第三章·专题一：不等式的认识与基本性质 讲义 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

浙教版八上第三章·专题一： 不等式的认识与基本性质（学生版） 目录导航 知识详解 2 一、辨认不等式与读懂数量关系 4 二、从实际情境提炼不等关系 5 三、用数轴表示和读取范围 7 四、用传递性和加减性质比较 8 五、用乘除性质变形与比较 10 六、逆用基本性质确定参数 11 七、由已知范围确定式子的范围 12 八、判断结论与构造反例 13 A、基础通关 15 B、难点突破 18 C、方法进阶 21 D、真题精选 24 对应教材：认识不等式　不等式的基本性质 姓名：_______________　班级：_______________　日期：_______________ 学习路径：读懂关系 → 数轴表示 → 基本性质 → 符号与范围 → 真题检验。 建议先完成例题与变式，再分组练习。保留关键运算步骤；遇到含字母的乘除，先判断符号。 知识详解 知识详解一　不等式表示什么 不等式用或连接数量。它表达大小或不相等关系，不要求一定含有未知数，也不要求写出的关系一定成立。 “大于、超过”对应“小于、低于”对应“至少、不少于、不小于”对应“至多、不超过、不大于”对应“非负”指“非正”指 读长句时，先找比较的两个整体。例如“的倍减不小于与的和”比较的是和写成 只排除相等。例如表示或不能把它当成某一个固定方向。 数值代入后，要分别算两边，再检查关系。例如把代入得到这个值不满足原不等式。一个值不满足，不表示原式不是不等式。 实际问题中，单位先统一，数量限制要完整。例如人数不仅有大小限制，还应为非负整数。列式时不能为了方便而把“超过”换成“达到”。 易错提醒：不是正数负数。不是正数包含应写成 知识详解二　数轴与范围 数轴上右边的数大于左边的数。表示右侧的点；表示左侧的点。若包含端点，用实心点；不包含端点，用空心点。 要求同时满足和数轴上表示两端之间的部分，左端实心、右端空心。左右箭头或端点不能只看其中一个。 范围中的整数要单独筛选。例如内的整数为空心端点即使是整数也不能计入。 边界是否包含与是否能取到同样重要。例如“至少包含“不足不包含遇到测量误差等情境，还应把整个可能范围与合格范围比较。 上图表示下图表示 易错提醒：图中的空、实端点与不等号必须一一对应；把式子改写方向后，数轴的实际范围不变。 知识详解三　浙教版的三条基本性质 性质传递性。若且则先把关系接成同向链，再比较两端。例如时，仍有但不能确定与 性质两边加上或减去同一个数，方向保持。时，有也有可以为正、负或 性质两边乘或除以同一个正数，方向保持；乘或除以同一个负数，方向改变。且时，且时， 同乘会使两边都变为原来的严格大小关系消失。不能作除数。若乘除的是含字母的式子，必须先确定整个式子的正负，不能凭字母外观判断。 例如两边都减得到这一步只用了同减一个数的性质。在上述同加、同减、同乘、同除变形中，乘除负数时需要改变不等号方向。 易错提醒：本专题使用浙教版编号。性质是传递性，性质是加减，性质同时包含正数与负数的乘除。 知识详解四　比较、范围与参数 比较两个式子，可以从已知不等式逐步变形，也可以考察它们的差。表示表示表示 由可逆推出若把改为则包含严格与非严格结论的区别，常决定参数端点是否能取。 求一个式子的范围时，按同样的加减乘除顺序处理两个边界。负系数会交换上、下界。例如可推出 多个字母有关联时，不能把各自的最值随意拼起来。若应先把待求式子化成只含的式子，再求其准确范围。 判断“必然成立”，不能只用几个成立的数值作证明；判断“不一定成立”，可以构造一个满足全部条件而结论失败的反例。平方与倒数等运算并非基本性质中的直接变形，要另查条件。 方法提醒：先列条件，再判断符号，接着变形或比较，最后检查零值、等号和边界是否遗漏。 一、辨认不等式与读懂数量关系 方法提示：先辨认连接符号，再确定比较的两部分；“不”“至少”“至多”等词决定是否包含等号。 例一　 下列式子中，哪些是不等式？写出序号。 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 变式1-1　 下列说法正确的是（  ）。 