第18章 分式全章专题讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦《分式》核心知识点，从分式定义（整式A/B且B含字母）出发，系统梳理有意义/值为0的条件、基本性质（约分通分依据），到四则运算（加减乘除），再到分式方程（解法及检验）及实际应用，构建从概念到性质、运算、方程应用的完整学习支架。 该资料以考情分析对接中考命题，精选近三年真题改编，通过典例与变式结合强化抽象能力（分式概念辨析）、运算能力（化简求值）和模型意识（工程行程应用）。课中辅助教师聚焦高频考点，课后学生可通过真题体验和课时作业查漏补缺，提升解题规范性与应用能力。

2026—2027 学年 人教版八年级数学上册 《分式》全章专题讲义 紧扣人教版最新教材 · 对接中考命题考向 · 精选近三年真题改编　（教师版） 一、考情分析与命题考向 分式是初中"数与代数"的主干内容，也是中考必考板块。近三年全国各省市中考对本章的考查主要集中在以下四类： 高频考点 常见题型 分值 · 难度 分式有意义 / 值为 0 的条件 选择、填空 3～4 分　易 分式四则混合运算与化简求值 解答 6～8 分　中 可化为一元一次方程的分式方程（含增根求参） 解答 6～10 分　中～难 分式方程的实际应用（工程、行程、销售） 解答 8～10 分　难 备考提示：化简求值常设"选取一个使分式有意义的字母取值"的陷阱，代入前必须验算分母不为 0；分式方程去分母后必须检验增根；应用题关键是抓住"工作总量 ÷ 工作效率 = 工作时间""路程 ÷ 速度 = 时间"等含分母的等量关系，正确列出分式方程。 二、知识清单（考点梳理） 1. 分式定义：如果 A、B 是两个整式，且 B 中含有字母，那么式子 A/B 叫做分式（A 是分子，B 是分母）。分母中是否含字母，是分式与整式的本质区别。 2. 有意义 / 无意义 / 值为 0：分式 A/B 有意义 ⇔ 分母 B ≠ 0；无意义 ⇔ B = 0；值为 0 ⇔ 分子 A = 0 且分母 B ≠ 0（两个条件缺一不可）。 3. 基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变，即 A/B = (A·C)/(B·C)（C ≠ 0）。这是约分、通分的依据。 4. 约分与最简分式：约去分子与分母的公因式，把分式化为最简分式；当分子、分母是多项式时，应先因式分解，再找公因式约分。 5. 通分：把几个异分母分式分别化成与它相等的同分母分式。最简公分母 = 各分母系数的最小公倍数 × 所有因式的最高次幂。 6. 加减运算：同分母分式相加，分母不变、分子相加；异分母分式先通分，化为同分母后再加减。 7. 乘除运算：分式乘分式，把分子乘分子、分母乘分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 8. 分式方程：分母中含有未知数的方程。解法：方程两边同乘最简公分母去分母，化为整式方程求解；最后必须检验——把所求的根代入最简公分母，若最简公分母为 0，则该根是增根，必须舍去。 三、考点精讲与典例精练 考点一　分式的概念及有意义、值为 0 的条件 典例 1　当 x ＿＿ 时，分式 的值为 0；当 x ＿＿ 时，该分式无意义。 【解析】 值为 0：需分子 x+2=0 且分母 x－3≠0。由 x+2=0 得 x=－2，此时分母 x－3=－5≠0，成立。 无意义：分母 x－3=0，解得 x=3。 【答案】x＝－2 时值为 0；x＝3 时无意义 变式 1-1　若分式 有意义，则 x 的取值范围是 ＿＿＿＿。 【解析】 分式有意义只需分母不为 0：x－2 ≠ 0，故 x ≠ 2。分子中的字母 m 与 x 的取值范围无关。 【答案】x ≠ 2 变式 1-2　已知当 x = a 时，分式 的值为 0，求 a 的值。 【解析】 由分子 x²－4=0 得 x=±2；又分母 x+2≠0 即 x≠－2，故 x=－2 舍去，取 x=2，即 a=2。 【答案】 考点二　分式的乘除运算与约分化简 典例 2　计算： （结果化为最简分式）。 【解析】 把除法化为乘法，除式分子分母颠倒：原式 = 把 x²－4 因式分解为 (x+2)(x－2)，约去公因式 (x－2)，得原式 = 。 【答案】 变式 2-1　化简： ；并求当 a = 3 时该分式的值。 【解析】 分子 a²+2a+1=(a+1)²，分母 a²－1=(a+1)(a－1)，约去公因式 (a+1)，得 当 a=3 时，原式 = (3+1)÷(3－1) = 4÷2 = 2（此时 a+1=4≠0、a－1=2≠0，分式有意义）。 【答案】化简得 ；当 a=3 时原式 = 2 考点三　分式的加减运算与混合运算 典例 3　化简： （结果化为最简分式）。 【解析】 最简公分母为 (x+1)(x－1)=x²－1。把第一项通分为 同分母相加：原式 = ，分子 x+3 与分母无公因式，已是最简分式。 【答案】 变式 3-1　计算： （结果化为最简分式）。 【解析】 同分母，分母不变、分子相减：原式 = ，已为最简分式。 【答案】 考点四　可化为一元一次方程的分式方程（含增根） 典例 4　解方程： 【解析】 两边同乘最简公分母 (x+1)(x－1)，得 2(x+1)=4，即 2x+2=4，解得 x=1。 检验：当 x=1 时 (x+1)(x－1)=0，最简公分母为 0，x=1 是增根，必须舍去。故原方程无解。 【答案】原分式方程无解（x=1 是增根，舍去） 变式 4-1（增根求参）　若关于 x 的方程 有增根，求 m 的值。 【解析】 两边同乘 (x－3)，去分母得 x－2(x－3)=m，化简得 －x+6=m，即 x=6－m。 增根使最简公分母 x－3=0，即 x=3。代入 x=6－m 得 3=6－m，所以 m=3。 【答案】 考点五　分式方程的实际应用 典例 5　某工厂现在平均每天比原计划多生产 50 台机器，现在生产 600 台机器所需时间与原计划生产 450 台机器所需时间相同。现在平均每天生产多少台机器？ 【解析】 设现在平均每天生产 x 台，则原计划每天生产 (x－50) 台。由"生产时间相同"列方程： 两边同乘 x(x－50)，得 600(x－50)=450x，解得 x=200。检验：x－50=150≠0，符合题意。 【答案】现在平均每天生产 200 台机器 变式 5-1（行程）　一艘轮船顺流航行 90 km 所用时间，与逆流航行 60 km 所用时间相等。已知水流速度为 3 km/h，求轮船在静水中的速度。 【解析】 设轮船在静水中的速度为 x km/h，则顺流 (x+3) km/h、逆流 (x－3) km/h。列方程： 两边同乘 (x+3)(x－3)，得 90(x－3)=60(x+3)，即 90x－270=60x+180，解得 x=15。检验两分母均不为 0，符合题意。 【答案】轮船在静水中的速度为 15 km/h 四、中考真题体验（近三年改编） 真题 1（化简求值·设值陷阱）　先化简 ，再 ÷ ；然后从 －1，0，1，2 中选取一个你认为合适的 x 的值代入求值。 【解析】 括号内 1－1/(x+1)=x/(x+1)，再除以 x/(x²－1) 即乘其倒数 (x²－1)/x=(x+1)(x－1)/x，约分得 x－1。 要使原式有意义须 x+1≠0、x≠0、x²－1≠0，即 x≠－1、0、1，故只能选 x=2，原式 = 2－1 = 1。 【答案】化简得 x－1；只能取 x=2，此时原式 = 1 真题 2（解分式方程）　解方程： 【解析】 两边同乘 (x+1)(x－1)：(x+1)²－4=(x+1)(x－1)，展开 x²+2x+1－4=x²－1，化简得 2x=2，x=1。 检验：x=1 时 (x+1)(x－1)=0，为增根，舍去。故原方程无解。 【答案】原方程无解（x=1 为增根） 真题 3（行程应用）　甲、乙两地相距 180 km，一辆货车与一辆客车同时从甲地出发前往乙地，客车的速度是货车的 1.5 倍，结果客车比货车早到 1 h。求货车的速度。 【解析】 设货车速度为 x km/h，则客车速度为 1.5x km/h。由"客车比货车早到 1 h"列方程：180/x － 180/(1.5x) = 1。 即 180/x － 120/x = 1，60/x = 1，解得 x=60。检验：各分母不为 0，符合题意。 【答案】货车的速度为 60 km/h 五、课时作业（建议 25 分钟） 1．计算： （结果化为最简分式）。 【解析】 同分母相减：原式 = [a²－(2a－1)]/(a－1) = (a²－2a+1)/(a－1) = (a－1)²/(a－1) = a－1。 【答案】 2．解分式方程： 【解析】 两边同乘 x(x－1)：3x=2(x－1)，即 3x=2x－2，解得 x=－2。检验：x(x－1)=(－2)(－3)=6≠0，是原方程的根。 【答案】 3．（增根求参）若关于 x 的方程 有增根，求 m 的值。 【解析】 两边同乘 (x－2)：2=(x－2)+m，化简得 x=4－m。增根 x=2，代入得 2=4－m，故 m=2。 【答案】 4．（工程应用）甲、乙两名工人搬运同样的货物，乙每小时比甲多搬运 600 kg，甲搬运 5000 kg 所用时间与乙搬运 8000 kg 所用时间相等。求甲每小时搬运多少千克。 【解析】 设甲每小时搬运 x kg，则乙每小时搬运 (x+600) kg。列方程： 两边同乘 x(x+600)：5000(x+600)=8000x，解得 x=1000。检验成立。 【答案】甲每小时搬运 1000 kg 5．（化简求值）先化简 ，再 ÷ ，然后选取一个你喜欢的、使原式有意义的 x 的值代入求值。 【解析】 括号内 1－1/(x－1)=(x－2)/(x－1)，再除以 x/(x²－1) 即乘其倒数 (x+1)(x－1)/x，约去 (x－1) 得 (x－2)(x+1)/x。 取 x=2 时，原式 = (2－2)(2+1)/2 = 0（答案随所选 x 变化，只要使分式有意义即可）。 【答案】化简得 (x－2)(x+1)/x（须取 x≠0 且 x≠±1，例如取 x=2 时原式 = 0） 2 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027 学年 人教版八年级数学上册 《分式》全章专题讲义 紧扣人教版最新教材 · 对接中考命题考向 · 精选近三年真题改编　（学生版） 一、考情分析与命题考向 分式是初中"数与代数"的主干内容，也是中考必考板块。近三年全国各省市中考对本章的考查主要集中在以下四类： 高频考点 常见题型 分值 · 难度 分式有意义 / 值为 0 的条件 选择、填空 3～4 分　易 分式四则混合运算与化简求值 解答 6～8 分　中 可化为一元一次方程的分式方程（含增根求参） 解答 6～10 分　中～难 分式方程的实际应用（工程、行程、销售） 解答 8～10 分　难 备考提示：化简求值常设"选取一个使分式有意义的字母取值"的陷阱，代入前必须验算分母不为 0；分式方程去分母后必须检验增根；应用题关键是抓住"工作总量 ÷ 工作效率 = 工作时间""路程 ÷ 速度 = 时间"等含分母的等量关系，正确列出分式方程。 二、知识清单（考点梳理） 1. 分式定义：如果 A、B 是两个整式，且 B 中含有字母，那么式子 A/B 叫做分式（A 是分子，B 是分母）。分母中是否含字母，是分式与整式的本质区别。 2. 有意义 / 无意义 / 值为 0：分式 A/B 有意义 ⇔ 分母 B ≠ 0；无意义 ⇔ B = 0；值为 0 ⇔ 分子 A = 0 且分母 B ≠ 0（两个条件缺一不可）。 3. 基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变，即 A/B = (A·C)/(B·C)（C ≠ 0）。这是约分、通分的依据。 4. 约分与最简分式：约去分子与分母的公因式，把分式化为最简分式；当分子、分母是多项式时，应先因式分解，再找公因式约分。 5. 通分：把几个异分母分式分别化成与它相等的同分母分式。最简公分母 = 各分母系数的最小公倍数 × 所有因式的最高次幂。 6. 加减运算：同分母分式相加，分母不变、分子相加；异分母分式先通分，化为同分母后再加减。 7. 乘除运算：分式乘分式，把分子乘分子、分母乘分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 8. 分式方程：分母中含有未知数的方程。解法：方程两边同乘最简公分母去分母，化为整式方程求解；最后必须检验——把所求的根代入最简公分母，若最简公分母为 0，则该根是增根，必须舍去。 三、考点精讲与典例精练 考点一　分式的概念及有意义、值为 0 的条件 典例 1　当 x ＿＿ 时，分式 的值为 0；当 x ＿＿ 时，该分式无意义。 解： 变式 1-1　若分式 有意义，则 x 的取值范围是 ＿＿＿＿。 解： 变式 1-2　已知当 x = a 时，分式 的值为 0，求 a 的值。 解： 考点二　分式的乘除运算与约分化简 典例 2　计算： （结果化为最简分式）。 解： 变式 2-1　化简： ；并求当 a = 3 时该分式的值。 解： 考点三　分式的加减运算与混合运算 典例 3　化简： （结果化为最简分式）。 解： 变式 3-1　计算： （结果化为最简分式）。 解： 考点四　可化为一元一次方程的分式方程（含增根） 典例 4　解方程： 解： 变式 4-1（增根求参）　若关于 x 的方程 有增根，求 m 的值。 解： 考点五　分式方程的实际应用 典例 5　某工厂现在平均每天比原计划多生产 50 台机器，现在生产 600 台机器所需时间与原计划生产 450 台机器所需时间相同。现在平均每天生产多少台机器？ 解： 变式 5-1（行程）　一艘轮船顺流航行 90 km 所用时间，与逆流航行 60 km 所用时间相等。已知水流速度为 3 km/h，求轮船在静水中的速度。 解： 四、中考真题体验（近三年改编） 真题 1（化简求值·设值陷阱）　先化简 ，再 ÷ ；然后从 －1，0，1，2 中选取一个你认为合适的 x 的值代入求值。 解： 真题 2（解分式方程）　解方程： 解： 真题 3（行程应用）　甲、乙两地相距 180 km，一辆货车与一辆客车同时从甲地出发前往乙地，客车的速度是货车的 1.5 倍，结果客车比货车早到 1 h。求货车的速度。 解： 五、课时作业（建议 25 分钟） 1．计算： （结果化为最简分式）。 解： 2．解分式方程： 解： 3．（增根求参）若关于 x 的方程 有增根，求 m 的值。 解： 4．（工程应用）甲、乙两名工人搬运同样的货物，乙每小时比甲多搬运 600 kg，甲搬运 5000 kg 所用时间与乙搬运 8000 kg 所用时间相等。求甲每小时搬运多少千克。 解： 5．（化简求值）先化简 ，再 ÷ ，然后选取一个你喜欢的、使原式有意义的 x 的值代入求值。 解： 2 2 学科网（北京）股份有限公司 $