专题3.5 一元一次不等式组及其解法（举一反三讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本讲义聚焦一元一次不等式组及其解法核心知识点，系统梳理定义（含同一未知数的一次不等式联立）、解集（公共部分及四种基本情况）、解法步骤（解各不等式、数轴表示、找公共部分），通过10类题型（从定义辨析到含参问题、方程综合、程序框图及新定义）构建递进式学习支架。 该资料以“题型归纳+例题变式”为特色，融入芒种气温等现实情境及程序框图跨学科元素，通过新定义问题（如题型10）培养抽象能力，程序框图题（题型9）提升推理意识，助力课中分层教学实施，课后学生可通过变式练习查漏补缺，强化应用意识。

专题3.5 一元一次不等式组及其解法（举一反三讲义） 【新教材浙教版】 题型归纳 【题型1 一元一次不等式组的定义】 2 【题型2 一元一次不等式组的解法】 2 【题型3 在数轴上表示一元一次不等式组的解集】 3 【题型4 求一元一次不等式组的整数解】 3 【题型5 由一元一次不等式组的解集求字母的值】 4 【题型6 由一元一次不等式组的整数解求字母的取值范围】 4 【题型7 一元一次不等式组的有解无解情况求字母的取值范围】 5 【题型8 方程（组）与一元一次不等式组则综合运用】 5 【题型9 根据程序框图列不等式组求字母的取值范围】 6 【题型10 与一元一次不等式组有关的新定义问题】 7 考点1 一元一次不等式组及其解法 知识点1 一元一次不等式组的概念 把几个含有同一个未知数的一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组．例如，和，都是一元一次不等式组． 知识点2 不等式组的解集 1. 定义：不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集．如果不等式的解集没有公共部分，不等式组无解． 2. 确定方法 最简单的一元一次不等式组的四种解的情况． 不等式组 图示 解集 口诀 同大取大 同小取小 大小小大中间找 无解 大大小小找不到 知识点3 不等式组的解法 1. 解不等式组：求不等式组解集的过程叫做解不等式组． 2. 解不等式组的一般步骤 （1）分别求出不等式组每一个不等式的解集； （2）在数轴上把每个不等式的解集表示出来； （3）写出不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集． 【题型1 一元一次不等式组的定义】 【例1】下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26七年级下·广西崇左·期末）2026年6月5日是我国二十四节气中的芒种，某地当天最低气温是，最高气温是，则该地气温的变化范围是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】写出解集是－1＜x≤3的一个不等式组：________． 【变式1-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各不等式组中，是一元一次不等式组的是________（填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥ 【题型2 一元一次不等式组的解法】 【例2】不等式组的解集为______． 【变式2-1】解不等式组． 【变式2-2】定义一种运算：，则不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D．或 【变式2-3】（25-26七年级下·福建福州·期末）已知a、b、c为三个非负数，且满足，，，则S的取值范围是________． 【题型3 在数轴上表示一元一次不等式组的解集】 【例3】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则的值为__________． 【变式3-1】（2025·河北沧州·模拟预测）将关于x的不等式组|的解集表示在数轴上图所示，则a的值为______． 【变式3-2】（25-26七年级下·天津河东·期末）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． (1)解不等式①，得____________； (2)解不等式②，得____________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； (4)原不等式组的解集为_____________________． 【变式3-3】在数轴上从左至右的三个数为a，1＋a，－a，则a的取值范围是__________. 【题型4 求一元一次不等式组的整数解】 【例4】不等式组的正整数解有___________个． 【变式4-1】（25-26七年级下·河南周口·期末）不等式的所有整数解之和为______． 【变式4-2】（25-26七年级下·北京·期末）已知关于的方程组的解满足，则所有满足条件的整数的个数为（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式4-3】（25-26七年级下·河南·期末）利用数轴解不等式组：，并求它的最小整数解． 【题型5 由一元一次不等式组的解集求字母的值】 【例5】（25-26七年级下·广东汕头·期末）若不等式组的解集是，则_________________． 【变式5-1】不等式组的解集是，则的取值范围是________． 【变式5-2】（2026·四川广元·中考真题）若关于的不等式组的解集为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于，的二元一次方程组的解均为正数，且不等式组的解集为，求的取值范围． 【题型6 由一元一次不等式组的整数解求字母的取值范围】 【例6】若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，则符合条件的整数a有_______． 【变式6-1】（25-26七年级下·江苏徐州·期末）若关于的不等式的正整数解是1，2，3，则实数的范围为（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26七年级下·安徽宣城·期末）已知关于的不等式组的最大整数解与最小整数解的差是4，则的取值范围是________． 【变式6-3】已知关于的不等式组． （1）若，已知该不等式组的所有整数解的和为，则的取值范围为______． （2）若，已知该不等式组有且只有两个整数解，则的取值范围是______． 【题型7 一元一次不等式组的有解无解情况求字母的取值范围】 【例7】（24-25八年级上·浙江杭州·开学考试）不等式组无解，则a的取值范围是_______； 不等式组无解，则a的取值范围是_______； 不等式组无解，则a的取值范围是_______． 【变式7-1】（25-26七年级下·山东滨州·期末）若关于x的不等式组有解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2026·河南平顶山·三模）若不等式组无解，则“……”代表的不等式可能是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26七年级下·山东临沂·期末）已知关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围是____________． 【题型8 方程（组）与一元一次不等式组则综合运用】 【例8】（24-25七年级下·上海闵行·阶段检测）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“有缘方程”，如：方程就是不等式组的“有缘方程”．若关于方程（为整数）是不等式组的一个有缘方程，则整数的值为___________． 【变式8-1】（25-26七年级下·福建漳州·期中）如果关于y的方程有正整数解，且关于x的不等式组的解集为，则所有符合条件的a的和为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26七年级下·重庆万州·期末）若关于的不等式组恰好有4个整数解，且关于的方程的解是非负数，则符合条件的所有整数之和是_______． 【变式8-3】（25-26七年级下·四川广元·期末）定义：对于一个一元一次方程和一个一元一次不等式组，若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的“子方程”． 例如：方程的解为，不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“子方程”． (1)方程_____________（填“是”或“不是”）不等式组的“子方程”； (2)若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围； (3)若方程，都是关于的不等式组（）的“子方程”，求的取值范围． 【题型9 根据程序框图列不等式组求字母的取值范围】 【例9】（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）某学校的编程课上，一位同学设计了一个运算程序，如图所示．按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于23”为一次运行． (1)若，直接写出该程序需要运行____ 次才停止； (2)若该程序只运行了1次就停止了，则x的取值范围是______． (3)若该程序只运行了2次就停止了，求x的取值范围． 【变式9-1】（25-26八年级下·全国·单元测试）下图所示的是一个计算程序． (1)若输入的为，则输出的值是____________． (2)规定：程序运行到“判断结果是否大于18”为一次运算．若程序进行了三次运算才输出，求的取值范围． 【变式9-2】运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了四次才停止，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式9-3】一个进行数值转换的运行程序如图所示，从“输入有理数x”到“结果是否大于0”称为“一次操作” (1)下面命题是真命题有______________． ①当输入后，程序操作仅进行一次就停止． ②当输入后，程序操作仅进行一次就停止． ③当输入x为负数时，无论x取何负数，输出的结果总比输入数大． ④当输入，程序操作仅进行一次就停止． (2)探究：是否存在正整数x，使程序只能进行两次操作，并且输出结果小于12？若存在，请求出所有符合条件的x的值；若不存在，请说明理由． 【题型10 与一元一次不等式组有关的新定义问题】 【例10】（25-26七年级下·河南周口·期中）定义新运算：对于任意数a，b，规定 ． (1)计算： (2)若 ，求x的取值范围； (3)若关于x的不等式组 的解集为，求m的值． 【变式10-1】定义新运算：，则不等式组的最小整数解为（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】（25-26七年级下·北京房山·期中）定义一种新运算“★”．规定．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是________． 【变式10-3】（25-26七年级下·湖南永州·期中）定义：如果一元一次不等式组①的解都是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组①的解都不是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相斥不等式组”． (1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的 ．（填序号①“相容不等式组”或②“相斥不等式组”）； (2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围； (3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.5 一元一次不等式组及其解法（举一反三讲义） 【新教材浙教版】 题型归纳 【题型1 一元一次不等式组的定义】 2 【题型2 一元一次不等式组的解法】 2 【题型3 在数轴上表示一元一次不等式组的解集】 3 【题型4 求一元一次不等式组的整数解】 3 【题型5 由一元一次不等式组的解集求字母的值】 3 【题型6 由一元一次不等式组的整数解求字母的取值范围】 3 【题型7 一元一次不等式组的有解无解情况求字母的取值范围】 3 【题型8 方程（组）与一元一次不等式组则综合运用】 3 【题型9 根据程序框图列不等式组求字母的取值范围】 4 【题型10 与一元一次不等式组有关的新定义问题】 4 考点1 一元一次不等式组及其解法 知识点1 一元一次不等式组的概念 把几个含有同一个未知数的一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组．例如，和，都是一元一次不等式组． 知识点2 不等式组的解集 1. 定义：不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集．如果不等式的解集没有公共部分，不等式组无解． 2. 确定方法 最简单的一元一次不等式组的四种解的情况． 不等式组 图示 解集 口诀 同大取大 同小取小 大小小大中间找 无解 大大小小找不到 知识点3 不等式组的解法 1. 解不等式组：求不等式组解集的过程叫做解不等式组． 2. 解不等式组的一般步骤 （1）分别求出不等式组每一个不等式的解集； （2）在数轴上把每个不等式的解集表示出来； （3）写出不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集． 【题型1 一元一次不等式组的定义】 【例1】下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元一次不等式组的概念逐一辨析． 【详解】A. 是一元一次不等式组，故正确；    B. 是二元一次不等式组，故不正确；   C. 是一元二次不等式组，故不正确；    D. 是分式不等式组，故不正确； 故选A． 【点睛】本题考查了对一元一次不等式组概念的理解，深刻理解基本定义是解决这类问题的关键． 【变式1-1】（25-26七年级下·广西崇左·期末）2026年6月5日是我国二十四节气中的芒种，某地当天最低气温是，最高气温是，则该地气温的变化范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵该地当天最低气温是，最高气温是， ∴气温满足最低气温最高气温即． 【变式1-2】写出解集是－1＜x≤3的一个不等式组：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题为开放性题，按照口诀大小小大中间找列不等式组即可．如：根据“大小小大中间找”可知只要写2个一元一次不等式x≤a，x＞b，其中a＞b即可． 【详解】根据解集-1＜x≤3，构造的不等式组为 ．注意答案不唯一． 故答案为此题答案不唯一． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的解集与不等式组之间的关系．解不等式组的简便求法就是用口诀求解，构造已知解集的不等式组是它的逆向运用．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 【变式1-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各不等式组中，是一元一次不等式组的是________（填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥ 【答案】③④⑤ 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，主要考查学生的理解能力和判断能力．一元一次不等式组中只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可． 【详解】解：① 该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ②该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组；    ③该不等式组是一元一次不等式组； ④该不等式组是一元一次不等式组； ⑤该不等式组是一元一次不等式组； ⑥该不等式组中第2个不等式左边不是整式，不是一元一次不等式组； 则是一元一次不等式组的是③④⑤， 故选答案为：③④⑤． 【题型2 一元一次不等式组的解法】 【例2】不等式组的解集为______． 【答案】 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 原不等式组的解集为． 【变式2-1】解不等式组． 【答案】 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定不等式组的解集． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解为． 【变式2-2】定义一种运算：，则不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据新定义的运算规则，分和两种情况列出不等式，分别求解后取并集即可得到解集． 【详解】解：由定义可知，需分两种情况讨论： 情况1：当时， 解不等式得，即， 此时，原不等式化为， 解得， 结合前提，得此情况解集为； 情况2：当时， 解不等式得，即， 此时，原不等式化为， 解得， 结合前提，得此情况解集为； 综上，原不等式的解集为或． 【变式2-3】（25-26七年级下·福建福州·期末）已知a、b、c为三个非负数，且满足，，，则S的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据题意先把看作已知数，分别用表示出和，让，列式求出的取值范围，再求得用表示的形式，结合的取值范围即可求得的范围． 【详解】解：，， 则 解得，， ∵、， ∴，， ∴． ∵， ∵， ∴， ∴． 即． 【题型3 在数轴上表示一元一次不等式组的解集】 【例3】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则的值为__________． 【答案】 【分析】分别解两个不等式求出其对应的解集，再根据数轴表示的解集，求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得：， 根据数轴表示的解集可知不等式组的解集为， ∴， ∴， ∴． 【变式3-1】（2025·河北沧州·模拟预测）将关于x的不等式组|的解集表示在数轴上图所示，则a的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式的解集，根据所给数轴，得出不等式组的解集，据此进行计算即可． 【详解】解：由所给数轴可知，不等式组的解集为：． 由得，； 由得，， 则， 解得． 故答案为：． 【变式3-2】（25-26七年级下·天津河东·期末）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． (1)解不等式①，得____________； (2)解不等式②，得____________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； (4)原不等式组的解集为_____________________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：， 移项，合并同类项得：； （2）解：， 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （3）略 （4）解：原不等式组的解集为． 【变式3-3】在数轴上从左至右的三个数为a，1＋a，－a，则a的取值范围是__________. 【答案】a＜－ 【详解】根据题意可知a<1+a<−a， 解不等式组可得：a<−， ∴解集为a<−， 故答案为a＜－ 【题型4 求一元一次不等式组的整数解】 【例4】不等式组的正整数解有___________个． 【答案】3 【分析】先分别求解两个不等式的解集，再确定不等式组的公共解集，最后数出解集中正整数的个数即可． 【详解】解： 解不等式①，得； 解不等式②，得； 因此不等式组的解集为， 所以，该解集内的正整数为2、3、4，共3个． 【变式4-1】（25-26七年级下·河南周口·期末）不等式的所有整数解之和为______． 【答案】 【分析】先求解该一元一次不等式的解集，再找出解集中的所有整数，计算所有整数的和即可． 【详解】解： 解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式的解集为， ∴不等式的所有整数解为，，， ∴所有整数解之和为． 【变式4-2】（25-26七年级下·北京·期末）已知关于的方程组的解满足，则所有满足条件的整数的个数为（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】将方程组中两个方程作差，得到，再结合已知不等式求出的取值范围，然后求解即可． 【详解】解：， 得， ∵， ∴， 解得， ∴满足条件的整数为，共个． 【变式4-3】（25-26七年级下·河南·期末）利用数轴解不等式组：，并求它的最小整数解． 【答案】数轴如下： ， 原不等式组的解集为， 最小整数解为 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 在数轴上表示略： ∴原不等式组的解集为， ∴不等式组的最小整数解为． 【题型5 由一元一次不等式组的解集求字母的值】 【例5】（25-26七年级下·广东汕头·期末）若不等式组的解集是，则_________________． 【答案】 【分析】先求出不等式组的解集，再根据解集是求出，即可求出． 【详解】解：解得， 解得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的解集是， ∴， 解得：， ∴． 【变式5-1】不等式组的解集是，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先用表示出不等式组中两个不等式的解集，再根据已知的不等式组解集，结合一元一次不等式组解集的确定方法，列出关于的不等式，即可求解的取值范围． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组的解集为， 根据同大取大的原则，可得， 解得：． 【变式5-2】（2026·四川广元·中考真题）若关于的不等式组的解集为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，得到含的解集，再对照已知解集求出的值，最后计算即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， ∵不等式组的解集为， ∴，， 解得，， ∴． 【变式5-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于，的二元一次方程组的解均为正数，且不等式组的解集为，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的解法与解集的确定，掌握根据方程组的解的符号和不等式组的解集列不等式是解题的关键． 先解二元一次方程组，根据解为正数得到的初步范围，再解不等式组，结合解集条件得到的另一范围，最后取两个范围的交集． 【详解】解：解方程组 得 方程组的解均为正数， ，即． 解不等式，得， 解不等式，得． 不等式组的解集为， ，解得． ， 的取值范围为． 【题型6 由一元一次不等式组的整数解求字母的取值范围】 【例6】若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，则符合条件的整数a有_______． 【答案】 【分析】先求解不等式组得到的解集，再根据整数解的个数确定的取值范围，找出范围内的整数即可得到结果． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且只有四个整数解， ∴四个整数为， ∴， 解得：， ∴符合条件的整数为． 【变式6-1】（25-26七年级下·江苏徐州·期末）若关于的不等式的正整数解是1，2，3，则实数的范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解关于的不等式得到解集，再根据正整数解只有1，2，3，确定的范围，求解后即可得到的取值范围． 【详解】解：， 移项得，， 系数化为得，， ∵不等式的正整数解是1，2，3， ∴， 解得． 【变式6-2】（25-26七年级下·安徽宣城·期末）已知关于的不等式组的最大整数解与最小整数解的差是4，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先求解不等式组得到解集，再根据已知条件得到最小整数解，据此确定参数的取值范围，注意端点值的取舍. 【详解】解：由不等式得，由不等式得， 不等式组的解集为， 不等式组的最大整数解与最小整数解的差是，且不等式组的最大整数解为， 最小整数解为，可得． 【变式6-3】已知关于的不等式组． （1）若，已知该不等式组的所有整数解的和为，则的取值范围为______． （2）若，已知该不等式组有且只有两个整数解，则的取值范围是______． 【答案】 或 【分析】本题考查不等式组的解法及整数解的确定，熟练掌握不等式组的解法，进行分情况分析，找到题中的不等关系是解题的关键． （1）若，不等式为，根据已知该不等式组的所有整数解的和为，可得对应整数解为或，分别得出不等式求解即可； （2）若，已知该不等式组有且只有两个整数解，两个整数不明确，设整数解为，，再利用m这个量的交叉传递，得到n的值，从而求解． 【详解】解：（1）若，即为， 已知该不等式组的所有整数解的和为， 不等式组的解为， ∴对应整数解为， ∴， 解得：； 当对应整数解为时， ， 解得：． 故答案为：或． （2）若，即为， 已知该不等式组有且只有两个整数解，设整数解为，， 不等式组的解为，且，， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 【题型7 一元一次不等式组的有解无解情况求字母的取值范围】 【例7】（24-25八年级上·浙江杭州·开学考试）不等式组无解，则a的取值范围是_______； 不等式组无解，则a的取值范围是_______； 不等式组无解，则a的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，根据解集的情况列出关于a的不等式是解题的关键． 根据已知不等式组解的情况列出关于a的不等式求解即可． 【详解】解：∵不等式组无解， ∴，解得：； ∵不等式组无解， ∴，解得：； ∵不等式组无解， ∴，解得：． 故答案为：，，． 【变式7-1】（25-26七年级下·山东滨州·期末）若关于x的不等式组有解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 解得， ∵不等式组有解，即两个解集要有公共部分， ∴． 【变式7-2】（2026·河南平顶山·三模）若不等式组无解，则“……”代表的不等式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解第一个不等式得到解集，再根据不等式组无解即两个解集无公共部分，判断符合条件的选项． 【详解】解： 解得：． ∵不等式组无解， ∴另一个不等式的解集与没有公共部分． A选项，公共部分为，不等式组有解，不符合要求． B选项，没有数同时满足和，不等式组无解，符合要求． C选项，公共部分为，不等式组有解，不符合要求． D选项，公共部分为，不等式组有解，不符合要求． 【变式7-3】（25-26七年级下·山东临沂·期末）已知关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组有解建立关于的不等式，求解即可得到的取值范围. 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：，即， 该一元一次不等式组有解， ， 解得. 【题型8 方程（组）与一元一次不等式组则综合运用】 【例8】（24-25七年级下·上海闵行·阶段检测）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“有缘方程”，如：方程就是不等式组的“有缘方程”．若关于方程（为整数）是不等式组的一个有缘方程，则整数的值为___________． 【答案】2或3 【分析】本题考查解一元一次方程，求不等式组的解集，掌握“有缘方程”的定义，是解题的关键． 先求出方程的解和不等式组的解集，利用有缘方程的定义，得到关于k的不等式组，求出整数解即可． 【详解】解：解方程，得：， 解不等式组，得：， 关于方程（为整数）是不等式组的一个有缘方程， ， 解得， k是整数， 的值为2或3． 故答案为：2或3． 【变式8-1】（25-26七年级下·福建漳州·期中）如果关于y的方程有正整数解，且关于x的不等式组的解集为，则所有符合条件的a的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解关于y的方程，根据y是正整数得到a的范围和性质，再解不等式组，根据已知解集确定a的取值范围，最后找出符合条件的整数a求和即可． 【详解】解：先解关于的方程 去分母得： 整理得： ∵为正整数 ，且为偶数，即，且为奇数，为整数， 再解不等式组 解第一个不等式得： 解第二个不等式得： ∵不等式组的解集为，根据同大取大原则，得 解得 综上可得，满足条件的满足，且为奇数，因此符合条件的整数为， 所有符合条件的的和为：． 【变式8-2】（25-26七年级下·重庆万州·期末）若关于的不等式组恰好有4个整数解，且关于的方程的解是非负数，则符合条件的所有整数之和是_______． 【答案】 【分析】先解不等式组得到解集，根据恰好4个整数解确定a的初步取值范围，再根据y的方程解是非负数确定a满足的条件，找出所有符合条件的整数a求和即可． 【详解】解：解不等式 ，得， 解不等式 ，得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰好有4个整数解， ∴这4个整数解为2，3，4，5， ∴ 解得 ， ∴整数a的可能取值为， 解方程 ，得， ∵方程的解是非负数， ∴，即， 解得 ∵， ∴， ∴符合条件的整数a为， ∴符合条件的所有整数a的和为． 【变式8-3】（25-26七年级下·四川广元·期末）定义：对于一个一元一次方程和一个一元一次不等式组，若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的“子方程”． 例如：方程的解为，不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“子方程”． (1)方程_____________（填“是”或“不是”）不等式组的“子方程”； (2)若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围； (3)若方程，都是关于的不等式组（）的“子方程”，求的取值范围． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再根据“子方程”的定义进行判断即可； （2）解不等式组求得其解集，解方程求出，根据“子方程”的定义列出关于的不等式组，解之即可； （3）先求出方程的解和不等式组的解集，即可得出答案． 【详解】（1）解：解方程，得：， 解不等式组，得：， ∵在范围内， ∴方程是不等式组的“子方程”； （2）解：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， ∴不等式组的解集为， 解关于的方程，得， ∵关于的方程是不等式组的“子方程”， ∴， 解得， ∴的取值范围是； （3）解：解方程，得， 解方程，得， 解关于的不等式组，得， 方程，都是关于的不等式组的“子方程”， ， 解得， 的取值范围是． 【题型9 根据程序框图列不等式组求字母的取值范围】 【例9】（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）某学校的编程课上，一位同学设计了一个运算程序，如图所示．按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于23”为一次运行． (1)若，直接写出该程序需要运行____ 次才停止； (2)若该程序只运行了1次就停止了，则x的取值范围是______． (3)若该程序只运行了2次就停止了，求x的取值范围． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】（1）根据运算程序计算运行的结果，再与23比大小，即可求解； （2）根据运算程序，列出不等式，即可求解； （3）根据运算程序，列出不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：输入5，第一次运行的结果为； 输入7，第二次运行的结果为； 输入11，第三次运行的结果为； 输入19，第四次运行的结果为； 所以若，直接写出该程序需要运行4次才停止； （2）解：∵该程序只运行了1次就停止了， ∴， ∴x的取值范围是； （3）解：∵该程序只运行了2次就停止了， ∴， 解得：． 【变式9-1】（25-26八年级下·全国·单元测试）下图所示的是一个计算程序． (1)若输入的为，则输出的值是____________． (2)规定：程序运行到“判断结果是否大于18”为一次运算．若程序进行了三次运算才输出，求的取值范围． 【答案】(1)22 (2) 【分析】本题考查了代数式的表示和一元一次不等式组的求解，掌握将程序逻辑转化为数学不等式是解题的关键． (1) 将 代入程序，按流程计算，直到得到的结果大于； (2) 首先，根据程序流程，用代数式表示出第一次、第二次和第三次运算的结果；然后，根据程序进行了三次运算才输出这一条件，列出关于的不等式组，这个条件意味着第二次运算的结果必须不大于，而第三次运算的结果必须大于，解这个不等式组即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：当输入 时： 第一次运算： ，程序继续； 第二次运算： ，程序输出结果； 故输出的值是． （2）解：由题意可知，第一次运算结果为， 第二次运算结果为， 第三次运算结果为． 可列不等式组 解得． 【变式9-2】运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了四次才停止，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照程序操作顺序多次运算即可． 【详解】解：根据程序操作可知一轮运算为， ∵操作程序进行了四次才停止， ∴， 解得， ∴的取值范围为． 【变式9-3】一个进行数值转换的运行程序如图所示，从“输入有理数x”到“结果是否大于0”称为“一次操作” (1)下面命题是真命题有______________． ①当输入后，程序操作仅进行一次就停止． ②当输入后，程序操作仅进行一次就停止． ③当输入x为负数时，无论x取何负数，输出的结果总比输入数大． ④当输入，程序操作仅进行一次就停止． (2)探究：是否存在正整数x，使程序只能进行两次操作，并且输出结果小于12？若存在，请求出所有符合条件的x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)②③； (2)存在，x＝2． 【分析】（1）逐一计算，判断即可． （2）根据题意，建立不等式组，确定不等式组的整数解，有则存在；无则不存在． 【详解】（1）解：根据题意，得代数式为， 当时，， 所以程序操作仅进行一次就停止不可能， 故①不符合题意； 当时，， 所以程序操作仅进行一次就停止， 故②符合题意； 当时，所以， 所以， 所以程序操作仅进行一次就停止， 故③符合题意； 当时，也可能， 所以程序操作仅进行一次就停止不可能， 故④不符合题意； 故答案为：②③． （2）存在，且，理由如下： ∵程序只能进行两次操作， 第一次计算的代数式是， 第二次输出的代数式是， 根据题意，得 ， 解得， ∵x为整数，所以． 【点睛】本题考查了程序计算，不等式组的应用，正确理解程序，建立正确的不等式组是解题的关键． 【题型10 与一元一次不等式组有关的新定义问题】 【例10】（25-26七年级下·河南周口·期中）定义新运算：对于任意数a，b，规定 ． (1)计算： (2)若 ，求x的取值范围； (3)若关于x的不等式组 的解集为，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义即可求解； （2）根据新定义可得不等式，解之即可得到答案； （3）根据新定义可得不等式组，求出此不等式的解集，再根据不等式组的解集为即可求出m的值． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， 解得， ∵解集为， ， 解得． 【变式10-1】定义新运算：，则不等式组的最小整数解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据新定义的运算规则，将新运算转化为常规一元一次不等式组，再分别解不等式得到不等式组的解集，最后找出解集中的最小整数即可． 【详解】解：定义新运算， 原不等式组可转化为：， 整理得， 解不等式， ， 解不等式， ， ； 不等式组的解集为， 解集中的最小整数解为． 【变式10-2】（25-26七年级下·北京房山·期中）定义一种新运算“★”．规定．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先根据定义的新运算法则化简不等式组，再分别解两个一元一次不等式，最后根据已知解集，结合一元一次不等式组解集的确定方法确定a的取值范围． 【详解】解：根据新定义，关于x的不等式组可化为： ， 解不等式①可得：， 解不等式②移项可得：， 因为该不等式组的解集为， 根据同大取大的解集确定法则，可得， 解得：． 【变式10-3】（25-26七年级下·湖南永州·期中）定义：如果一元一次不等式组①的解都是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组①的解都不是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相斥不等式组”． (1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的 ．（填序号①“相容不等式组”或②“相斥不等式组”）； (2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围； (3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围． 【答案】(1)① (2)或 (3) 【分析】（1）求出两个不等式组的解集，根据定义进行判断即可； （2）根据定义得到关于a的不等式组，进而计算可以得解； （3）根据“相容不等式组”的定义求出的取值范围，再根据两个不等式组整数解相同求出的取值范围，取两个取值范围的公共部分即可． 【详解】（1）解：不等式组的解集是，不等式组的解集是， 不等式组是不等式组的“相容不等式组”． 故答案为：①． （2）解：∵关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为， ∴或． ∴或 （3）解：∵不等式组是的“相容不等式组” ， 解得 的整数解为2，3，4，且和的整数解相同， ∴ ∴ 综上所述： 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $