宁夏回族自治区银川一中2026-2027学年高二上学期期中考试数学试卷

银川一中2026/2027学年度(上)高二期中考试 数 学 试 卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．直线的倾斜角为 A． B． C． D． 2．已知双曲线的左右焦点分别是，，是双曲线上一点，若， 则 A．5 B． C． D． 3．已知是抛物线的焦点，为抛物线上一点．若，则点的横坐标 为 A． B．16 C．18 D． 4．已知直线，双曲线，则 A．直线与双曲线有且只有一个公共点 B．直线与双曲线的左支有两个公共点 C．直线与双曲线的右支有两个公共点 D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点 5．已知焦点在轴上的双曲线的渐近线与圆有公共点，则双曲线的离心 率的取值范围为 A． B． C． D． 6．设抛物线C的焦点为F，点E是C的准线与C的对称轴的交点，点P在C上，若， 则 A． B． C． D． 7．已知圆与圆交于两点，若点在 直线上，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 8．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时， A． B． C． D． 二．多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．已知直线，，则 A．当时，直线的一个方向向量为 B．若与相互平行，则 C．若，则 D．若不经过第二象限，则 10．双曲线C：的左右焦点分别是，，左右顶点分别是A，B，两渐近线分别是，，M在双曲线C上，其中O是坐标原点，则下列说法正确的是 A．焦点到渐近线的距离是3 B．若，则的面积是9 C．直线的斜率为，直线的斜率为，则 D．过右顶点B作的平行线交于P点，若的面积为3，则双曲线的离心率为 11．已知正方体中，棱长为，为正方形的中心．为底面 所在平面上的一个动点，则下列命题正确的是 A．若，则的轨迹是椭圆 B．若，则的轨迹是圆 C．若到直线，距离相等，则的轨迹是抛物线 D．若到直线，距离相等，则的轨迹是双曲线 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．设为常数，若点是双曲线的一个焦点，则__________. 13．若椭圆C:上有不同的两点关于直线对称，则中点的坐标为______. 14．如图，双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的 光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过 双曲线的另一个焦点.若双曲线 的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图中 的，两点反射后，分别经过点和，且 ，，则的离心率为________. 四、解答题（共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分） （1）求焦点在轴上，焦点到准线的距离为的抛物线的标准方程 （2）求以（-4，0），（4，0）为焦点，且过点的椭圆的标准方程. （3）求焦点在y轴上，焦距为10，且渐近线方程为的双曲线的标准方程． 16．（15分） 已知圆过点，，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）若倾斜角为的直线与圆交于两点，且，求直线的方程． 17．（15分） 已知椭圆与双曲线有公共焦点，点是和在第一象限的一个公共点，为坐标原点。 （1）求的值； （2）判断的形状，并求其面积 18．（17分） 已知双曲线的标准方程，点，与坐标轴都不垂直的直线（不过点）交的右支于两点. （1）求双曲线的离心率和渐近线方程； （2）若 ①求证：直线过轴上的定点 ②若以为直径的圆被直线截得的劣弧为，则弧所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 19．（17分） 已知两条定直线，动点到两直线的距离的平方和等于，设动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）直线与曲线交于，两点，点在第一象限，点在第四象限，且满足直线与直线的斜率之积为，若点为曲线的左顶点，且满足，直线与交于，直线与交于. ①证明：为定值； ②是否存在常数，使得四边形的面积是面积的倍？若存在求出，若不存在说明理由. 高二期中 数学卷 第1页(共2页) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二期中答案 1．直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线方程可得直线斜率，结合斜率定义可得倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 直线即为，其斜率， 即，可得， 所以直线的倾斜角为. 故选：B. 2．已知双曲线的左右焦点分别是，，是双曲线上一点，若，则（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义结合焦半径的范围，即可求解． 【详解】由已知，又，所以， 故选：D． 3．已知是抛物线的焦点，为抛物线上一点．若，则点的横坐标为（    ） A． B．16 C．18 D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用抛物线的定义转化为点到抛物线的准线的距离等于，列出方程，即可求解. 【详解】由抛物线，可得，所以准线方程为， 如图所示，设点其中，且 过点作，垂足为， 由抛物线的定义得，点到抛物线的准线的距离等于， 即， 所以，解得，即点的横坐标为. 故选：C. 4．已知直线，双曲线，则（    ） A．直线与双曲线有且只有一个公共点 B．直线与双曲线的左支有两个公共点 C．直线与双曲线的右支有两个公共点 D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点 【答案】C 【分析】发现点在双曲线的右顶点的右边，联立直线与双曲线方程并画出图形即可得到答案. 【详解】在同一平面直角坐标系中分别画出与 的图象如图所示： 由图可知直线过点，它在双曲线的右顶点 的右边， 联立直线与双曲线方程得，解得或， 则直线与双曲线的右支有两个公共点. 故选：C. 5．已知焦点在轴上的双曲线的渐近线与圆有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为：，将该渐近线与圆有公共点，转化为圆心到渐近线的距离小于或等于圆的半径，列出相应的关系式，求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】由，得. 记圆的圆心为，半径为. 设焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为：，即. 由题可知，，化简得：. 由，得. 化简，得，所以. 双曲线的离心率的取值范围为. 故选：B. 6．设抛物线C的焦点为F，点E是C的准线与C的对称轴的交点，点P在C上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设，根据图形分别表示出和即可得解. 【详解】由于抛物线的对称性，不妨设抛物线为，则其焦点为， 点是的准线与的对称轴的交点，其坐标为， 点在上，设为，若， 则， 且，则. 故选：B. 7．已知圆与圆交于两点，若点在直线上，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． A 【分析】两圆方程相减可得直线的方程，代入点，可得的关系式，利用函数单调性可求答案. 【详解】两圆方程相减得，，令，则. 由两圆相交知，，解得， 又，则，易得在上单调递增， 且，所以. 8．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，用定义得，代入余弦定理得的关系，转化为离心率约束，对目标式平方后用基本不等式求最大值，再由等号条件求. 【详解】设为第一象限内的交点，，，焦距为. 椭圆的定义：， 双曲线的定义：（因在第一象限，）， 解得：，. 在中，，由余弦定理，得， 得，即， 交叉相乘并整理： ， 两边除以，结合，，得. . 当且仅当，即， 因，故，则时等号成立，即取最大值. 因此，. 综上所述，当取最大值时，. 故选：C 二、多选题 9．已知直线，，则（    ） A．当时，直线的一个方向向量为 B．若与相互平行，则 C．若，则 D．若不经过第二象限，则 【答案】BC 【分析】代入，根据方向向量定义即可判断A，根据直线平行和垂直与斜率的关系即可判断B,C，将直线方程化简可得，结合一次函数的性质即可判断D. 【详解】对A，当时，，斜率为，则其一个方向向量为， ，A错误； 对B，若与相互平行，则，解得或， 当时，与重合，B正确； 对C，若，则，解得，故C正确； 对D，若不经过第二象限，，即， 则，解得，D正错误 故选：BC 10．双曲线C：的左右焦点分别是，，左右顶点分别是A，B，两渐近线分别是，，M在双曲线C上，其中O是坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．焦点到渐近线的距离是3 B．若，则的面积是9 C．直线的斜率为，直线的斜率为，则 D．过右顶点B作的平行线交于P点，若的面积为3，则双曲线的离心率为 【答案】ABD 【分析】根据点到直线的距离公式即可判断A，根据勾股定理结合双曲线的定义，即可利用面积公式求解B，利用反例即可说明C，根据面积公式即可求解D. 【详解】因为焦点到渐近线的距离是，故A正确； 时，则，故， 由勾股定理得 得， 则，所以， 由三角形的面积公式可得，故B正确； 当时，，当M在右顶点时，，故不是定值，故C错误； 过右顶点B作的平行线交：于P点，则，故， 则的面积为，解得，则双曲线的离心率为，故D正确， 故选：ABD. 11．已知正方体中，棱长为，为正方形的中心．为底面所在平面上的一个动点，则下列命题正确的是（    ） A．若，则的轨迹是椭圆 B．若，则的轨迹是圆 C．若到直线，距离相等，则的轨迹是抛物线 D．若到直线，距离相等，则的轨迹是双曲线 【详解】 建立如图空间直角坐标系，设正方体棱长为， A满足椭圆定义 对于B，，，， ，则，即 即，所以的轨迹是点，故B错误 对于C，若到直线，距离相等，面， 面， 所以，所以到直线的距离为到点的距离， 则到直线，点距离相等，由抛物线定义可得，的轨迹是抛物线，故C正确； 对于D，过向作垂线，垂足为，过向作垂线，垂足为， 过向作垂线，垂足为，此时， 若到直线，距离相等，即，则， 即，则的轨迹是双曲线，故D正确， 故选：ACD. 三、填空题 12．设为常数，若点是双曲线的一个焦点，则__________. 【答案】 【分析】利用双曲线的标准方程与的关系式即可得解. 【详解】因为是双曲线，所以，则， 又点是双曲线的一个焦点，则， 所以由，得，则. 故答案为：. 13．若椭圆C:上有不同的两点关于直线对称，则中点的坐标为______. 【答案】 【分析】点差法. 14．如图，双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为________. 【答案】/ 【分析】连接，，设，表示出， ，再由双曲线的定义得到，再在中利用余弦定理得到、的关系， 即可得解. 【详解】连接，，根据题意，，，三点共线，，，三点共线. 所以， 又由知，所以， 故，所以. 可设，则，. 由于 ，故. 从而，，故，. 在中，由余弦定理得， 解得， 所以. 故答案为： 四、解答题 15． （1）求焦点在轴上，焦点到准线的距离为的抛物线方程 （2）求以（-4，0），（4，0）为焦点，且过点的椭圆的标准方程. （3）求焦点在y轴上，焦距为10，且渐近线方程为双曲线的标准方程． 【答案】 【小问1】或． 【小问2】 【小问3】 【详解】 （2）由题意可设所求椭圆的标准方程为. 又椭圆过点，将x=3，y=代入方程得， 解得λ=11或(舍去). 故所求椭圆的标准方程为. （3）由题意，设双曲线的标准方程为，设焦距为2c， ∴，解得， ∴该双曲线的方程为． 16．（15分） 已知圆过点，，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）若倾斜角为的直线与圆交于两点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据圆心在直线上，设，设圆半径为，根据求解；（2）设直线的方程为，根据△是等腰直角三角形求出，利用求出，再根据求出. 【详解】（1）∵圆心在直线上，设，设圆半径为，则， ∴，化简展开得，解得， ∴，半径，∴圆的方程为：． （2） ∵直线的倾斜角为，∴直线的斜率，设直线的方 程为， ∴，则△是等腰直角三角形， ∴， 由弦长公式得，解得， 圆心到直线的距离：，解得或 ， ∴直线的方程为或． 17. 已知椭圆与双曲线有公共焦点，点是两曲线在第一象限的一个公共点，为坐标原点。 （1）求的值； （2）判断的形状，并求其面积 【答案】(1) 2 (2)直角三角形 面积为1 18．（17分） 已知双曲线的标准方程，点，与坐标轴都不垂直的直线（不过点）交的右支于两点. （1）求双曲线的离心率和渐近线方程； （2）若 ①求证：直线过轴上的定点 ②若以为直径的圆被直线截得的劣弧为，则弧所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【详解】1．(1)离心率，渐近线为 (2)直线方程设为 （3） 计算弦长 所以 圆心到直线的距离 19．（17分） 已知两条定直线，动点到两直线的距离的平方和等于，设动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）直线与曲线交于，两点，点在第一象限，点在第四象限，且满足直线与直线的斜率之积为，若点为曲线的左顶点，且满足，直线与交于，直线与交于. ①证明：为定值； ②是否存在常数，使得四边形的面积是面积的倍？若存在求出，若不存在说明理由. 【答案】(1)； (2)①显然直线不垂直于轴，设直线，，而， 显然，由，得， 则， 整理得， 又直线与直线的斜率之积为，则，即， 因此，所以，即为定值. ②由①，消去并整理得 ， ， ， ，即有，则， ， 的面积， 四边形的面积， 设，则， 直线，直线，联立解得， 同理， ，因此， 所以存在常数，使得四边形的面积是面积的倍，. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $