第三章·专题二：一元一次不等式（组）的解法与数轴表示 讲义 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

浙教版八上第三章·专题二： 一元一次不等式（组）的解法 与数轴表示（解析版） 目录导航 知识详解 2 一、辨清一元一次不等式与解集 3 二、去括号、移项与等价整理 4 三、去分母与小数系数 5 四、数轴表示、检验与逆向构造 7 五、不等式组的解集与公共部分 9 六、整数解、双边不等式与限定范围 10 七、含参数不等式的分类与同解（提高） 11 八、由不等式组的解集反求参数（提高） 12 A组　基础过关 14 B组　难点突破 18 C组　方法进阶 21 D组　2025—2026年浙江真题检验 25 对应教材：一元一次不等式及其解法　一元一次不等式组 姓名：_______________　班级：_______________　日期：_______________ 学习路径：完整求解 → 数轴表示 → 公共部分 → 整数与参数 → 真题检验。 本册包含与学生版逐题对应的答案和独立推导。重点核查去分母、负系数、公共部分及整数边界。 知识详解 1. 一元一次不等式、解与解集 只含有一个未知数，未知数的次数为且两边都是整式的不等式，叫作一元一次不等式。整理后的一次项系数不能为 使不等式成立的未知数的值是它的解；全部解组成它的解集。解一个不等式，就是求出它的解集。解集通常有无数个数，不能只写一个满足条件的值。 易错提醒：若未知数项系数变为要直接判断剩下的数值不等式是否成立，不得除以 2. 完整解法与等价变形 常用步骤：去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为按题目选择必要步骤，不必机械凑齐五步。 去分母：同乘正的最小公倍数，每一项都要乘；分子是多项式时先加括号。去括号：括号前为负数时，括号内每一项都要变号。 移项改变的是项的符号。只有两边同乘或同除以负数时，才改变不等号方向。小数系数可同乘等化成整数，但必须作用于完整的两边。 易错提醒：解出后，应直接代一个内点和端点检验，发现符号错误比重算全部步骤更快。 3. 数轴表示与端点 先根据解集确定边界。对应空心点；对应实心点。大于向右，小于向左。 不等式组的解集是各个不等式解集的公共部分。“同时满足”求交集；不能把“至少满足一个”混作同一要求。 易错提醒：两个边界重合时，与只有一个解这两个相向条件中任一边不含等号，公共部分就为空。 4. 求不等式组与筛选整数 先分别解出每个不等式，再在数轴上找公共部分。相同方向取更严格的边界；相向时检查两个边界的大小关系与可取性。 双边不等式的左、右两个条件必须同时满足。求整数解时先保留准确边界，再按从小到大列出整数。题设出现“正整数”“非负整数”“奇数”时，还要继续筛选。 易错提醒：与的整数解不同；与的整数解相同。实数端点与整数边界不能混淆。 5. 含参数问题的检查顺序 参数在未知数系数中：先分正、负、零三类，再决定方向。参数只出现在常数项中：先按通常方法解出边界。 两不等式同解，边界、方向、开闭都要一致。组的解集已知时，另一个条件可能只需要满足一个范围，不一定等于已知边界。 “恰有个整数解”应落实为两个要求：保留最边缘的整数，排除紧邻的下一个整数。两个边界都含参数时，整数解可能整体移动，不能预先固定一组整数。 易错提醒：最终把参数端点代回，核查是否仍有解、是否多一个整数、是否改变严格不等号。 一、辨清一元一次不等式与解集 方法提示：先看未知数、次数和式子形式，再分清“一个解”与“全部解”。 例一　 下列式子中，哪些是一元一次不等式？写出序号。 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 【答案】①⑤。 【解析】①⑤都只含一个未知数，未知数的次数为且两边都是整式。②次数为③有两个未知数；④未知数在分母中；⑥是方程。 变式1-1　 在这四个数中，哪些是不等式的解？能否把选出的数作为它的解集？ 【答案】是它的解；不能。 【解析】分别代入得到成立，不成立。选出的只是四个指定数中的解，例如也满足原不等式。解集必须包含全部解，本题解集是 变式1-2　 某不等式的解集为判断下列说法，并把错误说法改正。 （这个不等式只有一个解。 （它的最大整数解是 （它有最小的解。 （所有负数都是它的解。 【答案】（错误，有无数个解；（正确； （错误，没有最小的解；（正确。 