不等式必须含有未知数 不等式两边只能是单项式 不是不等式，因为它不成立 是不等式，但不能单独据此判断比大还是小 变式1-2　 用不等式表示下列数量关系。 （与不相等； （的倍不大于与的和； （的相反数小于 （的一半不小于 变式1-3　 下列四个判断中，正确的是________（填序号）。 ① 当时，成立。 ② “不是正数”可以表示为 ③ “不等于与“大于表达的是同一种关系。 ④ “比小，但至少是可以表示为 二、从实际情境提炼不等关系 方法提示：设清未知数与单位，先用代数式表示双方，再按条件连接；人数、件数等还要注明整数限制。 例二　 用不等式表示下列条件，不必求出未知数的范围。 （一箱器材总质量为 搬运车的最大载质量为 器材不超载。 （某次测验得分为分，获奖要求超过分。 （甲、乙两队分别完成件、件任务，甲队比乙队至少多完成件。 变式2-1　 一次活动安排了辆大巴，每辆最多坐人。共有名学生和名教师乘车。若所有人都能乘坐，用不等式表示人数限制，并写出的实际取值条件。 变式2-2　 文具店出售甲、乙两种笔记本，单价分别为元和元。班级计划购买本，其中甲种本。购书费用不超过元，且甲种本数不少于乙种。分别列出这两个条件对应的不等式，并写出的实际取值条件。 变式2-3　 两个打印点的收费如下：甲店每页元；乙店每次收取资料处理费元，另按每页元收费。小林准备打印页，且为正整数。 （用不等式表示“选择乙店的费用严格低于甲店”。 （若只考虑时的打印需求，乙店是否可能更便宜？ 三、用数轴表示和读取范围 方法提示：读图依次检查方向、端点、边界值；涉及整数时，额外检查最小整数及它前面的那个整数。 例三　 分别在数轴上表示下列不等式。 （（ 变式3-1　 如图，粗线段上的点（含实心端点，不含空心端点）表示数的范围。 （用不等式表示该范围； （写出该范围内的全部整数。 变式3-2　 某恒温箱要求实际温度满足（单位：℃）。仪表显示测量误差不超过即实际温度与显示温度的差的绝对值不超过 （写出实际温度的可能范围，并在数轴上表示； （实际温度是否一定符合要求？若不一定，写出一个可能的不合格温度。 变式3-3　 已知满足的整数恰好为求的取值范围。 四、用传递性和加减性质比较 方法提示：传递性需要能接成同向的链；加减性质要求两边加减同一个数。两边加的数不同时，应补出中间量或比较差。 例四　 已知填入““或“ （________ （________ （________ （________ 变式4-1　 已知比较下列各组数的大小。 （与（与（与 变式4-2　 已知下列结论一定成立的是（  ）。 　　 　　 变式4-3　 已知 （求的取值范围； （比较与的大小。 五、用乘除性质变形与比较 方法提示：先判断所乘或所除的整个量的符号，再决定方向。平方只保证非负，不一定为正；两边同乘会变成相等，不能除以 例五　 已知比较下列各组式子的大小。 （与（与 （与（与 变式5-1　 根据不等式的基本性质，把下列不等式写成或的形式。 （（（ 变式5-2　 已知为任意实数。填入“““或“使结论始终成立，且尽可能准确。 （________ （________ 变式5-3　 已知 （比较与的大小； （比较与的大小； （判断能否等于 六、逆用基本性质确定参数 方法提示：逆用性质要同时看“原方向”和“新方向”。严格不等式可以排除零系数，含等号的结论则必须检查零系数能否成立。 例六　 已知且求的取值范围。 变式6-1　 已知且求的取值范围。 变式6-2　 已知且若为整数，求的值。 变式6-3　 已知无论取何值，只要就有 （求的取值范围； （若把结论中的改为的范围如何变化？ 七、由已知范围确定式子的范围 方法提示：遇到负系数，先反向再整理上下界；多个量有关联时，优先代入关系化成一个量，最后检查边界是否真的取到。 例七　 已知求的取值范围。 变式7-1　 已知求的取值范围。 变式7-2　 已知求的取值范围。 变式7-3　 已知且 （求的取值范围； （小明分别求出进而认为的最小值是这个结论是否正确？写出正确的最小值。 八、判断结论与构造反例 方法提示：“一定成立”要求所有允许取值都成立；反驳只需一个有效反例。需要完整结论时，可把比较转成差的符号并分类。 例八　 判断命题“若则的真假。若是假命题，写出一组满足条件却不满足结论的数。 变式8-1　 已知下列结论中，正确的是________（填序号）。 ① ② ③ ④ 变式8-2　 小明声称：“若且则 （写出一组反例； （在相同条件下，与的大小能否确定？若能，写出结论并证明。 变式8-3　 已知比较与的大小，并按的符号填写结论。 （时，________； （时，________； （时，________。 A、基础通关 A1　 当分别取时，能使成立的值有________。 A2　 下列语句与不等式对应的是（  ）。 的倍与的差至少是 的倍与的差至多是 与的差的倍至多是 的倍比小 A3　 一个数既不是正数，也不是用不等式表示为________。 A4　 用不等式表示下列条件。 （比赛用球的质量 在 至 之间，两端均允许； （一根绳子长 剪去 后，剩余长度超过 A5　 已知则与的大小关系是________。 A6　 在横线上填数。 （由得到是在两边都加上________； （由得到是在两边都乘________。 A7　 小明进行了以下推导： → （第①步）→ （第②步）。 指出首个错误步骤，并改正该步骤及其后续结论。 A8　 数轴上，点表示数点表示数点在表示的点左侧，点在表示的点右侧。 用不等式分别表示的范围，并比较线段的长度与的大小。 A9　 若则中，最小的是________，最大的是________。 A10　 已知且 （求的值； （能否将两边都除以得到 A11　 已知为整数，且写出的所有可能值，并写出可能取到的值。 A12　 判断下列说法的正误。 （若则对任何实数都成立。 （若则对任何实数都成立。 （若两边都除以后，应得到 B、难点突破 B1　 已知填入最准确的不等号。 （________ （________（________ B2　 已知比较与的大小。 B3　 已知比较与的大小。 B4　 已知且求的值。 B5　 已知 （求的取值范围； （将所得范围的两个边界值分别代回原条件，核验各自能否取到。 B6　 已知 能否分别取到和能取到的，写出一组符合条件的不能取到的，用已知条件作出判断。 B7　 为整数，满足的所有整数的和为求的值。 B8　 已知分别写出符合下列三种情况的一组 （（（ 由此判断：只把的左边乘是否总能得到 B9　 下列条件中，能够推出的是________（填序号）。 ① ② ③ ④ B10　 某商品甲店售价为元，乙店售价为元，已知两店推出同一天的优惠。 （均打九折后，哪家更便宜？ （均降价元后，哪家更便宜？ （若甲店降价元、乙店打九折，能否确定哪家更便宜？（各方案优惠后的价格均为正。） C、方法进阶 C1　 已知且比较的大小。 C2　 已知为实数。比较与的大小，并写出所有情形。 C3　 已知且 （求证： （若把条件改为是否仍一定成立？若不一定，举出反例。 C4　 已知 小明写出并认为可以取到 （写出的准确取值范围，并判断能否取到； （能否取到若能，写出一组符合条件的 C5　 若且求证： （（（ C6　 已知且 求的最小值和最大值，并分别写出取得该值时的 C7　 某种评分调整规则为“原分乘再加即原分调整为 甲的原分低于乙的原分 （若无论为何值，调整后甲分仍低于乙分，应满足什么条件？ （若调整后两人分差是调整前分差的倍，且高低顺序不变，求 （若原分从增加到调整分如何变化？ C8　 对实数定义“截断值”时时时 （求 （若是否一定有若不一定，举出反例； （若求证： D、真题精选 D1　（2025·绍兴柯桥八上期中·第4题） 下列式子：① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 中，是不等式的有（  ）。 个　 个　 个　 个 D2　（2025·舟山多校八上期中·第12题） 用不等式表示减去的差是一个非负数：________。 D3　（2026·宁波慈溪八上期末·第4题） 已知则下列各式一定成立的是（  ）。 　 　 　 D4　（2025·杭州启正八上期中·第5题） 若则下列不等式中一定成立的是（  ）。 　 　 　 D5　（2025·绍兴柯桥八上期中·第12题） 填入“或“ （若则________ （若且则________ （若则________ D6　（2025·绍兴柯桥八上期中·第17题（1）选编） 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成或的形式。 （ D7　（2025·舟山多校八上期中·第6题） 判断命题“如果那么是假命题，只需举出一个反例。反例中的可以为（  ）。 　 　 　 D8　（2025·杭州启正八上期中·第21题选编（对话精简）） 命题：“有两个数和若则一定有 （举一个反例说明这个命题是假命题。 （把条件改为后，证明 D9　（2025·义乌苏溪八上期中·第23题（1）选编） 设是有理数，现在我们用表示不小于的最小整数，如在此规定下任一有理数都能写成如下形式：其中 （请直接写出与的大小关系。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙教版八上第三章·专题一： 不等式的认识与基本性质（解析版） 目录导航 知识详解 2 一、辨认不等式与读懂数量关系 4 二、从实际情境提炼不等关系 5 三、用数轴表示和读取范围 7 四、用传递性和加减性质比较 8 五、用乘除性质变形与比较 9 六、逆用基本性质确定参数 10 七、由已知范围确定式子的范围 11 八、判断结论与构造反例 12 A、基础通关 14 B、难点突破 17 C、方法进阶 20 D、真题精选 22 对应教材：认识不等式　不等式的基本性质 姓名：_______________　班级：_______________　日期：_______________ 学习路径：读懂关系 → 数轴表示 → 基本性质 → 符号与范围 → 真题检验。 本册包含与学生版逐题对应的答案和推导。反例、零系数、端点及可取性均按题设条件检查。 知识详解 知识详解一　不等式表示什么 不等式用或连接数量。它表达大小或不相等关系，不要求一定含有未知数，也不要求写出的关系一定成立。 “大于、超过”对应“小于、低于”对应“至少、不少于、不小于”对应“至多、不超过、不大于”对应“非负”指“非正”指 读长句时，先找比较的两个整体。例如“的倍减不小于与的和”比较的是和写成 只排除相等。例如表示或不能把它当成某一个固定方向。 数值代入后，要分别算两边，再检查关系。例如把代入得到这个值不满足原不等式。一个值不满足，不表示原式不是不等式。 实际问题中，单位先统一，数量限制要完整。例如人数不仅有大小限制，还应为非负整数。列式时不能为了方便而把“超过”换成“达到”。 易错提醒：不是正数负数。不是正数包含应写成 知识详解二　数轴与范围 数轴上右边的数大于左边的数。表示右侧的点；表示左侧的点。若包含端点，用实心点；不包含端点，用空心点。 要求同时满足和数轴上表示两端之间的部分，左端实心、右端空心。左右箭头或端点不能只看其中一个。 范围中的整数要单独筛选。例如内的整数为空心端点即使是整数也不能计入。 边界是否包含与是否能取到同样重要。例如“至少包含“不足不包含遇到测量误差等情境，还应把整个可能范围与合格范围比较。 上图表示下图表示 易错提醒：图中的空、实端点与不等号必须一一对应；把式子改写方向后，数轴的实际范围不变。 知识详解三　浙教版的三条基本性质 性质传递性。若且则先把关系接成同向链，再比较两端。例如时，仍有但不能确定与 性质两边加上或减去同一个数，方向保持。时，有也有可以为正、负或 性质两边乘或除以同一个正数，方向保持；乘或除以同一个负数，方向改变。且时，且时， 同乘会使两边都变为原来的严格大小关系消失。不能作除数。若乘除的是含字母的式子，必须先确定整个式子的正负，不能凭字母外观判断。 例如两边都减得到这一步只用了同减一个数的性质。在上述同加、同减、同乘、同除变形中，乘除负数时需要改变不等号方向。 易错提醒：本专题使用浙教版编号。性质是传递性，性质是加减，性质同时包含正数与负数的乘除。 知识详解四　比较、范围与参数 比较两个式子，可以从已知不等式逐步变形，也可以考察它们的差。表示表示表示 由可逆推出若把改为则包含严格与非严格结论的区别，常决定参数端点是否能取。 求一个式子的范围时，按同样的加减乘除顺序处理两个边界。负系数会交换上、下界。例如可推出 多个字母有关联时，不能把各自的最值随意拼起来。若应先把待求式子化成只含的式子，再求其准确范围。 判断“必然成立”，不能只用几个成立的数值作证明；判断“不一定成立”，可以构造一个满足全部条件而结论失败的反例。平方与倒数等运算并非基本性质中的直接变形，要另查条件。 方法提醒：先列条件，再判断符号，接着变形或比较，最后检查零值、等号和边界是否遗漏。 一、辨认不等式与读懂数量关系 方法提示：先辨认连接符号，再确定比较的两部分；“不”“至少”“至多”等词决定是否包含等号。 例一　 下列式子中，哪些是不等式？写出序号。 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 【答案】①③⑤⑥。 【解析】判断依据是式子是否用不等号连接两部分，而不是是否含字母。③含有仍是不等式；②只有代数式，没有表示关系的符号。 变式1-1　 下列说法正确的是（  ）。 不等式必须含有未知数 不等式两边只能是单项式 不是不等式，因为它不成立 是不等式，但不能单独据此判断比大还是小 【答案】 【解析】不等式可只含数，也可含多项式。虽然不成立，形式上仍是不等式。包含或两种情形。 变式1-2　 用不等式表示下列数量关系。 （与不相等； （的倍不大于与的和； （的相反数小于 （的一半不小于 【答案】（（ （（ 【解析】“不相等”写成不能写成单向的或“不大于”“不小于”均包含相等；“相反数”写成 变式1-3　 下列四个判断中，正确的是________（填序号）。 ① 当时，成立。 ② “不是正数”可以表示为 ③ “不等于与“大于表达的是同一种关系。 ④ “比小，但至少是可以表示为 【答案】①④。 【解析】①可直接代入；“不是正数”包含负数和应写故②错误；只排除相等，不确定大小，故③错误；④同时保留了两个边界，其中左端允许相等。 二、从实际情境提炼不等关系 方法提示：设清未知数与单位，先用代数式表示双方，再按条件连接；人数、件数等还要注明整数限制。 例二　 用不等式表示下列条件，不必求出未知数的范围。 （一箱器材总质量为 搬运车的最大载质量为 器材不超载。 （某次测验得分为分，获奖要求超过分。 （甲、乙两队分别完成件、件任务，甲队比乙队至少多完成件。 【答案】（（（ 【解析】最大载质量是允许值，获奖要求“超过”则不包含“至少多件”比较的是两队完成数量的差，不是与 变式2-1　 一次活动安排了辆大巴，每辆最多坐人。共有名学生和名教师乘车。若所有人都能乘坐，用不等式表示人数限制，并写出的实际取值条件。 【答案】且为非负整数。 【解析】总人数不能超过总座位数表示人数，因此除不等式外，还应满足非负、整数两个条件。 变式2-2　 文具店出售甲、乙两种笔记本，单价分别为元和元。班级计划购买本，其中甲种本。购书费用不超过元，且甲种本数不少于乙种。分别列出这两个条件对应的不等式，并写出的实际取值条件。 【答案】 为整数，且 【解析】乙种为本，先分别表示两种费用再相加。“甲种不少于乙种”比较的是本数。题目只要求列式，不必联立求范围。 变式2-3　 两个打印点的收费如下：甲店每页元；乙店每次收取资料处理费元，另按每页元收费。小林准备打印页，且为正整数。 （用不等式表示“选择乙店的费用严格低于甲店”。 （若只考虑时的打印需求，乙店是否可能更便宜？ 【答案】（ （不可能。 【解析】（乙店的固定费用不能遗漏。（乙、甲费用之差为由得所以乙店至少贵元。 三、用数轴表示和读取范围 方法提示：读图依次检查方向、端点、边界值；涉及整数时，额外检查最小整数及它前面的那个整数。 例三　 分别在数轴上表示下列不等式。 （（ 【答案】（处空心，向右表示； （处实心、处空心，表示两点之间的部分。 【解析】数轴上向右的数较大；严格不等号对应空心端点，含等号对应实心端点。 第（2）题的两个边界需要同时满足。 变式3-1　 如图，粗线段上的点（含实心端点，不含空心端点）表示数的范围。 （用不等式表示该范围； （写出该范围内的全部整数。 【答案】（ （ 【解析】左端是空心点，应排除；右端为实心点，应保留。整数按从小到大逐一列出，不漏 变式3-2　 某恒温箱要求实际温度满足（单位：℃）。仪表显示测量误差不超过即实际温度与显示温度的差的绝对值不超过 （写出实际温度的可能范围，并在数轴上表示； （实际温度是否一定符合要求？若不一定，写出一个可能的不合格温度。 【答案】（ （不一定，例如 【解析】误差的两端都可以取到，所以即与显示值仅差符合误差条件，却不满足 变式3-3　 已知满足的整数恰好为求的取值范围。 【答案】 【解析】要包含必须要排除紧邻的较小整数必须两条要求合起来得到端点可以取，不可以取。 四、用传递性和加减性质比较 方法提示：传递性需要能接成同向的链；加减性质要求两边加减同一个数。两边加的数不同时，应补出中间量或比较差。 例四　 已知填入““或“ （________ （________ （________ （________ 【答案】（（（（ 【解析】（1）依据性质传递性；（2）（4）依据性质同加减一个数方向不变；（3）将两边都减 变式4-1　 已知比较下列各组数的大小。 （与（与（与 【答案】（（（ 【解析】由分别得到同加不同的数时不能直接沿用原不等号，应把差算清楚。 变式4-2　 已知下列结论一定成立的是（  ）。 　　 　　 【答案】 【解析】⇒而传递可得中取即不成立；方向相反；与矛盾。 变式4-3　 已知 （求的取值范围； （比较与的大小。 【答案】（ （ 【解析】（各部分都减（由两边都加得也可计算两式之差为 五、用乘除性质变形与比较 方法提示：先判断所乘或所除的整个量的符号，再决定方向。平方只保证非负，不一定为正；两边同乘会变成相等，不能除以 例五　 已知比较下列各组式子的大小。 （与（与 （与（与 【答案】（（ （（ 【解析】乘除正数保向，乘除负数反向。第（题先乘再加只有乘这一步需要改变方向。 变式5-1　 根据不等式的基本性质，把下列不等式写成或的形式。 （（（ 【答案】（（（ 【解析】（两边减（两边除以不等号由变为（两边乘方向也要改变。这里的变形仅使用基本性质。 变式5-2　 已知为任意实数。填入“““或“使结论始终成立，且尽可能准确。 （________ （________ 【答案】（（ 【解析】始终大于所以（严格保向。在时大于在时为此时两边相等，因此（只能保证不能保证 变式5-3　 已知 （比较与的大小； （比较与的大小； （判断能否等于 【答案】（（ （不能， 【解析】（将两边同乘应反向，得（同乘再加得（由（两边加可得 六、逆用基本性质确定参数 方法提示：逆用性质要同时看“原方向”和“新方向”。严格不等式可以排除零系数，含等号的结论则必须检查零系数能否成立。 例六　 已知且求的取值范围。 【答案】 【解析】若同乘应保向，与矛盾；若两边相等，也不符合；所以只能反过来时结论确实成立。 变式6-1　 已知且求的取值范围。 【答案】 【解析】原来乘上同一系数后方向相反，系数必须为负；会使两边相等，因此即 变式6-2　 已知且若为整数，求的值。 【答案】 【解析】原不等号反向，故即整数的平方是非负整数，只有满足，因此会使系数为应排除。 变式6-3　 已知无论取何值，只要就有 （求的取值范围； （若把结论中的改为的范围如何变化？ 【答案】（（ 【解析】（系数时严格保向，等于时两边相等，这两种都满足系数为负时则反向。因此（严格不等号不允许系数为故 七、由已知范围确定式子的范围 方法提示：遇到负系数，先反向再整理上下界；多个量有关联时，优先代入关系化成一个量，最后检查边界是否真的取到。 例七　 已知求的取值范围。 【答案】 【解析】各部分同乘正数得再同加原来可取的左端点仍可取，右端点仍不可取。 变式7-1　 已知求的取值范围。 【答案】 【解析】同乘得再同加得按从小到大整理。负系数不仅改变方向，也交换上下界。 变式7-2　 已知求的取值范围。 【答案】 【解析】由得由得对应相加，得到上界可在时取到；下界需要均不可取。 变式7-3　 已知且 （求的取值范围； （小明分别求出进而认为的最小值是这个结论是否正确？写出正确的最小值。 【答案】（ （不正确，最小值为 【解析】先利用得直接由的范围求得时此时并非两个最小值不能同时取到。把分别的范围相加只能给出较宽的界，不能据此确定实际最小值。 八、判断结论与构造反例 方法提示：“一定成立”要求所有允许取值都成立；反驳只需一个有效反例。需要完整结论时，可把比较转成差的符号并分类。 例八　 判断命题“若则的真假。若是假命题，写出一组满足条件却不满足结论的数。 【答案】假命题，例如 【解析】这组数满足但反例必须先满足题设条件，结论失败才有效。 变式8-1　 已知下列结论中，正确的是________（填序号）。 ① ② ③ ④ 【答案】①③④。 【解析】①乘反向；同为负数时左边数的绝对值更大，因此②错；负数乘负数为正；两边加得 变式8-2　 小明声称：“若且则 （写出一组反例； （在相同条件下，与的大小能否确定？若能，写出结论并证明。 【答案】（例如 （ 【解析】（虽然但（⇒⇒⇒由传递性得 变式8-3　 已知比较与的大小，并按的符号填写结论。 （时，________； （时，________； （时，________。 【答案】（（（ 【解析】计算由于差的符号与相反。差小于等于大于分别对应三个大小关系。分类既覆盖全部情况，又没有重叠。 A、基础通关 A1　 当分别取时，能使成立的值有________。 【答案】 【解析】四次代入后左边依次为其中后三个数大于或等于 A2　 下列语句与不等式对应的是（  ）。 的倍与的差至少是 的倍与的差至多是 与的差的倍至多是 的倍比小 【答案】 【解析】是“的倍与的差”，对应“至多”。表示表示表示 A3　 一个数既不是正数，也不是用不等式表示为________。 【答案】 【解析】实数分为正数、和负数，排除前两类，只剩负数。 A4　 用不等式表示下列条件。 （比赛用球的质量 在 至 之间，两端均允许； （一根绳子长 剪去 后，剩余长度超过 【答案】（（ 【解析】第（题两端都有等号；第（题比较的是剪去后的长度与 A5　 已知则与的大小关系是________。 【答案】 【解析】若则由传递性有若则仍有 A6　 在横线上填数。 （由得到是在两边都加上________； （由得到是在两边都乘________。 【答案】（（ 【解析】（加同一个数保持方向；（乘负数改变方向。 A7　 小明进行了以下推导： → （第①步）→ （第②步）。 指出首个错误步骤，并改正该步骤及其后续结论。 【答案】首个错误为第①步；应得进而 【解析】第①步两边除以必须改变不等号方向。 修正后，两边再减方向保持为 A8　 数轴上，点表示数点表示数点在表示的点左侧，点在表示的点右侧。 用不等式分别表示的范围，并比较线段的长度与的大小。 【答案】的长度大于 【解析】点在点右侧，的长度为由得与相加，得 A9　 若则中，最小的是________，最大的是________。 【答案】最小的是最大的是 【解析】⇒而所以 A10　 已知且 （求的值； （能否将两边都除以得到 【答案】（（不能。 【解析】由得而所以不能作除数，故不能同除以 A11　 已知为整数，且写出的所有可能值，并写出可能取到的值。 【答案】可取可取 【解析】先筛选整数，再逐一代入。变量只能取三个整数，式值也只能取三个数，不能写成连续的范围。 A12　 判断下列说法的正误。 （若则对任何实数都成立。 （若则对任何实数都成立。 （若两边都除以后，应得到 【答案】（错误；（正确；（正确。 【解析】（当时，是反例。（加同一个数与这个数的正负无关。（除负数必须反向。 B、难点突破 B1　 已知填入最准确的不等号。 （________ （________（________ 【答案】（（（ 【解析】（乘反向；（积为正；（由同乘负数得 B2　 已知比较与的大小。 【答案】 【解析】由得两边加可得 B3　 已知比较与的大小。 【答案】 【解析】作差得因为平方严格大于所以前者大于后者。 B4　 已知且求的值。 【答案】 【解析】平方系数非负。若必有左边大于右边，与条件矛盾；只能平方为即此时等号成立。 B5　 已知 （求的取值范围； （将所得范围的两个边界值分别代回原条件，核验各自能否取到。 【答案】（（不能取到，可以取到。 【解析】各部分减得再同除以得代入时式值为不满足小于代入时式值为允许取到。 B6　 已知 能否分别取到和能取到的，写出一组符合条件的不能取到的，用已知条件作出判断。 【答案】能取到，例如和均不能取到。 【解析】取符合两个范围，差为由得因此差不能为由得因此差不能为 B7　 为整数，满足的所有整数的和为求的值。 【答案】 【解析】由于两端不包含，整数只有由得故此时整数为和确为 B8　 已知分别写出符合下列三种情况的一组 （（（ 由此判断：只把的左边乘是否总能得到 【答案】（（（ 不能总得到 【解析】三组数分别满足且与依次为大于、等于、小于。基本性质要求两边同乘同一个数，只改变一边不受该性质保证。 B9　 下列条件中，能够推出的是________（填序号）。 ① ② ③ ④ 【答案】①②。 【解析】①同减②同除以并反向。③中可取虽然但④只能推出不能排除 B10　 某商品甲店售价为元，乙店售价为元，已知两店推出同一天的优惠。 （均打九折后，哪家更便宜？ （均降价元后，哪家更便宜？ （若甲店降价元、乙店打九折，能否确定哪家更便宜？（各方案优惠后的价格均为正。） 【答案】（甲店；（甲店； （不能确定。 【解析】（（（取甲乙取甲乙两组都满足条件，却有不同结果。 C、方法进阶 C1　 已知且比较的大小。 【答案】 【解析】由得两边同加得两边同加得合并即得 C2　 已知为实数。比较与的大小，并写出所有情形。 【答案】时，左边右边； 时，两边相等； 时，左边右边。 【解析】同加不影响大小，关键在系数按正、零、负分类，三种情况恰好覆盖全部实数 C3　 已知且 （求证： （若把条件改为是否仍一定成立？若不一定，举出反例。 【答案】（证明见解析；（不一定，例如 【解析】（由得故两端同减得（这组数满足及却有 C4　 已知 小明写出并认为可以取到 （写出的准确取值范围，并判断能否取到； （能否取到若能，写出一组符合条件的 【答案】（不能取到；（能，例如 【解析】由于均为正数，由得时取到由得上界必须严格小于取符合条件，乘积为 C5　 若且求证： （（（ 【答案】证明见解析。 【解析】（由得又所以故（⇒再结合（两个因子一负一正，所以差为负。 C6　 已知且 求的最小值和最大值，并分别写出取得该值时的 【答案】最小值为在时取到；最大值为在或时取到。 【解析】由得故得等号要求结合得又所以等号要求结合和为得到两组端点。 C7　 某种评分调整规则为“原分乘再加即原分调整为 甲的原分低于乙的原分 （若无论为何值，调整后甲分仍低于乙分，应满足什么条件？ （若调整后两人分差是调整前分差的倍，且高低顺序不变，求 （若原分从增加到调整分如何变化？ 【答案】（（ （由降为减少分。 【解析】（两人都加可抵消，要求故（调整分差又因此（分别代入得和负系数会逆转高低顺序。 C8　 对实数定义“截断值”时时时 （求 （若是否一定有若不一定，举出反例； （若求证： 【答案】（（不一定，如 （证明见解析。 【解析】（按定义分别代入。（反例中（的所有值均在与之间，由得前者排除了故后者排除了故因此从而 D、真题精选 D1　（2025·绍兴柯桥八上期中·第4题） 下列式子：① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 中，是不等式的有（  ）。 个　 个　 个　 个 【答案】 【解析】①②⑤⑥均由不等号连接；③是等式，④是代数式。按浙教教材定义，也属于不等号。 D2　（2025·舟山多校八上期中·第12题） 用不等式表示减去的差是一个非负数：________。 【答案】 【解析】“非负数”包括因此不能写成 D3　（2026·宁波慈溪八上期末·第4题） 已知则下列各式一定成立的是（  ）。 　 　 　 【答案】 【解析】同乘正数可得不能推出同乘应得又因此不成立。 D4　（2025·杭州启正八上期中·第5题） 若则下列不等式中一定成立的是（  ）。 　 　 　 【答案】 【解析】由得而故应反向；取可否定；并非普遍成立，例如时，不成立；此外题设也未排除零。 D5　（2025·绍兴柯桥八上期中·第12题） 填入“或“ （若则________ （若且则________ （若则________ 【答案】（（（ 【解析】（同乘反向，得（同乘反向再加（乘负数后小于 D6　（2025·绍兴柯桥八上期中·第17题（1）选编） 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成或的形式。 （ 【答案】 【解析】两边同乘必须改变不等号方向，得 D7　（2025·舟山多校八上期中·第6题） 判断命题“如果那么是假命题，只需举出一个反例。反例中的可以为（  ）。 　 　 　 【答案】 【解析】四个选项都满足的平方分别为仍小于的平方为不满足结论，能作为反例。 D8　（2025·杭州启正八上期中·第21题选编（对话精简）） 命题：“有两个数和若则一定有 （举一个反例说明这个命题是假命题。 （把条件改为后，证明 【答案】（例如（证明见解析。 【解析】（但（由同乘得同乘得由传递性，也可由证明。 D9　（2025·义乌苏溪八上期中·第23题（1）选编） 设是有理数，现在我们用表示不小于的最小整数，如在此规定下任一有理数都能写成如下形式：其中 （请直接写出与的大小关系。 【答案】 【解析】由得将各部分同加得即 1 学科网（北京）股份有限公司 $