专题3.2 不等式的基本性质（举一反三讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本讲义聚焦不等式的基本性质这一核心知识点，系统梳理传递性、加减同一个数（或整式）不等号方向不变、乘除正数方向不变而乘除负数方向改变等性质，构建从基础性质到判断正误、解不等式等8类题型的完整学习支架。 资料通过题型分层设计与例题变式结合，如判断变形依据、数轴应用等实例，培养抽象能力与推理意识。课中辅助教师系统授课，课后助力学生举一反三练习，有效查漏补缺，强化知识应用与迁移能力。

专题3.2 不等式的基本性质（举一反三讲义） 【新教材浙教版】 题型归纳 【题型1 根据不等式的基本性质判断正误】 2 【题型2 填写不等式变形的依据】 3 【题型3 根据不等式的基本性质比较大小】 5 【题型4 根据不等式的基本性质解不等式】 7 【题型5 根据不等式的解集求字母取值范围】 8 【题型6 不等式的基本性质在数轴上的应用】 9 【题型7 根据不等式的基本性质求最值】 11 【题型8 利用不等式的基本性质证明】 14 考点1 不等式的基本性质 知识点1 不等式的基本性质1 ，，这个性质也叫作不等式的传递性. 知识点2 不等式的基本性质2 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变． 用数学式子表示：如果，那么或；如果，那么或． 其中c可以表示一个数（含0），也可以表示一个整式． 知识点3 不等式的基本性质3 1. 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 用数学式子表示：如果，并且，那么，；，并且时，则，． 2. 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 用数学式子表示：如果，并且，那么，；，并且时，则，． 【题型1 根据不等式的基本性质判断正误】 【例1】（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）已知，，则下列不等式中一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，的符号不确定， ∴无法判断和的大小，故选项A错误； ∵无法确定和的大小关系， ∴选项B，选项C均不一定成立，故B，C错误. ∵， ∴， ∵不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，且， ∴，故D正确. 【变式1-1】（25-26七年级下·贵州安顺·期末）下列不等式的变形正确的是（     ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【详解】解：A、∵，，∴两边同除以，得，变形正确； B、∵的符号未确定，若，则，且时分式无意义，∴变形错误； C、∵当时，，∴变形错误； D、∵的符号未确定，当时，不成立，∴变形错误． 【变式1-2】（2026·山东济南·二模）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据数轴确定a、b、c的大小，然后利用绝对值的性质和不等式的基本性质，对每个选项逐一验证． 【详解】解：由数轴上可知：在和之间，即；在和之间，即；在和之间，即； A．∵，， ∴， ∴，故本选项正确，符合题意； B．不等式两边同时减去a，得到：，即． 但从数轴上看，矛盾，故本选项错误，不符合题意； C． ∵ ，不等式两边同时除以c，不等号方向不变，得到：． 但从数轴上看，矛盾，故本选项错误，不符合题意； D．∵ ，不等式两边同时除以a，不等号方向改变，得到：． 但从数轴上看，矛盾，故本选项错误，不符合题意； 【变式1-3】（25-26七年级下·山西临汾·期末）下列结论正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】利用不等式的基本性质，结合平方的非负性，对每个选项逐一判定，得到正确结论. 【详解】解：根据不等式的基本性质逐一判定：选项A：若，不等式两边同时减，不等号方向不变，可得，故A错误. 选项B：若，不等式两边同时乘，不等号方向改变，可得，不等式两边再加，可得，故B错误. 选项C：若，，由平方的非负性可得，不等式两边同时乘正数，不等号方向不变，可得，故C错误. 选项D：若，，可得，不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，可得，故D正确. 【题型2 填写不等式变形的依据】 【例2】（24-25七年级下·湖北荆州·期末）解不等，得到的依据是（   ） A．等式的性质2 B．不等式的性质3 C．不等式的性质2 D．不等式的性质1 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，需熟练掌握不等式的性质是解决本题的关键． 解不等式时，两边同时乘以负数，需改变不等号方向，依据不等式的性质3可求解． 【详解】解：原不等式为 ， 为了消去系数，两边同时乘以这个负数， 根据不等式性质3，此时不等号方向需改变， 即： 即 ， 因此，依据是不等式的性质3． 故选：B． 【变式2-1】（2026·湖南岳阳·一模）在我们的生活中，不等关系随处可见．小明与妈妈今年分别是x岁与y岁．他们母子对话包含的数学依据是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据题中的不等关系，即可得到答案． 【详解】根据题意，，B选项符合条件． 【变式2-2】解不等式，系数化为1，得x_______，其依据是_______． 【答案】 不等式两边同除以一个不为0的数，不等号方向不变 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，不等式两边同除以可得结论． 【详解】解：， 不等式两边同除以得，， 其依据是：不等式两边同除以一个不为0的数，不等号方向不变． 故答案为：；不等式两边同除以一个不为0的数，不等号方向不变． 【变式2-3】学完一元一次不等式解法后，老师布置了如下练习： 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 以下是小明的解答过程： 解：第一步 去分母，得15  3x≥27  x ， 第二步 去括号，得15  3x≥14  2x， 第三步 移项，得 3x  2x≥14  15 ， 第四步 合并同类项，得x≥  1 ， 第五步 系数化为 1，得x≥1． 第六步 把它的解集在数轴上表示为： 老师看后说：“小明的解题过程有错误！” 问：请指出小明从第几步开始出现了错误，并说明判断依据． 答：________________________________________． 【答案】小明从第五步开始出现了错误；判断依据：不等式的两边同除以一个负数，不等号的方向要改变 【分析】根据不等式的性质即可得． 【详解】小明从第五步开始出现了错误 判断依据：不等式的两边同除以一个负数，不等号的方向要改变 故答案为：小明从第五步开始出现了错误；判断依据：不等式的两边同除以一个负数，不等号的方向要改变． 【点睛】本题考查了不等式的性质，熟记不等式的性质是解题关键． 【题型3 根据不等式的基本性质比较大小】 【例3】（2026·四川广元·中考真题）已知，比较大小：__________． 【答案】 【分析】根据整式加减运算法则得出，根据可得，即可得出答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴． 【变式3-1】（25-26八年级下·四川成都·期末）已知，比较大小：______（填“”或“”）． 【答案】 【分析】利用不等式两边同乘同一个负数时不等号方向改变的性质即可比较大小． 【详解】解：已知，根据不等式的基本性质，不等式两边同时乘以负数，不等号方向改变， 可得 ． 【变式3-2】（24-25八年级上·浙江杭州·阶段检测）比较大小，用“”或“”填空：若，且，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的运算性质，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据不等式的性质分析出即可解答． 【详解】解：∵，且， ∴ ∴ 故答案为：． 【变式3-3】（24-25七年级上·山东青岛·开学考试）如果，那么，，的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题考查了不等式性质，根据不等式性质得到，，即可解题． 【详解】解： ， ，， ，，的大小关系是， 故选：C． 【题型4 根据不等式的基本性质解不等式】 【例4】利用不等式的性质解不等式：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解不等式，熟练掌握不等式的基本性质，是解题的关键．先去括号，然后不等式两边加上2得出，再不等式两边减去，得出，最后将未知数系数化为1即可． 【详解】解： 去括号，得， 不等式两边加上2，得， 不等式两边减去，得， 不等式两边乘以，得． 【变式4-1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）利用不等式的性质解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是利用不等式的性质解不等式． （1）根据不等式的性质2，不等式两边乘，不等号的方向不变，即可求解； （2）根据不等式的性质1，不等式两边减3，不等号的方向不变，得到，再根据不等式的性质3，不等式两边除以，不等号的方向改变，即可求解． 【详解】（1）解：根据不等式的性质2，不等式两边乘，不等号的方向不变， 所以， 解得； （2）解：根据不等式的性质1，不等式两边减3，不等号的方向不变，所以 ， ， 根据不等式的性质3，不等式两边除以，不等号的方向改变，所以 ， 解得． 【变式4-2】利用不等式的性质解不等式：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，理解并掌握不等式的基本性质是解题关键．不等式的基本性质：（1）不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；（2）不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．据此解该不等式即可． 【详解】解：不等式两边同加，得， 不等式两边同减去8，得， 不等式两边同除以，得． 【变式4-3】用不等式的性质解不等式：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】不等式的解集是．解集表示在数轴上如图： 【分析】本题考查解不等式，并把解集表示在数轴上，根据不等式的性质，解不等式，再把解集表示在数轴上即可． 【详解】解： 不等式两边同时加得， 【题型5 根据不等式的解集求字母取值范围】 【例5】已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：∵关于的不等式的解集为，不等号方向改变， ∴， ∴． 【变式5-1】（25-26七年级下·河南周口·期末）若关于的不等式的解集是，则______ 【答案】 【分析】根据题意可得，结合不等式的不等号方向与数值，即可求出的值． 【详解】解： 移项得， ∵关于的不等式的解集是， ∴不等式两边同时除以m后不等号方向发生改变，且不等号右边的结果为， ∴且， ∴． 【变式5-2】（25-26七年级下·湖北恩施·期末）已知，若成立，请写出一个满足条件的的值：_______． 【答案】（答案不唯一，即可） 【分析】根据不等式的基本性质，由已知条件判断的取值范围，再选取一个符合范围的的值作答即可． 【详解】解：，且， ∴根据不等式的基本性质，不等式两边同时乘同一个数，不等号方向改变，则这个数为负数， ， 任意选取一个小于的数即可，可以取（答案不唯一）． 【变式5-3】（25-26七年级下·四川宜宾·期末）已知不等式的解集是，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】根据不等式的基本性质，不等式两边同时除以同一个整式时，不等号方向不变说明该整式为正数，据此列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：不等式的解集是， ∴不等式两边同时除以后，不等号方向没有改变， ∴根据不等式的基本性质可得， 解得． 【题型6 不等式的基本性质在数轴上的应用】 【例6】（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，数轴上两点对应的数分别为，则_____（填“>”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是利用数轴比较大小，不等式的性质，由题意可得，，，可得，进一步可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为： 【变式6-1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）已知关于的一元一次不等式的解集是．如图，数轴上的A，B，C三个点中，实数对应的点可能是______． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，实数与数轴，根据题意可得不等式两边同时除以时，不等号方向发生了改变，则，解不等式求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵关于的一元一次不等式的解集是， ∴不等式两边同时除以时，不等号方向发生了改变， ∴， ∴， ∴实数对应的点可能是A， 故答案为：A． 【变式6-2】如图，数轴上的点、分别表示实数、，则______．（填“>”、“=”或“<”） 【答案】 【分析】由图可得：，再根据不等式的性质即可判断． 【详解】解：由图可得：， 由不等式的性质得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴，不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质． 【变式6-3】在数轴上表示数的点如图所示．若整数满足，则的值为______． 【答案】，， 【分析】由数轴知的取值范围，根据相反数的两数关于原点对称得出，的取值范围，即可找出整数的取值范围． 【详解】由数轴可知：， ， ， ， 是整数， 的值为，，． 故答案为：，，． 【点睛】本题考查用数轴表示数以及实数的大小比较，写出数轴上点的范围是解题的关键． 【题型7 根据不等式的基本性质求最值】 【例7】若，且，则（        ） A．a有最小值 B．b有最小值为 C．有最大值2 D．有最小值 【答案】C 【分析】由，得，于是，故A错误；，得，得，于是，故B错误；由，，得，故C正确；，无最小值； 【详解】解：A. a有最小值； 由，得， ∴， ∴，故A错误，本选项不合题意； B. b有最小值为； 由，得， ∴， ∴，故B错误，本选项不合题意； C. 有最大值2， ∵， ∴，故C正确，本选项符合题意； D. 有最小值， ，无最小值； 故选：C． 【点睛】本题考查不等式的性质，等式变形；掌握不等式的性质是解题的关键． 【变式7-1】已知关于x的不等式 的解集是，则满足不等式 的x的最小值为 _______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式解法，不等式的性质，熟练掌握相关的性质是解答本题的关键； 根据不等式的性质确定a和b的符合，再根据不等式的解集确定a和b的关系，将其代入所求的不等式中解答即可. 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴，； 故答案为：. 【变式7-2】设a，b，c，d都是整数，且，则a的最大值是___________． 【答案】447 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 本题欲求a的最大值，只要取b的最大值，进而取c的最大值，也就是取d的最大值． 【详解】解：因为a，b，c，d都是整数，且， 所以d的最大值是19， 所以， 所以c的最大值是75， 所以， 所以b的最大值是224， 所以， 所以a的最大值是447． 故答案为：447． 【变式7-3】（25-26七年级下·福建福州·期末）已知实数，，满足，．若，则的最大值为（     ） A．40 B．41 C．48 D．50 【答案】B 【分析】先根据已知等式将b，c用含a的代数式表示，再代入不等式求出a的取值范围，最后将所求整理为关于a的一次式，结合a的范围计算最大值即可． 【详解】解：，， ，， ， ∴，解得， ， ， ， 即的最大值为41． 【题型8 利用不等式的基本性质证明】 【例8】（2025八年级上·全国·专题练习）求证：如果，那么． 【答案】见解析 【分析】根据不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，不等式的两边都加同一个数，不等号的方向不变，可得答案． 【详解】证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了不等式的性质，注意不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变． 【变式8-1】（2025·福建漳州·模拟预测）已知，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 【分析】本题主要考查不等式的性质；根据不等式的性质逐步证明即可． 【变式8-2】（25-26八年级下·陕西渭南·阶段检测）已知实数、、满足，，求证：． 【答案】 证明：， ． 把代入，得， ， ． ． 【分析】根据得，把代入，得，再整理即可证明． 【变式8-3】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知实数a，b，c满足：．求证： (1)； (2) 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 又∵， ∴ 即， ∴； (2) 证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【分析】（1）根据等式的性质可得，由可得，再代入解答即可； （2）由，，由不等式的性质可得，再根据可得，所以，再由，结合不等式的性质解答即可． 【点睛】本题主要考查不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 不等式的基本性质（举一反三讲义） 【新教材浙教版】 题型归纳 【题型1 根据不等式的基本性质判断正误】 2 【题型2 填写不等式变形的依据】 2 【题型3 根据不等式的基本性质比较大小】 3 【题型4 根据不等式的基本性质解不等式】 3 【题型5 根据不等式的解集求字母取值范围】 4 【题型6 不等式的基本性质在数轴上的应用】 4 【题型7 根据不等式的基本性质求最值】 4 【题型8 利用不等式的基本性质证明】 5 考点1 不等式的基本性质 知识点1 不等式的基本性质1 ，，这个性质也叫作不等式的传递性. 知识点2 不等式的基本性质2 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变． 用数学式子表示：如果，那么或；如果，那么或． 其中c可以表示一个数（含0），也可以表示一个整式． 知识点3 不等式的基本性质3 1. 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 用数学式子表示：如果，并且，那么，；，并且时，则，． 2. 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 用数学式子表示：如果，并且，那么，；，并且时，则，． 【题型1 根据不等式的基本性质判断正误】 【例1】（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）已知，，则下列不等式中一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26七年级下·贵州安顺·期末）下列不等式的变形正确的是（     ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-2】（2026·山东济南·二模）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26七年级下·山西临汾·期末）下列结论正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【题型2 填写不等式变形的依据】 【例2】（24-25七年级下·湖北荆州·期末）解不等，得到的依据是（   ） A．等式的性质2 B．不等式的性质3 C．不等式的性质2 D．不等式的性质1 【变式2-1】（2026·湖南岳阳·一模）在我们的生活中，不等关系随处可见．小明与妈妈今年分别是x岁与y岁．他们母子对话包含的数学依据是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2-2】解不等式，系数化为1，得x_______，其依据是_______． 【变式2-3】学完一元一次不等式解法后，老师布置了如下练习： 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 以下是小明的解答过程： 解：第一步 去分母，得15  3x≥27  x ， 第二步 去括号，得15  3x≥14  2x， 第三步 移项，得 3x  2x≥14  15 ， 第四步 合并同类项，得x≥  1 ， 第五步 系数化为 1，得x≥1． 第六步 把它的解集在数轴上表示为： 老师看后说：“小明的解题过程有错误！” 问：请指出小明从第几步开始出现了错误，并说明判断依据． 答：________________________________________． 【题型3 根据不等式的基本性质比较大小】 【例3】（2026·四川广元·中考真题）已知，比较大小：__________． 【变式3-1】（25-26八年级下·四川成都·期末）已知，比较大小：______（填“”或“”）． 【变式3-2】（24-25八年级上·浙江杭州·阶段检测）比较大小，用“”或“”填空：若，且，则_______． 【变式3-3】（24-25七年级上·山东青岛·开学考试）如果，那么，，的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 【题型4 根据不等式的基本性质解不等式】 【例4】利用不等式的性质解不等式：． 【变式4-1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）利用不等式的性质解不等式： (1)； (2)． 【变式4-2】利用不等式的性质解不等式：． 【变式4-3】用不等式的性质解不等式：，并将解集在数轴上表示出来． 【题型5 根据不等式的解集求字母取值范围】 【例5】已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围是______． 【变式5-1】（25-26七年级下·河南周口·期末）若关于的不等式的解集是，则______ 【变式5-2】（25-26七年级下·湖北恩施·期末）已知，若成立，请写出一个满足条件的的值：_______． 【变式5-3】（25-26七年级下·四川宜宾·期末）已知不等式的解集是，则的取值范围为___________． 【题型6 不等式的基本性质在数轴上的应用】 【例6】（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，数轴上两点对应的数分别为，则_____（填“>”、“”或“”）． 【变式6-1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）已知关于的一元一次不等式的解集是．如图，数轴上的A，B，C三个点中，实数对应的点可能是______． 【变式6-2】如图，数轴上的点、分别表示实数、，则______．（填“>”、“=”或“<”） 【变式6-3】在数轴上表示数的点如图所示．若整数满足，则的值为______． 【题型7 根据不等式的基本性质求最值】 【例7】若，且，则（        ） A．a有最小值 B．b有最小值为 C．有最大值2 D．有最小值 【变式7-1】已知关于x的不等式 的解集是，则满足不等式 的x的最小值为 _______． 【变式7-2】设a，b，c，d都是整数，且，则a的最大值是___________． 【变式7-3】（25-26七年级下·福建福州·期末）已知实数，，满足，．若，则的最大值为（     ） A．40 B．41 C．48 D．50 【题型8 利用不等式的基本性质证明】 【例8】（2025八年级上·全国·专题练习）求证：如果，那么． 【变式8-1】（2025·福建漳州·模拟预测）已知，求证：． 【变式8-2】（25-26八年级下·陕西渭南·阶段检测）已知实数、、满足，，求证：． 【变式8-3】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知实数a，b，c满足：．求证： (1)； (2) 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $