第18章分式-分式的化简求值 专题讲义 2026—2027学年人教版八年级数学上册

分式的化简求值 目录导航 一 混合运算与直接代入 2 二 先检查条件再择值 4 三 从非负条件提取数值 6 四 把已知关系整体代入 8 五 倒数关系与整体构造 10 六 比例条件下的多元求值 12 七 错解辨析与值不变的原因 14 八 判断条件是否足够 16 A组 基础巩固 18 B组 能力提升 20 C组 综合探究 22 D组 2025与2026真实考试选题 25 2026—2027学年人教版八年级数学上册 学生版 姓名：________________　班级：________________　日期：________________ 本讲重点：在原式有意义的前提下，利用数值、非负条件、二次关系、倒数关系和比例完成化简求值，并判断条件能否确定唯一结果。 使用前提：已学分式四则运算、因式分解和完全平方公式。A组巩固基础，B组提升转化能力，C组综合探究，D组对接2025与2026真实考试。 一 混合运算与直接代入 【知识详解】先化简再求值，能减少重复计算。分式的分子、分母能因式分解时先分解；先按运算顺序处理括号内的运算，再将除法化为乘法。约分约掉的是相乘的公因式，不能直接约掉分子中的某一项。 【解题方法】先列原式限制，再按运算顺序化简，最后代入。代入负数或分数时加括号；二元式可先求式中需要的和、差等整体。 【易错提醒】除法变乘法时只颠倒除式；约分以后，原式中已经排除的值仍不能代入。 母题一、　先化简，再求值：，其中。   变式1-1、　先化简，再求值：，其中。   变式1-2、　先化简，再求值：，其中。   变式1-3、　先化简，再求值：，其中，。   二 先检查条件再择值 【知识详解】原式有意义，需要每个分母非零，并且每个除式整体不为零。候选数还要同时满足题目给出的范围、整数或正整数等要求。 【解题方法】先列出全部限制，再化简；将候选值逐个筛选，选合法值代入。若候选值全部不合法，应说明原式无法在这些条件下求值。 【易错提醒】分母非零且其他限制满足时，分子可以为零；除式为零则不合法。化简为常数不能让原来的禁值重新有意义。 母题二、　已知。 （1）写出原式有意义的条件，并化简。 （2）从中选一个使原式有意义的数代入求值。   变式2-1、　先化简，再从满足的整数中选一个使原式有意义的数代入求值。   变式2-2、　化简。 小林认为“化简后只要求，所以可取”。判断其说法，并从中选择合法的数求的值。   变式2-3、　已知。有人要求求出的值。 （1）化简并写出原式的限制条件。 （2）这项求值任务能否完成？说明理由。   三 从非负条件提取数值 【知识详解】实数的平方和绝对值都不小于零。几个非负数的和等于零时，每一项都必须为零。若二次式可还原为完全平方，先还原后再利用非负性，提取字母或和差的关系。 【解题方法】先说明各项非负，分别令其为零；再确定字母或所需整体，检查原式条件，完成化简求值。 【易错提醒】必须确认相加的各项确实非负。求出的字母值也要检查分母与除式，不能跳过合法性。 母题三、　已知，求的值。   变式3-1、　已知。求的值。   变式3-2、　已知。先化简，再求值：。   变式3-3、　已知，求的值。   四 把已知关系整体代入 【知识详解】条件不一定直接给出字母值。若已知二次组合，可以把它作为一个整体；也可通过配成完全平方或移项，把目标分子、分母同时改写成可利用的形式。 【解题方法】先观察目标需要哪个整体，再变形条件或化简目标；若能消去字母，就不必分别求字母的值。 【易错提醒】约去字母或整式前，要说明它不为零。仅得到形式上的简化式，不等于已经完成原式条件核验。 母题四、　已知，求的值。   变式4-1、　已知，求的值。   变式4-2、　已知，不求的值，求的值。   变式4-3、　已知实数满足。先化简，再求值：。   五 倒数关系与整体构造 【知识详解】当时，。遇到倒数和或差，可利用通分、平方恒等式，把目标改写为已知整体；互为倒数的两个式子都要非零。 【解题方法】先把和、差写成同一个分母，核对符号方向；再根据目标判断是用整体本身、倒数，还是平方后减去交叉项。 【易错提醒】，不能漏掉中间的。 母题五、　已知，求的值。   变式5-1、　已知均不为，且，求的值。   变式5-2、　已知均不为，且，求的值。   变式5-3、　已知，求的值。   六 比例条件下的多元求值 【知识详解】当条件只给比例时，可用共同参数表示各字母，并按题设及原式限制确定参数是否非零。若代入目标后参数能消去，可只由比例求值；否则还需其他条件。也可同除以适当的非零整体，直接引入已知比值。 【解题方法】先从比例确定共同参数和必要的非零条件，再化简。已知和差之比时，可分别把和与差看成整体，不必急于拆成单个字母。 【易错提醒】同除以一个整体前先确认它非零；比值有多个可能时，目标仍可能是同一个数。 母题六、　已知且，求的值。   变式6-1、　已知，求的值。   变式6-2、　已知，且，求的值。   变式6-3、　已知为正数，且。求的值。   七 错解辨析与值不变的原因 【知识详解】化简为常数，只说明在原式有意义的范围内结果不变。两次代入结果相同，也只说明这两个输入得到相同结果，不能自动推出所有合法输入的结果都相同。 【解题方法】判断恒定性时，可先用简单合法值寻找必要条件，再将候选参数代回原式验证。否定一条普遍结论，只需给出一个符合条件的反例。 【易错提醒】两个数相加所得的和作除式时，不能拆成分别相除后相加；必要条件必须再验证是否充分。 母题七、　小宁化简，得到，随后说：“所以时，也等于。” （1）判断化简结果与后续说法是否正确，分别说明理由。 （2）当时，求的值。   变式7-1、　计算时，小华把抄成了。 （1）两次代入是否都会得到相同的值？通过化简说明。 （2）能否据此断言“任何分式求值题中，字母正负号抄错都不影响答案”？举一个分式反例。   变式7-2、　化简时，小明把它写成。 （1）指出错误并正确化简。 （2）求时的值。   变式7-3、　已知常数使的值不随实数的取值而改变。求和这个不变的值，并说明理由。   八 判断条件是否足够 【知识详解】字母不能分别确定，不代表目标不能确定。先把目标化简，看它真正依赖哪些和、差、乘积或比值；如果已知条件恰好确定这些整体，仍可得到唯一结果。 【解题方法】要说明值不唯一，可以举出两组符合全部条件且结果不同的数，也可以证明存在这样的两个合法输入。若认为唯一，应由条件推导目标，不能只展示一个例子。 【易错提醒】由一个平方的值求出原式时，要保留可能的正负分支，再用额外条件或原式有意义的要求筛选。 母题八、　已知，且，设。 （1）仅凭这些条件，能否唯一确定？若不能，给出两组符合条件且结果不同的。 （2）若再给出，求。   变式8-1、　已知。求所有可能的值，并说明是否能唯一确定。   变式8-2、　已知。虽然的值不能分别确定，的值能否唯一确定？请计算并说明理由。   变式8-3、　已知，，求的值。   A组 基础巩固 A1、　使有意义的的取值条件是（　　）。 A． B． C． D．   A2、　先化简，再求值：，其中。   A3、　小杰把中的直接约掉，得到。请给出正确结果；再求时原式的值。   A4、　已知，求的值。   A5、　已知且，求的值。   A6、　先化简，再从中选一个合适的求值。   A7、　已知。下列说法正确的是（　　）。 A．当时， B．当时， C．有意义的条件是 D．对所有实数都成立   A8、　已知且，求的值。   B组 能力提升 B1、　先化简，再求值：，其中。   B2、　已知，求的值。   B3、　已知，求的值。   B4、　已知均不为，，且，求的值。   B5、　已知，且，求的值。   B6、　已知，且分式有意义，求这个分式的值。   B7、　已知常数使在与时的值相等。 （1）求和这两个输入对应的值。 （2）原式的值是否就不随变化？给出理由。   B8、　已知，，且，求的值。   C组 综合探究 C1、　已知，设。 （1）求，并检查是否有意义。 （2）先化简，再求其值。   C2、　已知实数满足，，且有意义。 （1）化简。 （2）不必分别求出，求的值。   C3、　已知为正数，设。 （1）化简，证明。 （2）若且，求的值。   C4、　设，其中为常数。 （1）在原式有意义的条件下，把化为与一个分式的和。 （2）当时求。 （3）为何值时，在一切合法处都取同一个值？说明理由。   C5、　已知，，有人说。 （1）说明这个结论为什么不完整，并求该分式所有可能的值。 （2）若补充，结论是否正确？ （3）不补充时，的值能否唯一确定？若能，求其值。   C6、　已知，设，。 （1）说明均有意义，并求。 （2）求。 （3）只凭已知条件，的值能否唯一确定？说明理由。   D组 2025与2026真实考试选题 D1、　（2025年湖北武汉汉阳八上期末 第18题第（2）小题）先化简，再求值：，其中。   D2、　（2025年北京西城八上期末 第18题第（2）小题）先化简，再求值：，其中。   D3、　（2025年湖南武冈八上期末 第22题）先化简，再从不等式的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值。   D4、　（2026年广东惠州一中集团八上期末 第19题第（1）小题）化简：。   1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分式的化简求值 目录导航 一 混合运算与直接代入 2 二 先检查条件再择值 3 三 从非负条件提取数值 5 四 把已知关系整体代入 6 五 倒数关系与整体构造 7 六 比例条件下的多元求值 8 七 错解辨析与值不变的原因 9 八 判断条件是否足够 11 A组 基础巩固 12 B组 能力提升 14 C组 综合探究 16 D组 2025与2026真实考试选题 19 2026—2027学年人教版八年级数学上册 教师解析版 姓名：________________　班级：________________　日期：________________ 本讲重点：在原式有意义的前提下，利用数值、非负条件、二次关系、倒数关系和比例完成化简求值，并判断条件能否确定唯一结果。 使用前提：已学分式四则运算、因式分解和完全平方公式。A组巩固基础，B组提升转化能力，C组综合探究，D组对接2025与2026真实考试。 一 混合运算与直接代入 【知识详解】先化简再求值，能减少重复计算。分式的分子、分母能因式分解时先分解；先按运算顺序处理括号内的运算，再将除法化为乘法。约分约掉的是相乘的公因式，不能直接约掉分子中的某一项。 【解题方法】先列原式限制，再按运算顺序化简，最后代入。代入负数或分数时加括号；二元式可先求式中需要的和、差等整体。 【易错提醒】除法变乘法时只颠倒除式；约分以后，原式中已经排除的值仍不能代入。 母题一、　先化简，再求值：，其中。 【解析】原式有意义的条件为且。 原式。 符合条件，故原式。 变式1-1、　先化简，再求值：，其中。 【解析】原式要求。原式。 当时，原式。 变式1-2、　先化简，再求值：，其中。 【解析】原式要求。原式。 当时，原式。 变式1-3、　先化简，再求值：，其中，。 【解析】原式要求且。 原式。 由给定数值得，，均满足原式条件，原式。 二 先检查条件再择值 【知识详解】原式有意义，需要每个分母非零，并且每个除式整体不为零。候选数还要同时满足题目给出的范围、整数或正整数等要求。 【解题方法】先列出全部限制，再化简；将候选值逐个筛选，选合法值代入。若候选值全部不合法，应说明原式无法在这些条件下求值。 【易错提醒】分母非零且其他限制满足时，分子可以为零；除式为零则不合法。化简为常数不能让原来的禁值重新有意义。 母题二、　已知。 （1）写出原式有意义的条件，并化简。 （2）从中选一个使原式有意义的数代入求值。 【解析】（1）。分母非零要求； 除式非零还要求。 ，但仍须。 （2）四个候选值中仅合法，故。 变式2-1、　先化简，再从满足的整数中选一个使原式有意义的数代入求值。 【解析】原式要求。原式。 范围内的整数为，仅合法，故原式。 变式2-2、　化简。 小林认为“化简后只要求，所以可取”。判断其说法，并从中选择合法的数求的值。 【解析】原式要求。。 小林的说法错误，原式中会使分母为零。候选值仅合法，代入得。 变式2-3、　已知。有人要求求出的值。 （1）化简并写出原式的限制条件。 （2）这项求值任务能否完成？说明理由。 【解析】（1）原式要求。。 （2）不能。由得或，两者都使原式无意义。化简为不代表原式在禁值处有值。 三 从非负条件提取数值 【知识详解】实数的平方和绝对值都不小于零。几个非负数的和等于零时，每一项都必须为零。若二次式可还原为完全平方，先还原后再利用非负性，提取字母或和差的关系。 【解题方法】先说明各项非负，分别令其为零；再确定字母或所需整体，检查原式条件，完成化简求值。 【易错提醒】必须确认相加的各项确实非负。求出的字母值也要检查分母与除式，不能跳过合法性。 母题三、　已知，求的值。 【解析】由得，满足原式的条件。 原式，故值为。 变式3-1、　已知。求的值。 【解析】条件可写为，故，满足且。 原式。 变式3-2、　已知。先化简，再求值：。 【解析】平方和绝对值均非负，因此，。此时且，原式有意义。 原式。 故原式。 变式3-3、　已知，求的值。 【解析】由非负性得，，故，分母不为零。 原式。也可由先求，再求。 四 把已知关系整体代入 【知识详解】条件不一定直接给出字母值。若已知二次组合，可以把它作为一个整体；也可通过配成完全平方或移项，把目标分子、分母同时改写成可利用的形式。 【解题方法】先观察目标需要哪个整体，再变形条件或化简目标；若能消去字母，就不必分别求字母的值。 【易错提醒】约去字母或整式前，要说明它不为零。仅得到形式上的简化式，不等于已经完成原式条件核验。 母题四、　已知，求的值。 【解析】两个分母均为。 原式。 变式4-1、　已知，求的值。 【解析】由条件得，所以。 原式。 变式4-2、　已知，不求的值，求的值。 【解析】由条件得，所以，且。 原式。无需解出。 变式4-3、　已知实数满足。先化简，再求值：。 【解析】原式分母要求；在此条件下，除式，不会为零。已知关系给出，所以原式有意义。 原式。 把整体代入，得原式，不必分别求出。 五 倒数关系与整体构造 【知识详解】当时，。遇到倒数和或差，可利用通分、平方恒等式，把目标改写为已知整体；互为倒数的两个式子都要非零。 【解题方法】先把和、差写成同一个分母，核对符号方向；再根据目标判断是用整体本身、倒数，还是平方后减去交叉项。 【易错提醒】，不能漏掉中间的。 母题五、　已知，求的值。 【解析】已知式要求，且实数满足，故所求式有意义。 ，其倒数。 故原式。 变式5-1、　已知均不为，且，求的值。 【解析】因且，故，原式有意义。 ，，故原式。 变式5-2、　已知均不为，且，求的值。 【解析】。 原式。 变式5-3、　已知，求的值。 【解析】已知；外层分母为。 ，故原式。 六 比例条件下的多元求值 【知识详解】当条件只给比例时，可用共同参数表示各字母，并按题设及原式限制确定参数是否非零。若代入目标后参数能消去，可只由比例求值；否则还需其他条件。也可同除以适当的非零整体，直接引入已知比值。 【解题方法】先从比例确定共同参数和必要的非零条件，再化简。已知和差之比时，可分别把和与差看成整体，不必急于拆成单个字母。 【易错提醒】同除以一个整体前先确认它非零；比值有多个可能时，目标仍可能是同一个数。 母题六、　已知且，求的值。 【解析】可设，其中，故。 原式。 代入得。 变式6-1、　已知，求的值。 【解析】由已知式得。设，则。 ；。 故原式。 变式6-2、　已知，且，求的值。 【解析】设，其中。除式为。 原式。也可先化为再代入。 变式6-3、　已知为正数，且。求的值。 【解析】因，可将分子分母同除以。 原式。不必求出或分别求出两种比值。 七 错解辨析与值不变的原因 【知识详解】化简为常数，只说明在原式有意义的范围内结果不变。两次代入结果相同，也只说明这两个输入得到相同结果，不能自动推出所有合法输入的结果都相同。 【解题方法】判断恒定性时，可先用简单合法值寻找必要条件，再将候选参数代回原式验证。否定一条普遍结论，只需给出一个符合条件的反例。 【易错提醒】两个数相加所得的和作除式时，不能拆成分别相除后相加；必要条件必须再验证是否充分。 母题七、　小宁化简，得到，随后说：“所以时，也等于。” （1）判断化简结果与后续说法是否正确，分别说明理由。 （2）当时，求的值。 【解析】（1）分母，，所以原式要求。 在此范围内，，化简结果正确。 后续说法错误，因为使原式第一个分母为零。 （2）合法，所以。 变式7-1、　计算时，小华把抄成了。 （1）两次代入是否都会得到相同的值？通过化简说明。 （2）能否据此断言“任何分式求值题中，字母正负号抄错都不影响答案”？举一个分式反例。 【解析】（1）原式要求，且。与均合法，所得值都是。 （2）不能。例如在与时分别为与，并不相等。 变式7-2、　化简时，小明把它写成。 （1）指出错误并正确化简。 （2）求时的值。 【解析】（1）除以一个和，不能拆成分别除以后相加。括号内，因此原式要求。 。 （2）合法，故。 变式7-3、　已知常数使的值不随实数的取值而改变。求和这个不变的值，并说明理由。 【解析】，故所有实数都可代入。 取，原式值为；取，原式值为。既然值不变，必有。 当时，原式，确实恒定。因此，不变的值为。 八 判断条件是否足够 【知识详解】字母不能分别确定，不代表目标不能确定。先把目标化简，看它真正依赖哪些和、差、乘积或比值；如果已知条件恰好确定这些整体，仍可得到唯一结果。 【解题方法】要说明值不唯一，可以举出两组符合全部条件且结果不同的数，也可以证明存在这样的两个合法输入。若认为唯一，应由条件推导目标，不能只展示一个例子。 【易错提醒】由一个平方的值求出原式时，要保留可能的正负分支，再用额外条件或原式有意义的要求筛选。 母题八、　已知，且，设。 （1）仅凭这些条件，能否唯一确定？若不能，给出两组符合条件且结果不同的。 （2）若再给出，求。 【解析】先化简得。 （1）不能。当时，；当时，。两组均符合条件但结果不同。 （2）增加后，。 变式8-1、　已知。求所有可能的值，并说明是否能唯一确定。 【解析】由得或，两者均满足。 原式。当时为；当时为。所以不能唯一确定，所有可能值是。 变式8-2、　已知。虽然的值不能分别确定，的值能否唯一确定？请计算并说明理由。 【解析】因，原式有意义。 原式。目标只与有关，因此能唯一确定。 变式8-3、　已知，，求的值。 【解析】，所以。 原式。也可直接化为。 A组 基础巩固 A1、　使有意义的的取值条件是（　　）。 A． B． C． D． 【解析】两个分母非零要求；括号内的除式不能为零，所以还须。故选C。 A2、　先化简，再求值：，其中。 【解析】原式要求。原式。 合法，原式。 A3、　小杰把中的直接约掉，得到。请给出正确结果；再求时原式的值。 【解析】加减法应先合并分子，原式，其中。 符合条件，所以值为。不能约掉分子中的单独加数。 A4、　已知，求的值。 【解析】，且原式要求。 原式，代入得。 A5、　已知且，求的值。 【解析】因，各分式及除法均有意义。 原式。 A6、　先化简，再从中选一个合适的求值。 【解析】原式要求，故可选。 原式，代入得。分子为零不妨碍分式有意义。 A7、　已知。下列说法正确的是（　　）。 A．当时， B．当时， C．有意义的条件是 D．对所有实数都成立 【解析】原式要求。在此条件下。合法且值为，故选B。 A8、　已知且，求的值。 【解析】且，所以，。 原式。 B组 能力提升 B1、　先化简，再求值：，其中。 【解析】原式要求。 原式。 合法，故原式。 B2、　已知，求的值。 【解析】由非负性得。且，满足原式条件。 原式。 代入，得。 B3、　已知，求的值。 【解析】由条件得，分母。 故原式。 B4、　已知均不为，，且，求的值。 【解析】，结合得。 原式。 B5、　已知，且，求的值。 【解析】由得。又，所以且。 原式。 B6、　已知，且分式有意义，求这个分式的值。 【解析】原式要求。由得或，故只能取。 原式，代入得。 B7、　已知常数使在与时的值相等。 （1）求和这两个输入对应的值。 （2）原式的值是否就不随变化？给出理由。 【解析】（1）均满足。由，得，解得。此时两次求值均为。 （2）不是。取时原式为，不同于。两个输入所得值相同，不能证明所有输入所得值都相同。 B8、　已知，，且，求的值。 【解析】。因，所以。 两个分母分别为和，均非零。原式。 C组 综合探究 C1、　已知，设。 （1）求，并检查是否有意义。 （2）先化简，再求其值。 【解析】（1）由非负性得，，所以。 两个字母均非零，，且除式，所以原式有意义。 （2），原式要求且。 代入得。 C2、　已知实数满足，，且有意义。 （1）化简。 （2）不必分别求出，求的值。 【解析】（1）原式要求且。。 （2）由，得，所以。于是，即或。 若，则，与原式有意义矛盾。 因此。 故。 C3、　已知为正数，设。 （1）化简，证明。 （2）若且，求的值。 【解析】（1）分子、分母同乘得。 又，故。 （2），得。于是，所以。 C4、　设，其中为常数。 （1）在原式有意义的条件下，把化为与一个分式的和。 （2）当时求。 （3）为何值时，在一切合法处都取同一个值？说明理由。 【解析】（1）原式要求。分子。 因此，同时仍需。 （2）时，。 （3）若恒定，取合法的和，得，所以。反之时，对一切合法成立。 C5、　已知，，有人说。 （1）说明这个结论为什么不完整，并求该分式所有可能的值。 （2）若补充，结论是否正确？ （3）不补充时，的值能否唯一确定？若能，求其值。 【解析】（1），故或。因此原分式可能为或。两种情况分别由、实现，均合法。 （2）正确。确定，因此值为。 （3）能。，所求值为。 C6、　已知，设，。 （1）说明均有意义，并求。 （2）求。 （3）只凭已知条件，的值能否唯一确定？说明理由。 【解析】（1）已知。由得，故两式均有意义，且。 （2），所以。 （3）不能。若满足条件，则也满足相同条件，但把换成会把变成。由于，这两个结果不同，故不唯一。 D组 2025与2026真实考试选题 D1、　（2025年湖北武汉汉阳八上期末 第18题第（2）小题）先化简，再求值：，其中。 【解析】原式要求。 原式。 符合条件，原式。 D2、　（2025年北京西城八上期末 第18题第（2）小题）先化简，再求值：，其中。 【解析】原式要求。 原式。 合法，原式。 D3、　（2025年湖南武冈八上期末 第22题）先化简，再从不等式的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值。 【解析】原式要求，且，所以还须。 原式。 由得，正整数解为，其中仅合法。故原式。 D4、　（2026年广东惠州一中集团八上期末 第19题第（1）小题）化简：。 【解析】原式要求。 原式。 1 学科网（北京）股份有限公司 $