【解析】表示所有不大于的实数。可以取到且是最大的解；向负方向没有尽头，不存在最小的解。整数解和实数解不可混淆。 变式1-3　 考虑关于的不等式 （为何值时，它是一元一次不等式？ （若原式有解吗？写出解集，并说明此时为何不属于一元一次不等式。 【答案】（ （有解，解集为全体实数；此时未知数项的系数为 【解析】一元一次不等式的未知数项系数不能为故时原式变为对每个实数都成立，但式中已没有一次未知数项。 二、去括号、移项与等价整理 方法提示：每一步保留完整的不等号；移项改变项的符号，同乘或同除以负数时改变不等号方向。 例二　 解不等式： 【答案】 【解析】去括号，得 移项、合并同类项，得 两边同除以得 变式2-1　 小宁解不等式的过程如下： 第一步： 第二步： 第三步： 指出两处错误，并写出正确解集。 【答案】去括号常数项符号错误；除以负数未反向。正确解集为 【解析】乘应为所以正确整理为即两边除以不等号反向，得第三步的错误与第一步无关，不能只修正计算结果。 变式2-2　 解不等式请分别用“先去括号”和“先把看作一个整体”两种思路求解。 【答案】 【解析】方法一：整理得故 方法二：两边减去并加得于是故整体处理减少了展开步骤，但每一步仍是等价变形。 变式2-3　 设 （当不大于时，求的取值范围； （在（的条件下，能否等于说明理由。 【答案】（（不能。 【解析】（1）整理得所以 （2）若则得而不符合（1）。也可由得 三、去分母与小数系数 方法提示：乘最小公倍数时，每一项都要乘；分子含多项式须先保留括号。 例三　 解不等式： 【答案】 【解析】两边乘得 去括号、合并，得即故去分母时右边的也要乘 变式3-1　 解不等式： 小杭说“去分母后左边的仍是他的判断正确吗？ 【答案】小杭的判断错误。 【解析】两边乘得即整理得故分数线前的负号作用于整个分子，且常数应变为 变式3-2　 解不等式： 如果只把左边分子中的小数同时扩大倍，分母和右边不变，所得不等式与原式同解吗？ 【答案】不同解。 【解析】两边乘得整理得即只扩大分子会使左边整体变为原来的倍，其他部分不变，不是对不等式两边作同一种运算。 例如时，原式左边为右边为原式成立；只扩大分子后左边变为不成立。因此这两个不等式确实不同解。 变式3-3　 已知不等式的解集是求的值。 【答案】 【解析】两边乘得整理得所以与的边界相同，故解得代回后确实得到 四、数轴表示、检验与逆向构造 方法提示：先算解集，再确定端点和方向；数轴上的范围应与代入检验一致。 例四　 解不等式并在数轴上表示解集。 【答案】处实心，向右表示。 【解析】整理得即两边除以得等号允许取到所以端点为实心；较大的数在右侧。 变式4-1　 某同学解出不等式的解集为却画成图中所示。 （图中有哪一处错误？画出正确表示； （分别用和代入原式，说明端点及方向的判断。 【答案】（方向错误，应从向左表示，端点仍为空心。 （时不成立，时也不成立。 【解析】原式化为即图中向右错误；严格不等号对应空心点。时不成立，时也不成立，均不应被图形包含。 变式4-2　 图中粗线及实心端点表示某不等式的解集。请在方框中填入常数，使不等式□的解集恰好与图示相同，并验证。 【答案】□内填 【解析】图示为设所填常数为则化为故得代回得即端点和方向均一致。 变式4-3　 不等式的解集是不等式的解集是 （在同一数轴上分别表示的解集； （是否有数同时满足 （是否有数既不满足也不满足若有，写出所有这样的数的范围。 【答案】（见图；（没有；（有， 【解析】（2）一个数不能既小于又不小于（3）“不满足表示“不满足表示两者同时成立得到注意不满足而满足 五、不等式组的解集与公共部分 方法提示：先分别求解，再求交集；端点相等时要逐一检查等号，不能只背口诀。 例五　 解下列不等式组，并在数轴上表示解集。 【答案】 【解析】第一个不等式化为第二个化为两者的公共部分为处空心，处实心。 变式5-1　 分别求下列不等式组的解集，并说明为什么只保留其中一个边界。 （ （ 【答案】（（ 【解析】（1）分别得同时成立须（2）分别得所有的数都满足故公共部分为注意不能机械保留严格不等号。 变式5-2　 比较下面两组不等式的解集。 甲组： 乙组： 为什么只改变一个等号，解的情况就不同了？ 【答案】甲组只有一个解乙组无解。 【解析】甲组化为且公共部分只有端点乙组化为且任何数都不能同时满足。相向边界重合时，只有两边都含等号，端点才保留下来。 变式5-3　 解不等式组。若把其中“同时满足”误看成“至少满足一个”，答案会有什么变化？ 【答案】正确解集为误读后所有实数都符合。 【解析】两个不等式分别解得公共部分为若只要求至少满足一个，任意实数都可分成或两类：前者满足第一个，后者一定满足第二个，因此会错误地把全体实数都纳入。 六、整数解、双边不等式与限定范围 方法提示：先保留精确边界，再筛整数；负数端点和“非负”中的要单独核查。 例六　 解不等式组，并写出它的全部整数解及整数解的和。 【答案】解集为整数解为和为 【解析】第一个不等式得即第二个得即保留准确边界后按从小到大列整数，不可把直接按四舍五入处理。 变式6-1　 求不等式的全部整数解。 【答案】 【解析】三个部分同乘得同减得同除以得因此整数解恰为双边不等式两端必须同时满足。 变式6-2　 已知为非负整数，且 （写出所有符合条件的 （在这些中，求的最小值。 【答案】（（ 【解析】原不等式化为即结合为非负整数得六个数，其中包括随增大而减小，在允许的最大整数处取最小值而非把不可取的边界代入。 变式6-3　 已知是奇数，且满足下列不等式组；另有且为正整数。求的最大值及对应的 【答案】最大值为此时 【解析】两个不等式分别解得故由又得所以允许的奇数只有 先用等式合并：随增大而增大，故时取最大值对应必须同时保留不等式组、奇数及为正数三项限制。 七、含参数不等式的分类与同解（提高） 方法提示：未知系数先分正、负、零；同解既要求边界一致，也要求方向和端点一致。 例七　 按的取值分类，解关于的不等式 【答案】时， 时， 时，无解。 【解析】时，同除以正数保向；时，同除以负数反向；时，原式成为不成立，不能除以 变式7-1　 按的取值分类，解不等式并指出哪种情况下任意实数都满足。 【答案】时，时，时，解集为全体实数。 【解析】时可除以并按其正负确定方向。时原式为恒成立，因此任意实数都是解。零系数既可能无解，也可能使全体实数都是解，须代回判断。 变式7-2　 不等式与关于的不等式同解，求的值。 【答案】 【解析】第一个不等式解集为第二个若则全体实数都是解；若则解集向右，均不符。因此此时由得符合代回亦同解。 变式7-3　 已知关于的不等式的解集中包含却不包含 （求的取值范围； （用表示原不等式的解集。 【答案】（（ 【解析】包含说明即不包含说明即两条条件共同给出 由此可知原式两边同除以可得时恰好被严格不等号排除，所以左端点可以取；时不再是解，右端点不能取。 八、由不等式组的解集反求参数（提高） 方法提示：将“有解、无解、指定解集、恰有几个整数解”化为边界条件，再核查端点。 例八　 已知不等式组的解集为求的取值范围。 【答案】 【解析】第一个不等式解得若所有的数都满足交集仍为若交集变为故临界也成立。 变式8-1　 关于的不等式组何时有解，何时无解？分别求的范围。 【答案】时有解；时无解。 【解析】分别解得要有公共部分，必须即时要求且仍然无解，因此无解范围为 变式8-2　 已知不等式组恰有个整数解，求的取值范围，并写出这个整数解。 【答案】整数解为 【解析】第一个不等式给出最小可能整数是要恰好包含应包含且排除紧邻的即因此若更小则不足个，更大则至少个。 变式8-3　 已知不等式组恰有个整数解，求的所有可能取值范围，并分别写出整数解。 【答案】时，整数解为 时，整数解为 【解析】设最小整数解为则恰有两个整数解还要求即 两段范围要有公共部分，须且得到所以或 当时，两段范围的公共部分为当时，公共部分为 A组　基础过关 A1　 在□内填入中的一个，使不等式□的解集包含和却不包含写出所填符号和解集。 【答案】填解集为 【解析】时左边为与右边相等，所以必须选含等号的或时左边为应满足□故只能选所得不等式为解得确实不满足。 A2　 解不等式并在数轴上表示解集。 【答案】数轴上处为实心点，向右表示。 【解析】去括号，得即移项、合并，得两边除以并改变方向，得含等号，所以数轴端点用实心点。 A3　 小林解不等式时，去分母得到 指出这一步的错误，并写出原不等式的解集。 【答案】第二个分式的分子没有作为整体相乘；应写成原不等式的解集为 【解析】两边同乘时，第二项应变为展开为不能写成正确化简为即得 A4　 解不等式 【答案】 【解析】两边同乘得去括号并移项，得即故同乘正数不改变不等号方向。 A5　 解不等式时，甲得到乙得到两人都检验了和却没有发现自己的结论与检验结果冲突。 （为什么这两次检验不能区分甲、乙的结论？ （只再检验一个数，你会选哪个数？据此判断，并通过解不等式确认正确解集。 【答案】（两种结论都包含都不包含不能据此区分。 （选乙正确，解集为 【解析】满足原式，不满足原式；但与对这两个数作出的判断相同。两种结论只在边界处不同，所以应代入得到成立，说明应保留再整理原式，得即确认乙的结论。 A6　 某不等式的解集在数轴上表示为：处是空心点，向右的射线上的点均被标出。 下列不等式中，与它具有相同解集的是________（填序号）。 ① ② ③ ④ 【答案】①③。 【解析】数轴表示①化为②化为包含了不应取到的端点；③由得④化为方向相反。 A7　 解不等式组，并在同一条数轴上表示两个不等式的解集及其公共部分。 【答案】①的解集为②的解集为不等式组的解集为 公共部分为与之间，处实心，处空心。 【解析】由①得即由②得除以后得不等式组要求两个条件同时成立，因此取两条射线的公共部分。 数轴上的三层表示自下而上依次为①、②和公共部分。 A8　 解不等式组。 若从组中删去一个不等式而保持解集不变，应删去哪一个？ 【答案】解集为应删去②。 【解析】①的解集为②的解集为公共部分为每一个满足①的数都满足②，所以②是多余条件；删去①则会增加这一部分，解集改变。 A9　 对于不等式① ② 写出仅满足其中一个不等式的的全部取值范围，并指出各段满足的是哪一个。 【答案】或时仅满足①；时仅满足②。 【解析】①化为②化为仅满足①，需要满足而不满足故仅满足②，需要满足而不满足故中间的同时满足两个条件，不能纳入。 A10　 求不等式组的所有非正整数解。 【答案】非正整数解为 【解析】①得②得即故组的解集为再加上非正整数要求，保留不能漏掉也不能把作为整数。 A11　 分别解下列不等式。 （（ 【答案】（解集为全体实数；（无解。 【解析】（1）消去后得到这是恒成立的数值关系，所以每个实数都满足原式。（2）消去后得到这不可能成立，所以原式无解。未知数被消去时，不应继续除以 A12　 求同时满足下列三个条件的的范围： 【答案】 【解析】三个条件分别化为先由后两个条件取公共部分再与相交，得满足③的数已满足②，但仍须检查①的上界。 B组　难点突破 B1　 解不等式 【答案】 【解析】先把左边分子、分母同乘得两边同乘得即故得分式化简时应使分子与分母同时扩大，不能只改分母。 B2　 设求使且同时成立的的范围。 【答案】 【解析】给出得给出得两条条件的公共部分为第二个条件的右边必须把整个乘 B3　 已知满足若求的取值范围。 【答案】 【解析】由等式得代入范围条件：左边给出即右边给出即合并得对应可取，对应不可取。 B4　 关于的不等式与不等式的解集相同，求 【答案】 【解析】两个解集分别为和方向与端点类型已经相同，只需边界相等，即得代回后第一式化为与第二式一致。 B5　 关于的不等式的解集为求 【答案】 【解析】所得解集向左，且不是全体实数或空集，因此必须边界满足即得此时原不等式为确实得到 B6　 关于的不等式组为： （说明为什么对任何实数都是这组不等式的解。 （先分与讨论，再写出的所有情形所对应的解集。 【答案】（时两个左边都为均满足。 （时，解集为或时，唯一解为 【解析】时两式分别为所以这个解不会随改变。 若则两式分别要求即此时所有都满足。 若则两式分别要求即且不可能同时成立，因此任何下都没有小于的解。 结合固定解得到所述两类解集。或时虽有一个系数为该式恒成立，另一式仍给出所以两个参数端点均应保留。 B7　 原不等式组为： 现向组中再加入条件 若要求加入后所有整数解保持不变，但实数解集发生变化，求的取值范围。 【答案】 【解析】原组解集为整数解为新增条件只会删解；整数解不变等价于保留最大整数即 实数解集发生变化，需恰好删去原可取的右端点，也符合。故 B8　 关于的不等式组只有一个偶数解，且这个偶数解是求实数的取值范围。 【答案】 【解析】解集为其左右边界相差左端闭、右端开。两个不同偶数至少相差而这个区间内任意两个数的差小于所以它至多包含一个偶数。 因此只须使在区间内：且分别给出和故在此范围内确实满足；比小的偶数不大于比大的偶数不小于都落在区间外。 B9　 解关于的三条件不等式组。 写出的所有情形，并特别说明与时为什么结果不同。 【答案】时，解集为 时，解集为 或时，无解。时无解；时只有一个解 【解析】时有两个下界中更严格，所以前两式的公共部分为再与相交，要求即故此分支为解集为 时有前两式的公共部分为再与相交，要求故此分支为解集为 其余参数下均无解。时严格下界为与冲突；时两个有效条件是端点被保留。 B10　 若不等式的每一个解，都满足不等式求的取值范围。 【答案】 【解析】第一个解集为第二个解集为前者中的每个数都在后者中，需要得当时两者同解，仍符合要求；若取此时却使违反第二个严格不等式，因此不能取。 C组　方法进阶 C1　 解关于的不等式组。要求完整讨论为负、零、正的情形。 【答案】时，解集为时，无解。 【解析】当时，①反向化为又所以①的每个解已满足②，公共解集即 当时，①变为不成立，故无解。 当时，①给出与②矛盾，也无解。 C2　 关于的不等式组的解集恰为求 【答案】 【解析】②给出只能提供下界。要出现有限的上界①必须给出向左的射线，所以时①恒成立，时①给出下界，都不能形成所需的有界区间。 因此①为两条边界应满足解得此时代回得到且验证成立。 C3　 关于的方程组为： （若它的解满足求的取值范围； （在上述条件下，求的取值范围。 【答案】（（ 【解析】①②得故 （1）由和得和所以 （2）由的范围，得左端可取、右端不可取。 C4　 关于的不等式组至少有一个整数解，且所有整数解的和为 求的全部取值范围，并分别写出对应的整数解。 【答案】时，整数解只有 时，整数解为 【解析】先得已知至少有一个整数解，所以最小整数解必为其余整数解若存在，须依次为……，不能跳号。 设最大整数解为依次取时，所有整数解的和依次为当时，在和为的基础上又加入正整数，和必为正。因此和为只有或两种可能。 只有时，要包含而排除得到 最大整数为时，要包含而排除得到此时整数为和确为 C5　 关于的不等式组为： （求该组有解时的取值范围； （若该组恰有一个实数解，求及这个解； （若该组有解，且每一个解都是非负数，求的取值范围。 【答案】（（唯一解为（ 【解析】两式分别给出 （1）允许两端相等，因此有解条件为化为即 （2）仅有一个实数解要求两端相等，解得代回得所以 （3）已要求有解，故全部解非负，等价于可取的最小值即合并得包含单点情形 C6　 关于的不等式与不等式具有完全相同的正整数解。 （求的取值范围； （它们能否具有完全相同的实数解集？说明理由。 【答案】（（不能。 【解析】第二个不等式为正整数解是若则对每个正整数都有出现无穷多个正整数解，不合要求；故 （1）此时左边随正整数增大而增大，只需使满足、不满足，即且解得且故 （2）若第一个不等式的解集是其边界不包含，不能与包含边界的完全相同。若解集为全体实数；若解集为向右的射线，也不可能相同。 C7　 设 若满足的非负整数恰有个，求的所有可能值。 【答案】或 【解析】给出给出两个条件都只限制的上界，因此若恰有个非负整数解，这个数必为 包含需要且即在此范围内自然也符合。 排除只需两个条件中至少一个不成立：或即或与分别求交，得或若已被排除，更大的非负整数也都会被排除。 C8　 不等式组的每一个解，都满足求的取值范围。 【答案】 【解析】原不等式组的解集为按的符号分类。 当时，乘数为负。由得且能取到等号。因此要使所有均符合严格不等式，必须且只需即本分支为 当时，待检验的不等式为对所有成立。 当时，由得如果即所有均符合；等号也可取，因为不能取若取则属于原解集，却使两边相等，违反严格不等式。本分支为 合并得左端的限制来自可取的右端可保留是因为不可取。 D组　2025—2026年浙江真题检验 D1　（2025年浙江省中考数学·第12题） 不等式组的解集是________。 【答案】 【解析】第二个不等式解得即与取公共部分，得到左端点可取，右端点不可取。 D2　（2025年浙江省台州市路桥区中考二模·第18题） 解不等式并把解集在数轴上表示出来。 【答案】处实心，向左表示。 【解析】移项、合并同类项，得所以数轴上实心点及其左侧部分表示所求解集。 D3　（浙江省杭州市开元中学2025—2026学年八年级上学期期中·第17题） 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来。 【答案】 【解析】由第一个不等式得第二个不等式去括号得所以公共部分为数轴左端实心、右端空心。 D4　（浙江省杭州市拱墅区2024—2025学年八年级上学期期末·第17题（2025年）） 解不等式（组）。 （ （ 【答案】（（ 【解析】（1）移项得两边除以得 （2）第一个不等式得第二个两边乘得即两者公共部分为 D5　（浙江省金华市义乌市苏溪中学2025—2026学年八年级上学期期中·第17题） 解下列不等式（组）。 （ （ 【答案】（（ 【解析】（1）去括号得合并得所以 （2）第一个不等式得即第二个两边乘得即故公共部分是 D6　（浙江省宁波市奉化区奉港中学2025—2026学年八年级上学期期中 第17题（2）选编） （解不等式组，并写出满足该不等式的负整数解。 【答案】解集为负整数解为 【解析】第一式去括号，得所以第二式两边乘得所以取公共部分后再筛选负整数，不能把算入。 D7　（2026年浙江省舟山市普陀区中考一模·第18题） 解不等式组，并在数轴上表示这个不等式组的解集。 【答案】 【解析】第一个不等式得两边除以得第二个两边乘得即所以公共部分为数轴左端空心、右端实心。 D8　（浙江省杭州市开元中学2025—2026学年八年级上学期期中·第21题） 已知关于的方程组中，为负数，为非正数。 （求的取值范围； （在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解集为 【答案】（（或 【解析】（1）方程组两式相加得即相减可得由得且所以 （2）原不等式化为解集要为系数必须为负，故即结合（1）得其中整数为 D9　（浙江省宁波市奉化区奉港中学2025—2026学年八年级上学期期中·第21题） 对于任意实数定义关于的一种运算如下：例如 （填空：________；________； （若求的取值范围； （若关于的不等式恰有两个正整数解，求的取值范围。 【答案】（（（ 【解析】（1） （2）按定义，所以即 （3）原式化为即恰有两个正整数解，须包含而排除即所以 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙教版八上第三章·专题二： 一元一次不等式（组）的解法 与数轴表示（学生版） 目录导航 知识详解 2 一、辨清一元一次不等式与解集 3 二、去括号、移项与等价整理 4 三、去分母与小数系数 6 四、数轴表示、检验与逆向构造 7 五、不等式组的解集与公共部分 9 六、整数解、双边不等式与限定范围 11 七、含参数不等式的分类与同解（提高） 12 八、由不等式组的解集反求参数（提高） 14 A组　基础过关 16 B组　难点突破 20 C组　方法进阶 24 D组　2025—2026年浙江真题检验 28 对应教材：一元一次不等式及其解法　一元一次不等式组 姓名：_______________　班级：_______________　日期：_______________ 学习路径：完整求解 → 数轴表示 → 公共部分 → 整数与参数 → 真题检验。 建议先完成例题与变式，再分组练习。写出每个不等式的解集，再求公共部分；参数端点须代回检查。 知识详解 1. 一元一次不等式、解与解集 只含有一个未知数，未知数的次数为且两边都是整式的不等式，叫作一元一次不等式。整理后的一次项系数不能为 使不等式成立的未知数的值是它的解；全部解组成它的解集。解一个不等式，就是求出它的解集。解集通常有无数个数，不能只写一个满足条件的值。 易错提醒：若未知数项系数变为要直接判断剩下的数值不等式是否成立，不得除以 2. 完整解法与等价变形 常用步骤：去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为按题目选择必要步骤，不必机械凑齐五步。 去分母：同乘正的最小公倍数，每一项都要乘；分子是多项式时先加括号。去括号：括号前为负数时，括号内每一项都要变号。 移项改变的是项的符号。只有两边同乘或同除以负数时，才改变不等号方向。小数系数可同乘等化成整数，但必须作用于完整的两边。 易错提醒：解出后，应直接代一个内点和端点检验，发现符号错误比重算全部步骤更快。 3. 数轴表示与端点 先根据解集确定边界。对应空心点；对应实心点。大于向右，小于向左。 不等式组的解集是各个不等式解集的公共部分。“同时满足”求交集；不能把“至少满足一个”混作同一要求。 易错提醒：两个边界重合时，与只有一个解这两个相向条件中任一边不含等号，公共部分就为空。 4. 求不等式组与筛选整数 先分别解出每个不等式，再在数轴上找公共部分。相同方向取更严格的边界；相向时检查两个边界的大小关系与可取性。 双边不等式的左、右两个条件必须同时满足。求整数解时先保留准确边界，再按从小到大列出整数。题设出现“正整数”“非负整数”“奇数”时，还要继续筛选。 易错提醒：与的整数解不同；与的整数解相同。实数端点与整数边界不能混淆。 5. 含参数问题的检查顺序 参数在未知数系数中：先分正、负、零三类，再决定方向。参数只出现在常数项中：先按通常方法解出边界。 两不等式同解，边界、方向、开闭都要一致。组的解集已知时，另一个条件可能只需要满足一个范围，不一定等于已知边界。 “恰有个整数解”应落实为两个要求：保留最边缘的整数，排除紧邻的下一个整数。两个边界都含参数时，整数解可能整体移动，不能预先固定一组整数。 易错提醒：最终把参数端点代回，核查是否仍有解、是否多一个整数、是否改变严格不等号。 一、辨清一元一次不等式与解集 方法提示：先看未知数、次数和式子形式，再分清“一个解”与“全部解”。 例一　 下列式子中，哪些是一元一次不等式？写出序号。 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 变式1-1　 在这四个数中，哪些是不等式的解？能否把选出的数作为它的解集？ 变式1-2　 某不等式的解集为判断下列说法，并把错误说法改正。 （这个不等式只有一个解。 （它的最大整数解是 （它有最小的解。 （所有负数都是它的解。 变式1-3　 考虑关于的不等式 （为何值时，它是一元一次不等式？ （若原式有解吗？写出解集，并说明此时为何不属于一元一次不等式。 二、去括号、移项与等价整理 方法提示：每一步保留完整的不等号；移项改变项的符号，同乘或同除以负数时改变不等号方向。 例二　 解不等式： 变式2-1　 小宁解不等式的过程如下： 第一步： 第二步： 第三步： 指出两处错误，并写出正确解集。 变式2-2　 解不等式请分别用“先去括号”和“先把看作一个整体”两种思路求解。 变式2-3　 设 （当不大于时，求的取值范围； （在（的条件下，能否等于说明理由。 三、去分母与小数系数 方法提示：乘最小公倍数时，每一项都要乘；分子含多项式须先保留括号。 例三　 解不等式： 变式3-1　 解不等式： 小杭说“去分母后左边的仍是他的判断正确吗？ 变式3-2　 解不等式： 如果只把左边分子中的小数同时扩大倍，分母和右边不变，所得不等式与原式同解吗？ 变式3-3　 已知不等式的解集是求的值。 四、数轴表示、检验与逆向构造 方法提示：先算解集，再确定端点和方向；数轴上的范围应与代入检验一致。 例四　 解不等式并在数轴上表示解集。 变式4-1　 某同学解出不等式的解集为却画成图中所示。 （图中有哪一处错误？画出正确表示； （分别用和代入原式，说明端点及方向的判断。 变式4-2　 图中粗线及实心端点表示某不等式的解集。请在方框中填入常数，使不等式□的解集恰好与图示相同，并验证。 变式4-3　 不等式的解集是不等式的解集是 （在同一数轴上分别表示的解集； （是否有数同时满足 （是否有数既不满足也不满足若有，写出所有这样的数的范围。 五、不等式组的解集与公共部分 方法提示：先分别求解，再求交集；端点相等时要逐一检查等号，不能只背口诀。 例五　 解下列不等式组，并在数轴上表示解集。 变式5-1　 分别求下列不等式组的解集，并说明为什么只保留其中一个边界。 （ （ 变式5-2　 比较下面两组不等式的解集。 甲组： 乙组： 为什么只改变一个等号，解的情况就不同了？ 变式5-3　 解不等式组。若把其中“同时满足”误看成“至少满足一个”，答案会有什么变化？ 六、整数解、双边不等式与限定范围 方法提示：先保留精确边界，再筛整数；负数端点和“非负”中的要单独核查。 例六　 解不等式组，并写出它的全部整数解及整数解的和。 变式6-1　 求不等式的全部整数解。 变式6-2　 已知为非负整数，且 （写出所有符合条件的 （在这些中，求的最小值。 变式6-3　 已知是奇数，且满足下列不等式组；另有且为正整数。求的最大值及对应的 七、含参数不等式的分类与同解（提高） 方法提示：未知系数先分正、负、零；同解既要求边界一致，也要求方向和端点一致。 例七　 按的取值分类，解关于的不等式 变式7-1　 按的取值分类，解不等式并指出哪种情况下任意实数都满足。 变式7-2　 不等式与关于的不等式同解，求的值。 变式7-3　 已知关于的不等式的解集中包含却不包含 （求的取值范围； （用表示原不等式的解集。 八、由不等式组的解集反求参数（提高） 方法提示：将“有解、无解、指定解集、恰有几个整数解”化为边界条件，再核查端点。 例八　 已知不等式组的解集为求的取值范围。 变式8-1　 关于的不等式组何时有解，何时无解？分别求的范围。 变式8-2　 已知不等式组恰有个整数解，求的取值范围，并写出这个整数解。 变式8-3　 已知不等式组恰有个整数解，求的所有可能取值范围，并分别写出整数解。 A组　基础过关 A1　 在□内填入中的一个，使不等式□的解集包含和却不包含写出所填符号和解集。 A2　 解不等式并在数轴上表示解集。 A3　 小林解不等式时，去分母得到 指出这一步的错误，并写出原不等式的解集。 A4　 解不等式 A5　 解不等式时，甲得到乙得到两人都检验了和却没有发现自己的结论与检验结果冲突。 （为什么这两次检验不能区分甲、乙的结论？ （只再检验一个数，你会选哪个数？据此判断，并通过解不等式确认正确解集。 A6　 某不等式的解集在数轴上表示为：处是空心点，向右的射线上的点均被标出。 下列不等式中，与它具有相同解集的是________（填序号）。 ① ② ③ ④ A7　 解不等式组，并在同一条数轴上表示两个不等式的解集及其公共部分。 A8　 解不等式组。 若从组中删去一个不等式而保持解集不变，应删去哪一个？ A9　 对于不等式① ② 写出仅满足其中一个不等式的的全部取值范围，并指出各段满足的是哪一个。 A10　 求不等式组的所有非正整数解。 A11　 分别解下列不等式。 （（ A12　 求同时满足下列三个条件的的范围： B组　难点突破 B1　 解不等式 B2　 设求使且同时成立的的范围。 B3　 已知满足若求的取值范围。 B4　 关于的不等式与不等式的解集相同，求 B5　 关于的不等式的解集为求 B6　 关于的不等式组为： （说明为什么对任何实数都是这组不等式的解。 （先分与讨论，再写出的所有情形所对应的解集。 B7　 原不等式组为： 现向组中再加入条件 若要求加入后所有整数解保持不变，但实数解集发生变化，求的取值范围。 B8　 关于的不等式组只有一个偶数解，且这个偶数解是求实数的取值范围。 B9　 解关于的三条件不等式组。 写出的所有情形，并特别说明与时为什么结果不同。 B10　 若不等式的每一个解，都满足不等式求的取值范围。 C组　方法进阶 C1　 解关于的不等式组。要求完整讨论为负、零、正的情形。 C2　 关于的不等式组的解集恰为求 C3　 关于的方程组为： （若它的解满足求的取值范围； （在上述条件下，求的取值范围。 C4　 关于的不等式组至少有一个整数解，且所有整数解的和为 求的全部取值范围，并分别写出对应的整数解。 C5　 关于的不等式组为： （求该组有解时的取值范围； （若该组恰有一个实数解，求及这个解； （若该组有解，且每一个解都是非负数，求的取值范围。 C6　 关于的不等式与不等式具有完全相同的正整数解。 （求的取值范围； （它们能否具有完全相同的实数解集？说明理由。 C7　 设 若满足的非负整数恰有个，求的所有可能值。 C8　 不等式组的每一个解，都满足求的取值范围。 D组　2025—2026年浙江真题检验 D1　（2025年浙江省中考数学·第12题） 不等式组的解集是________。 D2　（2025年浙江省台州市路桥区中考二模·第18题） 解不等式并把解集在数轴上表示出来。 D3　（浙江省杭州市开元中学2025—2026学年八年级上学期期中·第17题） 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来。 D4　（浙江省杭州市拱墅区2024—2025学年八年级上学期期末·第17题（2025年）） 解不等式（组）。 （ （ D5　（浙江省金华市义乌市苏溪中学2025—2026学年八年级上学期期中·第17题） 解下列不等式（组）。 （ （ D6　（浙江省宁波市奉化区奉港中学2025—2026学年八年级上学期期中 第17题（2）选编） （解不等式组，并写出满足该不等式的负整数解。 D7　（2026年浙江省舟山市普陀区中考一模·第18题） 解不等式组，并在数轴上表示这个不等式组的解集。 D8　（浙江省杭州市开元中学2025—2026学年八年级上学期期中·第21题） 已知关于的方程组中，为负数，为非正数。 （求的取值范围； （在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解集为 D9　（浙江省宁波市奉化区奉港中学2025—2026学年八年级上学期期中·第21题） 对于任意实数定义关于的一种运算如下：例如 （填空：________；________； （若求的取值范围； （若关于的不等式恰有两个正整数解，求的取值范围。 1 学科网（北京）股份有限公司 $