0，故 t=3 或 t=−2。由 t≥0 舍去 t=−2，所以 x²+y²=3。故选 B。 6．（4 分）将抛物线 y=x²−2x−3 向右平移 m（m>0）个单位长度后，所得抛物线经过原点，则 m 的值为（　　） A. 1　　B. 2　　C. 3　　D. 4 【答案】 A 【解析】 y=x²−2x−3=(x−1)²−4，向右平移 m 个单位得 y=(x−1−m)²−4。因其过原点，令 x=0 得 (1+m)²−4=0，即 (1+m)²=4，1+m=±2。由 m>0 得 m=1。故选 A。 7．（4 分）设 x₁、x₂ 是方程 x²−3x−1=0 的两个实数根，则 x₁²+3x₂ 的值为（　　） A. 9　　B. 10　　C. 11　　D. 12 【答案】 B 【解析】 由根的定义得 x₁²=3x₁+1，故 x₁²+3x₂=3x₁+1+3x₂=3(x₁+x₂)+1。由根与系数的关系 x₁+x₂=3，所以原式=3×3+1=10。故选 B。 8．（4 分）在 △ABC 中，AB=AC，∠BAC=40°，将 △ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 30° 得到 △AB′C′，连接 BB′、CC′。下列结论中错误的是（　　） A. BB′=CC′　　B. ∠ABB′=∠ACC′　　C. BB′∥AC　　D. △ABB′≌△ACC′ 【答案】 C 【解析】 由旋转得 AB=AB′，AC=AC′，∠BAB′=∠CAC′=30°，所以 △ABB′≌△ACC′（SAS），从而 BB′=CC′，∠ABB′=∠ACC′，A、B、D 都正确。又 AB=AB′，∠BAB′=30°，得 ∠ABB′=75°，而 ∠BAC=40°，若 BB′∥AC 应有 ∠ABB′=∠BAC=40°，矛盾，故 C 错误。选 C。 9．（4 分）已知抛物线 y=ax²+bx+c 经过点 A(−1,0)、B(3,0)，且与 y 轴交于正半轴，则不等式 a(x−2)²+b(x−2)+c<0 的解集是（　　） A. x<−1 或 x>3　　B. 1<x<5　　C. x<1 或 x>5　　D. −1<x<3 【答案】 C 【解析】 由题意 y=a(x+1)(x−3)，与 y 轴交点纵坐标为 −3a>0，故 a<0，抛物线开口向下，y<0 的解集为 x<−1 或 x>3。令 t=x−2，则 a(x−2)²+b(x−2)+c=a(t+1)(t−3)<0，即 t<−1 或 t>3，所以 x−2<−1 或 x−2>3，得 x<1 或 x>5。故选 C。 10．（4 分）已知二次函数 y=ax²+bx+c（a≠0）的图象开口向下，对称轴为直线 x=1，且经过点 (−1,0)。下列结论：①abc>0；②4a+2b+c>0；③方程 ax²+bx+c=0 的另一个根为 x=3；④当 y>0 时，x 的取值范围是 −1<x<3。其中正确的结论有（　　） A. ①②③　　B. ②③④　　C. ①③④　　D. ①②④ 【答案】 B 【解析】 由开口向下得 a<0；由对称轴 x=−b/(2a)=1 得 b=−2a>0；由过 (−1,0) 得 a−b+c=0，即 c=b−a=−3a>0。所以 abc<0，①错误。点 (−1,0) 关于 x=1 的对称点为 (3,0)，故另一根为 3，③正确。开口向下时 y>0 的解集为 −1<x<3，④正确。x=2 在 −1 与 3 之间，此时 y>0，即 4a+2b+c>0，②正确。故选 B。 二、填空题（共 6 题，每小题 4 分，共 24 分） 11．（4 分）在平面直角坐标系中，点 P(3,−2) 关于原点对称的点 Q 的坐标是______。 【答案】 (−3,2) 【解析】 关于原点对称的两点横、纵坐标都互为相反数，故 Q(−3,2)。 12．（4 分）若关于 x 的一元二次方程 (m−2)x²+3x+m²−4=0 有一个根为 0，则 m 的值为______。 【答案】 −2 【解析】 把 x=0 代入得 m²−4=0，m=±2。又 m−2≠0，即 m≠2，所以 m=−2。 13．（4 分）二次函数 y=x²−4x+5 在 0≤x≤4 上的最大值与最小值之和为______。 【答案】 6 【解析】 y=(x−2)²+1，顶点 (2,1) 在区间内，最小值 1；端点处 x=0 与 x=4 时 y 都为 5，最大值 5。故和为 6。 14．（4 分）在平面直角坐标系中，点 A(3,0)、B(0,4)，将线段 AB 绕点 A 旋转 90° 得到线段 AB′，则点 B′ 的坐标为______。 【答案】 (7,3) 或 (−1,−3) 【解析】 旋转方向未指定，需分两种情况。向量 AB=(0−3,4−0)=(−3,4)。①若绕点 A 逆时针旋转 90°，由 (x,y)→(−y,x) 得 (−4,−3)，故 B′(3−4,0−3)=(−1,−3)；②若绕点 A 顺时针旋转 90°，由 (x,y)→(y,−x) 得 (4,3)，故 B′(3+4,0+3)=(7,3)。所以点 B′ 的坐标为 (7,3) 或 (−1,−3)。 15．（4 分）已知抛物线 y=ax²+bx+c 经过点 (−2,0) 和 (4,0)，且 a<0。若 A(m,y₁)、B(m+1,y₂) 是该抛物线上的两点，当 y₁<y₂ 时，m 的取值范围是______。 【答案】 m<1/2 【解析】 抛物线对称轴为 x=1。因 a<0，开口向下，点到对称轴的距离越小函数值越大。y₁<y₂ 等价于 B 比 A 更靠近对称轴，即 |m+1−1|<|m−1|，亦即 |m|<|m−1|。两边平方得 m²<m²−2m+1，解得 m<1/2。 16．（4 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，∠EAF=45°，连接 EF。若正方形 ABCD 的边长为 6，EF=5，则 △CEF 的周长为______。 【答案】 12 【解析】 把 △ABE 绕点 A 逆时针旋转 90° 得 △ADG，则 AG=AE，∠GAF=∠GAD+∠DAF=∠BAE+∠DAF=45°=∠EAF，又 AF 公用，故 △AEF≌△AGF，EF=GF=GD+DF=BE+DF。所以 △CEF 的周长=CE+CF+EF=(6−BE)+(6−DF)+EF=12−(BE+DF)+EF=12−5+5=12。 三、解答题（共 9 题，共 86 分） 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8 分）用适当的方法解下列方程： （1）x²−6x+5=0；（4 分） （2）2x²−4x−1=0。（4 分） 【答案】 （1）x₁=1，x₂=5；（2）x₁=(2+√6)/2，x₂=(2−√6)/2。 【解析】 （1）因式分解得 (x−1)(x−5)=0，所以 x−1=0 或 x−5=0，即 x₁=1，x₂=5。 （2）a=2，b=−4，c=−1，Δ=(−4)²−4×2×(−1)=24>0，x=(4±2√6)/4=(2±√6)/2，即 x₁=(2+√6)/2，x₂=(2−√6)/2。 18．（8 分）在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(−1,3)、B(−4,1)、C(−2,0)。 （1）画出 △ABC 关于原点 O 成中心对称的 △A₁B₁C₁，并写出点 A₁ 的坐标；（3 分） （2）将 △ABC 绕点 O 按顺时针方向旋转 90° 得到 △A₂B₂C₂，画出 △A₂B₂C₂；（3 分） （3）求 △A₁B₁C₁ 的面积。（2 分） 【答案】 （1）A₁(1,−3)，B₁(4,−1)，C₁(2,0)，图略；（2）A₂(3,1)，B₂(1,4)，C₂(0,2)，图略；（3）7/2。 【解析】 （1）关于原点对称的点横、纵坐标都互为相反数，故 A₁(1,−3)、B₁(4,−1)、C₁(2,0)。 （2）点 (x,y) 绕原点顺时针旋转 90° 后对应点为 (y,−x)，故 A(−1,3)→A₂(3,1)，B(−4,1)→B₂(1,4)，C(−2,0)→C₂(0,2)。 （3）用割补法：△ABC 的外接矩形在 x 方向跨 3 个单位、y 方向跨 3 个单位，面积为 9；三个角上的直角三角形面积分别为 3、1、3/2，故 S=9−3−1−3/2=7/2。中心对称不改变图形大小，所以 △A₁B₁C₁ 的面积为 7/2。 19．（8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x²−(2k+1)x+k²+k=0。 （1）求证：无论 k 取何值，该方程总有两个不相等的实数根；（4 分） （2）若 △ABC 的两边 AB、AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边 BC 的长为 5，当 △ABC 是等腰三角形时，求 k 的值。（4 分） 【答案】 （1）证明见解析；（2）k=4 或 k=5。 【解析】 （1）Δ=[−(2k+1)]²−4(k²+k)=4k²+4k+1−4k²−4k=1>0，所以无论 k 取何值，方程总有两个不相等的实数根。 （2）由求根公式得 x=[(2k+1)±1]/2，故两根为 x₁=k+1，x₂=k（k+1>k）。 ①若 AB=AC，则 k+1=k，不成立； ②若 AB=BC=5，则 k+1=5，k=4，此时三边为 5、4、5，符合三角形三边关系； ③若 AC=BC=5，则 k=5，此时三边为 5、6、5，符合三角形三边关系。 综上，k=4 或 k=5。 20．（8 分）某农户计划用长 60 m 的篱笆围成一个矩形菜园，菜园的一边利用长为 36 m 的墙（靠墙的一边不需要篱笆），并在菜园中间用一道与墙垂直的篱笆把菜园隔成两个全等的小矩形。设垂直于墙的篱笆长为 x m。 （1）求菜园面积 S（单位：m²）关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；（4 分） （2）当 x 为何值时，菜园的面积最大？最大面积是多少？（4 分） 【答案】 （1）S=−3x²+60x（8≤x<20）；（2）x=10 时面积最大，最大面积为 300 m²。 【解析】 （1）垂直于墙的篱笆共 3 道（两条边和一道隔断），平行于墙的一边长为 60−3x。由墙长 36 m 得 0<60−3x≤36，解得 8≤x<20。所以 S=x(60−3x)=−3x²+60x（8≤x<20）。 （2）S=−3(x−10)²+300。因为 8≤x<20，x=10 在取值范围内，所以当 x=10 时 S 取最大值 300。即垂直于墙的篱笆长 10 m 时，菜园面积最大，最大面积为 300 m²。 21．（8 分）某商店销售一种进价为每件 40 元的商品，当售价为每件 60 元时，每月可售出 200 件。市场调查发现，售价每降低 1 元，每月销量可增加 20 件。 （1）若售价每件降低 x 元（0≤x<20），用含 x 的式子分别表示每月的销量和每件商品的利润；（3 分） （2）若商店希望每月销售这种商品的利润为 4480 元，且尽可能让顾客受益，则售价应定为每件多少元？（5 分） 【答案】 （1）每月销量为 (200+20x) 件，每件利润为 (20−x) 元；（2）每件 54 元。 【解析】 （1）售价每降低 1 元销量增加 20 件，故售价降低 x 元后，每月销量为 (200+20x) 件；此时每件售价为 (60−x) 元，每件利润为 (60−x)−40=(20−x) 元。 （2）由“每月利润=每件利润×月销量”得 (20−x)(200+20x)=4480。整理得 20x²−200x+480=0，两边同除以 20 得 x²−10x+24=0，因式分解得 (x−4)(x−6)=0，所以 x₁=4，x₂=6。两个值都满足 0≤x<20，但当 x=4 时售价为 56 元，当 x=6 时售价为 54 元；因要尽可能让顾客受益，应取降价较多的 x=6，此时售价为 60−6=54（元）。答：售价应定为每件 54 元。 22．（10 分）已知二次函数 y=−x²+2x+3。 （1）求该抛物线的顶点坐标以及它与 x 轴的交点坐标；（4 分） （2）当 −1≤x≤4 时，求 y 的最大值与最小值；（3 分） （3）若关于 x 的方程 −x²+2x+3=k 在 −1<x<3 内有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围。（3 分） 【答案】 （1）顶点 (1,4)，与 x 轴交于 (−1,0)、(3,0)；（2）最大值 4，最小值 −5；（3）0<k<4。 【解析】 （1）y=−(x²−2x)+3=−(x−1)²+4，顶点为 (1,4)。令 y=0 得 −(x−1)²+4=0，即 (x−1)²=4，x−1=±2，故与 x 轴交于 (−1,0)、(3,0)。 （2）抛物线开口向下，对称轴 x=1 在 −1≤x≤4 内，故 x=1 时 y 取最大值 4；x=4 时 y=−16+8+3=−5，x=−1 时 y=0，故最小值 −5。 （3）在 −1<x<3 内，图象从 (−1,0) 上升到顶点 (1,4) 再下降到 (3,0)。直线 y=k 与该段图象有两个不同公共点，需 0<k<4（k=4 时只有一个公共点，k≤0 时至多一个公共点）。 23．（10 分）如图，点 O 是等边三角形 ABC 内的一点，∠AOB=110°，∠BOC=135°。将 △BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60° 得到 △ADC，连接 OD。 （1）求证：△COD 是等边三角形；（3 分） （2）求 ∠ADO 的度数；（3 分） （3）探究：当 ∠BOC=α 时，是否存在 α 的值，使 △AOD 是等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的 α 的值；若不存在，请说明理由。（4 分） 【答案】 （1）证明见解析；（2）∠ADO=75°；（3）存在，α=110°、125° 或 140°。 【解析】 （1）由旋转得 CO=CD，∠OCD=60°（旋转角），所以 △COD 是等边三角形。 （2）由旋转得 △BOC≌△ADC，故 ∠ADC=∠BOC=135°。又 △COD 是等边三角形，∠CDO=60°，所以 ∠ADO=∠ADC−∠CDO=135°−60°=75°。 （3）存在。由旋转得 ∠ADC=α，∠CDO=60°，故 ∠ADO=α−60°。又 ∠AOC=360°−∠AOB−∠BOC=250°−α，∠COD=60°，所以 ∠AOD=∠AOC−∠COD=190°−α，从而 ∠OAD=180°−(α−60°)−(190°−α)=50°。 ①若 ∠ADO=∠AOD，则 α−60=190−α，得 α=125； ②若 ∠ADO=∠OAD，则 α−60=50，得 α=110； ③若 ∠AOD=∠OAD，则 190−α=50，得 α=140。 以上三个 α 值都满足 0<α<190°，点 O 能在三角形内部。故 α=110°、125° 或 140°。 24．（12 分）如图，已知抛物线 y=ax²+bx+c 与 x 轴交于 A(−1,0)、B(3,0) 两点，与 y 轴交于点 C(0,3)。 （1）求该抛物线的解析式；（4 分） （2）点 P 是直线 BC 上方抛物线上的一个动点，过点 P 作 PD⊥x 轴，交直线 BC 于点 D，求线段 PD 长度的最大值及此时点 P 的坐标；（4 分） （3）点 Q 是抛物线对称轴上的一点，是否存在点 Q，使 △QBC 为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由。（4 分） 【答案】 （1）y=−x²+2x+3；（2）PD 的最大值为 9/4，此时 P(3/2,15/4)；（3）存在，Q 的坐标为 (1,−2)、(1,4)、(1,(3+√17)/2)、(1,(3−√17)/2)。 【解析】 （1）设 y=a(x+1)(x−3)，代入 C(0,3) 得 −3a=3，a=−1，故 y=−(x+1)(x−3)=−x²+2x+3。 （2）直线 BC 过 B(3,0)、C(0,3)，解析式为 y=−x+3。设 P(t,−t²+2t+3)（0<t<3），则 D(t,−t+3)，PD=(−t²+2t+3)−(−t+3)=−t²+3t=−(t−3/2)²+9/4。当 t=3/2 时 PD 取最大值 9/4，此时 P(3/2,15/4)。 （3）存在。对称轴为直线 x=1，设 Q(1,q)，则 BC²=18，QB²=(1−3)²+q²=4+q²，QC²=1+(q−3)²。 ①若 ∠QBC=90°，则 QB²+BC²=QC²，即 4+q²+18=1+(q−3)²，解得 q=−2，Q(1,−2)； ②若 ∠QCB=90°，则 QC²+BC²=QB²，即 1+(q−3)²+18=4+q²，解得 q=4，Q(1,4)； ③若 ∠BQC=90°，则 QB²+QC²=BC²，即 4+q²+1+(q−3)²=18，整理得 q²−3q−2=0，q=(3±√17)/2。 综上，Q 的坐标为 (1,−2)、(1,4)、(1,(3+√17)/2)、(1,(3−√17)/2)。 25．（14 分）如图，在等边三角形 ABC 中，AB=6，点 D 是边 BC 上一动点（不与点 B、C 重合），将线段 AD 绕点 A 按逆时针方向旋转 60° 得到线段 AE，连接 CE、DE。 （1）求证：△ABD≌△ACE；（3 分） （2）在点 D 的运动过程中，∠DCE 的度数是否发生变化？若不变，求出这个度数；若变化，请说明理由；（3 分） （3）当 BD=2 时，求 DE 的长；（4 分） （4）在点 D 的运动过程中，求 △ADE 面积的最小值。（4 分） 【答案】 （1）证明见解析；（2）不变化，∠DCE=120°；（3）DE=2√7；（4）最小值为 27√3/4。 【解析】 （1）因为 △ABC 是等边三角形，所以 AB=AC，∠BAC=60°。由旋转得 AD=AE，∠DAE=60°。于是 ∠BAD=∠BAC−∠DAC=60°−∠DAC，∠CAE=∠DAE−∠DAC=60°−∠DAC，故 ∠BAD=∠CAE。所以 △ABD≌△ACE（SAS）。 （2）不变化。由（1）得 ∠ACE=∠ABD=60°，所以 ∠DCE=∠ACB+∠ACE=60°+60°=120°，与点 D 的位置无关。 （3）由（1）得 CE=BD=2，而 CD=BC−BD=4。过点 E 作 EH⊥DC，交 DC 的延长线于 H，则 ∠ECH=180°−120°=60°。在 Rt△ECH 中，CE=2，得 CH=1，EH=√3，故 DH=DC+CH=5。在 Rt△EDH 中，DE=√(DH²+EH²)=√(25+3)=2√7。 （4）由 AD=AE，∠DAE=60° 得 △ADE 是等边三角形，故 S△ADE=(√3/4)AD²。当 AD⊥BC 时 AD 最小，此时 AD=(√3/2)×6=3√3（D 为 BC 中点，符合条件），所以 S 的最小值为 (√3/4)×(3√3)²=(√3/4)×27=27√3/4。 数学试卷　第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $